直接开平方法和因式分解法教案设计
2019--2020学年华东师大版九年级数学上册 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 教学设计
22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法●教学目标知识与技能1．体会解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．●教学重点重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．难点通过平方根的意义解形如x2＝p的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．教学过程设计一、创设情景，明确目标一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？你能根据题意设未知数，并列出方程吗？这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？这就是本节课要学习的内容．【归纳导入】利用方程解决生活中的实际问题，一般需要先根据题意“设未知数—找等量关系—列方程—解方程—写答”这一过程，但用一元二次方程解决实际问题会多出“检验”这一步．二、自主学习，指向目标1．自学教材第20页．2．学习至此：请完成学生用书“知识储备”部分．三、合作探究，达成目标探究点一用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程活动一：解方程：x2＝4首先让学生试一试，然后老师和学生一起订正．【展示点评】对于题(1)，有这样的解法：方程x2＝4，意味着x是4的平方根，所以x＝±4，即x＝±2.这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1＝2，x2＝－2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．【小组讨论1】(1)形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程可用什么方法求解？(2)对于常数p，为什么要限定条件p≥0?【反思小结】当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．一般地，对于x2＝p，当p＞0时，x1＝p，x2＝－p；当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根．【针对训练】1．解方程：x2＝122．解方程：2x2－18＝03．解方程：3x2＋5＝04．解方程：5x2＝0探究点二用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2的一元二次方程活动二：例题讲解例2解方程(1)(2x－1)2＝5(2)x2＋6x＋9＝2(3)(3x－4)2＝(4x－3)2【思考】(1)方程(1)与x2＝25这个方程有什么不同？可以直接开平方吗？(2)方程(2)与方程(1)有什么不同？怎样将方程(2)转化为方程(1)的形式？(3)方程(3)左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？【展示点评】方程(1)的方程左边不是未知数的平方，是一个整式的平方，右边是一个正数，可以直接开平方；方程(2)的左边不是一个整式的平方，但可以根据完全平方公式化为(x＋3)2；方程(3)的左右两边分别是一个整式的平方，可以根据“若a2＝b2，则a＝±b”来达到降次的目的．【小组讨论2】对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2的方程，可以用直接开平方法求解吗？【反思小结】当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，即：对于(mx＋n)2＝p(p≥0)，直接开平方得：；若两边都是完全平方式，即：(ax＋b)2＝(cx＋d)2，可直接开平方得．【针对训练】1．(中考·威海)已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，则m的取值范围是( B )A．m≥24 B．m≥0 C．m≥1 D．m≥22．方程(x－1)2－9＝0的解是( C )A．x＝4 B．x1＝2，x2＝－4 C．x1＝－2，x2＝4 D．x1＝10，x2＝－83．解方程：(2x＋3)2－25＝0解：(2x＋3)2＝25，2x＋3＝5或2x＋3＝－5，x1＝1，x2＝－4四、总结梳理，内化目标1．降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；降次的方法：直接开平方法；降次体现了：转化思想；2．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解．五、达标检测，反思目标1．判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解：(1)x2＝2(可以)(2)p2－49＝0(可以)(3)6x2＝3(可以)(4)(5x＋9)2－2x－16＝0(不可以)(5)121－(y ＋3)2＝0(可以)2．如果25x 2－16＝0，那么x 1＝__45__，x 2＝__－45__．3．如果2(x ＋3)2＝8，那么x 1＝__－1__，x 2＝__－5__．4．用直接开平方法解下列方程：(1)(x －1)2＝8；(2)(2x ＋3)2＝24；(3)13(x －12)2＝9；(4)14(x ＋1)2－3＝0.解：(1)x 1＝1＋22，x 2＝1－22；(2)x 1＝－32＋6，x 2＝－32－6；(3)x 1＝12＋33，x 2＝12－33；(4)x 1＝－1＋23，x 2＝－1－2 3.5．已知方程(x －1)2＝k 2＋2的一个根是x ＝3，求k 的值和方程的另一个根． 解：把x ＝3代入(x －1)2＝k 2＋2得：(3－1)2＝k 2＋2解得：k ＝±2，原方程为：(x －1)2＝4，所以方程的根为：x 1＝3，x 2＝－1，即方程的另一个根为－1.六、布置作业，巩固目标1．上交作业 教材第23页练习第(1)至(3)小题．2．课后作业 见学生用书的“综合练·能力提升”部分．●教学反思教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程．。
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》说课稿2
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》这一节，主要介绍了直接开平方法和因式分解法两种解决一元二次方程的方法。
这部分内容是整个九年级数学的重要知识点，也是初中学段的难点内容。
通过这一节的学习，使学生能够熟练掌握两种解一元二次方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于直接开平方法和因式分解法这两种方法的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，引导学生理解和掌握这两种方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解一元二次方程的方法，能够灵活运用这两种方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等环节，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解一元二次方程的方法。
2.教学难点：理解直接开平方法和因式分解法的原理，能够灵活运用这两种方法解决问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念，引导学生进入新课。
2.讲解直接开平方法：通过具体案例，讲解直接开平方法的步骤和原理。
3.讲解因式分解法：通过具体案例，讲解因式分解法的步骤和原理。
4.练习与讨论：布置一些练习题，让学生分组讨论，巩固所学知识。
5.总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置一些拓展题，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：直接开平方法1.确定a、b、c的值2.计算判别式Δ3.计算开平方根4.求解方程5.确定a、b、c的值6.求解方程的根7.因式分解8.求解方程八. 说教学评价通过课堂讲解、练习题、小组讨论等方式，对学生的知识掌握和应用能力进行评价。
