上海市浦东新区高二上期末数学试卷
2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=______．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．9．关于x的方程=0的解为______．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a +a 2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．114．下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+ 16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是5．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为3．行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【考点】三阶矩阵．【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A 12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【考点】程序框图．【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．9．关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【考点】三阶矩阵．【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x 的值．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【考点】数列的极限．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由S n==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．12．定义=（n ∈N *）为向量=（x n ，y n ）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=（）n ﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx ﹣cosx ，sinx ﹣cosx ），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．14．下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【考点】数列的极限．【分析】对于A，可举a n =n，b n =，由数列极限的公式即可判断；对于B ，可举a n =n，b n=，运用数列极限的公式即可判断；对于C ，可举a n =（）n ﹣1，S n=，求出极限即可判断；对于D，可举a n=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B 错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C错；对于D，若无穷数列{a n}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D正确．故选：D．15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值；（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．18．已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q （0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【考点】数列的极限．【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得a n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；（2）把（1）中求得的p，q值代入S n+1=pS n+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列{a n}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．。
2020_2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题）1.【答案】【解析】【踩分点】与的等比中项为 ．与的等比中项 ．2.【答案】【解析】【踩分点】．根据题意，，故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若与平行，则实数 ．∵与平行，∴，解得实数．故答案为：．4.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为 ．【答案】【解析】【踩分点】三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】直线：的倾斜角是 ．设直线的倾斜角为，由直线化为，∴，∵，∴．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】向量在向量方向上的投影为 ．∵，，∴在方向上的投影为：．故答案为：．7.【答案】【解析】已知数列为等差数列且，则其前项和 ．等差数列满足，则其前项和．【踩分点】故答案为：．8.【答案】【解析】【踩分点】直线：与直线：夹角的大小为 ．直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率为，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是 ．根据题意，若方程表示的曲线是圆，则有，即，解得，即的取值范围为，故答案为：．10.【答案】【解析】若是无穷等比数列，且，则的取值范围为 ．是无穷等比数列，且，所以，所以，所以．故答案为：．【踩分点】11.【答案】【解析】【踩分点】已知动点在曲线上，则动点到直线的距离的最大值与最小值的和为 ．圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，又动点在曲线上，∴动点到直线的距离的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．故答案为：．12.【答案】方法一：方法二：【解析】在矩形中，边的长分别为，．若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．设，则，，则，又，，，，即的取值范围是．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，【踩分点】因为，，所以，，，．设，，因为,所以，所以,所以，所以，即．二、选择题（本大题共4小题）13.A.B.C.D.【答案】【解析】直线的一个方向向量可以是（ ）．A 直线可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线的一个方向向量可以是．故选：．14.二元一次方程的系数行列式的值是（ ）．A.B. C. D.【答案】【解析】C二元一次方程的系数行列式为．故选．15.A.B.C.D.【答案】【解析】若等比数列的前项和，则的值为（ ）．C ∵，，，∴，又，由通项得：，公比为，∴，∴．故选：．16.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】已知点，曲线，曲线，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．B 已知点，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的圆，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的上半圆，①若点在曲线上，则点满足曲线的方程，即成立，但不一定有成立，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上；②若点在曲线上，则点满足曲线的方程，有， 因为曲线为圆与轴交点的上方部分图形，，所以点在曲线上能推出点在曲线上，即能推出成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点在曲线上”是“点在曲线上”的必要非充分条件．故选．三、解答题（本大题共5小题）17.【答案】【解析】【踩分点】已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．或．根据题意设直线的方程为，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知，，．求与的夹角的余弦值．若，求实数的值和向量．．；．∵，，∴与的夹角的余弦值为：（2）【踩分点】．∵，，．∴．∵，∴，解得，∴．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知定点，和曲线上的动点．求线段的垂直平分线的方程．若点是的重心，求动点的轨迹方程．．．∵，，∴中点，又∵，∴线段的垂直平分线的方程为．设，，∵点是的重心，∴，即，又因点在曲线上，∴即，∴动点的轨迹方程．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知数列中，，点，在直线上．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．．存在，，证明见解析．数列中，，点在直线上，所以（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以．存在，由（）得，所以，即，故，，，，所有的式子相加得：，所以，所以．故存在关于的整式，使得恒成立．21.已知圆：（，）与轴、轴分别相切于、两点．（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】求圆的方程．若直线：与线段没有公共点，求实数的取值范围．试讨论直线：与圆：（，）的位置关系．．．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．由圆：(，）与轴、轴分别相切于、两点，且，，可得，则圆的方程为：．由（）可得，，，直线：过定点，如图，yO x∵，∴若直线：与线段没有公共点，则实数的取值范围是．由到直线的距离，解得，由图可知，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．yO x【踩分点】。
浦东高二期末数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，那么a10的值为：A. 17B. 19C. 21D. 23答案：C3. 下列命题中正确的是：A. 若两个三角形的边长分别为3、4、5和5、12、13，则这两个三角形全等。
B. 若两个三角形的面积分别为6和9，则这两个三角形相似。
C. 若两个三角形的周长分别为12和18，则这两个三角形相似。
D. 若两个三角形的内角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，则这两个三角形相似。
答案：D4. 已知等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，那么S5的值为：A. 121B. 243C. 286答案：B5. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = x^3D. y = 1/x^2答案：C6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 4，f(-1) = 0，那么f(0)的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A7. 下列不等式中，正确的是：A. 2x + 3 > 5B. 3x - 2 < 7C. x^2 - 4 > 0D. x^2 - 4 < 0答案：C8. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为：A. (3,2)B. (2,3)D. (2,2)答案：A9. 已知等差数列{an}中，a1 = 5，公差d = 2，那么an > 0的项数是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B10. 下列方程中，解为x=2的是：A. 2x + 3 = 7B. 2x - 3 = 7C. 2x + 3 = 5D. 2x - 3 = 5答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 若sinα = 1/2，则cosα的值为_________。
