上海交大杜秀华老师现代控制理论 控制系统状态空间表达式的解
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的能控性和能观性6
三、 多输入多输出系统的标准形旺纳姆（Wonham ）标准形和龙伯格（Luenberger ）标准形。
1.多输入多输出系统的能控标准形考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n ，即cQ 中有n 个线性无关列。
111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=对多输入系统，1p >，c Q 中有np 列，所以，在c Q 中可以找出很多种n 个线性无关列的情况。
这里介绍两种寻找n 个线性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。
定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换1x Px Q x -==使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形:Σx A x B u y C xcW c c c =+=式中111211222A A A 0A A A Q AQ 00A m m c mm -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11(11(1)11010011,2,,0001A ,i i ii i mννννααα⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦）112()00,1,,00A i j ij ij ij ij j i m νννγγγ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(1)11(1)001001B Q B m p c n m np ββββ+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C CQ c =（无特殊形式）证明：见书 例 求如下系统的旺纳姆能控标准形121100*********A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦计算系统的能控性矩阵2101204010101001042BABA B c Q ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3c Q rank =，系统完全能控。
上海交通大学现代控制课程ppt
控制理论的基本概念
自动控制：在无人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过 程自动地按照预定要求进行。 对象：是一个设备，它是由一些机器零件有机地组合在一起的，其 作用是完成一个特定的动作。称任何被控物体（如加热炉、化学 反应器或宇宙飞船）为对象。 过程：称任何被控制的运行状态为过程，其具体例子如化学过程、 经济学过程、生物学过程。
反馈控制：反馈控制是这样一种控制过程，它能够在存在扰动的情 况下，力图减小系统的输出量与参考输入量（也称参据量）（或 者任意变化的希望的状态）之间的偏差，而且其工作正是基于这 一偏差基础之上的。在这里，反馈控制仅仅是对无法预计的扰动 （即那些预先无法知道的扰动）而设计的，因为对于可以预计的 或是已知的扰动来说，总是可以在系统加以校正的，因而对于他 们的测量是完全不必要的。
现代控制理论发展的主要标志
卡尔曼：状态空间法
卡尔曼：能控性与能观性
庞特里雅金：极大值原理
现代控制理论的主要内容
线性控制系统理论 有限维线性时不变系统是实际中最经常遇到的一类系统，因此多变 量线性系统理论一直是多年来研究的重心。其主要内容有系统的结构 问题，如能控性、能观测性、最小性等；以及关于反馈控制问题，如 极点配置、解耦、鲁棒控制等问题。 系统辨识 简而言之，所谓系统辨识就是利用系统(设备)在试验或运行中测得 的数据构造出系统的数学模型，并估计其参数的理论和方法。 自适应控制 自适应控制所研究的对象是具有不确定性的系统。自适应控制是一 个比较复杂的问题，也是控制理论用于实际的重要问题，是目前非常 活跃的研究课题，并且正朝着更高级更复杂的自学习及智能控制系统 等方向发展。
经典控制理论的发展
概括地说，古典控制理论主要包括一个核心概念：传递函数。两 个基本方法：频率响应及根轨迹法。原则上它们只适合用来对单输 入 - 单输出控制系统进行分析、综合与设计。 17 世纪瓦特 (watt)飞锤控制器的应用，可以看成是自动控制学 科发展的起点。到了19世纪后半叶，虽然自动控制技术已取得了许 多重大的进展，例如到1870年，已经在闭环系统中应用完善的PID 控制，与此同时，反馈原理也开始用于笨重机械 ——伺服机械的控 制，但是在控制理论方面却进展迟缓。直到上世纪20年代，常微分 方程及稳定性代数检验方法仍然是控制工程师的唯一分析工具。控 制理论进一步发展的关键性转机来自另一个重要的技术领域 ——通 讯工程。1932年奈奎斯特(Nyquist)的《再生理论》一文，开辟了 频域法的新途径。经过大约10年的时间，控制理论的微分方程法几 乎完全被频域法所取代。
控制系统的状态空间表达式的解(分析) PPT
5
3! 5!
t 1
1
3! 1
t t
3 2
1
5! 1
t t
5 4
2! 4!
