信息光学导论第二章9页word
第二章
信息光学的数学基础
◆引言
在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。 2.1傅里叶变换
◆傅里叶级数
首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式，
这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量n
f x i e
2π的
幅值．
◆频谱的概念
频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。
为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大.
)(x g 是周期性函数
则：
上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为
这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量.
透过率函数也可用复数傅里叶级数表示: 再回到光栅装置.由光栅方程, 在近轴条件下
因此透镜后焦面上频率为 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,
一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的. 故傅立叶变换能达到分频的目的。
◆傅里叶变换
在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下，
上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变
),()(md x g x g +=)
,2,1,( ±±=m ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λ
f x nf f '==0
换和逆变换的积分式为 简单地表示为
从光学眼光看),(y x g 代表一波前函数，线性相因子)
(2y f x f i y x e
+π代表—平面波成分，
(y x f f ,)代表一空间频率，对应一特定方向的平面波．于是，积分式(******)表明，任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加．对于非周期函数，空间频率(y x f f ,)的取值不是离散的，而是连续的，存在于(∞∞-,)．因此，在(y x f f ,)一(y y x x df f df f ++,)频率间隔中，平面波成分的振幅系数dA 表示为
这给出了谱函数G(y x f f ,)的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数，即振幅的谱密度函数，简称频谱。原函数),(y x g 及其频谱G(y x f f ,)，既可以是实数，也可以是复数。
2.2信息光学中常用的若干典型函数的频谱
(1)方垒函数．
如图*******(a)，(b)所示从变换光学眼光看，方垒函数相当平行光正入射于单缝时的被前函数。其夫琅禾费衍射场正是（******)式给出的sinc 函数形式．
(2)相幅型方垒函数．
如图******(a)，(b)所示．从变换光学眼光看，这相幅型方垒函数，相当于平行光斜入射于单缝时的波前函数，或相当于平行光正入射于薄棱镜时的波前函数，其夫琅禾费衍射场的o 级班中心移至轴外，两侧依然呈现c sin 函数形式，如(******)式所示．
(3)准单频函数．
如图****所示．准单频函数可以被看作两个相幅
型方垒函数之和，从而造成两支频谱，其频谱中心分别在0f ±处．如果，准单频函数代表纯空
目信息而与时间变量无关，或代表纯时间信息而与空间变量无关，则这正负两支频谱无独立的物理意义，应将它俩合起来看作—支频谱——谱值加倍，而频率区间缩半于(o ，∞)．如果，这准单频函数代表定态波场的复振幅分布，则正负频谱成分有独立含义，各自乘以同一时间因子
t i e ω-，就分别代表两个相反方向传播的行波，而复振幅分布x f A 02cos π就表示那两列行波
叠加的驻波场．
(4)正向准单频函数．
其中
如图*****所示，展现有二支频谱，均系c sin 函数线型，其中心频率分别为0,0f ±．从变换光学眼光看，这)(x g 相当于平行光正入射于一余弦光栅时的波前函数，其夫琅禾费衍射场有三个离散的亮斑，在亮斑邻近区域有光强的少许扩展，这特点由(******)式所反映．
(5)三角形函数． 如图******所示，其频谱恒为正值．含有明显的高频成分，方能合成带有尖顶的角形原函数．
(6)半椭圆形函数． 这里)(1αJ 是一阶贝塞耳目数，如图******所示．
(7)高斯函数．
如图****所示．在函数大家庭中，唯有高斯雨数，其频谱依然是高斯型的，它是一个经傅里叶变换后线型不变的独特函数．凭借这一性质，高斯型光束成为激光器谐振腔中能稳定存在的一种模式．高斯函数也是光源的一种基本的光谱线型，因为由温度引起的谱线的多普勒展宽是高斯型的．导出频谱公式(*****]过程中用到一个高斯积分，
(8)洛伦兹函数
如图******所示，一钟型原函数其频谱变成一尖顶帐篷型。
(9)二维轴对称函数(圆域函数)．
在空域(x,y)平面上取极坐标(α,r )，以简化圆域函数的表示
称(*******)式为傅里叶—贝塞耳变换．或零阶汉克尔变换，其中J 。为零阶贝塞耳函数．
将(****)式应用于常见的特例——半径为r 的圆孔函数，即 得其频谱为
这结果与我们先前介绍过的圆孔夫琅禾费衍射场的表达式是相似的，仅在系数上有点差别．若将其中的ρ改写为我们一直熟悉的空间频率符号f ，且令λθ/sin =f ，角θ是衍射方向与圆心轴即透镜光轴的夹角，那(*******I)式就表示了波长为λ的一光束正入射于圆孔时的夫琅禾费衍射场．