2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题一、填空题1．过平面外一点与该平面平行的平面有_____个．【答案】1【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.【详解】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ，假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾，所以假设不成立，所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个．故答案为：1．2．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是______．（用“观测数据”或“实验数据”填空）【答案】实验数据【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据.【详解】由题意，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据.故答案为：实验数据.3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.【答案】307500##0.614【分析】根据经验概率的定义可求出结果.【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为307，又试验总次数为500，所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于307 500.故答案为：3075004．已知球的表面积为36π,则该球的体积为______. 【答案】36π【分析】设球半径为R ，由球的表面积求出3R =，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为R ， ∵球的表面积为36π， ∴24π36R π=， ∴3R =， ∴该球的体积为3344V ππ33633R π==⨯⨯=． 故答案为36π．【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．5．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有__________人. 【答案】68【分析】根据题意可知，随机抽查比例是4:1，算出被抽查的100名学生中对“二十四节气歌”一句也说不出的人数，按比例计算即可得出结果.【详解】由题意可知，随机抽查100名学生中有100453817--=人一句也说不出， 又抽查比例为4:1，所以，该校高二年级的400名学生中共有4001768100⨯=人对“二十四节气歌”一句也说不出. 故答案为：686．某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ___________． 【答案】0.7##710【分析】利用方差的公式求解.【详解】解：数据为6，6.5，7，7，8.5， 所以平均数为：()16 6.5778.575++++=，则方差为()()()()()222222167 6.5777778.570.75S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦， 故答案为：0.77．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________． 【答案】2【分析】根据直观图面积是原图形面积的24倍即可得出结果. 【详解】由题意可知，原图形面积为224S ==， 又直观图面积是原图形面积的24倍，所以直观图的面积为2424⨯=. 故答案为：28．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为_________． 【答案】3【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解. 【详解】如图，设二面角l αβ--为π6，点A α∈，且,6AB l AB ⊥=， 过点A 作AC ⊥平面β，垂足为C ，连接BC ， ∵AC ⊥平面β，,l BC β⊂， ∴,AC l AC BC ⊥⊥， 又∵,AB l ABAC A ⊥=，,AB AC ⊂平面ABC ，∴l ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则l BC ⊥，故二面角l αβ--的平面角为π6ABC ∠=， 在Rt △ABC 中，sin 3AC AB ABC =∠=， 故点A 到平面β的距离为3. 故答案为：3.9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．【答案】56【分析】利用割补法可得二十四等边体的体积，计算即可得解.【详解】棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体， 则该几何体的体积为3311158=18()3226V V V =--⨯⨯⨯=正方体四面体.故答案为:5610．已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B =_______. 【答案】45##0.8【分析】由已知事件A 、B 互斥，且()()2P A P B =，可求()P B ， 进而根据对立事件概率公式得到答案.【详解】解：事件A 、B 互斥，且()()2P A P B =， ()()()()335P A B P A P B P B =+== ∴解得()15P B =, ()()145115P P B B ∴=-=-=. 故答案为：45.11．小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用_________________.(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”) 【答案】三局两胜制【分析】分别计算出“三局两胜制”和“五局三胜制”下小明赢的概率，比较概率大小，确定选法. 【详解】因为小明每一局赢的概率都为0.4，所以采用“三局两胜制”时小明获胜的概率为()22122C 0.4C 0.40.60.40.352+⨯⨯⨯=，采用“五局三胜制”时小明获胜的概率为()()()()3222322334C 0.4C 0.40.60.4C 0.40.60.40.31744+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以小明选择“三局两胜制”时在比赛中赢的几率更大些，故答案为：三局两胜制.12．如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，,D E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得,,A B O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13；③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是______________ . （请填写序号） 【答案】①②③【分析】根据折叠规则可确定三棱锥的表面积与原正方形面积相等，即可判断①；再利用垂直关系找出三棱锥的底面积和高可求得其体积，能判断②；利用三条棱两两垂直可构造长方体求外接球的半径，即可判断③；利用等体积法可求得三棱锥的内切球半径判断④，得出结论. 【详解】根据题意可知，三棱锥的表面积与正方形ABCO 的面积相等为4，即①正确； 设,,A B O 三点重合于点P ，则制成三棱锥P CDE -如下图所示：易知2,1,2CP PD PE DE ====根据几何关系可知,,CP PD CP PE PD PE P ⊥⊥⋂=，所以⊥CP 平面PDE所以三棱锥的体积11111123323PDEV SCP =⋅=⨯⨯⨯⨯=，即②正确； 由,,CP PD CP PE PD PE ⊥⊥⊥可知，三棱锥的外接球与以,,CP PD PE 为棱构造的长方体的外接球相同，设三棱锥的外接球半径为R ，则满足222241164CP PD PE R ++=++== 所以，其表面积为24π6πR =，故③正确；设三棱锥的内切球半径为r，由①知三棱锥的表面积为4S=利用等体积法可知1111133333PDE CDE PDC PCEV rS rS rS rS rS=+++=，得14r=，所以三棱锥的内切球半径为14，即④错误；故答案为：①②③二、单选题13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A．条形图B．茎叶图C．散点图D．扇形图【答案】C【分析】根据相关图的特征理解判断.【详解】条形图：是用宽度相同的条形的高度（或长度）表示数据的频数，故符合题意；茎叶图：即可以保留原始数据又可以方便记录数据，故符合题意；散点图：用两组数据构成多个坐标点，通常用于比较跨类别的成对数据，不符合题意；扇形图：是用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各个部分占总体的百分数，扇形图可以容易看出各个部分所占总体的比例，故符合题意；故选：C.14．下列说法正确的是（）A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥【答案】B【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.【详解】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，故A错误.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B正确.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误.以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，故D错误.故选：B15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C ．甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89 【答案】D【分析】A. 利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断.【详解】对A ，甲班参赛同学得分的极差为937617-=，乙班参赛同学得分的极差为947123-=，故正确；对B ，甲班参赛同学得分的中位数是8284832+=，乙班参赛同学得分的中位数是828583.52+=，故正确；对C ，甲班参赛同学得分的平均数为7679808284889093848+++++++=，故正确；对D ，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，3864⨯=，取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为899089.52+=，故错误. 故选：D16．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判断；③列举事件“至少1次正面朝上”判断；④利用古典概型的概率求解判断.【详解】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确；②事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误；③事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确；④样本空间为“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4种，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1种，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14，故正确；故选：C.17．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8【答案】D【分析】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案,【详解】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ，令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ， 可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立， 即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合， 故22(0,8]m n +∈， 故选：D18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524OM a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25C 3D 5【答案】B【分析】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=得到圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ， 因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524OM a b =+-， 则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半， 4121254-=+故选：B三、解答题19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.(1)求异面直线1BD 与1CC 所成的角；(2)判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)arctan 2(2)1BD //平面AEC ，理由见解析【分析】（1）通过平移找到异面直线所成的角，在三角形中求解即可. （2）通过线面平行判定定理判断.【详解】（1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC 所成的角. 设1BB a =，则112B D a =，1BD 3a =，所以11tan 2∠=B BD . 所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arctan 2（结果也可写成6arcsin 3或3arccos 3）. （2）1BD //平面AEC连接BD ，交AC 于O ，连接OE ,在1BDD 中，,O E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .因为OE ⊂平面AEC 上，而1BD ⊄平面AEC 上，由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .20．不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.(1)甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；(2)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.