高中数学 3.1.2空间向量的基本定理课件 新人教B版选修2-1
C'
A a B
b
C
r r r ar+ br+ cr −r + r + r a b c −r − r + r a b c a −b+c
例4．已知空间四边形 ．已知空间四边形OABC，M、N分别 ， 、 分别
uuu r uuu r uuur r r r MG=2GN，设 OA = a, OB = b, OC = c ， r r r uuur 试用基底 {a , b , c} 表示向量 OG.
过点 P 作直线 PP’//OC， ， 交平面 OAB 于点 P’， ， 在平面 OAB 内， P’作直线 P’A’//OB， P’B’//OA， 过 作直线 ， ， 分别与直线 OA，OB 相交于点 A’，B’， ， ， ， 于 是 存 在 三 个 实 数 x ， y， z ， 使
uuur uuu r r uuuu r uuu r r uuuu r uuur r OA ' = xOA = xa, OB ' = yOB = yb, OC ' = zOC = zc,
所以， 共面． 所以，点 P 与 A, B, C 共面．
B
例3．平行六面体 ．平行六面体ABCD－A’B’C’D’，设 － ， r r r uuu r uuur r uuur r r AB = a, AD = b, AA ' = c 试用基底 {a , b , c} uuuu uuuu uuur uuuu r r r 表示如下的向量： 表示如下的向量： ', BD ', CA ', DB ' AC
r r r r r r 对空间任意两个向量 a , b (b ≠ 0), a // b 的 r r 充要条件是存在唯一的 唯一的实数 充要条件是存在唯一的实数 λ ，使 a = λb ．
推论： 推论：如果 l 为经过已知点 A ，且平行于已知向
r 量 a 的直线， 的直线，那么对任一点 O ，点 P 在直线 l 上
D
2．已知点 O、A、B、C 为空间不共面的四点， ． 、 、 、 为空间不共面的四点，
r r 且向量 a = OA + OB + OC ，向量 b = OA + OB － r r OC ，则与 a 、 b 不能构成空间基底的向量是
（ C ） B． OB ． D． OA 或 OB ．
A． OA ． C． OC ．
r r 1 3．已知向量 a =（8， x，x） b =（x，1，2） ． （ ， ，） ， （ ，，） ，
2
r r 其中 x＞0．若 a ∥ b ，则 x 的值为 ( B ＞ ．
A．8 ． C．2 ． B．4 ． D．0 ．
)
三点不共线， 例2．已知 ，B，C三点不共线，对平面外 ．已知A， ， 三点不共线 试判断： 是否一定共面？ 试判断：点P与A，B，C是否一定共面？ 与 ， ， 是否一定共面
F N
E
r r 1 uuur uuu uuu 1 uuur uuur A = ( DC + DA) + CD + ( AD + DE ) 3 3 r 2 uuu 1 uuur M = CD + DE B 3 3
D C
通常我们把平行于同一平面的向量， 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做 共面向量． 共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理： ．共面向量定理：
（1） 共面向量的定义 ）
r r r r r 不共线， 如果两个向量 a , b 不共线， p 与向量 a , b 共面 r r r 的充要条件是存在实数 的充要条件是存在实数 x, y 使 p = xa + yb ．
uuu 1 uuu 2 uuu 2 uuur r r r 任一点O，满足条件， 任一点 ，满足条件， = OA + OB + OC OP 5 5 5
uuu uuu r r uuu r uuur 由题意： 解：由题意： 5OP = OA + 2OB + 2OC ， uuu uuu r r uuu uuu r r uuur uuu r ∴ (OP − OA) = 2(OB − OP ) + 2(OC − OP ) ， uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ∴ AP = 2 PB + 2 PC ，即 PA = −2 PB − 2 PC ，
3.1.2空间向量的基本定理 空间向量的基本定理
1．共线（平行）向量： ．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直 互相平行或重合，则这些向量叫做共线 线互相平行或重合，则这些向量叫做共线 r r 向量或平行向量。 向量或平行向量。 a // b 2．共线向量定理： ．共线向量定理：
O M G A N B
是对边OA、 的中点 的中点， 是对边 、BC的中点，点G在MN上，且 在 上
uuur 1 r 1 r 1 r OG = a + b + c 6 3 3
C