◆常用函数的傅里叶变换对
2.3卷积
◆卷积的定义
函数)(x f 和)(x h 的卷积用符号)()(x h x f *表示，它定义为
根据积分的几何意义，可以把求卷积理解为求两个函数)(ξf 和)(ξ-x h 重叠部分的面积。
◆卷积的性质 （1）线性性质 （2）交换律 （3）缩放性质 （4）结合律
（5）与δ的卷积 ◆卷积的计算
（1）图解法为了详细说明图解法的过程，我们选两个函数)(x f 和)(x h 世纪计算器
卷积)(x g 。设)(x f 和)(x h 为实寒暑，如图所示。其具体数学表达式为
图解法求卷积)(x g 有如下四个步骤： 1) 折叠
由于卷积满足交换率，根据卷积的定义
把任一个函数)(ξf 或)(ξh 相对于纵坐标作出镜像)(ξ-f 或)(ξ-h [这里我们作)(ξh 的景镜像)(ξ-h ]。为此，虚设积分变量ξ，作出)(ξf 和)(ξ-h 函数图形，如下图所示。
2)位移。为了得到)(ξ-x f 或)(ξ-x h 需要把)(ξ-f 或)(ξ-h 沿x 轴位移。为此，要在选一个坐标轴x ，它与ξ平行，并在其上选一个坐标远点，)(ξ-h 平抑一段距离x 便得到)(ξ-x h 。位移量x 的正负及原点选取的规定为：当x>0时，函数图形)(ξ-h 右移，当x 《0时，函数图形)(ξ-h 左移，当x ＝0时，函数图形)(ξ-x h ＝)(ξ-h ，见图＊＊＊＊
3）相乘。将)(ξf 与)(ξ-x h 按变量ξ逐点相乘得到)()(ξξ-?x h f ，从图形上来看就是这两个函数重叠部分的积。由于图解过程中)(ξf 保持不变，因此必须沿x 轴来回移动
)(ξ-h ，得到对应不同x 值得两函数的乘积。在x ＝0情况下，当0<ξ时，0)(=ξf ，则0)()(=-?ξξh f ，当1>ξ时，0)(=-ξh ，则乘积0)()(=-?ξξh f ，只是当10<<ξ时，0)(≠ξf 和0)(≠-ξh ，乘积0)()(≠-?ξξh f ，两函数的成绩为图*****中的直线AB （一
般为曲线）。
4）积分。求出乘积)()(ξξ-?x h f 曲线下的面积，即两个函数重叠部分的面积，该面积就是x 出的卷积值。选择不同的位移量0x x =，就可得到相应的卷积)(0x g ，图*******(b)~(f)分别为)0(g 、)1(-g 、)3(g 、)5(g 。我们还可以求出其他卷积值并画出
x x g ~)(去县，该曲线就是)(x f 和)(x h 的卷积，如图*********
（2）解析法
解析法就是直接积分?∞
∞
--=
*ξξξd x h f x h x f )()()()(求出)(x g 的值。
有图解法求出卷积的结果可见，一般卷积的结果是分段函数，所以积分一般也要分段积分。由于积分是中含有参变量x ，求积分的关键是确定积分的上下限，一般要与图解法结合起来进行。以下仍以)(x f 和)(x h 为例说明解析法计算卷积的过程。根据图解法的结果，卷积可分为以下四段来积分：
1）1≤x 。这时不论x 为何值，)(ξf 与)(ξ-x h 均无重叠部分，乘积
0)()(=-?ξξx h f ，其积分也等于零。
2）21≤<-x 。)(ξf 的非零区间为[0，3]，由于)(ξh 的非零区间为[-1，2]，)(ξ-h 的非零区间为[-2，1]，因此，)(ξ-x h 的非零区间为[x x ++-1,2]。当)0,2(x +-∈ξ时，
0)(=ξf ，0)()(=-?ξξx h f ；当)3,1(x +∈ξ时，0)(=-ξx h ，0)()(=-?ξξx h f 。
因此，)()(ξξ-?x h f 的非零区间为[x +1,0]，卷积结果为
从上面的分析中，可以得到确定上下限的规律。如果两个函数)(ξf 与)(ξ-x h 的非零区间的上限为1U 和2U ，下限为1L 和2L ，则计算卷积的上限为],m in[21U U ，计算卷积的下限为],m ax [21L L 。
3）52≤ 4）5>x 。这时0)()(=-?ξξx h f ，所以0)(=x g 。综合以上结果，用解析法计算卷积的结果为： 由此可见，用解析法计算卷积于永图解法一样繁琐。在计算复杂函数的卷积时，一般要把解析法和图解法结合起来进行，图解法用于几分区间的分段，解析法用于计算 )()(ξξ-?x h f 复杂曲线下的面积。 2.4相关 ◆相关的定义 若)(x f 和)(x h 是实变量的复值函数，函数)(x f 和)(x h 的相关用符号)()(x h x f * ?或)(x r fh 表示，它定义为 式中)(x h * 是)(x h 的复共轭函数。 若)(x f 是实变量的复值函数，则它的自相关定义为 ◆相关的性质 1）互相关的性质 ①相关运算不具有交换性，即 2）自相关的性质 ①自相关函数具有厄密对程性，即 ◆相关的计算 相关的计算方法和计算卷积一样，有图解法和解析法两种，计算步骤也大致相同。只是图解法中只有位移、相乘、积分三个步骤；解析法直接安定以积分时，同样有积分域的分段和确定上下限的问题，其方法和规则与计算卷积相同。 ◆关于自相关函数意义的说明 )(x f 的自相关函数)(x r ff 可以用来描述函数)(x f -ξ与)(ξf 之间的相关性．由于)(x f -ξ是由)(ξf 通过平移x 距离而形成的，它们之间的相关性，就反映了函数)(ξf 变 化的快慢．反映了)(x f -ξ与)(ξf 的相似程度。 2.5δ函数； ◆δ函数的定义 δ函数是狄拉克在量子力学中首先引入的—种广义函数，其定义为 这表明，δ函数是一种特殊的脉冲函数——脉冲宽度为o 、脉冲高度无限而函数所包容的面积为1(归一化)． 如果在0x x =处出现这种脉冲函数．则表示为)(0x x -δ，即 实际上，不同线型的单脉冲函数，在一定收敛要求下其极限状态就过渡为δ函数，如图***所示。 （a ）单缝衍射函数 （b ）高斯函数 （c ）方垒函数 （e ） 这表明，常数1的频谱为δ函数，δ函数的频谱月1。 