《直接开平方法和因式分解法》教案
《直接开平方法和因式分解法》教案教学目标：1.理解直接开平方法和因式分解法的定义和基本概念；2.掌握使用直接开平方法和因式分解法解决简单的数学问题；3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1.理解直接开平方法和因式分解法的概念；2.运用直接开平方法和因式分解法解决问题。
教学难点：运用直接开平方法和因式分解法解决较复杂的问题。
教学准备：教学课件、白板、书本、习题等。
教学过程：一、引入新知识（5分钟）1.教师先向学生提出一个问题：如何快速将一个数开平方？2.引导学生思考，并对学生的回答进行梳理，引出直接开平方法和因式分解法的概念。
二、讲授直接开平方法（10分钟）1.通过例题的形式，向学生讲解直接开平方法的步骤和原理。
2.教师示范使用直接开平方法求解一个简单的开平方问题，并解释每一步骤。
三、学生动手实践（10分钟）1.要求学生结合课本上的习题，独立使用直接开平方法解决一道开平方问题。
2.学生互相进行讨论和交流，并由学生代表上板解答。
四、讲授因式分解法（10分钟）1.通过例题的形式，向学生讲解因式分解法的步骤和原理。
2.教师示范使用因式分解法解决一个简单的因式分解问题，并解释每一步骤。
五、学生动手实践（10分钟）1.要求学生结合课本上的习题，独立使用因式分解法解决一道因式分解问题。
2.学生互相进行讨论和交流，并由学生代表上板解答。
六、综合练习（15分钟）1.教师出示一些较复杂的数学问题，要求学生分别使用直接开平方法和因式分解法解决。
2.学生进行小组讨论，并挑选一位代表上台解答。
3.教师针对学生的解答进行点评和总结。
七、拓展思考（10分钟）1.教师向学生提出一些拓展问题，引导学生进行思考和讨论。
2.鼓励学生思考和总结直接开平方法和因式分解法在解决数学问题中的作用和优势。
八、课堂小结（5分钟）1.教师对本节课的内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
2.鼓励学生多做练习，掌握直接开平方法和因式分解法的应用。
九年级数学上册《直接开平方法和因式分解法》教案、教学设计
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生主动参与课堂，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，让学生在实际问题中发现问题、提出问题，培养他们的探究能力。
（3）通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学策略：
2.提高题：针对学有余力的学生，布置第XX页的习题4、5，这两题具有一定的挑战性，需要学生灵活运用所学方法，并具有一定的推理能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与直接开平方法或因式分解法相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并简要说明解题思路。
例如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为100元，售价为200元。为了促销，工厂决定对售价进行打折，设折扣为x（0<x<1），问折扣为多少时，工厂能获得最大利润？”
2.因式分解法：
（1）回顾因式分解的基本原理，引导学生理解其在二次方程求解中的应用。
（2）讲解因式分解法求解二次方程的步骤，结合具体例题进行分析。
（3）强调因式分解法在解决实际问题中的重要性。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组针对以下问题进行讨论：
（1）直接开平方法和因式分解法的适用场景。
（2）如何运用直接开平方法和合适的求解方法。
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，涵盖直接开平方法和因式分解法的应用。
2.让学生独立完成习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.选取部分学生的解答进行展示和评价，引导学生从中发现问题、总结规律。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结直接开平方法和因式分解法的特点和适用范围。
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》教学设计
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》这一章节是在学生已经掌握了实数的运算、方程的解法等知识的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解决一元二次方程的方法，并能够根据实际情况选择合适的方法解决问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这两种方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在解一元二次方程时，往往还存在着对方法选择不当、运算不准确等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习习惯和方法的选择，引导学生理解并掌握直接开平方法和因式分解法的步骤和应用。
三. 教学目标1.理解直接开平方法和因式分解法的概念和步骤。
2.能够根据实际情况选择合适的方法解决一元二次方程问题。
3.提高学生的运算能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法和因式分解法的概念和步骤。
2.难点：如何根据实际情况选择合适的方法解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过设置问题情境，引导学生思考和探索；通过分析案例，让学生理解和掌握方法；通过小组合作，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示直接开平方法和因式分解法的步骤和应用。
2.练习题：准备一些有关直接开平方法和因式分解法的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置一个实际问题，引导学生思考如何解决一元二次方程问题。
例如：一个正方形的对角线长为10cm，求这个正方形的边长。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现直接开平方法和因式分解法的步骤和应用。
让学生了解两种方法的特点和适用范围。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，解决一些实际问题。
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计2
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计2一. 教材分析浙教版数学八年级下册的《因式分解法、直接开平方法、配方法》是整式与方程单元的重要内容。
这一部分内容主要让学生掌握因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题引导学生掌握这三种方法，并在解决实际问题中体会数学的运用价值。
二. 学情分析学生在学习这一部分内容时，已有了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生理解和掌握三种不同的解法。
此外，学生需要将所学知识应用于实际问题，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，能灵活运用这些方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，体会数学在生活中的运用价值。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法。
2.难点：如何灵活运用这些方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示解题过程，提高学生的学习兴趣。
