上海市交大附中2018-2019学年上学期高一数学期末试卷(精编含解析)
2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，3}，若A∪B＝{1，2，3}，则实数m＝ ．2．（4分）“成立”是“x＜2成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）3．（4分）函数的定义域为 ．4．（4分）若函数的反函数是其本身，则实数a＝ ．5．（4分）函数f（x）＝2|x﹣3|﹣1，则不等式f（x）＜1的解集为 ．6．（4分）函数f（x）＝9x﹣3x+1﹣10的零点为 ．7．（5分）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值为 ．8．（5分）若定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，则函数的单调递增区间为 ．9．（5分）集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，集合B＝{x|x2+lgx≤1000}，且满足A∩∁R B＝∅，则实数a的取值范围是 ．10．（5分）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x 对称，记g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是 ．11．（5分）下列四个命题中正确的是 ．①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A是两个不同的函数；③已知函数，x∈N*，既无最大值，也无最小值；④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6的所有零点构成的集合共有4个子集．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+e x（x＜0）与函数图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（ ）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），[x]表示不超过x的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．D．[x]≥[y]15．（5分）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）A．B．C．D．16．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）A．B．C．pq D．﹣1三、简答题17．（14分）解关于x的不等式kx2﹣（k+2）x+2＜0．18．（14分）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？19．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数，函数的图象关于直线y＝x对称，记F（x）＝f（x）+g（x）．（1）求函数f（x）的解析式和定义域；（2）在F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2（a为负整数），y＝f（x）的图象经过点（m﹣2，0）（m∈R）．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）＝bx+2，若g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空，求实数b的取值范围；（3）证明：方程有且仅有一个解．21．（18分）若实数x、y、m（x≠m，y≠m）满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y比x接近m．（1）若x2﹣1比1接近0，求x的取值范围；（2）对正实数a，b，如果比接近2，求证：当x＞0时，比接近2；（3）已知函数f（x）等于和|x﹣a|中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，集合B＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3}根据集合并集运算的定义，可知，集合A中元素最多和A∪B中元素一致，∴m＝3故答案为：3．2．【解答】解：由得0＜x＜2，则“成立”是“x＜2成立”的充分不必要条件，故答案为：充分非必要3．【解答】解：要使函数有意义，则≥0，当x＝1时，不等式成立，当x≠1时，不等式等价为≥0，即x＞2或x≤﹣1，综上x＞2或x≤﹣1或x＝1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞）4．【解答】解：由y＝得x＝，所以f（x）的反函数为f﹣1（x）＝，依题意可得a＝﹣2．故答案为：﹣2．5．【解答】解：不等式f（x）＜1即2|x﹣3|＜2，故|x﹣3|＜1，解得：2＜x＜4，故答案为：（2，4）．6．【解答】解：由f（x）＝9x﹣3x+1﹣10＝0得（3x）2﹣3•3x﹣10＝0，即（3x+2）（3x﹣5）＝0，∵3x＞0，∴3x﹣5＝0，即3x＝5，即x＝log35，即函数零点为x＝log35，故答案为：x＝log357．【解答】解：由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，同除xy，得＝1，x+y＝（x+y）（）＝3+≥3+2，当且仅当x＝2+，y＝+1时取到等号．故答案为：3+2．8．【解答】解：∵x2+1有最小值为1，定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，∴0＜a＜1．则函数的单调递增区间，即函数t＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＞0时的减区间，为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．9．【解答】解：解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0得：a＜x＜a+1即A＝[a，a+1]，解不等式x2+lgx≤1000得：（2+lgx）lgx﹣3≤0，即≤x≤10，即B＝[，10]，即∁R B＝（﹣∞，）∪（10，+∞），又A∩∁R B＝∅，得，即，即实数a的取值范围是[]，故答案为：[]10．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，∴f（x）＝log a x（x＞0）．g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]＝log a x（log a x+log a2﹣1）＝（log a x+）2﹣，①当a＞1时，y＝log a x在区间[，2]上是增函数，∴log a x∈[log a，log a2]．由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，化为log a2≤﹣1，解得a，舍去．②当0＜a＜1时，y＝log a x在区间[，2]上是减函数，∴log a x∈[log a2，log a]．由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，解得0＜a．综上可得：0＜a．故答案为：（0，]．11．【解答】解：①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A，即y＝f﹣1（x），x∈A，由于A≠D 是两个不同的函数，故②正确；③已知函数，x∈N*，由f（x）在1≤x＜3递减，x＞3递减，可得x＝2时，f（2）取得最小值﹣1，故③错误；④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2或3，解得x＝±log23或x＝±2，f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②．12．【解答】解：由题意，存在x＞0，使f（﹣x）＝g（x），即x2+ln（x+a）+＝x2+e﹣x，即ln（x+a）+＝（）x，即ln（x+a）＝﹣+（）x，设h（x）＝﹣+（）x，h（0）＝﹣+1＝，当y＝ln（x+a）经过点（0，）时，则lna＝，得a＝＝，作出y＝ln（x+a）和h（x）的图象，要使两个图象恒有交点，则a＜．即实数a的取值范围是a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．【解答】解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B＝∅”；若“A∩B＝∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分必要的条件．故选：C．14．【解答】解：当0＜a＜1时，由a x＜a y得x＞y，A．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y但＝，故A错误，B．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，ln（x2+1）＝ln（y2+1），但ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立，故B错误，C．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，但x﹣y＝1+1＝2，﹣＝1+1＝2，则不成立，故C错误，D．∵x＞y，∴[x]≥[y]成立，故D正确故选：D．15．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．16．【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x＝﹣1，故选：D．