例5．已知□ABCD，从平面外一点 引向 ． ，从平面外一点O引向 uuu uuu uuu r r r uuu uuur uuu uuuu uuu r r r r 量 OE = kOA, OF = KOB, OG = kOC, OH = kOD 四点共面； （1）求证：E, F, G, H四点共面； ）求证： 四点共面 （2）平面 平面EG． ）平面AC//平面 ． 平面
因此
uuu uuur uuuu uuuu r r r uuu r uuu r uuur OP = OA ' + OB ' + OC ' = xOA + yOB + zOC ， uuu r r r r 即 OP = xa + yb + zc 。 uuu r r r r r r r 如果 OP = xa + yb + zc = x ' a + y ' b + z ' c ，
r r 类比到空间向量， 件是 a = λ b ，类比到空间向量，即有
不共线， 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线，那么 向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有序实数
u r u r r 组 ( x, y ) ，使得 p = xα + yb
这就是说， 这就是说，向量 p 可以由不共线的两个向量 a, b 线性表示。 线性表示。
5．空间向量分解定理 ．
r r r 空间向量的分解定理： 空间向量的分解定理： 如果三个向量 a ，b ，c 不 u r 共面， 共面，那么对于空间任一向量 p ，存在一个惟一 u r r r r 的有序实数组 x，y，z，使 p = xa + yb + zc 。 ， ，，
r r r 证明： 不共面， 证明：设向量 a ， b ， c 不共面，过点 O 作 uuu r uuu r uuur r uuu u r r r r OA = a, OB = b, OC = c, OP = p ，
的充要条件是存在实数 t ，满足等式
uuu uuu uuu r r r r OP = OA + t AB ① ，其中向量 a 叫做直线 l 的 uuu r r 方向向量。 方向向量 。 在 l 上取 AB = a ， 则 ① 式可化为 r uuu uuu r r uuu uuu uuu uuu r r r OP = OA + t AB 或 OP = (1 − t )OA + tOB ②
由上述定理可知， 由上述定理可知，空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底。 的向量都可以构成空间的一个基底。
6．空间向量的基底 ．
例1．已知斜三棱柱 ．已知斜三棱柱ABC－A’B’C’，设 － ， uuu r uuur r uuur r r AB = a, AC = b, AA ' = c 在面对角线AC’上和棱 上分别取点M和 在面对角线 上和棱BC上分别取点 和 上和棱 上分别取点 uuuu r uuuu uuur r uuu r N，使得 AM = k AC ', BN = k BC (0 ≤ k ≤ 1) ， r r uuuu r 求证： 共面。 求证： MN 与向量 a ，c 共面。
H E D A B F C O
G
和矩形ADEF 例6．如图，已知矩形 ．如图，已知矩形ABCD和矩形 和矩形 所在平面互相垂直， 所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线 分别在对角线
1 1 BD,AE上，且 BM = BD, AN = AE 上 3 3
求证： 平面CDE 求证：MN//平面 平面 uuuu uuur uuu uuur r r MN = MB + BA + AN
推论：空间一点 位于平面 位于平面MAB内的充分 推论：空间一点P位于平面 内的充分 必要条件是存在有序实数对(x, ， 必要条件是存在有序实数对 y)，使
uuur uuur uuur MP = xMA + yMB
(2) 共面向量的判定
平面向量中， 平面向量中，向量 a 与非零向量 b 共线的充要条
①和②都叫空间直线的向量参数方程 都叫空间直线的向量参数方程. 向量参数方程
3．向量与平面平行： ．向量与平面平行： 平行
uuu r r r 已知平面 α 和向量 a ，作 OA = a ，如果
直线 OA 平行于 α 或在 α 内，那么我们说向量
r r a 平行于平面 α ，记作： a / /α ． 记作：
则 x=x’，y=y’，z=z’. ， ， 这也证明了上述表达式是惟一的。 这也证明了上述表达式是惟一的。
《空间向量的基本定理》课件2-优质公开课-人教B版选修2-1精品
1.可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位 置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组 （x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算 作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2.推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面.