我们知道，在物理学的许多领域．是以点模型为基石而构建理论体系，比如力学中的质点，电学中的点电荷和光学个的点光源、物点、像点等等。δ函数正是这类点模型的数学写照．或者说，当空间存在这类“点物”时，我们就可以用δ函数来描写相应的密度分布或强度分布．比如，在一维x 轴0x 处有一质量为m 的质点，则质量分布线密度η函数为 同理，如果，0x 处是一电荷量为q 的点电荷．则电荷分布的线密度密数为 如果(00,y x )处是一光功率为W 的物点，则在(x,y)平面上光强分布函数表示为 有了δ函数工具的辅助，傅里叶变换的应用范围和功能得以扩大和增强． ◆δ函数的性质及其傅里叶变换 (1) δ函数是偶函数，即 (2) δ函数的筛选性 对于任意连续函数)(x g ，它与δ函数的乘积再积分，结果为 δ函数所具有的这种筛选性， 使它成为测量函数值的一很标竿．当这标竿在整个变量区间移动*就可以把持测函数曲线显示出来，这就过渡为一卷积运算． (3) δ函数的卷积性质 这表明，任何连续函数均可以被看作函数自身与δ函数的卷积．从光学眼光看，连续分布于(x ，y)平面上的复振幅),(~ y x U 或光强函数),(y x I ，以往常将它看作连续密排的点源或点集，现在给出的δ函数的卷积性质对这一观点作出了—种数学注释． (4) δ函数的尺度缩放性质， (5) δ函数与傅里叶变换 以上a —f 各变换关系分别相应显示于下图。 图----几种用δ函数表示的傅立叶变换 ◆梳状函数（也叫抽样函数） 梳状函数用符号comb(x)表示，定义为 式中n 为整数。该函数是一间隔为1的函数序列，像一把梳子，故也成为梳状函数。 由δ函数的性质可以得到comb(x)的如下性质： （1）比例变换特性： （2）奇偶性： )(x comb 是偶函数。 （3）周期性： 即)(x comb 使周期为1的周期函数。 （4）抽样特性：)(x comb 函数与任意函数)(x f 相乘可以对该函数周期抽样，而抽样值只存在δ函数所在的整数点处。如图所示 若抽样点为非整数点处，且抽样周期不为1，则有 （5）卷积特性： （6）傅里叶变换特性 ◆梳状函数 2.6傅里叶变换的基本性质 （1）线性性质 若 )()}({),()}({2211f F x f FT f F x f FT == 则 这表明傅里叶变换是现行变换。 （2）对程性 若 ))()}({f F x f FT = 则 （3）坐标缩放性质 若 )()}({f F x f FT = 则 这表明函数在空域的展宽（或压缩），必然导致频域上的压缩（展宽）。 （4）平移性 若 )()}({f F x f FT = 则 （5）面积对应关系 （6）？？？？？？ 2.7傅里叶变换的基本定理 （1）卷积定理 若 ))()}({)),()}({f G x g FT f F x f FT == 则： 积定理表明，对于通过傅里叶变换联系起来的数域来说，一个数域中的卷积运算对应着另—个数域中的乘积运算．卷积定理对某些运算来说是至关重要的。 （2）相关定理(维纳—辛钦定理) ①互相关定理 若 ))()}({)),()}({f G x g FT f F x f FT == 则： 习惯上人们称)()(* f G f F ?称为函数)(),(x g x f 的互谱能量密度或简称互谱密度．因此，互相关定理表明，两个函数的互相关与其互谱密度构成博里叶变换对． ②自相关定理 若 )()}({f F x f FT = 则： ．习惯上，人们称厂(f ，V)’为 习惯上人们称)()(*f F f F ?称为函数)(x f 的谱能量密度或简称互谱密度。因此，自相 关定理表明，—个函数的自相关函数与其能谱密度构成傅里叶变换对． （3）巴塞伐定理 若 )()}({f F x f FT = 且 ??∞ ∞ -∞ ∞ -df f F f dx x f 2 2 )(),0(,)(存在，则 ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -= df f F f dx x f 2 2 )()0(,)( 在应用问题中，积分 ??∞ ∞ -∞ ∞ -df f F f dx x f 2 2 )(),0(,)(都可以表示某种能量．本定理表明对能 量计算既可在空域中进行也可在频域中进行，两者完全等价．从物理意义上看这是能量守恒的体现，故也称为能量积分定理． （4）导数定理 若 )(),(),()}({) () (f F df d F x f dx d f f F x f FT m m m m m m === 则： （5）积分定理(一维) 习题 第五章 习题解答 5．1两束夹角为 θ = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm ，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。 答：已知：θ = 450，λ= 632.8nm ，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式 2 d sin （θ/2）= λ 其中d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录 在干板上的全息光栅空间频率为 f x = （1/d ）= （1/λ）·2 sin （θ/2）= 1209.5 l /mm 故全息光栅的空间频率为1209.5 l /mm 。 5．