三、简答题17．【解答】解：将原不等式化为（kx﹣2）（x﹣1）＞0，（1）当k＝0时，有x＜1；（2）当k＞0时，有k（x﹣）（x﹣1）＞0，∴（x﹣）（x﹣1）＞0，∵1﹣＝，当k＞2时＜1，∴x＜或x＞1；当a＝2时，＝1，∴x∈R，且x≠1；当0＜k＜2时，有＞1，∴x＜1或x＞；（3）当k＜0时，（x﹣）（x﹣1）＜0，有＜1，所以＜x＜1．综上，k＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；0＜k＜2时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；当k＝2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当k＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；当k＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜1}18．【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x，则每个长方形平行于墙的边长，则l＝3x+，∵x≥2且≥2，∴2≤x≤25，由x可得函数的定义域为[2，25]；（2）l＝3x+≥2＝20，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，故当垂直于墙的边长为m时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是20 m．19．【解答】解：（1）由y＝﹣1得10x＝，x＝lg，∴f（x）＝lg，∵g（x）＝，∴g﹣1（x）＝，依题意得g（x）＝g﹣1（x），∴a＝1，∴g（x）＝，∴F（x）＝lg+，定义域为（﹣1，1），（2）设F（x）的图象上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且﹣1＜x1＜x2＜1，则y1﹣y2＝F（x1）﹣F（x2）＝lg+﹣lg﹣＝lg（•）+（﹣）＝lg（•）+，∵﹣1＜x1＜x2＜1，则＞1，＞1，x2﹣x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0，∴lg（•）＞0，＞0，∴y1＞y2，故F（x）在（﹣1，1）上单调递减，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．20．【解答】解：（1）在f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2中令x＝m得f（m﹣2）＝am2﹣（a﹣3）m+a﹣2＝0，∴a＝﹣，因为a为负整数，所以为正整数，当≥2时，2m2﹣5m+4≤0，因为△＝（﹣5）2﹣4×2×4＝﹣7＜0，所以2m2﹣5m+4≤0无解，所以＝1，解得m＝1．m＝3，所以a＝﹣1，∴f（x﹣2）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴f（x）＝﹣x2+1（2）g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空⇔b≥﹣（x+）在[1，3]上有解，令h（x）＝﹣（x+），则b≥h（x）min，∵h′（x）＝﹣1+≤0在x∈[1，3]上恒成立，所以x＝3时，h（x）min＝h（3）＝﹣，故b≥﹣．（3）证明：即证y＝与y＝﹣x2+1的图象有且只有一个交点，当x＞0时，﹣（﹣x2+1）＝+x2﹣1＝++x2﹣1≥3﹣1＝3﹣1＝﹣1＞0，即x＞0时，y＝与y＝﹣x2+1的图象无交点，当x＜0时，令y＝+x2﹣1，y′＝﹣+2x＜0恒成立，所以y＝+x2﹣1在（﹣∞，0）上为递减函数，又x＝﹣时，y＝﹣3+＜0，x＝1时，y＝1＞0，根据零点存在性定理知：+x2﹣1＝0在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，综上得﹣f（x）＝0有且只有一个解．21．【解答】解：（1）由题意得，∴，∴x的范围为：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；（2）∵比接近2，∴|a+﹣2|＜|b+﹣2|，∵a＞0，b＞0，∴a+≥2，b+≥2，∴a+﹣2＜b+﹣2，即a+＜b+，∴|a x+﹣2|＜|b x+﹣2|，当x＞0时，比接近2；（3）当a≤﹣1时，f（x）＝|x﹣a|，此时f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；a＞﹣1时，，当﹣1＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a+2﹣2）上单调递减，在（a+2﹣2）上单调递增．。
2019年上海交通大学附属中学高一数学文期末试题含解析
2019年上海交通大学附属中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为、，则塔高为（）A. B. C. D.参考答案：A2. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）D3. 函数的图象大致为参考答案：A4. （5分）在空间内，可以确定一个平面的条件是（）A．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．两两相交的三条直线参考答案：A考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：利用确定平面的条件度四个选项分别分析，得到正确答案．解答：对于选项A，三条直线，它们两两相交，但不交于同一点，满足不共线的三点确定一个平面；对于选项B，如果三条直线过同一个点，可以确定一个或者三个平面；对于选项C，如果三个点在一条直线上，可以有无数个平面；对于选项D，如果三条直线两两相交于一点，确定一个或者三个平面；故选A．点评：本题考查了确定平面的条件，关键是正确利用平面的基本性质解答．5. 如图，在△ABC中，，，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D∴λ=，μ=．.故答案为：D。
6. 函数满足，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A7. 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；参考答案：C解析：对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，进入下一步运算．由此列出如下表格因此，最后输出的s=1+++=故选：C点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识，属于基础题．9. 从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是（）A. 0.38B. 0.62C. 0.7D. 0.68参考答案：A略10. 下列四个关系中，正确的是（）A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)=的定义域为。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ） A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y ->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或0x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为21x>，所以02x <<，因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案． 【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e = 作出()y ln x a =+和()h x 的图象，要使两个图象恒有交点，则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或． 综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当2k =时，原不等式的解集为∅；当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x ， 则1003l x x=+，2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+.（1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1()1x f x lgx -=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【详解】 （1）由21101x y =-+得1101x y y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+， 因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x g x l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-， 设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lg lg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-） 21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---， 1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（， 12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围；（3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式； （2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证.