第三章 二级圆柱齿轮减速器的优化设计

第三章 二级圆柱齿轮减速器的优化设计3．1 减速器的数学模型二级圆柱齿轮减速器的装配形式按输入轴和输出轴伸出端的不同可分为好几种类别。

现选取其中异端输出的方式进行优化设计。

其装配简图如图3－1所示：已知参数为传动比i (T ｒansmiss ｉonRatio ）,输入功率P ｋw(In ｐutEfficiency ），主动齿轮转速ｎ r/min （In ｉｔia ｔiveG ｅa ｒRo ｔa ｔion ａｌSpeed),求在零件的强度和刚度得大齿轮选用腹板结构的齿轮 （如图3-２所示）)ﻩ ﻩ ﻩ轮宽度 B m ｍ (ＧearWi ｄth)腹板式结构的齿轮体积为：()()()22222220340320.30.364444dcl BBB V D D D D D D D B ππππ=-+-+--⨯⨯ 小齿轮均采用实心结构(如图3-３所示）实心结构齿轮的体积为:()2214xcl bV d d π=-⨯轴一的体积为：21114zhou zhou V d l π= 轴二的体积为：22224zhou zhou V d l π= 轴三的体积为：23334zhou zhou V d l π=由于齿轮和轴的尺寸是决定减速器总成大小和质量的原始依据,因此可按它们的体积之和为最小的原则来建立目标函数,而不考虑箱体和轴承的体积或质量。

根据以上所述,则齿轮及轴的体积和可近似的表达为()()()()()()123123221222222203403222122040.30.36444444all cl zhoucl cl zhou zhou zhou xcl dcl xcl dcl zhou zhou zhou V V V V V V V V V V V V V V V b d d B B B D D D D D D D B bd d B D D D πππππππI II I I II II I I I I I I I I I I I I I II II II II II II =+=++++=++++++=-⨯+-+-+--⨯⨯+-⨯+-+()()22222340322221122330.30.36444444zhou zhou zhou B B D D D D B d l d l d l ππππππII II II II II II II -+--⨯⨯+++公式中:()0031203345820.31.6b B d m z D m z i D m z i m D D D D D D D D I I I I I I I I II I I I II I I I I I I I =+===-+==-=i i i II I=ﻫ()0031203345820.31.6b B d m z D m z i D m z i m D D D D D D D D II II II II II II II II IIII II II II II II II II II II II II II =+===-+==-=ﻫ 11412342zhou zhou zhou d d D d d d D I I II II =+== 由上式可以看出，若传动比i 已知，则齿轮和轴的体积之和all V 仅由齿宽B I ,B II ,小齿轮齿数z I ，z II ，模数m I ,m II ,齿轮装配孔直径1d I ，4D I ,1d II ，4D II ，齿轮在两轴承间的支承距离1l ，2l ,3l 设为相等取为l ，和齿轮的各级传动齿轮的传动比i I ，i II 所决定。

即为这些参数的函数：()44,,,,,,,,,,V f B B z z m m d D d D l i I II I II I II I I II II I =，代入各条件得：()()()()()()()()()()()()()()()()222212222444242222158440.31.68 1.6441.80.38 1.6458441.all B B V m z d m z i m z i m B B D D m z i m D B m z i m D B B i im z d m z m z m i i πππππππI II I I I I I I I I I III I I I I I I II I I I I II IIII II II I II II II II I I +=-⨯+--⨯+-⨯+--⨯---⨯⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+()()()222244424222214140.368 1.6441.80.38 1.644884B B i D D m z m D i B im z m D i d l D l d l D lπππππππII IIII II II II II II I II II II II II I I I II II ⎛⎫⎛⎫ ⎪-⨯+--⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫---⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++若取它们为设计变量并表达为1234567184914101112x B x B x z x z x m x m X x d x D x d D x l x i x I II I II I II I I II II I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则目标函数可写为()()123456789101112,,,,,,,,,,,f X V f x x x x x x x x x x x x ==即为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222121537531253125222211885312582153125822222264964646121222101058440.31.68 1.6441.80.38 1.6458441.6x x f X x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xi ix x x x x x x x x x x x πππππππ+=-⨯+--⨯+-⨯+--⨯---⨯⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⨯()22226461012226461012222271181191110110.38 1.6441.80.38 1.644884x x i x x x x x x ix x x x x x x x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪+--⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫---⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++3．2 计算传动装置的运动和动力参数 （1） 各轴转速()()()11223min min min zhou zhou zhou zhou zhou n n r n nn r i i n nn r i iI I II ===== （2） 各轴输入功率()()()()1211212321212123112121zhou zhou zhou zhou zhou shucu zhou P P kW P P P kW P P P kW P P P kW ηηηηηηηηηηηηηηηη==⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（3） 各轴输入转矩()()111211212955095509550zhou zhou zhou zhou zhou P PT N m n nPT T i i N m nηηηηI I =⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯()()2232121232311295509550zhou zhou shucu zhou PT T i i N m nPT T i N m nηηηηηηηII =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯3.３ 减速器常规参数的设定（1） 压力角的选择由《机械原理》可知，增大压力角α，轮齿的厚度及节点处的齿廓曲率半径亦皆随之增加,有利于提高齿轮传动的弯曲强度及接触强度。