2 如图5.33所示，点光源A （0，-40，-150）和B （0，30，-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉： x z 图5.33 （5.2题图） （1） 写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式； 答：设：点源A 、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为U A 和U B ， 则有 ()[{]}2 2--22 )()()/(e x p e x p A A A A A A y y x x z jk jkz a U += ()[{]}22--22)()()/(exp exp B B B B B B y y x x z jk jkz a U += 其中: x A = x B = 0, y A = -40, z A = -150, y B = 30, z B = -100; a A 、a B 分别是球面波的振幅；k 为波数。 （2） 写出干涉条纹强度分布的表达式； I = |U A +U B |2 = U A ·U A * + U B ·U B * +U A *·U B + U A ·U B * 第二章 信息光学的数学基础 ◆引言 在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。 2.1傅里叶变换 ◆傅里叶级数 首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式， 这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量n f x i e 2π的 幅值． ◆频谱的概念 频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。 为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大 . )(x g 是周期性函数 则： 上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为 ), ()(md x g x g +=) ,2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ 这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量. 透过率函数也可用复数傅里叶级数表示: 再回到光栅装置.由光栅方程, 在近轴条件下 因此透镜后焦面上频率为 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的. 故傅立叶变换能达到分频的目的。 ◆傅里叶变换 在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下， 上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为 简单地表示为 ,5 ,3,1, d d d f =x f i n x f i x f i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e x g 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππ ππ∑ =++++-++=--- ,sin λθn d =) ,2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λ f x nf f '==0 信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1、1 简要说明以下系统就是否有线性与平移不变性、 (１) (2) (3） (4） (5） 解：（１）线性、平移不变; (2）线性、平移不变; （3）非线性、平移不变; （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1、２ 证明 证明:左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边=0,当n 为偶数时,右边＝ 所以当n 为偶数时,左右两边相等。 1、3 证明 证明:根据复合函数形式得δ函数公式 式中就是h （x)=０得根，表示在处得导数.于就是 1、4 计算图题1、1所示得两函数得一维卷积。 解:设卷积为g （x)。当—１≤ｘ≤０时，如图题1、1（a ）所示, 图题１、1 当０ < x ≤１时,如图题1、1(b)所示， 即 1、5 计算下列一维卷积。 （1） （２) (3） 解：(1)?? ? ??-=??? ??-*??? ??-=??? ??-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ (2)设卷积为ｇ（x)，当x ≤０时，如图题1、2(a ）所示， 当0 〈 x 时,如图题1、2(b ）所示 图题1、2 即 （３） １、６ 已知得傅立叶变换为,试求 （1） （2) 解:设 即 由坐标缩放性质 得 （1)(){}{} )ex p()ex p(/ex p(ex p 2222 2 ξπππππ-=-=-?=-?z y x （2） 1、7 计算积分、(1） （2) 解：应用广义巴塞伐定理可得 （１)3 2)1()1()()()(sin )(sin 1 2 1 2 2 2 = -++=ΛΛ= ???? -∞ ∞ -∞ ∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c (2）????????? ?? -Λ+??? ??+Λ=???∞∞ -∞∞-∞ ∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2 １、8 应用卷积定理求得傅里叶变换、 解:{}{}{}?? ? ??*= ?*?