数学运用 例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c
中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b
向量c，因为如果c与a b， a b共面，那么c与a， b共面，这与已知矛盾。
构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
练习
1、如果a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则a与b 有什么关系？ 共线
建构数学
空间向量分解定理:
（1)e1, e2 , e3不共面
e1 , e2 , e3 --基向量 强调：对于基底 {e1, e2 , e3}
{e1 , e2 , e3}—-基底
（3）e1, e2 , e3中能否有0 ?
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
B’
D’ C A’ M B E O A D
思 考
空间四边形 OABC, M , N分别是OA, BC的中点 , G是ABC的重心 ,
点E满足ME 2EN，
设 OA a, OB b, OC c, 用 a, b,c, 表示下列向量
（ 1 ） OG
（ 2）MN
（ 3） OE
练习 3、 如 图 所 示 ， 四 面 体 ABCD的 六 边 都 相 等 ， O1、O2 是BCD和ACD的 中 心 ， 以 向 量 AB ， AC ， AD 为 一 个 基底，求 O1O（ 2 用基底表示）。 解：由正三角形的性质知
3.1.2《空间向量的基本定理》课件(人教B版选修2-1)
4．对于基底{a，b，c}，除了应知道a、b、c不共
面外，还应明确以下三点：
(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间 向量的一个基底． (2)基底中的三个向量a、b、c都不是0，这是因为 0与任意向量共线，与任意两个向量共面．
(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一
个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关联的不同概念．
例1
如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1
→ → 中，E 在 A1D1 上，且A1E＝2ED1，F 在对角 → 2→ 线 A1C 上，且A1F＝ FC.求证：E，F，B 三 3 点共线．
【思路点拨】 要证 E，F，B 三点共线，只 → → 需证EB＝mEF(m∈R)即可．
→ → → 【证明】 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. → → → 2→ ∵A1E＝2ED1，A1F＝ FC， 3 → 2 → → 2→ ∴A1E＝ A1D1，A1F＝ A1C. 3 5 → 2→ 2 ∴A1E＝ AD＝ b， 3 3
问题探究
→ → → 1．如果OP＝OA＋tAB，你能判定 P、A、B 共线吗？
提示：能判定P、A、B共线． 2 ．空间的两非零向量 a ， b 共面，能否推出 a ＝ λb(λ∈R)? 提示：不能推出a＝λb.因空间中任意两向量都共 面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.
课堂互动讲练
考点突破 向量共线问题 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x， 使a＝xb成立，或充分利用空间向量的运算法则， 结合具体的图形，通过化简、计算得出a＝xb， 从而得出a∥b即a与b共线．
【思路点拨】
利用向量共面的充要条件或向量
共面的定义来证明．
→ → → → 【证明】 法一：EF＝EB＋BA1＋A1F 1→ → 1 → ＝ B1B－A1B＋ A1D1 2 2 1 → → → ＝ (B1B＋BC)－A1B 2 1→ → ＝ B1C－A1B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知，A1B、B1C、EF 是共面向量．
人B版数学选修2-1课件：第3章 3.1.2 空间向量的基本定理
[基础·初探] 教材整理1 共线向量与共面向量定理 阅读教材P82～P83“空间向量分解定理”上面，完成下列问题． 1．共线向量定理 两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使 a＝xb .
上一页
返回首页
下一页
2．共面向量定理 (1)向量与平面平行 已知向量a，作O→A＝a，如果a的基线OA 平行于平面α或在平面内 ，则说明 向量a平行于平面α. (2)共面向量 平行于 同一平面 的向量，叫做共面向量． (3)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是， 存在唯一 的一对实数x，y，使 c＝xa＋yb .