【详解】 （1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+， 因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数， 当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-， 22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+，2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x=-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数，所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x =与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，22221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x =+-， 因为函数1y x =在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数， 所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数），又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x+-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围；（2）对正实数a ，b ，如果1a a +比1b b +接近2，求证：当0x >时，1x x a a +比1x x b b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性．【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--. （2）1a a+比1b b +接近2， 11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b+…， 1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+， 11|2||2|x x x x a b a b ∴+-<+-，当0x >时，1x x a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海市交大附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
交大附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知a 、b 为常数，若24lim 123n an bn n →∞++=+，则a b += 2. 已知数列4293n a n=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k = 3. 已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 4. 将无限循环小数0.145化为分数，则所得最简分数为5. 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =， 则△ABC 的面积为6. 已知数列{}n a 满足：3122123n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ， 则5S =7. 三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为8. 将正整数按下图方式排列，2019出现在第i 行第j 列，则i j += 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅9. 已知()sin(2)3f x x π=+，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小值为10. 已知数列{}n a 满足11(3)(2)0n n n n a a a a ++--⋅-=，若13a =，则4a 的所有可能值的和为11. 如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为 AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为12. 设01a <<，数列{}n a 满足1a a =，1n a n a a +=，将{}n a 的前100项从大到小排列的得到数列{}n b ，若k k a b =，则k 的值为二. 选择题13. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“lim 0n n a →∞=”是“lim 0n n S →∞=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列n b n *∈N ）也是等比数 列，若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a a a b n ⋅⋅⋅⋅⋅=是等差数列 B. 12n n a a a b n++⋅⋅⋅+=是等差数列C. n b =D. n b = 15. 下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ） A. 22tan21tan 2xy x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 16. 设1cos 10n n a n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1220,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20三. 解答题17. 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.18. 已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=.（1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围.19.函数2()6cos )32xf x x ωω=-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.20. 如图是某神奇“黄金数学草”的生长图，第1阶段生长为竖直向上为1米的枝干，第2，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，，且与旧枝成120°，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次生长，直到永远.（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）（3）求“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 满足11a =，1n n n a a d +-=，n *∈N .（1）若3n n d =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若4cos()n d n π=+，求数列{}n S 的通项公式；（3）若{|,}{1,2}n D x x d n *==∈=N ，是否存在数列{}n d 使得1720a =，17195S =？若存在，写出{}n d 前16项的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 22. 93.34 4. 8555.6. 1307. 5{}626πππ，，8. 1289.2π 10. 69 11. 32 12. 50二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）2n a n =；（2）6k =.18.（1）21n a n =-；（2）1(0,2)a ∈.19.（1）4πω=；（2）()[f x ∈-.20.（1）(3)1f = （2）761[1][1](13)f ⨯-+-= （3）lim ()n f n →∞=. 21.（1）312n -；（2）2232225322122n n n n k S n n n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=-⎪⎩，*k ∈N ； （3）116~d d ：2，1，2，1，2，1211,,1⋅⋅⋅个。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2.幂函数 f x
1
【答案】
3
【解析】 【分析】
x a 的图像经过点
1 2, ，则 f 3
______.
2
根据幂函数所过的点 ,代入可求得幂函数解析式 ,即可求得 f 3 的值 .
【详解】幂函数 f x
xa 的图像经过点
1 2,
2
1
代入可得
2a
2
解得 a 1
所以幂函数解析式为 f x x 1
则 f 3 31 1 3
一、填空题
2019 学年交大附中高一年级第一学期期末试卷
1.弧度数为 2 的角的终边落在第 ______象限 .
【答案】 二 【解析】 【分析】 将弧度化为角度 ,即可判断出所在象限 .