【答案】(1)14(2)不公平，理由见解析【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.【详解】（1）设事件两球编号均为奇数为事件A ，由已知随机试验的样本空间为()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,共16个基本事件，事件A 包含基本事件()()1,1,1,3,()()3,1,3,3，所以()41164P A ==， 所以事件两球编号均为奇数的概率为14； （2）由(1)事件5m n +>包含基本事件()2,4,()()3,3,3,4,()()()4,2,4,3,4,4，所以()635168P m n +>==， 所以事件甲赢的概率为38，故事件乙赢的概率为58， 因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.21．如图，在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=.(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.【答案】(1)643π3，32π (2)155【分析】（1）根据旋转体的几何特征可求得圆锥底面积和高，利用圆锥体积公式可求得体积，再利用侧面展开图和扇形面积公式可得侧面积；（2）根据线面角的定义作出直线CD 与平面BOC 所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.【详解】（1）由题意可得4,43OB OA ==，所以底面圆面积2π16πS OB =⋅=，圆锥的高43h OA ==， 所以圆锥的体积为116416π433π333V Sh ==⨯⨯=. 圆锥侧面展开图的半径为8R AB ==，弧长为底面圆周长2π8πl OB =⋅=圆锥的侧面积为132π2S Rl ==侧. （2）取BO 中点H ，连接,DH CH ，如下图所示：在AOB 中，中位线//DH AO ，易知AO ⊥平面BOC可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即为直线CD 与平面BOC 所成的角，易知1232DH AO ==，又π2BOC ∠=，所以224225CH =+=， 所以23315tan 5255DH DCH HC ∠====. 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155. 22．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．【答案】(1)0.02a =(2)平均数为74分钟(3)35【分析】（1）结合频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程求解即可；（2）将各组的频数计算出来，直接计算平均值即可3；（3）先算出每组要抽取的人数，编号写出样本空间，再计算概率.【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，得0.02a =，（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95对应的频数分别为10、20、45、20、5这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟.（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此[50,60)中抽取1人，记为a ,[60,70)中抽取2人，记为b,c ，[80,90)中抽取2人，记为d,e ，再从中任选2人进行调查，样本空间{},,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de Ω=共10个样本点，设事件A 为“恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)”，{},,,,,A ad bd cd ae be ce =共6个样本点，故其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为63=105P =. 23．如图，已知四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.(1)求证：AC CD ⊥；(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；(3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【答案】(1)证明见解析(2)22+(3)312P P P <<【分析】（1）由线面垂直得到AB CD ⊥，结合BC CD ⊥得到线面垂直，进而证明出线线垂直； （2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平面图形，连接BD ，即为所求，利用余弦定理求出答案即可；（3）利用组合知识及列举法求出1P 、2P 、3P 的大小，比较出大小关系.【详解】（1）因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，又BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以AC CD ⊥；（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平面图形，连接BD ，由（1）知：∠ACD =90°，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AB ⊥BC ，因为1AB BC CD ===，所以∠ACB =45°，故展开后3π4BCD ∠=，所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长.由余弦定理得：222232cos 112cos π224BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠=+-=+（3）6条棱中任选2条，共有2615C =种情况，其中,,,,AB BC AB BD AB CD AC CD BC CD ⊥⊥⊥⊥⊥， 所以151153P ==， 四个面任取两个面，共有24C 6=种情况，其中平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 故23162P ==， 任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有14C 种情况，再从不在此面上的三条棱中选1条，有13C 种情况，故共有1134C C 12=种情况，其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD 和棱AB ，平面ABC 和棱CD ， 故321126P ==， 所以312P P P <<.。
2019-2020学年上海浦东新区高二上学期数学期末试卷
浦东新区高二期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 写出方程组32538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵 2. 已知(1,0)a =，(2,4)b =，则||a b += 3. 32lim 32n nn nn →∞-=+ 4. 直线40x my -+=的倾斜角为4π，则m 的值是 5. 已知点(1,2)A ，(3,0)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 6. 直线l 的一个方向向量(1,2)d =，则l 与直线0x y -=的夹角大小为（用反三角函数表示）7. 向量(,12)OA k =，(1,2)OB =，(3,4)OC =，若A 、B 、C 三点共线，则k =8. 若无穷等比数列{}n a 的各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是9. 已知点(4,1)P ，点Q 的坐标(,)x y 满足212x y =，则点P 与点Q 距离的最小值为 10. 已知(2,0)A -，点P 为曲线221x y +=上一个动点，O 为原点，则AO AP ⋅的取值范 围是11. 已知△ABC 满足313()||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ++=+，则BAC ∠为12. 若实数x 、y 满足221x y +=的取值范围为二. 选择题13. 直线210x y ++=与直线36100x y +-=的位置关系是（ ）A. 相交B. 重合C. 平行D. 垂直14. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A. 22x y =B. y x =C. ||y x =D. 0x y +=15. 已知数列{}n a 满足1120191()20202n n n a n ≤≤⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则lim n n a →∞=（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 不存在16. 已知△ABC 中，2A π∠= ，1AB AC ==，当每个i λ（1,2,3i =）取遍1±时，123||AB BC CA λλλ++的取值不可能是（ ）A. 0B. 1C. 2D.三. 解答题17. 已知二元一次方程组(3)223(21)20k x y k x k y k --=⎧⎨++++=⎩无解，求k 的值.18. 等差数列{}n a 中，若33a =，69a =.（1）求等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）求limn n nna S →∞.19. 已知△ABC 的三个顶点分别为(1,2)A 、(4,1)B 、(3,6)C .（1）求BC 边上的中线所在直线的一般式方程；（2）求△ABC 的面积.20. 如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转 动，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，设AD mAB =，AE nAC =，其中01m <≤，01n <≤.（1）求表达式11m n+的值，并说明理由； （2）求△ADE 面积的最大和最小值，并指出相应的m 、n 的值.21. 已知直线20x y ++=与圆心为坐标原点的圆O 相切.（1）求圆O 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线与圆O 交于A 、B 两点，若弦长230||5AB =，求直线AB 的斜 率的值；（3）过点(1,1)Q 作两条相异直线分别与圆O 相交于M 、N ，且直线QM 和直线QN 的 倾斜角互补，试判断向量OQ 和MN 是否共线？请说明理由.参考答案一. 填空题1. 325318-⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 53. 14. 15. 1y x =-6. arccos10 7. 11 8. (2,4)9.10. [2,6] 11. 3π 12. [4,6]二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 解答题 17. 32k =. 18.（1）23n a n =-，22n S n n =-；（2）2.19.（1）3570x y -+=；（2）7.20.（1）113m n+=，理由略；（212m =，25n =或1m =，12n =，23m n ==. 21.（1）222x y +=；（2）2或12；（3）共线，理由略.。
上海浦东新区高二上学期期末考试数学试卷含答案
上海浦东新区高二第一学期期末教学质量检测卷数学试卷一、填空题：本大题共12个小题,每小题分,共36分.1.已知112lim =+-∞→n an n ，则实数a 的值为 ．2.直线4131:+=-y x l 的一个方向向量可以是 ． 3.二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-8352y x y x 的增广矩阵为 ．4.如图，程序框图中，语句1被执行的次数为 ．5.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2n S n =，则=8a ．6.设向量与的夹角为θ，)1,1(=，)1,1(-=-，则=θcos ．7.用数学归纳法证明：)1(1112132≠--=+++++++c cc cc c c n n ，当1=n 时，左边为 ．8.已知等差数列}{n a 中，6373a a =，且291=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，若n S 取得最大值，则=n ．9.求和：=+++⨯+⨯)1(1431321n n ． 10.已知)3,2(A ，)0,1(B ，动点P 在y 轴上，当||||PB PA +取最小值时，则点P 的坐标为 ．11.若关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 24有无穷多组解，则m 的取值为 ．12.我们知道：qn q q p n q p q n n p n +∙--∙=++11)(，已知数列}{n a 中，11=a ，)1(221+++=-n n n a a n n ),2(*N n n ∈≥，则数列}{n a 的通项公式=n a ．二、选择题（每题3分，满分12分）13.在平面上，四边形ABCD 满足=，0=∙，则四边形ABCD 为（ ） A ．梯形 B ． 正方形 C ． 菱形 D ．矩形 14.直线)0,0(0:>>=++b a c by ax l 的倾斜角是（ ） A ．)arctan(b a - B ．ba arctan -π C ．b a arctan 2+πD ．baarctan +π 15.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，11=a ，43=a ，则此数列的前n 项和等于（ ） A ．12+nB ．12-nC ．)