小学数学思维训练四年级第六讲 余数问题
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
四年级下册数学课件思维拓展训练： 带余除法(1) 全国通用 9页
例5：一个学生在计算有余数的除法时，把被除数137写成173，这样商 比原来多了3，而余数相同，求这道题的除数及余数？
137=除数×商+余数 173=除数×（商+3）+余数
除数：（173-137）÷3=12 余数：137÷12=11......5 答：这道题的除数是12，余数是5。
5 、带余除法（一）
被除数÷除数=商......余数 被除数=除数×商+余数
例1：一个数除以17的商是余数的3倍，这个数是余数的多少倍？ 被除数=除数×商+余数
如果余数是1，那么商是3，被除数是17×3+1=52 52÷1=52，这个数是余数的52倍。
例2：商是3，余数是4，而且被除数比除数大28，求这两个数。
被除数=除数×3+4，它比除数多2倍+4。
求这两个数，是差倍问题。 除数：（28-4）÷（3-1）=12 被除数：12+28=40
例3：被除数、除数、商与余数的和是249，已知商是15，余数是5，被 除数、除数各是多少？
被除数与除数的和是249-15-5=229。
被除数=除数×15+5， 被除数加除数总共是16倍+5。
6． 选 择 思 维 方式。 除直接 从事物 本身入 手，抓 住其中 自己感 受最深 的一个 方面外 ，也可 以从侧 面出击 ，这往 往能出 奇制胜 。
7． 合 理 想 象 联想、 提升材 料层次 。联想 和想象 是作文 不可或 缺的思 维方式 ，它可 以使我 们在写 作时由 物及人 ，由人 及社会 ，有效 地提升 素材的 层次， 从而达 到文章 表达“ 以小见 大”的 目的。
4.联 系 实 际 ， 挖掘 材料的 闪光点 。生活 中有些 事情看 似平淡 无奇， 但它却 是整个 社会的 基础， 对这些 生活素 材进行 多方面 的思考 ，深入 的开掘 ，就能 够从具 体的人 事景物 概括出 人类普 遍的感 情和抽 象的道 理。
小学数学小学四年级的数学思维训练题含标准答案.doc
12．一张长方形彩纸长21厘米； 宽15厘米； 先剪下一个最大的正方形；再从余下的纸上剪
下一个最大的正方形。这时纸的长是6厘米。（）
13．一个箱子里放着几顶帽子；除2顶以外都是红的； 除2顶以外都是蓝的； 除2顶以外都是黄的。箱子中一共有3顶帽子。（ ）
=8800-5000+3000-3000-2000-5+2-6-2-8=1800-19
=1781
23．125×198÷（18÷8）
=125×8×（198÷18）
=1000×11
=11000
24．2772÷28+34965÷35
=2772÷4÷7+34965÷5÷7
=693
÷7+6993
÷7
=（693+6993
5．在下面的式子中填上括号；使等式成立。
5×8+16÷4-2=20
6．从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数中；任取3个数组成一组；使它的平均数是5；
有（）种取法。
7．某地的邮政编码可用ABCCDD表示；已知这六个数字的和是8；A与B的和等于2个D；
A是最小的自然数。这个邮政编码是（）。
8．两个数之和是444；大数除以小数商11；且没有余数；大数是（）
三、选择。（共
10
分；每小题2分）
16．B 17．D 18．C 19．A 20．D
四、简算与计算。（共
25分；每小题5分）
21．395-283+154+246-117
=395-（283+117）+（154+246）
=395-400+400
小学四年级数学思维训练14题(附答案)你都会做了吗
小学四年级数学思维训练14题（附答案），你都会做了吗？01小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
【分析】要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。
解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2＋1＝3分钟然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6＋2＝8分钟最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。
总共用时(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分钟。
02一张数学试卷，只有25道选择题。
做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分，若小明得了78分，那么他做对了多少题，做错多少题，没做多少题？答案与解析：答案：做对20道题，做错 2题，没做的3题解析：78÷4＝19余二，说明他至少做对了20道题，因为如果只做对19道题的话至多得76分。
那么他能做对21题吗？设他做对21题，其他全做错，得21×4－4＝80分，大于78分。
所以他只能做对20道题，20×4＝80，得了80分，实际上得了78分，所以还得做错两道，既然剩下5道题，错了2道，那么有3道题没做。
03“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。
”答案：一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