【详解】根据弧度与角度关系可知 1rad 57.3o
所以 2rad 114.6o
则弧度数为 2 的角的终边落在第二象限 故答案为 :二 【点睛】本题考查了弧度与角度的关系 ,属于基础题 .
1
故答案为 :
3
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法
,函数求值 ,属于基础题 .
sin cos
3. 已知
sin 2cos
2 ，则 tan 的值为 _______.
【答案】 5 【解析】 【分析】
由齐次式化简方法 ,即可得关于 tan 的方程 ,解方程即可求得 tan 的值 . 【详解】根据齐次式化减法方法 ,将式子上下同时除以 cos 可得 tan 1
2 tan 2 变形可得 tan 1 2 tan 2
解得 tan 5
故答案为 : 5
【点睛】本题考查了齐次式的化简求值
4. cos2 3 8
sin 2 3 8
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期高一数学期终试卷 含答案
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期高一数学期终试卷2019.1一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 若关于x 的不等式01x a x -³+的解集为()[),14,-?+?U ，则实数a =____________． 2. 设集合{}{}|2|1,A x x B x x m =-<=>，若A B A =I ，则实数m 的取值范围是____________．3. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于____________弧度．4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =____________．5. 若123()f x x x -=-，则满足()0f x >的x 的取值范围是____________．6. 已知(7)41()1x a x a x f x a x ì--<ïï=íï³ïî是(),-??上的增函数，那么a 的取值范围是____________．7. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ³时，()2()lg 32f x x x =++，则()f x 在R 上的零点个数为____________．8. 设432()f x x ax bx cx d =++++，(1)1,(2)2,(3)3f f f ===，则[]1(0)(4)4f f +的值为____________．9. 设1()f x -为[]2()41,0,2x f x x x -=+-?的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为____________．10. 已知2()0()430x a x f x x a x x ìï-?ïï=íï++>ïïî，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是____________．11. 设ab R Î，若函数()a f x x b x=++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取值范围为____________．12. 已知下列四个命题： ①函数()2x f x =满足：对任意1212,,x x R x x 喂，有[]12121()()22x x f f x f x 骣+÷ç?÷ç÷ç桫；②函数(22()log ,()121x f x x g x =+=+-均为奇函数； ③若函数()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形，且满足(4)()f x f x -=，那么(2)(2018)f f =； ④设12,x x 是关于x 的方程log (0,1)a x k a a =>?的两根，则121x x =其中正确命题的序号是____________．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分。
精品解析：上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数的定义域为______．()()ln 1f x x =+-【答案】(]1,2【解析】【分析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
【详解】()()ln 1f x x =+- 解得2010x x -≥⎧∴⎨->⎩12x <≤故函数的定义域为(]1,2x ∈故答案为：(]1,2【点睛】本题考查函数的定义域，求函数的定义域即使式子有意义，常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；属于基础题。
2.设函数为奇函数，则实数a 的值为______．()()()1x x a f x x+-=【答案】1a =【解析】【分析】一般由奇函数的定义应得出，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为()()0f x f x +-=是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求的值．()()0f x f x +-=a 【详解】解：函数为奇函数， (1)()()x x a f x x+-=，()()0f x f x ∴+-=，(1)(1)0f f ∴+-=即，2(1)00a -+=．1a \=故答案为：．1【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．a 3.已知（且）的图像过定点P ，点P 在指数函数的图像上，则log 2a y x =+0a >1a ≠()y f x =______．()f x =【答案】()2xf x =【解析】【分析】由题意求出点的坐标，代入求函数解析式．P ()f x 【详解】解：由题意，令，则，log 2a y x =+1x =2y =即点，(1,2)P 由在指数函数的图象上可得，令P ()f x ()xf x a =()01a a >≠且，12a ∴=即，2a =故()2xf x =故答案为：()2xf x =【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．4.方程的解为______．21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】25-【解析】【分析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可。
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ）A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或02x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】因为21x>，所以02x <<， 因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案．【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=，则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e =作出()y ln x a =+和()h x 的图象， 要使两个图象恒有交点， 则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或．综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭当2k =时，原不等式的解集为∅； 当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏． 18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解． 【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x，则1003l x x=+， 2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+. （1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1()1xf x lg x-=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【详解】 （1）由21101x y =-+得1101xy y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+，因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x gx l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-，设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<， 则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lglg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-）21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---，1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（，12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直． 【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围； （3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式；（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证. 