14(31-n D ．)14(31+n 16.若动点P 到x 轴、y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．)0(≠=x k x y B ．)0(≠=x kx y C ．)0(≠-=x kxy D ．)0(≠±=x kx y 三、解答题 （本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线023:=-+y x l 与圆2:22=+y x O 相交于B A ,两点.（1）求弦AB 的长；（2）求弦AB 的垂直平分线的方程.18. 已知)2,1(=，)1,3(=，k -=，且⊥. （1）求向量b 在向量a 的方向上的投影； （2）求实数k 的值及向量的坐标.19. 过点)2,1(P 作直线l 交x 轴正半轴于A 点、交y 轴正半轴于B 点 （1）若3=时，求这条直线l 的方程；（2）求当三角形AOB （其中O 为坐标原点）的面积为4时的直线l 的方程.20. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，82=a ，18510=S ，对每个正整数k ，在k a 与1+k a 之间插入13-k 个3，得到一个新的数列}{n b . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和为n T .21. 已知圆)0()()(:222>=-+-a a a y a x C 的面积为π，且与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线)2(:+=x k y l 与线段AB 相交，求实数k 的取值范围； （3）试讨论直线)2(:+=x k y l 与（1）小题所求圆C 的交点个数.试卷答案一、填空题（每小题3分，共36分） 1．1； 2．()43,； 3．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-813521；4．34； 5．15； 6．22； 7．21c c ++；8. 8； 9．1121+-n ； 10．()10,； 11．2； 12．112231+-⨯-n n . 二、选择题（每小题3分，共12分）13. C ； 14. B ； 15. B ； 16．D ．三、解答题 （本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 解：（1）因为圆心O 到直线l 的距离1312030=+-⨯+=d ，所以弦长2AB ===.（2）弦AB 的垂直平分线的方程可设为03=+-c y x ， 由圆的性质知，弦AB 的垂直平分线经过圆心O ，所以，0=c ， 所以，弦AB 的垂直平分线的方程为03=-y x .18．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 解：（1）因为θ=⋅，所以，向量在向量521232=++==θ.…3分（2）因为()k ,k k 213--=-=，且()21,=，因为⊥，所以，0=⋅，即，()()021231=-⨯+-⨯k k ， 解得，1=k ，此时，()12-=,.19．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 解：（1）显然直线l 的斜率k 存在且0<k ， 设l ：()21+-=x k y ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-021,k A ，()k ,B -20.则，⎪⎭⎫⎝⎛=22,k ，()k ,PB --=1，由3=，得，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=k k 3232，即32-=k所以，所求直线l 的方程为()2132+--=x y 或写成0432=-+y x . （2）由题意知，OB OA S AOB 21=∆()k k -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22121()44212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=k k ()0<k ， 则()44=⎪⎭⎫⎝⎛-+-k k ，解得2-=k . 此时直线l 的方程为()212+--=x y 或写成280x y +-=. 20．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）由⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a ，解得⎩⎨⎧==351d a ，所以，()23315+=⨯-+=n n a n .（2）只要把a k =3k+2在数列{}n b 的第几项确定，而{}n b 其余的项都是3，那么{}n b 确定了。
2020-2021学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．9与1的等比中项为．2．＝．3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝．4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是．6．向量＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为．7．已知数列{a n}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝．8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为．9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是．10．若{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，则a1的取值范围为．11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为．12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．直线l：＝的一个方向向量可以是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，2）14．二元一次方程的系数行列式的值是（）A．2B．5C．7D．1115．若等比数列{a n}的前项和S n＝3n+a，则a的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣316．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件三、解答题17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若⊥，求实数λ的值和向量．19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．20．已知数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n为数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．参考答案一、填空题（共12小题）.1．9与1的等比中项为±3．解：9与1的等比中项＝±＝±3．2．＝．解：根据题意，＝＝，故答案为：．3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝4．解：∵＝（1，2）与＝（2，m）平行，∴，解得实数m＝4．故答案为：4．4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为﹣12．解：三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．故答案为：﹣12．5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是60°．解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1＝0化为y＝x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ＝60°．故答案为：60°．6．向量＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为4．解：∵，∴在方向上的投影为：．故答案为：4．7．已知数列{a n}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝18．解：等差数列{a n}满足a5＝2，则其前9项和S9＝＝9a5＝18．故答案为：18．8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为．解：直线l1：x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为，直线l2：x﹣y+2＝0的斜率为1，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（﹣25，+∞）．解：根据题意，若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则有（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，即100+4k＞0，解可得k＞﹣25，即k的取值范围为（﹣25，+∞），故答案为：（﹣25，+∞）．10．若{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，则a1的取值范围为（0，2）∪（2，4）．解：{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，所以|q|∈（0，1），所以（a1+a2+…+a n）＝＝＝2，所以a1＝2（1﹣q）∈（0，2）∪（2，4）．故答案为：（0，2）∪（2，4）．11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为2+．解：圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝2，圆心（1，﹣1）到直线x﹣y＝0的距离为d＝，又动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，∴动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值为2+，最小值为0，最大值与最小值的和为2+．故答案为：2+．12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，∵AB＝2，AD＝1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b＝∴，＝（2，），∴＝，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]二、选择题13．直线l：＝的一个方向向量可以是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，2）解：直线l：＝可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线l：＝的一个方向向量可以是（2，3）．故选：A．14．二元一次方程的系数行列式的值是（）A．2B．5C．7D．11解：二元一次方程的系数行列式为．故选：C．15．若等比数列{a n}的前项和S n＝3n+a，则a的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3解：∵S n＝3n+a，S n﹣1＝3n﹣1+a，（n≥2，n∈N+），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝2•3n﹣1，又a1＝S1＝3+a，由通项得：a2＝6，公比为3，∴a1＝2，∴a＝﹣1．故选：C．16．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：已知点P（a，b），曲线C1的方程x2+y2＝1，即曲线C1为圆心在原点，半径为1的圆，曲线C2的方程y＝，即曲线C2为圆心在原点，半径为1的上半圆，①若点P（a，b）在曲线C1上，则点P（a，b）满足曲线C1的方程x2+y2＝1，即a2+b2＝1成立，则不一定有b＝，b≥0成立，所以点P（a，b）在曲线C1上，不能推出点P（a，b）在曲线C2上，②若点P（a，b）在曲线C2上，则点P（a，b）满足曲线C2的方程y＝，有b＝，因为曲线C2为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，b≥0，所以点P（a，b）在曲线C2上能推出点P（a，b）在曲线C1上，即能推出a2+b2＝1成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的必要非充分条件，故选：B．三、解答题17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．解：根据题意设直线l的方程为2x+y+m＝0，令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝﹣，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|m||﹣|＝4，所以m2＝16，解得m＝±4，所以直线l的方程为2x+y+4＝0或2x+y﹣4＝0．18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若⊥，求实数λ的值和向量．解：（1）∵＝（1，2），＝（2，﹣2）．∴与的夹角θ的余弦值为：cosθ＝＝＝﹣．（2）∵＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．∴＝（2，﹣2）﹣（λ，2λ）＝（2﹣λ，﹣2﹣2λ），∵⊥，∴＝1×（2﹣λ）+2×（﹣2﹣2λ）＝0，解得，∴＝（，﹣）．