四年级下数学思维训练教程
四年级下期第一讲加减混合运算的简算例1 计算：(1) 3205＋8749－6749(2) 9143－6287＋5287解：(1) 观察发现, 加数8749 与减数6749 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。
因为加数大减数小, 抵消后的数还是加数, 所以3205＋8749－6749＝3205＋(8749－6749)＝3205＋2000＝5205(2) 观察发现, 减数6287 与加数5287 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。
因为减数大加数小, 抵消后的数还是减数, 所以9143－6287＋5287＝9143－(6287－5287)＝6143－1000从上面两题可以发现：加减混合运算, 为了使计算简便而需要添上括号时, 如果在加号后面添上括号, 括号里面的数不必改变运算符号；如果在减号后面添上括号, 括号里面的数必须改变运算符号, 由加变成减, 由减变成加。
简单地说就是, 在添上括号时：加号后面添括号, 原来加减不变号；减号后面添括号, 原来加减要变号。
有时, 为了使计算简便, 需要去掉括号, 这条规则可以反过来用。
简单地说就是, 在去掉括号时：括号前面是加号, 原来加减不变号；括号前面是减号, 原来加减要变号。
例2 计算：(1) 1524＋(3476－1584)(2) 7369－(4369－1055)解：(1) 1524＋(3476－1583)＝1524＋3476－1583＝5000－1583＝3417(2) 7369－(4369－1055)＝7369－4369＋1055＝3000＋1055＝4055上面的例题，再一次印证了认真观察、善于思考的重要性，希望同学们能有意识、有目的地养成这种好习惯。
练习一1. 在○里填运算符号, 在横线上填数。
(1) 564－496＋196＝564－( ○)(2) 397＋748－548＝397＋( ○)(3) 843－567＋967＝843＋( ○)(4) 638＋293－593＝638－( ○)2. 用简便方法计算下面各题。
思维拓展第1课时《余数的应用》(教案)人教版四年级上册数学
思维拓展第1课时《余数的应用》（教案）人教版四年级上册数学教学内容：本节课主要学习余数的概念，掌握有余数的除法计算方法，并能将其应用于解决实际问题。
通过引入生活实例，让学生了解余数在实际生活中的应用，培养学生在解决具体问题时，能够运用所学的除法知识，求出余数，从而更好地解决问题。
教学目标：1. 理解余数的概念，掌握有余数的除法计算方法。
2. 能够将余数的知识应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，提高学生的逻辑思维能力和计算能力。
教学难点：1. 理解余数的概念，明确在除法算式中余数的含义。
2. 掌握有余数的除法计算方法，特别是除不尽时余数的处理。
3. 将余数的知识应用于解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
教具学具准备：1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔、教学视频等。
2. 学具：练习本、笔、计算器等。
教学过程：1. 导入：通过PPT课件展示一些生活实例，让学生了解余数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解余数的概念，让学生明确在除法算式中余数的含义。
通过讲解和举例，让学生掌握有余数的除法计算方法。
3. 案例分析：结合生活实例，让学生运用所学的除法知识，求出余数，从而解决问题。
通过案例分析，让学生进一步理解余数的概念和计算方法。
4. 小组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内交流讨论，分享自己在解决实际问题中运用余数知识的心得体会。
培养学生合作交流的学习习惯。
5. 课堂练习：布置一些关于余数的练习题，让学生独立完成。
通过课堂练习，巩固学生对余数的理解和计算方法的掌握。
6. 总结讲解：对学生在课堂练习中遇到的问题进行总结讲解，帮助学生巩固所学知识。
7. 课后作业布置：布置一些关于余数的课后作业，让学生在家中独立完成。
通过课后作业，让学生将所学知识应用于实际问题，提高问题解决能力。
板书设计：1. 《余数的应用》2. 教学目标：理解余数的概念，掌握有余数的除法计算方法，能够将余数的知识应用于解决实际问题。
小升初数学思维拓展专项训练 专题8带余除法
专题8-带余除法小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。
当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。