3.通过练习题和实践问题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和练习题。
2.安排学生进行预习，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如：一个长方形的长比宽多3米，宽比长少2米，求长方形的面积。
2.呈现（15分钟）呈现因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，引导学生了解各自的特点和适用范围。
3.操练（20分钟）让学生通过练习题熟悉这三种方法，并及时给予指导和反馈。
练习题包括简单的一元二次方程和实际问题。
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计一. 教材分析浙教版数学八年级下册的“因式分解法、直接开平方法、配方法”是代数领域的重要内容。
本节内容主要让学生掌握因式分解的方法，能熟练运用因式分解法解决实际问题；掌握直接开平方法，能正确运用直接开平方法求解二次根式；掌握配方法，能将一般式配成完全平方形式，进一步解决二次方程的问题。
教材通过例题和练习，让学生在实际问题中应用所学知识，培养学生的解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数的运算、一元一次方程、不等式等基础知识。
学生对于运算法则、方程的解法有一定的了解，但对于因式分解法、直接开平方法、配方法的应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过例题讲解、练习巩固，让学生逐步掌握这些方法。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解法，能熟练运用因式分解法解决实际问题。
2.让学生掌握直接开平方法，能正确运用直接开平方法求解二次根式。
3.让学生掌握配方法，能将一般式配成完全平方形式，进一步解决二次方程的问题。
4.培养学生的解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
四. 教学重难点1.因式分解法的运用。
2.直接开平方法的运用。
3.配方法的运用。
五. 教学方法1.讲授法：讲解因式分解法、直接开平方法、配方法的理论知识。
2.案例分析法：通过例题讲解，让学生理解并掌握方法的应用。
3.练习法：布置课后作业，让学生巩固所学知识。
4.小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教材：浙教版数学八年级下册。
2.课件：制作课件，辅助讲解。
3.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入本节课的主题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解法、直接开平方法、配方法的理论知识，让学生了解这些方法的应用。
3.操练（20分钟）通过例题讲解，让学生掌握因式分解法、直接开平方法、配方法的应用。
华师版九年级数学上册教案：第22章 一元二次方程2 一元二次方程的解法(5课时)
22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用． 二、重难点目标 【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P20～P25的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法． 2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.4．方程(x －1)2＝1的解为__x 1＝2,x 2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x －1)(x ＋3)＝0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x －1＝0,则另一个方程是__x ＋3＝0__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x ＋1)2＝2； (2)(2x ＋1)2＝2x ＋1； (3)－x 2＝4x ； (4)12(x ＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤． 【解答】(1)直接开平方,得x ＋1＝±2. 故x 1＝2－1,x 2＝－2－1.(2)移项,得(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝0.方程左边分解因式,得(2x ＋1)(2x ＋1－1)＝0,所以2x ＋1＝0或2x ＋1－1＝0,得x 1＝－12,x 2＝0.(3)方程可变形为x 2＋4x ＝0.方程左边分解因式,得x (x ＋4)＝0,所以x ＝0或x ＋4＝0,得x 1＝0,x 2＝－4.(4)方程两边同时乘2,得(x ＋5)2＝18.直接开平方,得x ＋5＝±32,所以x 1＝32－5,x 2＝－32－5.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x 2＝b (b ≥0)或(mx ＋a )2＝b (m ≠0,b ≥0)的形式；②直接开平方,得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项,将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2,x 2＝－2D ．x 1＝4,x 2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b ＝a 2－b 2,根据这个规则,方程(x ＋1)﹡3＝0的解为__x 1＝2,x 2＝－4__.【教师点拨】根据新定义,由(x ＋1)﹡3＝0,得(x ＋1)2－32＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2.解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方,得x ＝±52,所以x 1＝52,x 2＝－52.(2)移项,得x (x ＋2)－(x ＋2)＝0.方程左边分解因式,得(x ＋2)(x －1)＝0,所以x ＋2＝0或x －1＝0,得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0,即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0,∴(x －4)(x ＋1)＝0,则x ＋1＝0或x －4＝0,解得x 1＝－1,x 2＝4.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)直接开平方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a (a ≥0)的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标 【教学重点】用配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝⎝⎛⎭⎫x －！！！！__12__####2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列方程： (1)x 2－4x －12＝0； (2)22x 2＋4x －6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)原方程可化为x 2－4x ＝12. 配方,得x 2－4x ＋4＝16,即(x －2)2＝16. 直接开平方,得x －2＝±4, 所以x 1＝－2,x 2＝6. (2)移项,得22x 2＋4x ＝6. 两边同除以22,得x 2＋211x ＝311.配方,得x 2＋211x ＋⎝⎛⎭⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎫1112,即⎝⎛⎭⎫x ＋1112＝34121. 直接开平方,得x ＋111＝±3411,所以x 1＝－1＋3411,x 2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x ±h )2＝k 的形式；(5)求解：若k ≥0,则利用直接开平方法求解；若k <0,则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程,配方正确的是( D ) A ．