19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）∴AB中点M（0，0）又∵k AB＝0，∴线段AB的垂直平分线的方程为x＝0；（2）设G（x，y），C（x0，y0），∵点G是△ABC的重心，∴，即，又因点C在曲线y＝x2+3上，∴即3y＝（3x）2+3，∴动点G的轨迹方程y＝3x2+1．20．已知数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n为数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．解：（1）数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1）在直线x﹣y+1＝0上，所以a n+1﹣a n＝1（常数），所以数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n．（2）存在g（n）＝n，理由如下：由（1）得b n＝＝，所以，即nS n﹣nS n﹣1＝1，故nS n﹣（n﹣1）S n﹣1＝S n﹣1+1，（n﹣1）S n﹣1﹣（n﹣2）S n﹣2＝S n﹣2+1，…，2S2﹣S1＝S1+1，所有的式子相加得：nS n﹣S1＝S1+S2+…+S n﹣1+n﹣1，所以S1+S2+S3+…+S n﹣1＝nS n﹣n＝n（S n﹣1），所以g（n）＝n．故存在关于n的整式g（n）＝n，使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．解：（1）由圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点，且a＞0，b＞0，可得a＝b＝2，则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（2）由（1）可得，A（2，0），B（0，2），直线l：y＝kx﹣2过定点P（0，﹣2），如图，∵k PA＝1，∴若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，1）；（3）由C（2，2）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d＝，解得k＝．由图可知，当k∈（﹣∞，）时，直线l与圆C相离；当k＝时，相切；当k∈（，+∞）时，相交．。
2021-2022学年上海市浦东新区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点和间的距离为__．()1,1,2A ()2,0,2B -【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.=.2的倾斜角为______．y 10-+=【答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．的倾斜角为．10y -+=θ化为，故，10y -+=1y =+tan θ=又，故，故答案为．(]0,θπ∈3πθ=3π【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且()00Ax By C B ++=≠Ak B =-，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．tan θk =θ(]0,π3．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为__________．1:4【答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知体积比24S R π=1:2343V R π=为1:8【解析】球体的表面积体积4．经过点且斜率为2的直线的一般式方程为__．(3,2)A -l 【答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线过点且斜率为2，l (3,2)A -故答案为：280x y --=5．空间向量，若，则__．(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- //a b m n +=【答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得即可求得的值.,m n m n +【详解】若，则，则，所以．//a b(2,,4)2(1,0,)n m -=--0,2n m ==2m n +=故答案为：26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×=40.1201200【解析】本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量，则向量的夹角为_____．()()1,0,1,0,1,1a b ==-,a b【答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量的夹角为，,a bθ向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-1a b ⋅=-则1cos 2θ==-又由，则0θπ≤≤23πθ=故答案为：．23π8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径==2412S ππ∴==故答案为：12π9．已知圆锥的底面半径为1的大小为_________．θ【答案】π【解析】圆锥的底面半径为12，即展开图的弧长，根据勾股定理可知π圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为1，2=即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长即为展开后所得扇形的弧长，2l π=所以根据弧长公式可知，22πθ=解得θπ=故答案为：π10．已知样本的平均数是________.9,10,11,,x y 10xy =【答案】96【详解】，，9101150,20x y x y ++++=+=2211(10)(10)10x y ++-+-=22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取,a b 3πP 2,a b θθ值范围是___________.【答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线平移交于点，并作及其外角的角平分线；根据过空间一点有且仅有,a b P a Pb ''∠P 条直线与所成角都是，可知方向上有两条，方向上不存在，由此可得范围.2,a b θ1l 2l 【详解】将直线平移交于点，设平移后的直线为，,a b P ,a b ''过点作及其外角的角平分线，则；P a Pb ''∠12,l l 3a Pb π''∠=在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；1lP ,a b θ6πθ>在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；2l P ,a b θ3πθ<综上所述：.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【答案】【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，4πn解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动点，11111ABCD A B C D -12,P P 1,AB BD 且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是___________.12PP11A ADD 121PP AB 【答案】124【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ， ，121//PP AD 12PP B ∴ 1AD B 112211PB PP P B AB AD BD ==设，则 ， 到平面 的距离为 ，则,1,(0,1)PB x x =∈12PP =2P 11AA B B h 2111P B hA D BD =所以，所以四面体 的体积为，h x =121PP AB 22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+当时，四面体 的体积取得最大值： ．12x =121PP AB 124所以答案应填： ．124【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出121//PP AD 12PP B ∴ 1AD B，则 ， 到平面 的距离为 ，表示出四面体 的体积，1,(0,1)PB x x =∈12PP =2P 11AA B B x 121PP AB 通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱中，，点P 满足，其中，111ABC A B C -11AB AA ==1BP BC BB λμ=+ [0,1]λ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）[0,1]μ∈①当时，的周长为定值1λ=1AB P △②当时，三棱锥的体积为定值1μ=1P A BC -③当时，有且仅有一个点P ，使得12λ=1A P BP ⊥④当时，有且仅有一个点P ，使得平面12μ=1A B ⊥1AB P【答案】②④【分析】①结合得到P 在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到1λ=1CC 点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④1A P BP ⊥结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：，，，所以P 为正方形内一点，1BP BC BB λμ=+ [0,1]λ∈[0,1]μ∈11BCC B ①，当时，，即，，所以P 在线段上，所以周长1λ=1BP BC BB μ=+ 1CP BB μ= [0,1]μ∈1CC 1AB P △为，如图1所示，当点P 在处时，，故①错误；11AB AP B P ++12,P P 111122B PAP B P AP +≠+②，如图2，当时，即，即，，所以P 在上，1μ=1BP BC BB λ=+ 1B P BC λ=[0,1]λ∈11B C ，因为∥BC ，平面，平面，所以点P 到平面距1113P A BC A BC V S h -=⋅ 11B C 11B C ⊄1A BC BC ⊂1A BC 1A BC 离不变，即h 不变，故②正确；③，当时，即，如图3，M 为中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动12λ=112BP BC BB μ=+ 11B C 点，易知当时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以0μ=AN ⊥BC ，又⊥BC ，，所以BN ⊥平面，因为平面，则1AA 1AA AN A = 1ANMA 1A P ⊂1ANMA ，当时，点P 与点M 重合时，可证明出⊥平面，而平面，1BP A P ⊥1μ=1A M 11BCC B BM ⊂11BCC B 则，即，故③错误；1A M BM ⊥1A P BP⊥④，当时，即，如图4所示，D 为的中点，E 为的中点，则P 为12μ=112BP BC BB λ=+ 1BB 1CC DE 上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F ，连接11A B AB ⊥1A B ⊥1AB P 11A B B P ⊥11B C ，又因为平面，所以，若，只需平面，即1,A F BF1A F ⊥11BCC B 11A F B P ⊥11A B B P ⊥1B P ⊥1A FB 即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，故只有一个点P 符合要求，1B P BF ⊥1B P BF⊥使得平面，故④正确.1A B ⊥1AB P故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内l 的时候就不满足，当直线与平面平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，l α前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，∴即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取，则是必然事件；x A ∈x B ∈②若任取，则是不可能事件；x A ∉x B ∈③若任取，则是随机事件；x B ∈x A ∈④若任取，则是必然事件．x B ∉x A ∉其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取，则是必然事件，故①x A ∈x B ∈正确；对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；x A ∉x B ∈对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取，则是随机事件，故③正确；x B ∈x A ∈对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取，则是必然事件，故④正确；x B ∉x A ∉所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则1111ABCD A B C D -1B 1BD 11A BCD h d 下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为hd (0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为hd C ．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为hd D ．