【典例一】所有被4除余1的两位数的和为（）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229【分析】本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．【解答】解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．【点评】本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．【典例二】一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．【分析】设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．【解答】解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．【点评】此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【典例三】对于两个自然数a和()=，6△180≠，较大数除以较小数，余数记为a△b，5△21b a bx==，若13△2且x为两位数，求x．【分析】根据题意，可知两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a△b，这是一种新的计数方法，再根据我们学习的有关有余数的除法就可以求出结果．【解答】解：因为521=；÷⋯，所以5△21因为1863=；÷=，所以6△180若13△2x≠，即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两x=，我们不知道13和x哪个大（根据题意可知，13)种情况讨论．（1）当11x=．-=，可知x整除11，x是两位数，则11x<，这时x除13余2，13211（2）13x>，这时13除x余2，这说明x是13的倍数加2，所以x可以为：⨯+=，136280⨯+=；⨯+=，135267⨯+=，137293⨯+=，13324113215+=，132228⨯+=，134254因此13△2x=，15，28，41，54，67，80，93．x=有8个解，11【点评】解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算．一．选择题（共6小题）1．小华在计算除法时，把除数87写成78，结果得到商是64，还余54，正确的商应该是()A．54B．58C．64D．872．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵()人．A．108B．102C．107D．1093．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
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第四讲余数问题姓名
除法和余数
例1、你能填出每组题里的数吗？
32÷=6...35÷ =4...
42÷ =8... 59÷ =7...
47÷ =9... 75÷ =9...
例2、找相同的余数。
28 ÷ = ...4 50 ÷ = (5)
40÷ = ...4 68÷ = (5)
52 ÷ = ...4 86÷ = (5)
例3、写除数相同，余数也相同的除法算式。
例4、下面每一组除法算式的被除数相同吗？
÷ 5=7...4 ÷ 5=14 (4)
÷ 7=5...4 ÷ 7=10 (4)
÷ 9=8..3 ÷ 9=12 (3)
÷ 4=18...3 ÷ 4=27 (3)
例5、被除数相同，余数也相同的除法算式，被除数与余数的差同两个除数之间有什么关系？
29÷ 6=4...5 53÷ 6=8 (5)
29÷ 8=3...5 53÷ 8=6 (5)
76÷ 6=12...4 99÷ 6=16 (3)
76÷ 8=9...4 99÷ 8=12 (3)
例6、找相同的被除数。
÷ 5= ...3 ÷ 3= (2)
÷ 5= ...3 ÷ 3= (2)
÷ 5= ...3 ÷ 3= (2)
例7、篮子里有一些苹果，三个三个地数还多一个，五个五个地数也多一个，六个六个地数也多一个，篮子里至少有多少个苹果？
周期和余数
例1、一些图形排列如下，求第100个、第200个各是什么图形？
△□□○○○△□□○○○ ......
例2、一些图形排列如下，共有202个图形。
那么其中有多少个△？多少个□？多少个○？
△□□○○○△□□○○○……
例3、2003年8月31日是星期日，2004年8月31日是星期几？
例4、一个2006位数，每一位上的数字都是1，求这个数除以6所得余数是几？商的末位数字是几？
举一反三：
每题ΔΔΔΔΔ
1、果农按照种1棵苹果树、2棵梨树、3棵桃树这样的顺序共种了100棵树，那么最后一棵应种什么树？这三种树各种了多少棵？
2、48个图形排列如下：○○□□□○○□□□……求最后一个什么图形？两种图形各几个？
3、有一列数：4，1，3，2，4，1，3，2，4，1，3，2， (1)
第100个数是几？（2）第123个数是几？这123个数的和是多少？
******
1、有一列数：3，4，7，8，8，3，4，7，8，8，……第124个数是多少？这124个数的和是多少？
2、1993
１９９３（1993个1993相乘），结果个位数是几？
3、一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…… 第2000个数是偶数还是奇数？这2000个数中，共有多少个偶数？多少个奇数？
@@@@@@
1、98×98×98×98…… 共2004个98相乘，求积的个位。
2、一个2006位数，每一位上的数字都是1，求这个数除以13所得余数是几？商的末位数字是几？
3、所有的自然数排列如下。
求2009应出现在哪个字母所在的一列？它在第几行？ A B C D E
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18 19 ……。