我国对一般用途的齿轮传动规定标准压力角为20α=（2） 齿顶高系数和顶隙系数我国已标准化,其值齿顶高系数为*1a h =,顶隙系数为*0.25c =（3） 齿轮材料的确定及其各项参数我们设计二级圆柱齿轮减速器材料一般定为小齿轮为40Cr(调质），硬度为28０HBS,大齿轮定为45钢(调质）,硬度为24０HB Ｓ,二者的硬度差为40 HB Ｓ。

（4） 设计的二级圆柱齿轮减速器为一般工作机械，故选用７级精度。

3.４ 约束条件的确定（1） 确定设计变量的上下界限综合考虑传动平稳,轴向力不可太大，能满足短期过载,高速级与低速级大齿轮浸油深度大致相近，轴齿轮的分度圆尺寸不能太小等因素，取ﻫ14221622253.565.87z z m m i I II I II I ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤因此建立10个不等式约束条件()()()()()132334445514022016022020g X x g X x g X x g X x g X x =-≤=-≤=-≤=-≤=-≤ ()()()()()6576869121012503.50605.8070g X x g X x g X x g X x g X x =-≤=-≤=-≤=-≤=-≤（2） 相对齿宽条件由齿轮的强度计算公式可知,齿轮愈宽，承载能力愈高，因而齿轮不宜过窄；但 增大齿宽又会使齿面上的载荷更趋不均匀，故齿宽系数应取得适当。

由《机械设计》 表10－７知，当两支承相对小齿轮作不对称布置时，齿宽系数d φ取0.７~1.１5。

ﻫ 又d BDφ=故：0.7 1.15B B D m z I I I ≤=≤,则有， ()()()()111351123521346214461.1500.701.1500.70x g X x x x g X x x x g X x x x g X x x =-≤=-≤=-≤=-≤（3） 按高速级大齿轮与低速轴不干涉的条件22m z m z i m z i m E II II II II II I I II +-≥+，其中E 为低速轴轴线与高速级大齿轮齿顶圆之间的距离，取E=5ｍm 。