=?2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c 信息光学习题答案 信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?; g?x??????f????h?x????d?; 2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝ 2所以当n为偶数时，左右两边相等。n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2 第四章 标量衍射理论 如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题． 4.1 标量衍射理论 ◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式 历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图 参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为 其中 上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。 ◆基尔霍夫衍射积分式 约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式， 与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是： (1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献． (2)给出了比例系数，λλπ//2 /i e i K -=-=． (3)指出波前面( ∑ )并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都 可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。 ◆亥姆霍兹方程 在自由空间中电磁场),(t r E ),(t r H 具有波动性，满足波动方程 若以标量场),(~ t r U 代表六个分量中的任一个，则波动方程表现为 第一章 习题解答 1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g com b = 系统的传递函数? ? ? ??b f Λ。若b 取（1） 50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。并画出输出函数及其频谱的图形。 答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23 2+1=? ??? ?? 1+3 1+1-31+=F 图形从略。 1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1） 如果L a 1< ，W b 1<，试证明 ()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*?? ? ????? ??1 证明： (){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W f L f rect y x f y x,f y x y x y x *?? ? ????? ??1==∴=???? ??=,,F F ,,F ,,F F 1- （2） 如果L a 1> ， W b 1 >，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y x bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠??? ? ??。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc , 试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos , 答： ()(){}(){}{}{}()(){}{} {}{}{}x cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=??? ? ????? ??74=74==1-1 -1-11-1F F F F F F F ,F ,F F , 第五章 傅里叶变换光学与相因子分析方法 5.1 衍射系统 波前变换 ◆引言 现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换”概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支——傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transform optics)，也简称为博里叶光学，它导致了光学信息处理技术的兴起．现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干涉、衍射理论的综合和提高，它与衍射、尤其与夫琅禾费衍射息息相关．对于熟悉经典波动光学的人们来说，由于他们有着较充分的概念储备和较充实的物理图像，因而具备更为有利的条件，去深刻而灵活地掌握现代变换光学． ◆衍射系统及其三个波前 如图所示，一个衍射系统以衍射屏为界被分为 前后两个空间．前场为照明空间，充满照明光波； 后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简 单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面 与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因 光强起伏而出现的图样．