上一页
返回首页
下一页
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基 底．( ) (2)若向量A→P的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．( ) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共 面．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
上一页
返回首页
下一页
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________
高中数学 3.1.2空间向量的基本定理配套课件 新人教B版选修2-1
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
(2)基底 如果三个向量 a，b，c 是三个__不__共___面__的__向__量___，则 a，b，c 的线性组合__x_a_＋__y_b_＋__z_c_能生成所有的空间向量，这时 a，b，c 叫做空间的一个__基__底____，记作___{_a_，__b_，__c_}_，其中 a，b，c 都叫做__基__向__量____．表达式 xa＋yb＋zc，叫做向量 a，b，c 的
_在___α_内____，则就说向量 a 平行于平面 α，记作__a_∥__α___．
(2)共面向量的定义 平行于__同__一__平__面____的向量，叫做共面向量．
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
(3)共面向量定理 如果两个向量 a，b__不___共__线___，则向量 c 与向量 a，b 共面
解 假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ、μ 使得
a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c 不共面．
∴ 11＝ ＝μλ，， 0＝λ＋μ，
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空ห้องสมุดไป่ตู้的一个基底．
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
1．共线向量定理
两 个 空 间 向 量 a ， b(__b_≠_0____) ， a∥b 的 充 要 条 件 是 _存__在__唯__一__的__实__数___x____，使___a_＝__x_b___．
2．向量共面的条件 (1)向量 a 平行平面 α 的定义 已知向量 a,作O→A＝a,如果 a 的基线 OA_平__行__于__平__面__α__或___
1.1.2 空间向量基本定理(教学课件)- 高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
AC=b,AA₁=c
,在AC₁ 上和BC 上分别有一点M 和N ,且AM=kAC₁
BN=kBC, 其中0≤k≤1.求证：MN,a,c 共面.
证明：因 为AM=kAC₁=kb+kc,
AN=AB+BN=a+kBC=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,
所以MN=AN-AM=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc. 由共面向量定理可知，MN,a,c 共面.
所以
所以
.故选D.
6. (多选)在下列条件中，不能使M 与A,B,C
ABD
A.OM=20A-OB-OC
一定共面的是
C.MA+MB+MC=0
D.OM+OA+OB+OC=0
解析：对于A 选项，由于2-1-1=0≠1,所以不能得出M,A,B,C 共面.
对于B 选项，由于
,所以不能得出M,A,B,C 共面.
因为{a,b,c} 是空间的一组基底，所以
无安数。
假设不成立，故a+b-c,a-b-c,a
不 共 面 ，B 符合题意；
对于C 选项，假设a+b,a-b,a+c
共面，
则存在m,n∈R, 使得a+C=m(a+b)+n(a-b),
所以c=(m+n-1)a+(m-n)b, 则 a,b,c 共面，与题设矛盾，
不能
成空间的一组基底，所以OA,OB,OC 共面，故存在实数x,y 使得
OC=xOA+yOB,即ke₁+3e₂+2e₃=x(e₁+e₂+e₃)+y(e₁-2e₂+2e₃)
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B 版选修21(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．0【解析】 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.【答案】 D2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P ，A ，B ，C 四点共面．4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此pq ，q ⇒p .【答案】 B5．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量． 又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2＋μ2＋v 2＝0. 【答案】 07．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________.【导学号：15460063】【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.【答案】 －8 三、解答题9．如图3118所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3118(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 【解】 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0， ∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.10．正方体OABC O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 【解】 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.[能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4．如图3119所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN →与向量AD →，BC →是否共面．图3119【解】 由题图可得MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →，② 又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得 2MN →＝AD →＋BC →，即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理
=12
������������ + ������������
+ ������������ − 1
2
������������ + ������������
=12
������������
+
1 2
������������
+
������������
−
1 2
������������
−
1 2
������������
自主练习
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb
A．1
B．2
C．3
D．0
自主练习
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( C )
A. ������������＝3������������－2������������－������������
【答案】������������=−
1 2
������
−
1 2
������
+
1 2
������，
������������=−������
−
1 2
������
+
1 2
������，
������������=−������
+
1 2
������
+
1 2
������，
������������=12 ������.