将式用设计变量代换得：()()155464612351225/0g X x x x x x i x x x x =+--+≤（4） 齿轮的接触应力应不大于其许用值由《机械设计》公式10-8a 知齿轮接触疲劳强度的校核公式为[]2.5H H Z σσ=≤ 由《机械设计》表10－6可知，弹性影响系数为1/2189.8E Z MPa =齿轮强度载荷系数A V K K K K K αβ= 其中 A K —— 使用系数V K —— 动载系数K α—— 齿间载荷分配系数 K β—— 齿向载荷分配系数使用系数A K 是考虑齿轮啮合时外部因素引起的附加动载荷影响的系数，由《机械设计》表10－2知道，减速机均匀平稳工作时 1.25A K =已知选用7级精度齿轮， 动载系数V K 见《机械设计》图10-８,可利用Matlab 曲线拟合得到曲线的公式， 其中()/60000dnv m s π=，M ａtlab 源程序为：ｖ=[0,１.75,3，6,8,10，20，30,40,50，60,7０］;k=[1.０,１.０５,1.1,1.１５,1.17，1.１８5,1．25,1.3，１.３4，１．3５,1.３5,1.３5]; p=po ｌyfit(v ，k,6)； p （1) p （2） ｐ（３) p （４) p(５) ｐ(6) p(7)x ＝0:2.５：70;y=p(1).*x.^6+p(2）.*ｘ.^5+ p(3).*x.^４+p （4)．*x.^3+p(５).*x.^2+p(６).＊x+p(7)； ｓub ｐl ｏt （２,1,1）;pl ｏt(v,k,'ｋ:diamond');grid on;subp ｌot （2，1,2)；plot(x,ｙ,＇r ：square')； g ｒid on;得到系数值为 ans ＝－1.4０９0e-010 an ｓ =3.30９９e-０08 ans =-3．０013ｅ-006 ａｎｓ =１．3206e －０04 a ｎｓ = -0.0030 ans =０.0３84 ans =0.９9９3效果图如图3-4所示:得到()4-106856432-1.409010 3.309910 3.0013101.3206100.00300.03840.9993v K f v v v v v v v ---==⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯+对于精度为7级的齿轮而言，经表面硬化处理由《机械设计》表１0-３知齿间载荷分布系数取为 1.2H F K K αα==由《机械设计》表10-4查得7级精度，小齿轮相对支承非对称布置时，()22331.120.1810.60.2310 1.4080.2310H d d K b b βφφ--=+++⨯=+⨯,齿高*22a h h m m ==得/2bb h m=故由《机械设计》图10－13得齿向载荷分布系数 ()22331.120.1810.60.2310 1.4080.2310F d d K b b βφφ--≈+++⨯=+⨯ 2t T F d=待入各参数值,得到以下四个不等式：()16474.5540g X =≤()()()171819474.5522.5474.5540474.5g X g X g X =≤=≤=522.5≤ （5） 齿轮的弯曲应力应不大于其许用值由《机械设计》公式10-5知,齿根危险截面的弯曲强度条件式为 []13212Fa SaF F d KTY Y m z σσφ=≤ 齿形系数Fa Y 及应力校正系数Sa Y 可由《机械设计》表1０－５知与齿轮齿数有关可以通过Ｍａtlab 曲线拟合的方法进行公式化；Sa Y 的拟合源程序:ｚ=[１7,1８,19,20,21,２2,23,24，２5,2６，2７,28，２9,30，35，40,45,50,60,７0，80,9０，１0０,150,200]；y ｓa=[1.52,１.53，１.54,１.55,１．５6,1.57,1.575,1.５８,１.59,１.5９５,1.６0,1.61,1.６２，１.625,1．65,１．6７，１.6８，１．70,1.７3,1.75，1.77,1.78,1.79,１.８３,１．865,];y ２=pol ｙｆi ｔ(z ，ysa,５); y ２x=17:１：20０;subpl ｏt(2,２,2);plot(ｚ,ysa)； subplo ｔ(２，２,4）；plot （ｚ,ｙsa,'ro',ｘ,y2(1).＊ｘ.^５+y2（2）.＊ｘ.^4+y ２（3).*x.＾3+y2(４).*x.＾2+y2(5).*x+y2(６))；x=[17,18,1９,2０,2１，22,２3,２４,25，26,２7,28，２９,30,35，40,45,５0,60,70，８0,9０,100,１5０,２00]y2（1).*x ．^5+ｙ2(2)．＊x.^4+y ２(3).*x.^3+y ２(4）.*x.^2+y ２(5).*x+ｙ2（６) y2（1) ｙ2(2) y2(3) y2(4) y ２(5) y ２(6)得到系数为： ans =2.4308e-0１1 ans =-1.35５3e －008 an ｓ =2.8９8９ｅ-００６ ans ＝－3．