6尾数和余数
五年级数学奥数讲解
第1讲平均数(一)一、知识要点把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量×平均数二、精讲精练【例题1】有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。
一箱苹果多少个？【思路导航】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）由（1）（2）两个等式可知：1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。
1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）练习1：1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。
问：甲、丁各得多少分？2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克？3.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。
三个小组各植树多少棵？【例题2】一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。
求这个班男生有多少人？【思路导航】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。
数字的整除关系了解整除和余数的概念
数字的整除关系了解整除和余数的概念数字的整除关系：了解整除和余数的概念数字的整除关系是数学中的基础概念之一，它涉及到整除和余数两个重要概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，而余数是指一个数除以另一个数后所剩下的不足以再次整除的部分。
本文将详细介绍整除和余数的概念、性质及其在数学中的应用。
一、整除的概念和性质1. 整除的定义整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是在除法中除数除尽的情况。
例如，4能够整除8，表示为8÷4=2，因为4乘以2等于8，没有余数。
2. 整除的性质（1）零的特殊性：任何数都能被0整除，即0除以任何非零数结果为0。
（2）整除的传递性：如果一个数能被另一个数整除，而这个另一个数又能被另一个数整除，则第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果8能够整除4，而4能够整除2，则8也能够整除2。
（3）整除的除法效应：如果一个数能够整除两个数之和，那么它也能够整除这两个数的整数倍。
例如，如果6能够整除2和4的和，那么它也能够整除2和4的整数倍，即12、18、24等。
3. 除数与被除数的关系数学中，被除数可以是除数的倍数，也可以不是。
当被除数不是除数的倍数时，除法运算会产生余数。
二、余数的概念和性质余数是指两个数相除后所剩下的不足以再次整除的部分。
余数常用符号"mod"来表示，即a mod b表示a除以b的余数。
例如，9除以4，商为2余1，可以表示为9 mod 4 = 1。
1. 余数的性质（1）余数的范围：余数的范围始终为0到除数-1之间的非负整数。
（2）余数的性质：若a能够整除b，则a mod b = 0；若a不能整除b，则0 < a mod b < b。
2. 余数的运算性质（1）加减运算法则：(a ± b) mod n = (a mod n ± b mod n) mod n。
（2）乘法运算法则：(a × b) mod n = [(a mod n) × (b mod n)] mod n。
【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第一讲 尾数和余数 人教版(含答案)
第一讲尾数和余数第一部分：趣味数学兄弟分绢今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。
大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七点九匹。
”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。
”小弟日：“我得二兄绢各半，得满五点七匹。
”问兄弟本持绢各几何?——摘自《张邱建算经》。
据考证《张邱建算经》成书时代是在5世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。
《张邱建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有92个问题，内容继承了《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。
卷下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。
赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。
大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起就有7.9匹。
”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一半，与我有的绢合在一起是6.8匹。
”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起是5.7匹。