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为hd )+∞【答案】C【详解】设侧棱长是， 底面的变长是，点到对角线的距离即为直角三角形斜b a 1B 1BD h 11B BD 边上的高，到平面的距离分别即为直角三角1BD 111,,B D B B b h ===1B 11A BCD d 形斜边上的高，1BBA 1BA 111,,B A a B B b h h d ===∴=====若侧棱的长小于底面的边长，即b a<22222142,111231a a b b ><+<⇒<<+A,B错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a>222221402,21231a a b b <<>+>⇒>>+选C20．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线1111ABCD A B C D -O BD P 11B C 与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）OP 1A BD αsinαA ．B ．C ．D．【答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出在是sin α=sin y α=[0,2]a ∈严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，D DA x DC y 1DD z 则，，1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a 02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-设平面的法向量，则，1A BD(,,)n x y z = 1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取，得，1x =(1,1,1)n =--所以sin cos ,||||OP n OP n OP n α⋅====⋅==因为，所以在上单调递减，02a≤≤14ya=-[0,2]a∈且，1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭由复合函数单调性可知单调递增，21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭所以在是严格减函数，sinyα=[0,2]a∈所以时，取最小值，2a=sinαmin(sin)α==时，取最大值a=sinαmax(sin)α==所以的取值范围是．sinα故选：C．【点睛】方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，求：4535(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，4535所以，甲、乙两人都及格的概率.143125525P =⨯=（2）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，4535所以，两人都不及格的概率为，432(1)(1)5525--=所以，至少有一人及格的概率；222312525P =-=（3）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，4535所以，恰有一人及格的概率．3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，[40,50)，，，．[50,60) [80,90)[90,100](1)求频率分布直方图中的值；a (2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．[40,60)[50,60)【答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为求解即可；1（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为，解得；(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=0.006a =所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为；450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）解：由题知，人，，500.004102⨯⨯=500.006103⨯⨯=所以，评分在的职工有人，记为，[40,50)2,A B 评分在的职工有人，记为，[50,60)3,,a b c 所以，从中随机抽取人，所有的情况为：，，2()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ()()(),,,,,B a B b B c ，共10种，()()(),,,,,a b a c b c 其中，此2人评分都在的有，3种，[50,60)()()(),,,,,a b a c b c 所以，此2人评分都在的概率．[50,60)310P =23．正方体的棱长为2，分别为的中点，求：1111ABCD A B C D -,E F 1BB CD 、(1)异面直线与所成的角；AF 1D E (2)求点到平面的距离．F 11A D E【答案】(1)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角1D 11111,,D A D C D D x y z 坐标系，则，11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=11111cos,||||A F D EAF D EA F D E⋅===所以异面直线与所成的角为AF1DE（2），111(2,0,0),(2,2,1)D A D E==设是平面的法向量，(,,)n x y z=11A D E则，令，得，11120220n D A xn D E x y z⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩1y=-(0,1,2)n=-又，1(0,1,2)D F=所以点到平面的距离F11A D E1||||n D Fdn⋅==24．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上（点异于、两点），点在ABCD E EA B F上，且，若圆柱的底面积与的面积之比等于．DE AF DE⊥ABEπ(1)求证：；AF BD⊥(2)求直线与平面所成角的正切值．DE ABCD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，平面．DA ⊥ABE 因为平面，所以．EB ⊂ABE DA EB ⊥因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，AB E 所以，又，故平面．AE EB ⊥AE AD A ⋂=EB ⊥DAE 因为平面，所以．AF ⊂DAE EB AF ⊥又，且，故平面．AF DE ⊥EB DE E = AF ⊥DEB 因为平面，所以．DB ⊂DEB AF DB ⊥（2）因为平面平面，所以过作，ABCD ⊥ABE E EH AB ⊥由平面平面，则平面，即为与平面所成角，ABCD ⋂ABE AB =EH ⊥ABCD EDH ∠DE ABCD 设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，r ABCD的面积为．圆柱的底面积，ABE 12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅2S r π=因为圆柱的底面积与的面积之比等于，所以，ABE π2r EH r ππ⋅⋅=解得，所以点为圆柱底面圆的圆心，EH r =H则tan EH EDH DH ∠====即直线与平面DE ABCD25．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是为侧棱上的点．S ABCD -P SD(1)求正四棱锥的体积；S ABCD -(2)若平面，求二面角的大小；SD ⊥PAC P AC D --(3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；SC E //BE PAC :SE EC 若不存在，试说明理由．【答案】(2)30︒(3)当时，平面．:2:1SE EC =//BE PAC 【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设，通过得到的坐标，结合求出CE tCS = BE BC tCS =+ BE0BE DS ⋅= 的值，求出答案.t 【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是S ABCD -所以SO ⊥平面ABCD ，AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高h =正方形ABCD 的面积为，224=所以正四棱锥的体积S ABCD -143V =⨯=（2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，O ,,O OC O B Sx y z建立坐标系如图．由（1）知高．O xyz -SO =于是，(S D C，，(OC SD == 0OC SD ⋅=故，从而，OC SD ⊥AC SD ⊥所以平面的一个法向量，PAC DS =平面的一个法向量．DAC OS = 由图可知二面角为锐角，设所求二面角为，P AC D --θ则cos ||||OS DS OS DS θ⋅==所求二面角的大小为；30︒（3）在棱上存在一点使平面．SC E //BE PAC 由（2）得是平面的一个法向量，DS PAC且，设，(0,DS CS == CE tCS =则，()BE BC CE BC tCS =+=+= 而，即当时，，103BE DS t ⋅=⇔=:2:1SE EC =BE DS ⊥ 而不在平面内，故平面．BE PAC //BE PAC。
MXT-上海市浦东新区高二上学期期末质量抽测数学试题
上海市浦东新区高二上学期期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、填空题：1、1和9的等差中项为2、线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫ ⎪⎝⎭，则线性方程组的解是 3、行列式283157146--中元素8的代数余子式的值为4、若向量(1,2),(1,3),3a b c a b ==-=-r r r r r ，则向量c r 的单位向量0c =u u r5、等差数列{}n a 中，1381,3,9a a a =-==，则n =6、已知向量(1,2),(1,)a b x x ==+r r ，且a b ⊥r r ，则x 的值为7、椅子1223PP PP =-u u u r u u u r ，若实数λ满足221PP P P =u u u r u u u u r ，则λ的值是 8、一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为9、关于x 的方程211240139xx =的解为 10、若无穷等比数列{}n a 的各项和为3，则首项1a 的取值范围为11、已知正方形ABCD 的边长为1，M 是正方形ABCD 四边上或内部的动点，则AB AM ⋅u u u r u u u u r 的取值范围是12、定义1111()11n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量(,)n n n OP x y =u u u r 到向量111(,)n n n OP x y +++=u u u u u r 的一个矩阵变换，设向量1(cos ,sin ),OP O αα=u u u r 为坐标原点，则n OP=u u u r二，选择题：13、用数学归纳法证明：22111(1,)1n n a a a aa n N a ++*-++++=≠∈-L ，在验证1n =时，等式左边为 A ．1 B ．1a + C ．21a a ++ D ．231a a a +++14、下列命题正确的是A ．若lim(,)0n n n a b a →∞=≠，则lim 0n n a →∞≠且lim 0n n b →∞≠ B ．若lim(,)0n n n a b →∞=，则lim 0n n a →∞=且lim 0n n b →∞= C ．若无穷数列{}n a 有极限，且它的前n 项和为n S ，则12lim 0lim lim lim n n n n n n S a a a →∞→∞→∞→∞=+++L D ．若无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim n n n n a a +→∞→∞= 15、如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是A ．AB CD BC DA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r B ．AC CD BC AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u rC ．AC DB DC BA +=+u u u r u u u r u u u r u u u rD ．AB DA AC DB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r16、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若已知6778,S S S S <>，则下列叙述中正确的个数有①n S 是所有()n S n N *∈中的最大值；②7a 是所有()n a n N *∈中的最大值；③公差d 一定小于0 ④9S 一定小于6SA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分8分）已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩。
上海市浦东新区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷
或㌳
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系
18.已知 ᶑ Ԧ l ， ᶑ Ԧ l ， （1）求 与 的夹角θ的余弦值；
㤵.