0694e-００4 an ｓ =0.01７8 a ｎs =1.2９53 得到拟合公式为:1158463422.430810 1.355310 2.8989103.0694100.0178 1.2953Sa Y x x x x x ----=⨯-⨯+⨯-⨯++Fa Y 拟合的源程序：dat ａ=[１7,2．97； 18，2.91; 19,2．８5；2１，2.７6;２2,2．７2；23,2.6９；2４，2.６５;25,2．６2;26,2.60;27,2.57;２８,２．５５；29,2.53；３０，２.5２;3５,2.45;40,2．４0;4５,2.35;５0,2.32;60,２.2８;70,２.24;8０,2．22;90，2.20;１０0,2．18;150,2.１4;2００,２.12］;iｎｉt＿ｌaｍｂda＝[0,0];lａmｂdａ=fminsearｃh('ｆun_e3',init＿lamｂda,[]，data);x＝data(:，1);y=daｔa(:,2);A＝[eｘp(lambｄa(1)*ｘ)exp(laｍbdａ(２)＊ｘ）];ａ＝A\y；estiｍaｔｅｄ_y=a(1)＊exｐ(lａmbｄa(1)*x)＋ａ(２)＊ｅｘp(lａｍbda(2）＊x) subｐlｏt(2，2,1）；plot（x，y)；subpｌot(2，２,3);plot(x,y,＇ro',x,ｅsｔiｍated_y,'b－')lａｍbda(1)ｌaｍbｄa(２)a(１)ａ(2)得到系数为:ａｎｓ=-4.86３9e－００4ａns =-0．0794aｎｓ=２.313５anｓ=得到拟合公式为:44.8639100.07942.3135 2.5255xx Fa Y e e --⨯-=⨯+⨯效果图如图3-5所示：待入各参数值可得到以下四个不等式：()()()()()()()()()()()5311332021535312121231231221215312641222422360000303.57360000238.86360000v zhou Fa Sa v zhou Fa Sa v zhou Fa x x n K K x T Y x Y x g X x x x n x x x xK K x T Y x x Y x x g X x x x x n x x x K K x T Y x g X βββπππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=≤⎛⎫⎪⎪⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=≤⎛⎫ ⎪⎪⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=()()()4226464122344121223226412303.57360000238.86Sa v zhou Fa Sa Y x x x x n x x xi i K K x T Y x Y x x x g X i x x x x βπ≤⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭=≤⎛⎫ ⎪⎝⎭（6） 轴的弯扭强度校核计算由《机械设计》公式15-50知,轴的弯扭合成强度条件为[]1caσσ-==≤ca σ——轴的计算应力，单位为M ｐa;Ｍ——轴所受的弯矩,单位为N mm如图3-6所示为第二根轴的水平面或垂直面上的受力分析简图，则易知总弯矩的公式为: 小齿轮处的弯矩()()2222232322222942sec 9zhou H V t t r r zhou zhou l M M M f f f f T T l m z m z i αII II I I I=+=-+-=-大齿轮处的弯矩()()2222232322222924sec 9zhou H V t t r r zhou zhou lM M M f f f f T T l m z m z i αII II I I I=+=-+-=-f 1f 2f 3M max =2f 2l/9f t ＝2T 1/d 1f r ＝F t tan αf n ＝F t /cos α图3－7图3-7为第一根轴的受力分析示意图 易知第一根轴的总弯矩公式221122sec 9zhou zhou H V T l M M M m z αI I=+=同理可知第三根轴的总弯矩公式为223322sec 9zhou zhou H V T l M M M im z i αII III=+=T ——轴所受的扭矩，单位为 N mm Ｗ——轴的抗弯截面系数,单位为3mm330.132d W d π==因为扭转切应力为脉动循环变应力,故0.6α=,待入各变量可得到以下4个不等式:()24760g X =≤ ()()()2582692710606060g X g X g X =≤=≤=≤（7） 两轴承支承距离l 最小限额尺寸 由于轴的长度除了满足安装齿轮外，还需满足安装轴承，齿轮间的间隙和轴承台阶部分的长度等,所以min max l l B B l I II ≤--≤,取min l =80ｍｍ； max l =１50mm ；代入变量得到：()()2812112912118001500g X x x x g X x x x =+-+≤=--+-≤由上分析可知可得到3４个约束条件。