【详解】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-，22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+， 2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x ⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x =-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数， 所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，2221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x=+-， 因为函数1y x=在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数，所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数）， 又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x +-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围； （2）对正实数a ，b ，如果1a a+比1b b +接近2，求证：当0x >时，1xx a a +比1x xb b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）． 【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性． 【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--.（2）1a a+比1b b +接近2，11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b +…，1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+，11|2||2|x xx x a b a b∴+-<+-， 当0x >时，1xx a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海市2018-2019学年交大附中高三上期末数学期末试卷(详细答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.答案：{}20<<x x2. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =_____. 答案：25解析：25;24722=+=z i z3. 函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 答案：1；解析：1)5()2()1(===-f f f4. 已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.答案：31-； 解析：31)4(sin ))4(2sin()4cos(-=-=+-=+αππαππα 5. 已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______. 答案：12+n解析：12)1(2)1(2221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n6、已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.答案：]6,1[ 解析：最大值在()2,0A 上取，最小值在()0,1B )1,0(上取得6. 已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______. 答案：π32 解析：)2sin()(22ϕ++=x b a x f ， ππϕπk +=+⨯262， ππϕk +=6，,33tan ==a b ϕ则20ax by ++=的倾斜角32,3tan παα=-=-=b a . 7. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.答案：41π414414Sππ=⨯=.9、已知()()()()()2320121111n nnx x x x a a x a x a x n N*++++++++=++++∈L L且012126na a a a++++=L，那么n展开式中的常数项为_____答案：20-；解析：126)12(221)21(2222232=-=--=++++nnnΛ6=n，则常数为20)1()(3336-=-xxC10、已知正实数x y、满足2342xy x y++=，那么54xy x y++的最小值为____答案：55解析一：yxyxyxxyyxxy++=++++=++34233245)14(3342)2(yyyx-=-=+，2)14(3+-=yyx139221442)162(92)14(93≥-+++=+++--=++-=+yyyyyyyyyx5545≥++∴yxxy解析二：()()23423248xy x y x y++=⇒++=，()()245452x yx y+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭11、已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=u u u r u u u r的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____答案：]0,41(-解析：设)3,0(),0,1(),0,1(B C A -，)11)(0,(≤≤-x x Pλ=+=⋅x x PB PA )1(02=-+λx x 在]1,1[-上有两个根，则]0,41(-∈λ12、过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为A B 、，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为_________答案：]2,22(解析：第一种方法：作l OC ⊥，θ=∠POC ，)2,0[πθ∈.θcos 2=PO ，θθθθcos 2cos 2cos 21cos 212222-=-=-==PO PO PO PA PQ点Q 到直线l 的距离为)2,22[2cos 22∈-θ 第二种方法：设),(00y x P ，则AB 方程为100=+y y x x ，OP 方程为x x y y 0=， ⎪⎩⎪⎨⎧==+x x y y y y x x 00001，则Q 坐标为),(02000200y x y y x x ++， A→ →PQABCOQ 到l的距离为22212224422222202002020202000-+-=-+-+=-++x x x x x y x y x 取值范围即为)2,22[二、选择题13.已知定义域为R 的函数()()(]23121,22,2,21,055x k x k k k N f x x x *⎧---∈-∈⎡⎤⎣⎦⎪=⎨⎪-≤⎩，则此函数图像上关于原点对称的点有（ ）A 、7对B 、8对C 、9对D 、以上都不对 答案：B解析：作出)(x f 的图像，右边是一个周期函数，为了找对称点，就是求5152+=x y 与)(x f 的右边的 图像的交点。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数()ln(1)f x x =+-的定义域为________.2.设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______．3.已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．4.方程21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．5.对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f=______．6.已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．7.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.8.函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______．9.若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．10.已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．11.已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．12.已知函数()()1221log 1,123,x x x nf x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．二、选择题13.下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是．A.()1f x xx=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3f x x=- D.()21log 1x f x x +=--14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m的取值范围是A.(),0-∞ B.()(),02,-∞+∞ C.（0，2） D.()2,+∞15.如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg 21xaf x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是A.13,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫⎪⎝⎭C.3,32⎛⎤⎥⎝⎦D.