衍射波较为复杂，它不是 单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相 面—般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光 强起伏而形成的衍射图样． 在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布： 其中，入射场),(~1y x U 是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场),(~2y x U 是衍射屏的透射场或反射场，它是衍射空间初端的波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布；而衍射场),(~y x U ''是纵向特定位置的波前函数。由此可见，整个衍射系统贯穿着波前变换： 波前),(~),(~21y x U y x U →这是衍射屏的作用： 波前),(~ ),(~2y x U y x U ''→这是波的传播行为． 由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是波衍射问题的基本提法，亦即波传播问 题的基本提法．标量波的传播规律己由惠更斯—菲涅耳—基尔霍夫理论(HFK 理论)给出．在 常见的傍轴情形下，其表达式为 其积分核为ikr e ，这是一个球面波的相因子形式．换言之HFK 理论是—个关于衍射的球面波理论——衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加． ◆衍射屏函数及其三种类型 我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述衍射屏的自身特征： 《信息光学》教学大纲 课程编号：PY5402 课程名称：信息光学英文名称：Information Optics 学分/学时：3/48 课程性质：必修 适用专业：应用物理学建议开设学期：第六学期 先修课程：光学、电动力学，信号与系统开课单位：物理与光电工程学院 一、课程的教学目标与任务 本课程为应用物理学专业的一门专业必修课。在经典光学基础上，利用线性系统理论和傅里叶分析方法分析光学问题，从光的物理本质电磁波出发，系统学习现代光学的基础理论,其中包括标量衍射理论，光学成像系统频率特性以及光学全息等；学习空间光调制器、光信息存储、光学信息处理等应用技术原理以及最新技术进展。 二、课程具体内容及基本要求 (一) 二维线性系统分析 (2学时) 线性系统，二维线性不变系统，二维傅里叶变换，抽样定理 1.基本要求 （1）掌握二维线性不变系统特点和分析方法。 （2）掌握傅里叶变换性质和常用函数的傅里叶变换。 2.重点、难点 重点：二维线性不变系统的定义、传递函数以及本征函数 难点：将线性系统理论应用于光学系统分析的条件 3.作业及课外学习要求：本章主要复习线性系统理论和傅里叶变换相关概念，初步了解线性系统理论研究光学系统相关理论和方法的条件和特点。 （二）标量衍射的角谱理论（8学时） 光波数学描述，复振幅分布的角谱及角谱传播，标量衍射的角谱理论，菲涅耳衍射和夫琅和费衍射 1.基本要求 （1）掌握平面波空间频率的概念和计算方法。 （2）掌握标量衍射的角谱理论（基尔霍夫衍射、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射） （3）掌握夫琅和费衍射与傅里叶变换关系 （4）了解菲涅耳衍射与分数傅里叶变换关系 2.重点、难点 重点：平面波空间频率概念和标量衍射角谱理论 难点：（1）基尔霍夫衍射公式的光学物理意义 （2）复振幅分布和标量衍射理论的角谱理论物理意义 3.作业及课外学习要求：本章主要介绍光波传播过程中的空间域以及空间频域描述方法，是本课程理论基础，其研究方法、研究特点以及结论和公式是此后各章都要用到的，本 第一章 信息光学的物理基础 1.1光是一种电磁波 ◆特定波段的电磁波 光的波动性由大量的光的干涉、衍射和偏振现象和实验所证实，这是19世纪上半叶的 事．到了19世纪下半叶，麦克斯韦电磁场理论建立以后，光的电磁理论便随之诞生．光是一种特定波段的电磁波．可见光的波长A 在380~760 nm ，相应的光频按λ/c f =计算约为 1414104~108??Hz 。虽然齐整个电磁波增中光波仅占有一很窄的波段，它却对人类的生 命和生存、人类生活的进程和发展，有着巨大的作用和影响，还由于光在发射、传播和接收方面具有独特的性质，以致很久以来光学作为物理学的一个工要分支—直持续地皮勃发展着． ◆主要的电磁性质 光的电磁理论全面地揭示了光波的主要性质．现扼要分列如下，在以后的章节中不免时 有引用这其中的某些性质． (1)光扰动是—种电磁扰动． 光扰动随时间变化和随空间分布的规律，遵从麦克斯韦电磁场方程组， 这是普遍的麦充斯卡韦方程组在介质分区均匀空间中的表现形式．这里没有自由电荷，也没有传导电流，人们称其为自内空间．其中，ε是介质的相对介电常数、μ是介质的相对磁导率；),(t r E 表水电场强度矢量， ),(t r H 表示磁场强度矢量。 (2)光波是一种电磁波． 由方程组(1.1)按矢量场论运算规则，推演出以下方程 这里，2 ?称为拉普拉斯算符，其运算功能在直角坐标系中表现为 由此可见，(1.2)式正是波动方程的标准形式，这表明白由空间中交变电磁场的运动和变化 具有波动形式，而形成电磁波．不论它是多么复杂的电磁波，具传播速度v 已被方程制约为 由此获得真空中的电磁波速度公式为 这里，00,με是两个可以由实验确定的常数，故真空电磁波速是一个恒定常数．按数据 22120/1085.8m N C ??=-ε，270/104A N -?=πμ，得真空电磁波速s m C /1038?