2y 2－4y －4＝0可化为(y －1)2＝4 B ．x 2－2x －9＝0可化为(x －1)2＝8 C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16 D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4,配方后方程可化为⎝⎛⎭⎫x －142＝__3316__. 4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3,x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34,x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,并指出当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0, ∴(x －2)2＋1≥1,∴不论x 为何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,且当(x －2)2＝0,即x ＝2时,代数式x 2－4x ＋5有最小值,最小值为1.【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)配方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2形式：方程(x ±h )2＝k (k ≥0)的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b 2－4ac ≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b 2－4ac <0时,方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标 【教学重点】用公式法解一元二次方程． 【教学难点】 求根公式的推导过程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P28～P31的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝__－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)__.将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x 2－3x －1＝0时,a ＝__2__,b ＝__－3__,c ＝__－1__,则b 2－4ac ＝__17__,代入求根公式,得x ＝__3±174__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋5(2x ＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)∵a ＝5,b ＝－4,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝4±362×5＝4±610,∴x 1＝1,x 2＝－15.(2)将方程化为一般形式,得3x 2＋10x ＋5＝0. ∵a ＝3,b ＝10,c ＝5,∴b 2－4ac ＝102－4×3×5＝100－60＝40, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－10±402×3＝－5±103,∴x 1＝－5＋103,x 2＝－5－103.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)确定a 、b 、c 的值；(3)求出b 2－4ac 的值；(4)判断b 2－4ac 的符号．当b 2－4ac ≥0时,把a 、b 及b 2－4ac 的值代入求根公式,求出x 1、x 2；当b 2－4ac <0时,b 2－4ac 无意义,此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x ＝b ±b 2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A ．x 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2＋bx －c ＝0C ．x 2－bx ＋c ＝0D ．x 2－bx －c ＝02．方程3x 2－5x ＋1＝0的解,正确的是( B ) A ．x ＝－5±136B ．x ＝5±136C ．x ＝－5±133D ．x ＝5±1333．用公式法解下列方程： (1)3x 2－6x －1＝0； (2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233,x 2＝3－233.(2)x 1＝－5,x 2＝3. (3)方程没有实数解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定,当x 取何值时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0?【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0,得2x 2－1×(0.5－x )＝0. 整理,得4x 2＋2x －1＝0,则a ＝4,b ＝2,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20, ∴x ＝－2±202×4＝－1±54,∴当x ＝－1＋54或－1－54时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标 【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况． 【教学难点】推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的符号与其根的关系．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P31～P32的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时,方程有两个相等的实数根；当Δ<0时,方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0,则a＝16,b＝8,c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0,∴方程没有实数根．(2)a＝9,b＝6,c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0,∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2,b＝－9,c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0,∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1,b＝－7,c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0,∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －m ＝0有实数根,则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥14B ．m ≥－14C ．m ≤14D ．m ≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根,则b 2－4ac ≥0. 3．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根,则p 与q 的关系是__p 2＝4q __. 4．不解方程,试判断下列方程的根的情况： (1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0. 解：(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程没有实数根．5．