(]3,+∞16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+-当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+若函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是A.19,416⎛⎫⎪⎝⎭B.19[,416C.11[,)42D.11,42⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17.已知函数()21xf x =-的反函数是()1y fx -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1fx g x -=．18.已知定义在R 上的奇函数()xxf x ka a-=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．19.松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．21.定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229xx g x g x e e+-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数()ln(1)f x x =+-的定义域为________.【答案】(1,2].【分析】使表达式有意义，直接解不等式组可得.【详解】由2010x x -≥⎧⎨->⎩得：12x <≤，故答案为：(1,2]【点睛】此题考函数定义域的求法，属于简单题.2.设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______．【答案】1a =【分析】一般由奇函数的定义应得出()()0f x f x +-=，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为()()0f x f x +-=是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a 的值．【详解】解： 函数(1)()()x x a f x x+-=为奇函数，()()0f x f x ∴+-=，(1)(1)0f f ∴+-=，即2(1)00a -+=，1a \=．故答案为1．【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求a 而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．3.已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．【答案】()2xf x =【分析】由题意求出点P 的坐标，代入()f x 求函数解析式．【详解】解：由题意log 2a y x =+，令1x =，则2y =，即点(1,2)P ，由P 在指数函数()f x 的图象上可得，令()x f x a =()01a a >≠且12a ∴=，即2a =，故()2xf x =故答案为()2xf x =【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．4.方程21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．【答案】25-【分析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可．【详解】21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭()22133x x+-∴=()221x x ∴+=-解得25x =-故答案为25-【点睛】本题考查指数幂的运算，以及指数方程，关键是将方程转化为同底指数式，属于基础题．5.对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f =______．【答案】1【分析】由题意，对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，采用特殊值法，求出f ．【详解】解：由题意，对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，令3x y ==则()()()()933334f f f f =⨯=+=()32f ∴=令x y ==()32f fff ==+=1f∴=故答案为1【点睛】本题考查抽象函数求函数值，根据题意合理采用特殊值法是解答的关键，属于基础题．6.已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．7.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得1x =-；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.8.函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______．【答案】(),1-∞-和（3，5）【分析】令2()|65||(1)(5)|0t x x x x x =-+=-->，可得函数()f x 的定义域为()()(),11,55,-∞+∞ ．本题即求()t x 在函数()f x 的定义域的减区间，数形结合可得函数()t x 的减区间．【详解】令2()|65||(1)(5)|0t x x x x x =-+=-->，可得1x ≠，且5x ≠，故函数()f x 的定义域为()()(),11,55,-∞+∞ .由于34()log ()f x t x =，根据复合函数的单调性，本题即求()t x 在函数()f x 的定义域上的减区间．画出函数()t x 的图象，如图：故函数()t x 的减区间(,1)-∞、()3,5，故答案为(,1)-∞、()3,5．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性规律的应用，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9.若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．【答案】(1,【分析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道1a >且真数恒大于0，求得a 的取值范围．【详解】解：令2222(224a a y x ax x =-+=-+-在对称轴左边递减，∴当122ax x <时，12y y > 对任意的1x ，2x 当122ax x <时，21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >故应有1a >又因为22y x ax =-+在真数位置上所以须有2204a ->∴a -<<综上得1a <<故答案为(1,【点睛】本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．10.已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．【答案】45,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由题意可得63()7x f x <+，即63()73x f x x -<-，对x 的范围进行讨论得出答案．【详解】解：()(3()) 6.5f x f x f += ，(3())7f x f x ∴+=63()7x f x ∴<+，63()73x f x x∴-<-当01x <时，()1f x =，632x -，不符合题意；当2x 时，()2f x ，731x -≤，不符合题意；当12x <<时，()2f x =，∴63273x x ∴-<-，解得4533x <．故答案为45,33⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．11.已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m ≤-或12m =-或0m =【详解】∵函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，∴22210mx m x+=++>∴()()2mx 10x -+=当m 0=时，方程有唯一根2，适合题意当m 0≠时，2x =或1x m=-1x m =-显然符合题意的零点∴当12m -=时，1m 2=-当12m -≠时，220m +≤，即1m ≤-综上：实数m 的取值范围为1m ≤-或12m =-或0m =故答案为1m ≤-或12m =-或0m =点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．【答案】（2）【分析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案．【详解】解：当1x >时，10x ->，213()2323x x f x -+-=-=-，单调递减，当11x -<<时，211()2323x x f x +-+=-=-，单调递增，2|1|()23x f x --∴=-在(1,1)-单调递增，在(1,)+∞单调递减，∴当1x =时，取最大值为1，∴绘出()f x的图象，如图：①当0n =时，1221(1)10()230x log x x f x x m ----⎧⎪=⎨⎪-<⎩，由函数图象可知：要使()f x 的值域是[1-，1]，则(1m ∈，2]；故（1）错误；②当12n =时，12()(1)f x log x =-，()f x 在[1-，12单调递增，()f x 的最大值为1，最小值为1-，∴1(,2]2m ∈；故（2）正确；③当1[0,2n ∈时，[1m ∈，2]；故（3）错误，故答案为（2）【点睛】本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．二、选择题13.下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是．A.()1f x xx=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3f x x=- D.