第1讲：数形结合法与数学建模思想(初三)

EDCBA第1讲：数形结合法与数学建模思想★1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。

在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。

★2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。

★★3 数形结合法在初中范围内的运用 ★1、代数问题通过构造几何图形给予解决【例1】当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是 ；【例2】已知0>x ，0>y ，1=+y x ,且x ＋y a ≤恒成立，则a 的最小值等于【例3】请计算：（1）、tan 015= (2)、sin 018=【例4】如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC 、EC ，已知5AB =,1DE =,8BD =,设CD x =。

(1)用含x 的代数式表示AC CE +的长；(2)请问点C 满足什么条件时, AC CE +的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.◎ 变式议练一：1、若0a >，0b <，且0a b +<，则有理数a ，b ，a -，b 的大小关系是 ；2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时，CA+CB 有最小值。

3、_______,0,0的取值范围是成立的要使若x b a b x a x b a -=-+-<>4、函数1342222+-+++=x x x x y 的最小值是★★2、几何问题的代数解法【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．【例6】⊙O 是ABC ∆的内切圆，与边AB 、BC 、CA 的切点分别为D 、E 、F ，5AB =,6BC =，7CA =,则AD = ，BE = ，CF = 。

◎ 变式议练二：1、Rt ABC ∆的斜边为13，面积为30，则两直角边的和等于 。

2、已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长是方程：012=-+x x 的一个根，则∠AOB 的度数是 。

★★★3 在平面直角坐标系中的广泛运用【例7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足y xAO C BABCPED M（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例8】已知点A,C 都在双曲线：)0(33>=x xy 上，点B,D 都在x 轴上，⊿AOB,⊿BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标是◎ 变式议练三：关于x 的方程：a x x =-52有且只有两个不同实根，则a 的取值范围是★★★★4 初中数学常见数学模型及其运用★ 基本模型1：等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意一点，PD AB ⊥，PE AC ⊥，CM AB ⊥。

结论：PD PE CM +=证明思路：（1）面积恒等法 （2）截长补短法【例9】在ABC ∆中，AB=AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。

（1）在图中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，让后证明你的猜想；AB C GFG F DEA CB G FDEA CBABCDEFP （2）当三角尺沿AC 方向平移到如图位置时，一条仍与AC 在一条直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ，此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度,猜想并写出DE 、DF 与CG 之间满足的数量关系，让后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到如图所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否成立？◎ 变式练习四：1、等边三角形边长为4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。

2、如图：在矩形ABCD 中，已知5=AB ，12=AD ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥于E ，AC PF ⊥ 于F ，那么PF PE +的值为 ；★基本模型2：“A ”型，“X ”型，斜射影模型若：//DE BC 若：AB DC // 若：ACD B ∠=∠ 则： ； 则： ； 则： ；【例10】（重庆）如图：正方形ABCD 中，F 是CB 延长线上的一点，DF 交AB 于E ，交对角线AC 于P ，如2PE =，3EF =。

求PD 的长。

OA BC D EC D B A E A B D CBE D CAF QP【例11】如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上， DE ⊥EB 。

（1）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； （2）若AD=6，AE=26，求BC 的长；◎ 变式练习五：如图，平行四边形ABCD 中，cm BC 18=，P 、Q 是AC 的三等分点，DP 延长线交BC 于E ，EQ 延长线交AD 于F ，则=AF ； ★ 基本模型3：【例12】已知如图，正方形ABCD 与正方形OEFG 边长均为2cm 。

O 是正方形ABCD 的中心，正方形OEFG 绕点O 旋转，求两个正方形重叠部分（图中阴影）的面积。

结论：1、OM ON =；2、S 阴影14S =正方形◎ 变式练习六：1、（变换基本图形中一个）把正方形OEFG 换成足够大的矩形，圆心角为90︒的扇形，直角三角形时，上述结论仍然成立。

A B C D O E F GNMO A B C D E F GM N A B C DO E F M N A B C D OE F M NABCEFP2（德州中考题）如图：已知ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：①、AE CF =；②、APE CPF ∠=∠；③、EPF ∆是等腰直角三角形；④、EF AP =；⑤、S 四边形AEPF 12ABC S ∆=；当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时（E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的是（ ）A 、①②③B 、②③⑤C 、①②③⑤D 、①②③④★ 基本模型4：【例13】如图，A 、B 两个小镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为km AC 10=，km BD 30=，且km CD 30=，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？◎变式练习七：1、（黄冈）如图：MN 为⊙O 的直径，2=MN ，点A 在⊙O 上，︒=∠30AMN ，B 为 的中点，P 是MN 上的一个动点，则PB PA +的最小值为（ ） A 、22 B 、2 C 、1 D 、22、如图，在平面直角坐标系中，直线 是第一、三象限的角平分线。

（1）实验与探究：由图观察易知A （0，2）关于直线 的对称点A '（2，0），请在图中分别标明B （5，3），C （2-，5）关于直线 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：B ' 、C ' ；（2）归纳与发现：结合图形观察以上点的坐标特征你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线 的对称点P '的坐标为 ； （3）运用与拓广：已知两点D （1，3-）、E （1-，4-），试在直线 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．A CB DOyxAA 'BEDCA NO MNA BPOxyABCPMQND家庭作业（1）1、如图：把PQR ∆沿着PQ 的方向平移到///R Q P ∆的位置，它们重叠部分的面积是PQR ∆面积的一半，若2PQ =，则此三角形移动的距离/PP 是（ ）A 、21B 、22C 、1D 、12-2、如图：以边长为1的正方形ABCD 的顶点B 为圆心，BC 为半径的弧交对角线BD 于点E ，F 是CE 上任意一点，FN BD ⊥于点N ，FM BC ⊥于点M ，则FN FM += ；3、如图：E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，3=AE ，1=BE ，P 为AC 上的动点，则PE PB +的最小值等于 ；4、如图：二次函数的图像经过点D （0，739），且顶点C 的横坐标为4，该图像在x 轴上截得的线段6AB =。

（1）求该二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使得PA PD +最小，求出点P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使QAB ∆与ABC ∆相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

A BCDE PPQ /P/Q R/R ABCDEFM N。