小学四年级奥数 尾数和余数
尾数和余数问题
25×25×…×25- 18×18×…×18的个位数字是几？
2001个
2001个
• 熟能生巧： • 1、2、3、4、5
例5 444……4÷6，当商是整数时，余数是几？
100个4
4÷6＝□……4
100÷3＝33……1
44÷6＝7……2 444÷6＝74……0 4444÷6＝740……4 …… 3个4一个周期
余数是：
4
几个数的和、差、积除以一 个数所得的余数，和这几个数分 别除以这个数，所得的余数的和、 差、积的余数是相等的。
• 甲数除以11余7，乙数除以11余5 • （1）甲数与乙数的和除以11余几？ • （2）甲数与乙数的差除以11余几？ • （3）甲数与乙数的积除以11余几？
一个自然数的末位数字称为
自然数的尾数，如：
1285的尾数是5， 89747的尾数是7， 的尾数是0。
1、一位数的尾数是它本身。 例：
0的尾数是0 3的尾数为3， 9的尾数是9。
2、两数和的尾数，等于两个数尾数之和的尾 数.
如84＋95=179，两数和的尾数是9，正好 是84和 95的尾数4与5的和，即4＋5=9。
6、★规律：几个自然数的和、差、积的尾数 等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾 数。
例1⑴125×125×125×……×125 积的尾数是
几？
100个125
答案：
只要研究个位相乘的情况： 5
不管是多少个5相乘，个位总是5。9 9×9末尾是1 9×9×9末尾是9 9×9×9×9末尾是1 9×9×9×9×9末尾是9 ······ 200÷2=100 200个9相乘积的末尾是1.
3、两个数差的尾数，等于两个数尾数 之差，当尾数不够减时被减数的尾数 加10再减。如：324-225
小学奥数题目-四年级-数论-余数问题2
在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。
带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。
五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。
同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。
知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。
解题方法：1）逐步满足法。
列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。
这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。
2）最小公倍数法。
该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。
重点在于转换问题的方法。
某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。
聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。
求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。
(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。
第2讲 尾数和余数.(7.4)
第二讲尾余问题专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例1：125×125×125×……×125[100个25] 积的尾数是练习：（1）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是（2）（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是例2 ： 4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是练习：（1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是（2）1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是例3：把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是练习：把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字是例4：写出除213后余3的全部两位数。
练习：写出除109后余4的全部两位数。
例5 ： 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是练习：1444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是第二讲：当堂作业1、24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是2、1×2×3×…×98×99，积的尾数是3、94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是4、5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是5、有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
四年级奥数 除法与余数
要指 的是余数 问题 中涉 及 到 的 些 周 期 问题 & 期 问题 余数原理 等等
余数 原理
自若 B 个 数 的 和 ( 差 或 积 ) 除 以 个数所得 的余数等于这 若干 个 数分 别 除 以这 个 数所 得 余数 的和 ( 差或 积 ) 所得 的数 除 以这 个数所得 的余数
(2 ) ? 1从î 个数 同 时 除 以 同 个数 若得到 的余数相 同 则这 两 个 数 的 差 定 能被这 个数整除
- 自 2 0 l 伙 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i ' 荧J山 四 年 级 第 五 讲
第五 讲 除法 与余数
知识要点
木 讲 1 的 除法 主要指 的是 带余除法 即带余数的除法 两个整 数相 除时 (除
教不 为0 ) 它 们 的 商不 是整数 可 以表示 为 被除数 + 除数= 商
余数
山日 为 j IJ 论 占便 和统 也将两个整数整 除时称 为余数是 0 而 余 数 我们 主
í到7 今 人 I 川j 六 那 么 从 明天 起 第 36 5 天 是星 期几 ? 解析 题 中所 说 的 第36 5 天 不 包括 今 天 在 内 是说 从 今 天 之 后 的 第 36 5 天
所 以 周期排 到应 该 是 星期天 星期 星期二 星期三 星期 四 星期五
星期六
365 Ï 7 - 52 ( 星期 )
歹lj ó 彼:s 教 除 数 1 1 余数 的总和 是 100 已知 商是 12 余数 是 5 求 被除数与 除数 !
解 析 由 题 意 可 知 被 除 数 + 除 数 = 100 12 5 - 83 而 被 除 数 又 是 除 数 的 12 倍 还 要 多5 朴 居和 倍 问题 可 得
奥数数论：余数问题要点及解题技巧
奥数数论：余数问题要点及解题技巧(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除奥数数论：余数问题要点及解题技巧一、基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数，q叫做a除以b的不完全商。
二、余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
三、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
四、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；五、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；六、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
四年级奥数竞赛班第六讲 巧用余数
根据：被除数=除数×商+余数这个性质 来求解。 解 A÷B=8…16，所以A=8B+16,因为 A+B+8+16=769,所以8B+16 +B+8+16=769， 于是B=81,所以被除数A=8×81+16=664. 答：被除数为664.
例6 小马虎做一道除法题时，把被除 数169看成196，结果余数相同,但商比 原来多9.求除数是多少？
例9 甲数除以13余7，乙数除以13余9， 现将甲乙两数相乘，积除以13应余多 少？
分析 甲数=13商+7，乙数=13商+9， 甲数×乙数=（13商+7）×（13商+9）=169×商×商 +13×9×商+7×13×商+7×9=169商×商+208×商 +63 所以甲与乙的积除以13的余数相当于63除以13的余数， 于是余数是11. 解 甲×乙÷13的余数相当于63除以13的余数，所以余 数是11. 答：余数是11.
例10 某个自然数，被3除余2，被5除余 4，被7除余6，这个自然数最小是多少？
分析 这个数加1就能被3、5、7整除.先求能同 时被3，5，7同时整除的自然数. 解 这个数加1就能被3、5、7整除.能被3、5、 7整除的最小自然数是3×5×7=105，所以这 个数应该是105-1=104. 答：这个自然数最小是104.
分析 根据：被除数=除数×商+余数这个性质来求解。 解 这个数=84×商＋70，（84×商＋70） ÷28=84×商÷28+70÷28=3商+70÷28，所以这 个数除以28的余数相当于70除以28的余数，于是余 数是14. 答：余数是14.
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a 或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
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尾数和余数
知识点：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例1：178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？
变式训练：写出除213后余3的全部两位数。
例题2：（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？
变式训练：①1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
②（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？
例题3：
9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
变式训练：（1）24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？
（2）1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
例题4：把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
变式训练：把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
变式训练2 有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
例题5 555...55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？
变式训练 444...4÷6【100个4】，当商是整数时，余数是几？
2.当商是整数时，余数各是几？
（2）444...4÷74【200个4】
观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52018的末四位数字为__．
课后练习
1写出除109后余4的全部两位数。
2.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…49[101个49]，差的个位是多少？
3.5/7写成循环小数后，小数点后的第50个数字是几？
4.当商是整数时，余数各是几？
（1）888...8÷7【200个8】
（2）666...6÷4 【100个6】
5.有一列数，前两个数是3与4，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？。