（2）若
，求实数 㤵 的值和向量 .
【答案】 （1）解：由 ᶑ Ԧ l ， ᶑ Ԧ l ，
所以 cos〈 Ԧ 〉
× ㌳ ×ᶑ l
，
ਟ×
所以 与 的夹角θ的余弦值为
（2）解：若
，则
的重心，求动点 G 的轨迹方程.
【答案】 （1）解： 、 的中点的坐标为 ᶑ Ԧ l ，且 、 在 x 轴上关于原点对称，所以线段 AB 的垂
直平分线即为 y 轴，方程为
.
（2）解：设 ᶑ Ԧ l ， ᶑ Ԧ l ，则
㌳ ，由重心坐标公式得
㌳㌳
，
所以
，代入
㌳得
㌳ ，即
㌳，
所以动点 G 的轨迹方程为
㌳.
B. 5
C. 7
D. 11
【答案】 C
【考点】二元一次方程组的矩阵形式
3.等比数列
的前 项和
㌳ ，则 的值为（ ）
A. 3
B. 1
C. -3
D. -1
【答案】 D
【考点】等比数列的性质，数列递推式
4.已知点 P(a，b)，曲线 线 C2 上”的（ ）
A. 充分非必要条件
t㌳
，t
B. 必要非充分条件
，则“点 P(a，b)在曲线 C1 上”是“点 P(a，b)在曲
上海市浦东新区 2020-2021 学年高二上学期数学期末考试试卷
一、单选题（共 4 题；共 8 分）
1.直线 t
㌳ 的一个方向向量可以是（ ）
A. (2，3)
B. ( ，3)
2023-2024学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题1(含解析)
2023-2024学年上海市浦东新区高二上册期末数学试题一、填空题1．空间中两条直线的位置关系有___________.【正确答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故平行、相交、异面.2．直线20x y -+=的倾斜角为______．【正确答案】π4【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率计算倾斜角.【详解】设直线20x y -+=的倾斜角为θ，[0,π)θ∈，由方程可知直线斜率1k =，则tan 1θ=，所以π4θ=．故答案为.π43．一个球的体积为36π，则该球的表面积为______.【正确答案】36π【分析】设球的半径为r ，由球的体积求出r 的值，再由球的表面积公式即可求解.【详解】设球的半径为r ，由题意可得：34π36π3r =，所以327r =解得：3r =，所以该球的表面积为224π4π336πr =⨯=,故答案为.36π4．已知椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是__________．【正确答案】8【分析】直接利用椭圆的定义求出点P 到一个焦点的距离.【详解】因为已知椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，设点P 到另一个焦点的距离为m ，按照椭圆的定义，m +2=10，解得：m =8.故85．已知圆锥底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____．【正确答案】2π【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，2=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.6．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数的值是______.【正确答案】8【详解】试题分析：221610x y -=的右焦点为，所以本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力.点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别.7．直线:10l x y +-=与圆22:2C x y +=交于A 、B 两点，则AB =______．【分析】求圆心到直线的距离，利用几何法求弦长.【详解】圆C 的圆心(0,0)到直线:10l x y +-=的距离d =又圆C 的半径r =||AB =8．二面角l αβ--为60 ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【正确答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60 ，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60 ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.9．已知点P 0y =上的动点，则点P 到直线34100x y --=距离的取值范围是______．【正确答案】7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点P 到直线的最大距离和最小距离.0y =即()2210x y y +=≥，0y =是圆心为(0,0)，半径为1的圆的上半部分，如图，点P 0y -=上的动点，则点P 到直线34100x y --=13+=，点P 为()1,0时到直线34100x y --=75=．则点P 到直线34100x y --=距离的取值范围是7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．函数()f x =______．【正确答案】60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】通过三角换元，转化成三角函数的值域问题.【详解】令[]2cos ,0,πx θθ=∈，则()sin 12cos 3f x θθ-=-，令sin 12cos 3k θθ-=-，则sin 2cos 13k k θθ-=-()13k θϕ+=-，所以()()22213sin114k kθϕ-+=≤+，所以605k ≤≤，所以函数()f x =60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线22413y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF ⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ= ．现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F 、2F 距离最小，则λ=______．【正确答案】35##0.6【分析】根据双曲线方程，结合双曲线定义及120MF MF ⋅=，求得13MF =，22MF =，设2F MN θ∠=，在三角形中分别表示出21,,,MG GF F H MH ，从而求得2FF 的三角函数表达式，当取最小值时，求得θ，从而得出N 点的位置，求出λ.【详解】在双曲线22413y x -=中，2113344c =+=，则12||2F F c ==又120MF MF ⋅=，即12MF MF ⊥ ，又2221212||||21,||||(2)13MF MF a MF MF c -==+==，所以12||3,||2MF MF ==，如图，设2NMF θ∠=，2F G MN ⊥，1F H MN ⊥，则212cos ,2sin ,3sin()3cos 2MG GF F H πθθθθ===-=，3cos()3sin 2MH πθθ=-=，所以222222212214sin (2cos 3sin )9cos F F GF GH F H θθθθ=++=+-+2213(sin cos )12sin cos 136sin 2θθθθθ=+-=-，当4πθ=时，12F F 取得最小值，此时MN 为△12MF F 的角平分线，由角平分线性质得112232F N MF NF MF ==，则1232F N NF = ，所以11235F N F F = ，所以35λ=.故3512．已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{(,)|(,)0}T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为∑曲线，下列方程所表示的曲线中，是∑曲线的有______（写出所有∑曲线的序号）①2221x y +=；②221x y -=；③22y x =；④||||1x y -=；⑤(21)(|1||2|)0x y x y -+-+-=.【正确答案】①③⑤【分析】对于任意111(,)P x y T ∈，存在222(,)P x y T ∈，使12120x x y y +=成立，即12OP OP ⊥成立.①2221x y +=表示的是椭圆，根据椭圆关于原点中心对称判断.②221x y -=表示双曲线，可取特殊点()0,0判断.③22y x =表示抛物线，根据其图象关于x 轴对称判断.④根据其图形，可取特殊点(1,0)判断.⑤由(21)(|1||2|)0x y x y -+-+-=，可得210x y -+=或点(1,2)，根据过原点一定有一条直线与之垂直来判断.【详解】对于任意111(,)P x y T ∈，存在222(,)P x y T ∈，使12120x x y y +=成立，即12OP OP ⊥.成立.对于①2221x y +=，∵2221x y +=的图象关于原点中心对称，∴对于任意111(,)P x y C ∈，存在222(,)P x y C ∈，使12OP OP ⊥.故2221x y +=为∑曲线；对于②221x y -=，当111(,)P x y 为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点222(,)P x y C ∈，使12OP OP ⊥.故221x y -=不是∑曲线；对于③22y x =，其图象关于x 轴对称，1OP 的垂线一定与抛物线相交，故22y x =为∑曲线；对于④，当111(,)P x y 为(1,0)时，曲线上不存在点222(,)P x y C ∈，使12OP OP ⊥.故④不是∑曲线；对于⑤，由(21)(|1||2|)0x y x y -+-+-=可得210x y -+=或点(1,2)，∴对于任意111(,)P x y C ∈，存在222(,)P x y C ∈，使12OP OP ⊥.故(21)(|1||2|)0x y x y -+-+-=为∑曲线.故答案为:①③⑤.本题主要考查了各种曲线的几何性质，还考查了特殊与一般的思想，属于中档题.二、单选题13．在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（）．A ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】根据空间中线面角的定义即可求解.【详解】空间内，直线与平面平行或者直线在平面内，此时直线与平面所成角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为π2，故直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦,故选：D14．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，此时，“直线与双曲线相切”不成立反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件故选：C ．15．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【正确答案】A先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．