已知关于x 的方程kx 2－6x ＋9＝0,问k 为何值时,这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)当k ＜1且k ≠0时,方程有两个不相等的实数根． (2)当k ＝1时,方程有两个相等的实数根． (3)当k ＞1时,方程没有实数根． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a 、b 、c 的数量关系→确定三角形的形状． 【解答】△ABC 是直角三角形．理由如下：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝0,即(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0, ∴a 2＝b 2＋c 2,∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0,∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0,当m ＝5时,方程有一个实数根；当m ≠5时,Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4,∴Δ1＝12m ＋4＞0,∴此时方程有两个不相等的实数根．综上,当m ＝5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)实数根的关系⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P33～P35的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则有x 1＋x 2＝__－b a __,x 1x 2＝__c a __. 特殊形式：若x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝__－p __,x 1x 2＝__q __.2．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2－6x －15＝0的两根,则x 1＋x 2＝__6__,x 1x 2＝__－15__.3．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝11,x 1x 2＝30,则以x 1、x 2为根的一元二次方程是__x 2－11x ＋30＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 【互动探索】(引发学生思考)方程x 2＋6x ＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,∴x 1＋x 2＝－6,x 1x 2＝3.(1)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x 2x 1 ＋ x 1x 2＝x 22 ＋ x 21x 1x 2＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10. 【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x 21 ＋ x 22＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ④x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； ⑤(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2；⑥|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.活动2巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是(C)A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1,x2＝2,则这个方程可能是(C) A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2,则k＝__－7__,另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__,ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3,求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,不解方程,求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1,c＝－6.(2)1x1＋1x2＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2,求x2的值；(2)若k＝4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,且x1＝2,∴x1＋x2＝－(－6),即2＋x2＝6,∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,k＝4,∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝c a. 特殊地,x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q .请完成本课时对应练习！。
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直接开平方法和因式分解法
【教学目标】
1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程；
2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
【教学重难点】
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
【教学过程】
一、提问导入
怎样解方程(x+1)2=256的？
让学生说出作业中的解法，教师板书。
解：1．直接开平方，得x+1=±16；
所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17。
2．原方程可变形为：
(x+1)2-256=0；
方程左边分解因式，得：
(x+1+16)(x+1－16)=0；
即可(x+17)(x－15)=0；
所以x＋17=0，x－15=0；
原方程的解：x1＝15，x2＝－17。
二、例题讲解与练习巩固
1．例1：
解下列方程：
（1）(x＋1)2－4＝0；
（2）12(2－x)2－9＝0。
分析：
两个方程都可以转化为a(x-k)2=b （a≠0，ab≥0）的形式，从而用直接开平方法求解。
解（1）原方程可以变形为：
(x＋1)2＝4，
直接开平方，得：
x＋1＝±2。
所以原方程的解是：x1＝1，x2＝－3。
原方程可以变形为________________________，
有________________________。
所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________。
2．说明：（1）这时，只要把(x+1)看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
3．练习一解下列方程：
（1）(x＋2)2－16＝0；
（2）(x＋2)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1；
（4）(2x＋3)2－25＝0。
三、读一读
四、讨论、探索：解下列方程
（1）(x+2)2=3(x+2)；
（2）2y(y-3)=9-3y；
（3）( x-2)2— x+2 =0；
（4）(2x+1)2=(x-1)2；
（5）x2-2x+1=49。
五、本课小结
1．对于形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程，只要把(x-k)看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式，用直接开平方法解。
2．当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。