”问兄弟三人原来各有绢多少匹?分析：7.9匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；6.8匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；5.7匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；那么，7.9+6.8+5.7就包括大哥的绢2倍+二哥绢2倍+三弟的绢2倍；所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹），而7.9 × 2就包括大哥的绢2倍+二哥绢全部+三弟的绢全部7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。
同理：6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。
解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）7.9 × 2－10.2＝5.6（匹） 6.8 × 2－10.2＝3.4（匹） 5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）第二部分：奥数小练一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
第八讲：尾数和余数问题
◎配套作业: 配套作业:
《小学应用题训练营》P30页 小学应用题训练营》 页 配套训练一。 配套训练一。
五年级(上 五年级 上)
第八讲： 第八讲：尾数和余数问题
★应用题解题思路
找数量，问问题， 找数量，问问题， 正想到推鹊桥会。 正想到推鹊桥会。
★基础知识
自然书末位的数字叫自然数 的尾数.除法算式中 除法算式中,被除数减 的尾数 除法算式中 被除数减 去商与除数的积的差叫做余 数.尾数和余数在运算时是有 尾数和余数在运算时是有 一定规律的,利用这种规律可 一定规律的 利用这种规律可 以解决一些看似无从下手的 问题,解答这类问题 方法如下: 解答这类问题,方法如下 问题 解答这类问题 方法如下
★基本思路
1.根据题目中各数的特点 找出规律, 根据题目中各数的特点,找出规律 根据题目中各数的特点 找出规律 确定周期,根据周期再求问题 根据周期再求问题. 确定周期 根据周期再求问题 2.循环小数的问题 要通过计算得出 循环小数的问题,要通过计算得出 循环小数的问题 商,发现循环节是由哪几个数字组成 发现循环节是由哪几个数字组成 有几位,周期就是几 的,有几位 周期就是几 有几位 周期就是几. 3.求一串数除以某数得到的余数 可 求一串数除以某数得到的余数,可 求一串数除以某数得到的余数 通过试除,看前多少位能被这个数整 通过试除 看前多少位能被这个数整 还余多少,就把这个余下的数除以 除,还余多少 就把这个余下的数除以 还余多少 某数,就直接求出余数了 就直接求出余数了. 某数 就直接求出余数了
（拓展题型） 拓展题型）
这里44号字。
●模仿提升 模仿提升5-2
（拓展题型） 拓展题型）
这里44号字。
例6.
这里44号字 这里 号字. 号字
数论6尾数和完全平方数
第六讲尾数定律和完全平方数尾数定律：尾数：一个数的个位数字，是这个自然数除以10的余数，只有0、1、2、3、4、1、a的末位数字是0、1、5、6时，a n的尾数相同；2、a的末位数字是4和9时，a n的尾数分别是以4、6和9、1循环；3、a的末位数字是2、3、7、8时，a n的尾数分别以4个不同的数字循环出现，周期为4。
完全平方数：一个数若能写成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数。
完全平方数的基本性质有：1、完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6或9；2、完全平方数的末位数字若为0，则这个数尾部一定有连续偶数个0；3、完全平方数的因数个数一定是奇数。
完全平方数的判别方法：1、两个连续自然数的平方数之间不再有完全平方数。
2、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位数字必为偶数；若个位数字是6，其十位数字必为奇数。
3、一个整数如果除以3余2，那么这个数一定不是完全平方数；一个整数如果除以4余2或3，那么这个数一定不是完全平方数；一个整数如果除以5余2或3，那么这个数一定不是完全平方数；4、如果一个数的因数个数为奇数，那么这个数一定是完全平方数。
两个公式：平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）平方和公式：12+22+32+42+……+n2=n（n+1）（2n+1）÷6一、尾数定律：例1、求4787，34178，12693的个位数字。
例2、计算下列各数的个位数字。
4635+5281，45237×37321，479283×305—479例3、乘积1×2×3×…×（n—1）×n称为n的阶乘，记做n！。
求3！，1990！的个位数字。
二、完全平方数例1、指出下列各数哪几个是完全平方数：486 1156 4128例2、用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？例3、300乘以一个数a得到一个完全平方数，求a的最小值例4、1002—992+982—972+……+42—32+22—12例5、求32+42+52+62+72+82+92+102练习：1、求32009的个位数字。
五年级第十四讲尾数和余数
五年级奥数讲义第十四讲 尾数和余数一、学法指导尾数和余数在运算是有规律可寻的。
解答这类题目常用方法如下：1．要根据题目各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期数，再求问题。
2．循环小数的有关题目，要通过计算得出商，发现循环节是哪几个数字组成的，有几位，周期就是几。
3．求a n 的个位数字，要先取n=1，2，3，4，5，……发现这个数积的个位数字出现的规律。
4.求一串数除以某数的余数，要通过试除，看前多少位能被这个数整除，还余几，把这个余几组成的数除以某数，余数就求出来了。
5.在有余数的除法中，要求符合条件的除数，可以先用被除数减余数，得除数商的积，再将所得的结果分解质因数后组合相乘，使得到的积符合指定位数。