()21log 1x f x x +=--【答案】D【分析】根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断．【详解】解：在A 中，1()f x x x=-是奇函数，在区间(1,)+∞上是减函数，故A 错误；在B 中，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数，但在区间(1,)+∞上是减函数，故B 错误；在C 中，3()f x x =-是奇函数且在区间(1,)+∞上是减函数，故C 错误；在D 中，21()log 1x f x x +=--是奇函数且在区间(1,)+∞上是增函数，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m的取值范围是A.(),0-∞ B.()(),02,-∞+∞ C.（0，2） D.()2,+∞【答案】C【分析】根据函数()f x 为R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，可得函数在()0,∞+上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得．【详解】由题意，函数()f x 为R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()()11f m f ->- 11m ∴-<-解得02m ∴<<即()0,2m ∈故选C【点睛】本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于y 轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题．15.如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg21x a f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是A.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.(]3,+∞【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解的问题即可得解．【详解】解：()21x af x lg =+ ,0x R a ∴∈> 函数()21x a f x lg =+为“可拆分函数”，∴存在实数0x ，使00021321213(21)x x x a a a a lg lg lg lg +=+=+++成立，∴方程0021213(21)x x aa +=++在0x R ∈上有解，即000113(21)331222121x x x a +++==+++ 在0x R ∈上有解，0x R ∈ ，∴011(0,1)21x +∈+，3,32a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，a ∴的取值范围为：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+-当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+若函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是A.19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.19[,416 C.11[,)42 D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】若()0,1x ∈，则()11,0x -∈-，()()1111,111f x f x x x x-=-==-+，根据函数的平移变换与翻折变换，画出()12f x -在()1,1-上的图象，则()1y m x =+与()12y f x =-的图象有三个交点时，函数()102f x mx m ---=有三个零点，可得()()111122,114012AC AB k k ====----，()1y m x =+是斜率为m ，且过定点()1,0A -的直线，绕()1,0A -旋转直线，由图知，当1142m ≤<时，直线与曲线有三个交点，函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，m ∴的取值范围是11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.三、解答题17.已知函数()21x f x =-的反函数是()1y f x -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1f xg x -=．【答案】（1）详见解析；（2）0x =或1x =．【分析】（1）作图见解析；（2）先求出()21xf x =-的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于x 的方程，需注意对数的真数大于零．【详解】（1）如图：（2）()21x f x =- 即21x y =-12xy ∴+=()2log 1x y ∴=+()()12log 1f x x -∴=+()()4log 31g x x =+ ()()1f x g x -∴=即()()24log 1log 31x x +=+()()421log 31log 312x x +=+ ()()221log 1log 312x x ∴+=+()213110310x x x x ⎧+=+⎪∴+>⎨⎪+>⎩解得0x =或1x =【点睛】本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题．18.已知定义在R 上的奇函数()x x f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．【答案】（1）1k =，证明见解析；（2）172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数()f x 为R 上的奇函数，可求得k 的值，即可得函数()f x 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）根据()1f 的值，可以求得a ，即可得()g x 的解析式，利用换元法，将函数()g x 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；【详解】解：（1）()x x f x ka a -=- 是定义域为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，得1k =，()x x f x a a -∴=-，()()x x f x a a f x --=-=- ，()f x ∴是R 上的奇函数，设任意的21,x x R ∈且21x x >，则22112112211()()()()()(1)x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a---=---=-+ ，1a >Q ，21x x a a ∴>，21()()0f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数；（2）()312f =，132a a ∴-=，即22320a a --=，2a ∴=或12a =-（舍去），则22()22x x g x -=+，[]0,1x ∈，1()44x xg x =+令4x t =，则[]1,4t ∈，则1()g t t t=+，[]1,4t ∈由对勾函数的性质可得1()g t t t =+在[]1,4t ∈上单调递增，故17()2,4g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x ∴的值域为172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．19.松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）24002(10),210()400,1020t t p t t ⎧--<=⎨⎩（2）5t =，()()max 60Q t =【分析】（1）由题意知，2400(10),210()(400,1020k t t p t k t ⎧--<=⎨⎩为常数），结合()2272p =求得2k =，则()p t 的表达式可求；（2）写出分段函数21(12180300),2101(60900),1020t t t t Q t t t⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【详解】解：（1）由题意知，2400(10),210()(400,1020k t t p t k t ⎧--<=⎨⎩为常数），()22400(102)272p k =--= ，2k ∴=．24002(10),210()400,1020t t p t t ⎧--<∴=⎨⎩．（2）由6()150060p t Q t-=-，可得21(12180300),2101(60900),1020t t t t Q t t t⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，当210t <时，300180(1218060Q t t =-+-=，当且仅当5t =时等号成立；当1020t 时，90060609030Q t =-+-+=，当10t =时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点睛】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．