=， 如此巨大约波速惟有光速可以相比且惊人地相近．莫非光就是一种电磁波。 （3)平面电磁波是自由空间电磁波的一基元成分． 平面电磁波函数 是满足被动方程(1.2)式的，其中k 称作波矢，其方向与平面等相面正交，即k 指向波法线方 向，其大小k 与平面波的空间周期即波长λ相对应， (4)光是横波． 将平面波函数代入散度为零的那两个方程0,0=??=??H E ．可以 得到k H H E ⊥⊥,，这表明，电磁场振荡方向与波矢方向正交。沿等相面的切线方向，在与波矢正交的横平面个振动．换言之，自由空间中光波是横波． （5)电场与磁场之间的正交性相同步性 将平面波函数代入旋度方程 可以导出 进而得 E H H E E H 000,,εεμμ??==⊥ 这表明，振荡着的电场与磁场，彼此之间在方向上是时时正交的．k H E ,,三者方向构成一个右手螺旋，即k H E //)(?．如图1.1所示；相位是相等的．两者变化步调是一致的；振幅之间有一个简单的比例关系． (6)电磁波能流密度——坡印亭矢量． 伴随着波的传播必定有能量的传输．电磁波或光波也是如此，即光波携带能量离开光源而向外辐射．人们称这种有定向能流离源远行的电磁场或光场为辐射场或电磁辐射．经推导，电磁波能流密度矢量为 t H E ??-=??0 μμE k H ?= ω μμ1 信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2?∞ ∞ --=αααd x h f x g （5）()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证 明 ：左边＝ ∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞-∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-=∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπππδ 1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。 解：设卷积为g(x)。当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ?+-+=-+-=x x x d x x g 1036 12131 )1)(1()(ααα 图题1.1 当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ?+-=-+-=1 36 12131 )1)(1()(x x x d x x g ααα 即 ???? ???? ?≤<+-≤≤--+=其它 ,010,61213101,6121 31)(3 3x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。 （1） ??? ?? -*-21)32(x rect x δ （2）?? ? ??-*??? ??+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 信息光学 信息光学（傅立叶光学）是综合性大学、工科院校和高等师范院校近代光学、信息光学、激光、光电子等专业研究生和大学高年级的必修课，它是从事光学和光电子领域科学研究和产品开发人员必须的理论基础。其主要内容一般包括傅立叶光学、标量衍射理论、透镜的性质、部分相干光理论、光学全息及光信息处理等。限于本课程的课时限制，我们准备主要讲授傅立叶光学、透镜性质、标量衍射理论、部分相干光理论的内容本课程的主要内容讲授拟分八章。 第一章：数学预备知识； 第二章：二维傅立叶分析； 第三章：衍射理论基础； 第四章：菲涅耳衍射、夫琅和费衍射； 第五章：透镜的傅立叶变换特性与成象性质； 第六章：成象光学系统的传递函数； 第七章：部分相干光理论； 主要参考书 ①黄婉云，傅立叶光学教程，北师大出版社，1984 ②羊国光，宋菲君，高等物理光学，中国科大出版社，1991 ③J. W. Goodman, 詹达三译，傅立叶光学导论，科学出版社，1976 ④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990 ⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社， ⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社 ⑦M. 波恩，E. 沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978 ⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题 ⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990 第一章：数学预备知识 为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。 §1-1 几个常用函数 一、 矩形函数（rectangle function ） 1、一维矩形函数 表达式为：??? ????>-≤-=-2 1||0 21 || 1)(rect 000a x x a x x a x x 其函数图形为： 当x 0=0，a =1时，矩形函数为：??? ? ?? ? > ≤=2 1||021 ||1)(rect x x x [此时rect(x )=rect(-x )] 其图形为 2、二维矩形函数 表达式为：??? ? ???>->-≤-≤-=-?-2 1||,21||0 21 ||,21|| 1)()(000000b y y a x x b y y a x x b y y rect a x x rect 其函数图形为： 光信息处理（信息光学）复习提纲 第一章线性系统分析 1．