二、例题：例1、31999333333个⨯⨯⨯⨯⨯⨯乘积的个位数字是多少？例2、20022002的个位数字是几？例3、3÷7 商的小数点后面第2005位上的数字是几?例4、762003 + 252003 的末位数字是多少？例5、24123 × 35456 × 67789积的尾数是多少?例6、56835 × 7321 - 21415的尾数是多少？例7、有一串数排成一行，其中的第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，它们是：5，8，13，21，34，55，89，……那么，在这一串数中，第2004个数被3除后所得余数是几？三、 练习A 卷、基本能力训练1、342007343434343434个⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 积的尾数是多少?2、109除以一个两位数后余4, 适合条件的两位数有那些?3、把71化成小数,小数点后面第2002位上的数字是几?4、 520075555555555个 ÷13 余数是几?5、有一串数排成一行 4 , 5 , 9 , 14 , 23 , 37 , 60 ,97……这串数中第1000个数除以3 余数是几?6、111456 + 222456 + 555456 和的个位数字是几?7、1×2×3×4×5×……×998×999 积的个位数字是几?8、192099191919191919个⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 积的尾数是多少?9、3÷7 商的小数点后面第100位上的数字是几? 这100位数字的和是多少?10、1991111 × 1995222 × 1999333积的尾数是多少?B 卷、重点中学试题集锦1、19111 × 3152 + 5913的尾数是多少?2、2105 + 357 + 7493、10个3的连乘积减去5，所得差的个位数字是几？4、三个连续自然数之积的尾数中，最大的尾数与最小尾数之差是多少？5、1991个1991相乘的末两位数字是几？。
数字的整除和余数
数字的整除和余数数字的整除和余数是数学中基本的概念，它们在我们的日常生活和各个学科中都有着广泛的应用。
本文将介绍数字的整除和余数的概念，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、整除当某个数字能够被另一个数字整除时，我们称这个数字为被除数，另一个数字为除数。
如果一个数字能够被另一个数字整除，我们可以说这个数字是另一个数字的倍数。
例如，数字6能够被数字3整除，我们可以说6是3的倍数。
整除是数学中非常重要的概念，它有着广泛的应用。
在代数中，整除可以帮助我们简化分式，将一个分式约分为最简形式。
在数论中，整除可以用来研究数字的性质，例如质数与合数的区别，素数分解等。
在实际问题中，整除也有着重要的应用，例如在计算机科学中，整除常常用来判断两个数字之间的关系，或者用来解决最小公倍数和最大公约数的问题。
二、余数当一个数字无法被另一个数字整除时，我们将这个数字除以另一个数字得到的余数称为余数。
例如，当我们用数字10去除以数字3时，得到的商为3，余数为1。
这里的1就是10除以3的余数。
余数也是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在代数中，余数可以用来判断两个多项式是否能够整除。
在数论中，余数可以帮助我们判断数字的奇偶性，或者用来解决同余方程的问题。
在实际问题中，余数也具有重要的应用，例如在日历中，我们可以用余数来确定某个日期是星期几；在计算机科学中，余数常用于解决散列冲突的问题。
在进行数字的整除和余数运算时，我们可以使用取模运算符%来计算余数。
取模运算符可以返回两个数字相除的余数。
例如，10%3等于1，表示10除以3的余数为1。
综上所述，数字的整除和余数是数学中基本的概念，它们在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
通过理解和应用整除和余数的概念，我们能够更好地理解数字间的关系，并且能够在各个学科中应用它们解决问题。
五年级下册讲义 01讲 尾数和余数B版(含答案、奥数板块)--北师大版
尾数和余数【名师解析】自然数末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差。
尾数与余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
【例题精讲】例1、写出除333后余3的全部两位数。
练习、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？例2、9519...999个⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？练习、61201161...616161个⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？例3、 64...4444100÷个，当商是整数时，余数是多少？练习、1355 (5555)2001÷个，当商是整数时，余数是多少？例4、有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？练习、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这一串数字中，第1991个数被3除，所得的余数是几？例5、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？练习、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？例6、有一个自然数，用它分别去除70，98，143，都有余数（余数不为0），三个余数的和是25。
这个数是。
练习、有一个自然数，用它分别去除63，80，32都有余数，得到的三个余数的和是10,这个数是。