则������������
=
������������1
高中数学人教B版选修2-1配套课件：3.1.2空间向量的基本定理
[答案] A
[ 解析]
→ → → 若选项 A 中命题为真，则可得到AC1，AB，AD共
→ → → 面．而由图可知AC1，AB，AD不共面．
5 ．已知a＝i ＋ k－2j， b＝－ i ＋2k ＋ 3j ， c＝－ 3i ＋7j，证 明这三个向量共面． [解析] ∵a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，
→ → → 问题 2：如果向量AB、AD、AA′分别和向量 a，b，c 共线， → 能否用向量 a，b，c 表示AC′.
1.共线向量定理
两个空间向量， a ， b(b≠0) ， a∥b 的充要条件是存在唯一 ________
a________ ＝xb 的实数x，使 ． 名师点拨： 对于空间任意两个向量 a ， b(b≠0) ，共线向量 定理可分解为以下两个命题：① a∥b⇒ 存在唯一实数 x 使 a ＝ xb；②存在唯一实数x，使a＝xb⇒a∥b.
[ 解析]
∵M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、ABEF
→ → → → 1→ → 1→ 都是平行四边形，∴MN＝MA＋AF＋FN＝2CA＋AF＋2FB. 1→ → → 1→ → → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → ∴CE＝2MN. → → → → ∴CE∥MN，即CE与MN共线．
[ 答案] D
)
[ 解析]
→ → → → → → 由MA＋MB＋MC＝0 得MA＝－MB－MC，
→ → → ∴MA，MB，MC共面，∴M，A，B，C 四点共面．故选 D.
2020最新人教版高二数学选修2-1(B版)电子课本课件【全册】
1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
2020最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
1.2.2 “非”（否定）
2020最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
1.3 充分条件、必要条件与命
题的四种形式
1.3.1
推出与充分条件、必要条件
2020最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
第一章 常用逻辑用语
2020最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
10最新人教版高二数学选修2－ 1(B版)电子课本课件【全册】
1.1.2 量词
2020最新人教版高二数学选修2 －1(B版)电子课本课件【全册】
目录
0002页 0083页 0163页 0188页 0217页 0254页 0277页 0293页 0323页 0365页 0394页 0458页 0508页 0548页 0586页 0676页 0705页
第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词 1.2.2 “非”（否定） 本章小结 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 2.2.2 椭圆的几何性质 2.3.2 双曲线的几何性质 2.4.2 抛物线的几何性质 本章小结 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 3.2.4 二面角及其度量 本章小结 附录 部分中英文词汇对照表
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理课件新人教B版选修21
【解】 分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
连接MN，NQ，QR，RM， 因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边 的中点，且 P→E＝23P→M，P→F＝23P→N，P→G＝23P→Q，P→H＝23P→R.
第二十八页，共41页。
由题意知四边形MNQR是平行四边形， 所以M→Q＝M→N＋M→R＝(P→N－P→M)＋(P→R－P→M) ＝32(P→F－P→E)＋32(P→H－P→E)＝32(E→F＋E→H)． 又M→Q＝P→Q－P→M＝32P→G－32P→E＝32E→G. 所以E→G＝E→F＋E→H，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
第二十二页，共41页。
【自主解答】 如图：
(1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)．∴M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C. ∴向量M→A，M→B，M→C共面．
第二十三页，共41页。
(2)由(1)知，向量 M→A ， M→B ， M→C 共面，表明三个向量的有向线段又过同一点 M，
第十三页，共41页。
[再练一题] 1．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分 别是边CB，CD上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D.求证：四边形EFGH是梯形．
图3-1-14
第十四页，共41页。
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴A→E＝12A→B，A→H＝12A→D， E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B) ＝12B→D＝12(C→D－C→B)＝1232C→G－32C→F ＝34(C→G－C→F)＝34F→G， ∴E→H∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|. 又点F不在E→H上，∴四边形EFGH是梯形．