【详解】由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==，2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ，由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动，∴轨迹为圆的一部分故选：A ．关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹.16．已知抛物线21:8C y x =，圆()222:21C x y -+=，若点P 、Q 分别在1C 、2C 上运动，且设点()4,0M ，则PM PQ的最小值为（）．A ．35B ．45C ．34D ．12【正确答案】B【分析】要使||||PM PQ 最小，则||PQ 需最大，根据抛物线的定义可得max ||||13PQ PF x =+=+，||||PM PQ =3x +，然后整理换元转化为二次函数求最值.【详解】如图，设圆心为F ，则F 为抛物线28y x =的焦点，该抛物线的准线方程为2x =-，设(,)P x y ，由抛物线的定义得||2PF x =+，要使||||PM PQ 最小，则||PQ 需最大，如图，||PQ 最大时，经过圆心F ，且圆F 的半径为1，max ||||13PQ PF x =+=+，且||PM =所以||||PM PQ =3(3)x t t +=≥，则3x t =-，所以||||PM PQ =1103t <≤，而222561316()125()2525f t t t t =-+=-+，得131253t =<，()f t 取得最小值1625，则||||PM PQ 的最小值为45．故选：B ．方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）.三、解答题17．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米:（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板?【正确答案】（1）64立方米（2）80平方米【分析】（1）已知底面边长及高，根据正四棱锥的体积公式求解（2）根据题意，求正四棱锥的侧面积，已知各侧面三角形的底边，再求得三角形底边上高即可，再代入面积公式求解.【详解】（1）13V S=正方形ABCD•h 2183643=⨯⨯=.∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米.（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM .则PO ⊥平面ABCD ，PM AD ⊥，∴3PO h ==，142OM AB ==，∴225PM PO OM +=，∴11852022PAD S AD PM ∆=∙=⨯⨯=.∴S 侧面积=4=80PAD S ∆.∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板.本题主要考查了正四棱锥的体积和侧面积的求法，还考查了抽象概括的能力，属于基础题.18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点M 是BC 的中点．（1）求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值；（2）求直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值．【正确答案】(1)3030.(2)56.【详解】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出1A C ，，D ，M 四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面1A DM 的法向量，然后写出1AC 向量，在根据向量夹角公式即可求解.详解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz -．因为()1,2,0M ，()2,0,0A ，()10,2,4C ，所以()1,2,0DM = ，()12,2,4AC =- ，所以111cos ,30DM AC DM AC DM AC ⨯-+⨯+⨯⋅===⨯，所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为30．(2)()12,0,4DA = ，设平面1A DM 的一个法向量为(),,n x y z = ．则100DA n DM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得24020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =，得2x =-，1z =，故平面1A DM 的一个法向量为()2,1,1n =- ．于是1115cos ,6n AC n AC n AC -⨯-+⨯+⨯⋅===⨯ ，所以直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值为56．点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.19．已知方程221x y m+=所表示的曲线为E ，点()4,0Q ，直线:20L x y --=．(1)当直线L 与曲线E 只有一个公共点时，求m 的值；(2)若3m =-，求曲线E 上的动点P到点Q 的距离的最小值．【正确答案】(1)1m =-或3m =；(2)min PQ =【分析】（1）直线与曲线联立后的方程只有一个解；（2）设(,)P x y ，把2222224(4)816181733x PQ x y x x x x =-+=-+++=-+根据二次函数求最值.【详解】（1）由22120x y m x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得2(1)430m x mx m +-+=，由题意得此方程只有一个实数解，所以10m +=或()210Δ161210m m m m +≠⎧⎨=-+=⎩，所以1m =-或3m =；（2）若3m =-，则曲线22:13x E y -=，设(,)P x y ，则2222224(4)816181733x PQ x y x x x x =-+=-+++=-+24(3)53x =-+，所以当3x =时，min PQ =20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点(2,3).(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线0(0)x y m m -+=>与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线C 的右顶点为2A ，求2A AB ∆的面积.【正确答案】(1)2213y x -=；(2)2；(3)2.（1）由题意设双曲线22:(0)62y x C λλ-=≠，把已知点的坐标代入求得λ，则双曲线方程可求；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得AB 的中点坐标，代入圆的方程即可求得m 值；（3）双曲线C 的右顶点为2(1,0)A ，当2m =时，可得122x x +=，1272x x =-，利用行列式计算面积，即可得答案．【详解】(1)设22:(0)62y x C λλ-=≠，∵C 过点(2,3)，∴941622λ-==-，∴221:622y x C -=-，即2213y x -=；(2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22013x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(3)0x mx m --+=①．12x x m ∴+=，则AB 的中点坐标为3(,)22m m ，代入圆2210x y +=，得2291044m m +=，解得2(0)m m =>；(3)∵2(1,0)A ，当2m =时，①式即22470x x --=，∴122x x +=，1272x x =-，∴21122122113|21|22101A AB x x S x x x x ∆+=+=-==.本题考查双曲线方程的求法、直线与圆、直线与双曲线位置关系、三阶行列式的应用，考查计算能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)过)M 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标；(3)在（2）的条件下，求四边形ACBD 面积的最小值．【正确答案】(1)221(0)4x y y +=≠(2)证明见解析，定点(5(3)3225．【分析】(1)根据几何位置关系可得14PM PM +=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,E F 坐标，从而表示出EF 的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,AB CD ，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.【详解】（1）取点1(M ，则有1M O PN ∥，所以四边形1M ONP 是平行四边形，所以1PM ON =，因为4PM ON +=，所以14PM PM +=，所以动点P 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以24a =，c =所以2221b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为221(0)4x y y +=≠．（2）当1l 垂直于x 轴时，AB的中点E ，直线2l 为x 轴，与椭圆221(0)4x y y +=≠，无交点，不合题意，当直线1l 不垂直于x 轴时，不妨设直线1l的方程为(0)y k x k =≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)1240k x x k +-+-=，所以△22222()4(41)(124)16(1)0k k k =--+-=+>，所以12x x +=212212441k x x k -=+，所以1212()y y k x x k +=+--所以E ，因为12l l ⊥，以1k -代替k，得22(,)44F k k ++，所以直线EF的斜率为25(1)4(1)EF k k k k ==≠±-，所以直线EF的方程为22225()(1)414(1)41k y x k k k k +=-≠±+-+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x 轴上，令0y =，则22225()414(1)41k x k k k =-+-+，所以x =，所以直线EF恒过定点(5，当1k =±时，E，F ，所以直线EF恒过定点，综上所述，直线EF恒过定点．（3）由（2）得12x x +212212441k x x k -=+，所以||AB =224(1)41k k +==+，同理可得224(1)||4k CD k +=+，所以四边形ACBD 的面积222218(1)||||2(41)(4)k S AB CD k k +==++，令21t k =+，则1t >，所以2222288889933(43)(3)4994(34t t S t t t t t t t t====-++--++-+⋅+，因为1t >，所以303t<<，当332t =，即1k =±时，23325(344t t -+⋅+≤，所以min 3225S =，所以四边形ACBD 的面积最小值为3225．。