【选讲】有一个（大于1）数，除122，148，187得到相同的余数，这个数是。
练习、某个大于1的自然数分别去除442，297，210得到相同的余数，则该自然数是 。
【综合精练】1、写出除349后余4的全部两位数。
2、写出除1095后余3的全部三位数。
3、)3631(50)3631(...)3631()3631(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个积的尾数是几？4、9919...999个⨯⨯⨯⨯积的个位数是多少？5、下列各小题中，当商是整数时，余数各是多少？（1）46...666650÷ 个 （2）78 (8888)80÷个（3）744...44441000÷ 个 （4）51 (1111)1000÷个6、把71化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？7、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，...。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6尾数和余数
专题简析
自然数末位的数字称为自然数的尾数；被除数减去商与除数积的差叫作余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1、写出除333后余3的全部两位数。
举一反三1、
1、317除以一个两位数后余数是2，符合条件的两位数有哪些？
2、写出除349后余4的全部两位数。
3、写出除1095后余3的全部三位数。
例题2、（1）
9
5199999个⨯⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？ （2）
25
10013.0204252525253.03.03.03.0个个⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？
举一反三2：
1、
61
201161616161个⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？
2、()()()()
363150363136313631⨯⨯⨯⨯⨯⨯个积的尾数是几？
3、
9
9199999个⨯⨯⨯⨯⨯积的个位数是几？
例题3、644444
100÷
个当商是整数时，余数是几？
举一反三3：
1、13555555
2001÷
个，当商是整数时，余数是几？
2、下列各小题中，当商是整数里，余数各是多少？
（1） 46666650÷ 个 （2）788888
80÷
个
（3）74444441000÷ 个 （4）511111
1000÷
个
3、把7
1化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
例题4、有一列数，前两个数是3与4从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
举一反三4：
1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是几？
2、一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…。
这一列数的规律是第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3。
依次类推，这列数左起第1996个数被5除余数是几？
3、有一串数：5，8，13，21，34，55，89，…。
其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
例题5、已知甲除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？
（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？
（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？
举一反三5、
1、甲数除以5余3，乙数除以5余2，甲数比乙数大，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？
2、甲数除以9余7，乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲+乙+丙）÷9还有余数吗？
19941995 的余数是多少？
3、7
基础题
1、设
2
19912222个⨯⨯⨯⨯=N ，那么N 的末位数字是几？
2、18×28×…×98×108的积的尾数是几？
3、1×2×3×…×2019的积的尾数是几？
4、3555555
100÷
个当商是整数时，余数是几？
5、写出除156后余4的所有两位数。
6、甲数除以8余7，乙数除以8余6，丙数除以8余5，那么（甲+乙+丙）÷8的余数是几？
1、有一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即第一、第二个数都是1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第2003个数除以3的余数。
2、1994位数，各位上的数字都是3，它除以13，商的第200位（从左往右）数字是几？商的个位是几？
3、求
4
.01002.1964.04.04.02.12.12.1个个⨯⨯⨯-⨯⨯⨯差的尾数。
4、()()()()
49911994499149914991⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个积的尾数是几？
5、8个格子排成一个正方形，依次编号（如图所示），小玲将棋子放在3号格子上，顺时针方向前进245个格子后又倒退一个格子，这时棋子应在几号格子上？
6、1×2×…×100＋1×2×3×…×99＋…＋1×2×3＋1×2＋1的个位数字是几？。