【答案】（1）[]1,0-，[]0,1，[]1,1-；（2）不存在；理由见解析；（3）5823，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 【分析】（1）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求3y x =符合条件的“和谐”区间；（2）判断函数()43f x x=-是否满足“和谐”函数的条件即可；（3）根据函数()f x 是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为函数()3f x x =在R 上单调递增，所以有3311a a a b b b a b ⎧==-⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩或10a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩；即[][],1,1a b =-或[][],1,0a b =-或[][],0,1a b =．（2）画出函数()43f x x=-的图象()43,0443,03443,3x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪∴=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩由图可知函数在(),0-∞，4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；且函数值域为[)0,+∞，故在(),0-∞上不存在“和谐区间”；假设函数在区间40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦存在“和谐区间”[],a b ，则4343b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩方程组无解，假设不成立；同理可得函数在区间4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭也不存在“和谐区间”．故函数()43f x x=-不存在“和谐区间”．（3）()421f x m x =-- 在()2,k 上有“和谐区间”，所以存在区间[],a b ，使函数()f x 的值域为[],a b ，()421f x m x =-- 函数在()2,k 上单调递增()421f x m x ∴=--在[],a b 单调递增，即421421a m a b m b ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，,a b ∴为关于x 的方程42-1x m x =-的两个实根，即方程421x m x =--在()2,k 上有两个不等的实根，即421m x x =+-在()2,k 上有两个不等的实根，令()4(),21g x x x x =+>-与2y m =，问题转化为函数()4(),21g x x x x =+>-与2y m =，在()2,k 上存在两个不同的交点.考察函数()4(),21g x x x x =+>-如图函数()4()21=+>-g x x x x 在()23，单调递减，在[)3,+∞上单调递增.min 4()(3)3531g x g ==+=-，且()()256==g g ，∵函数()g x 在()2,3上递减，当23k <≤时，直线2y m =与函数()y g x =不可能有两个交点，∴3k >∵()g x 在()3,k 递增，由图象可知，当3k >时，函数()y g x =与2y m =在()2,k 存在两个交点，所以正整数k 的最小值为4，()1643= g ，此时，16523<<m ，解得5823<<m .故5823，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m .【点睛】本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，将“和谐”函数的定义转化为函数的零点个数是解决本题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.21.定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229x x g x g x e e+-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．【答案】（1）()3x g x e =-，()221h x x x =--+；（2）[]3,7-；（3）见解析【分析】（1）通过x -代替x ，推出方程，求解函数()g x 的解析式．利用()h x 是二次函数，且(2)(0)1h h -==，可设()(2)1h x ax x =++，然后求解即可．（2）设2()()5(2)6x h x ax x a x φ=++=-+-+，()33x x F x e e e e =-+-=-，转化条件为当11x -时，()()min max x F x φ，通过函数的单调性求解函数的最值，列出关系式即可求出实数a 的取值范围．（3）设5t a =+，由（2）知，画出函数在212()t f x 的图象，设()f x T =，则()f T t =当2t =，当223t e <<-，当23t e =-，当2312e t -<，分别判断函数的图象交点个数，得到结论．【详解】解：（1） 2()2()9x x g x g x e e +-=+-，①2()2()9x x g x g x e e ---+=+-，即1()2()29x x g x g x e e-+=+-，②由①②联立解得：()3x g x e =-．()h x 是二次函数，且(2)(0)1h h -==，可设()(2)1h x ax x =++，由(3)2h -=-，解得1a =-．2()(2)121h x x x x x ∴=-++=--+()3x g x e ∴=-，2()21h x x x =--+．（2）设2()()5(2)6x h x ax x a x φ=++=-+-+，()33x x F x e e e e =-+-=-，依题意知：当11x -时，()()min maxx F x φ()x F x e e =-，在[]1,1-上单调递增，()()10max F x F ∴==∴(1)70(1)30a a φφ-=-⎧⎨=+⎩，解得：37a -∴实数a 的取值范围为[]3,7-．（3）设5t a =+，由（2）知，212()t f x ，的图象如图所示：设()f x T =，则()f T t=当2t =，即3a =-时，11T =-，25T ln =，()1f x =-有两个解，()5f x ln =有3个解；当223t e <<-，即238a e -<<-时，(3)T ln t =+且52ln T <<，()f x T =有3个解；当23t e =-，即28a e =-时，2T =，()f x T =有2个解；当2312e t -<，即287e a -<时，(3)2T ln t =+>，()f x T =有1个解．综上所述：当3a =-时，方程有5个解；当238a e -<<-时，方程有3个解．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数的性质，函数的导数的综合应用，函数的图象以及函数的零点个数的求法，考查分类讨论思想数形结合思想以及转化思想的应用．。
上海市2018-2019学年交大附中高三上期末数学期末试卷 (带答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.2.若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =______.3.函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 4.已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.5.已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______.6.已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.7.已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______.8.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.9、已知()()()()()2320121111n n n x x x x a a x a x a x n N *++++++++=++++∈L L且012126n a a a a ++++=L，那么n展开式中的常数项为_____10、已知正实数x y 、满足2342xy x y ++=，那么54xy x y ++的最小值为____11、已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=u u u r u u u r的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____12、过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为A B 、，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为_________ 二、选择题13.已知定义域为R 的函数()(]22,2,21,055x k k k N f x x x *⎧∈-∈⎪=⎨⎪-≤⎩，则此函数图像上关于原点对称的点有（ ）A 、7对B 、8对C 、9对D 、以上都不对14.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它的三视图，则货架上的红烧牛肉便面至少有（ ）A.8桶B.9桶C.10桶D.11桶15.已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ） A.()()33f x f a a -≤+B.()()5f x f a a -≤+C.()()24f x f a a -≤+D.()()()231f x f a a -≤+16.若2a b c ===r r r ，且0a b ⋅=r r，()()0a c b c --≤r r r r ，则a b c +-r r r 的取值范围是（ ）A.2⎡⎤+⎣⎦B.[]0,2C.2⎡⎤⎣⎦D.2,2⎡⎤⎣⎦三、解答题17.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知()cos23cos 1A B C -+=. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求ABC ∆周长的取值范围。