空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性？2．空间频率分量的定义及表达式？ 3．平面波的表达式和球面波的表达式？ 4．相干照明下物函数复振幅的表示式及物理意义？ 5．非相干照明下物光强分布的表示式及物理意义？ 6．线性系统的定义 7．线性系统的脉冲响应的表示式及其作用 8．何谓线性不变系统 9．卷积的物理意义 10．线性不变系统的传递函数及其意义 11．线性不变系统的本征函数 第二章标量衍射理论 1．衍射的定义 2．惠更斯-菲涅耳原理 3．衍射的基尔霍夫公式及其线性表示 4．菲涅耳衍射公式及其近似条件 5．菲涅耳衍射与傅立叶变换的关系 6．会聚球面波照明下的菲涅耳衍射 7．夫琅和费衍射公式 8．夫琅和费衍射的条件及范围 9．夫琅和费衍射与傅立叶变换的关系 10．矩形孔的夫琅和费衍射 11．圆孔的夫琅和费衍射（贝塞尔函数的计算方面不做要求）12．透镜的位相变换函数 13．透镜焦距的判别 14．物体位于透镜各个部位的变换作用 15．几种典型的傅立叶变换光路 第三章光学成象系统的传递函数 1．透镜的脉冲响应 2．相干传递函数与光瞳函数的关系 3．会求几种光瞳的截止频率 4．强度脉冲响应的定义 5．非相干照明系统的物象关系 6．光学传递函数的公式及求解方法 7．会求几种情况的光学传递函数及截止频率 第五章光学全息 1．试列出全息照相与普通照相的区别 2．简述全息照相的基本原理 3．试画出拍摄三维全息的光路图 4．基元全息图的分类 5．结合试验谈谈做全息实验应注意什么（没做过实验，只谈一些理论性的注意方面）6．全息照相为什么要防震，有那些防震措施，其依据是什么 7．如何检测全息系统是否合格 8．全息照相的基本公式 9．全息中的物像公式及解题（重点） 信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ， ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞-∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-=∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ 线性系统概论 ◆引言 在信息光学系统中光学装置被看成收集、传递或变换信息的系统。一个光学系统的理想成像，就是将无空间的物体信息传递、变换物空间，在像面上形成不变的物体的像。这样的理想光学系统显然是一线性系统。虽然实际光学成像系统由于不可避免的存在相差，总会产生失真，是非线性的，但在把研究的问题看成线性的而不会引起明显误差，或只在某个小范围满足现行性质时，就可以将其当作现行未提来处理。所以线性系统理论与傅立叶分析方法一样，是研究信息光学中成像系统和信息处理系统的重要理论基础。本章主要介绍线性系统特别是空间不变线性系统的定义、特点和分析方法。 3.1线性系统的基本概念 ◆系统及其分类 所谓系统，是指一组相互关联的事物构成的总体。这样的系统可分为物理系统和非物理系统。这里仅讨论物理系统。 如图所示一个物理系统，它是这样的装置，当对其作用一个激励时，他就产生一个响应。 从数学上着眼，很多现象都可抽象为使函数)(x f 通过一定的变换，形成)(x g 函数的运算过程．这种实现函数变换的运算过程称为系统．这种意义下的系统，既可以是特定功能的 元器件组合，例如电子线路、光学透镜组等，也可以是与实际元件无关的物理现象，如光学系统，通讯系统，管理系统和指挥系统等。 系统论的引入，使得我们在研究一个光学系统时，所关心的是系统对于给定的激励产生什么样的响应，而不去考虑系统内部的具体结构和具体工作原理。线性系统理论是从总体上研究系统输入输出之间的对应关系和他们的共同特性。 ◆线性系统的定义及其算符表示 假设一个激励)(1x f 作用于某系统产生的响应为)(1x g ，而激励)(2x f 作用于某系统产生的响应为)(2x g ，用符号表示为 )()(),()(2211x g x f x g x f →→ 如果系统满足可加性 )()()()(2121x g x g x f x f +=+ 和奇次性（均匀性） )()(),()(22221111x g c x f c x g c x f c →→ 则这样的系统为线性系统。21,c c 为任意常数。 可加性表明，有几个激励函数相加产生的总响应是各个激励单独作用时产生的响应函数之和；奇次性（均匀性）表明，系统有保持比例因子不变的特性。可加性和奇次性是线性系统两个独立性质。只有同时满足这两个性质的系统才是线性系统，两者缺一不可。 描述输入输出之间的数学方程是把一个激励转换为系统的一个响应，这种转换可用一个 信息光学复习提纲 （自编） 第一章 二维线性系统 1．空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性？ 2．空间频率分量的定义及表达式？ 3．平面波的表达式和球面波的表达式？ 对于单色光波。 时间量 空间量 22v T πωπ== 22K f ππλ== 时间角频率 空间角频率 其中：v ----时间频率 其中：f ---空间频率 T----时间周期 λ-----空间周期 物理意义： ① 当0 90,,<γβα时0,,>z y x f f f ， 表示k ?沿正方向传播； 当0 90,,>γβα时0,,信息光学技术第五章习题
(整理)信息光学导论第二章.
信息光学习题答案
信息光学习题答案
信息光学导论第四章
信息光学习题集答案解析1
信息光学导论第五章
信息光学课程大纲-2014年版
信息光学导论 第一章
信息光学习题答案(精选.)
信息光学 1、常用函数
光信息处理(信息光学)
信息光学习题答案
信息光学导论第三章
信息光学复习提纲-(华南师范大学)