cos t sint
sint
cos
t
2、2状态转移矩阵
2、2状态转移矩阵
转移矩阵定义 转移矩阵的几条重要性质 几个特别的矩阵指数函数 转移矩阵的计算
2、2状态转移矩阵
状态转移矩阵定义 齐次微分方程 xt Axt 的自由解为:
状态转移矩阵定义 转移矩阵的几条重要性质 几个特别的矩阵指数函数 转移矩阵的计算
2、1 线性定常系统齐次状态 方程的解 (自由解)
2、1 线性定常系统齐次状态方程的 解 定义:自由解
自由解:系统在输入为零( u(t))时0,由初始 状态引起的自由运动。
此时,状态方程为齐次微分方程:
x(t) Ax(t) (2、1)
状态转移矩阵的计算
2、化矩阵A为约旦标准型法
例2-3 解:
e 0 1 0
A 0 0 1 ,求
At
2 5 4
1 0
I A 0 1 ( 1)2 ( 2)
2 5 4
1 2 1,3 2
2、2状态转移矩阵
状态转移矩阵的计算
2、化矩阵A为约旦标准型法
得
1 1 0
J 0 1 0
也成为状态e A转t 移矩阵,通常记为
。
(t )
2、2状态转移矩阵
状态转移矩阵定义
t e At表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 eA(tt0) 表示 x(t0 ) 到 x(t ) 的转移矩阵。
如此 x(t) Ax(t) 的解能够表示为:
x(t) (t)x(0)
上海大学 现代控制理论 第1章
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 1.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x (t ) A (t ) x (t ) B (t )u (t ) y (t ) C (t ) x (t ) D (t )u (t ) x
1 a11 x1 a12 x2 a1 n xn b11u1 b12 u2 b1 r ur x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22 u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2 u2 bnr ur x y1 c11 x1 c12 x2 c1 n xn d11u1 d12 u2 d1 r ur y2 a21 x1 a22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22 u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn bm1u1 d m 2 u2 d mr ur
a11 a1n A an1 ann n n c11 c1n C cm1 cmn mn
b11 b1r B bn1 anr nr d11 d1r D d m1 d mr mr
（1.2-1）
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
式中常系数 关。
（1.2-2 1 2 2）
a
11
, ， a nn ; b 1 ,
b ;c
n
1
,
c
现代控制理论第1章 控制系统的状态空间描述PPT课件
五十年代后兴起的现代控制起源于冷战时期的军备 竞赛，如导弹(发射，操纵，指导及跟踪)，卫星，
航天器和星球大战，以及计算机技术的出现。
现代控制理论发展的主要标志
卡尔曼： 状态空间法 卡尔曼： 能控性与能观性
现代控制理论的主要特点
研究对象：线性系统 非线性系统 时变系统 多变量系统 连续与离散系统
数学上：状态空间法
教材:《现代控制理论基础》 王划一 主编 国防工业出版社
主要参考书 :
1.侯媛彬等编著,现代控制理论基础 2.施颂椒等编著,现代控制理论基础,高等教育出版 社,2005.11。
3.赵明旺等编著,现代控制理论, 4.卢伯英等译，现代控制工程（第4版），电子工 业出版社，2003.7。
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数学模型 分析方法
传递函数（输入-输出描述） 时域法、根轨迹法和频域法
状态方程（可以描述内部 行为）
状态空间法
分 析 的 主 要 系统的稳定性和动态特性 内容
系统运动分析、能控/能观 测性、极点配置、状态观 测器设计等
经典控制与现代控制比较
1．模型形式
经典控制—微分方程、传递函数 现代控制—状态空间描述
第1章 动力学系统的状态空间描述
1.1 控制系统状态空间表达式 1.2 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 1.3 根据系统微分方程建立状态空间描述 1.4 传递函数变换为状态空间表达式 1.5 结构图分解法建立状态空间表达式 1.6 状态空间的等价变换 1.7 从状态空间描述求传递函数(阵)
1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念
uu12
动力学系统
yy12
ur
……
ym
x1 x2
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的结构分解6
• • 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 线性定常系统按能控性的结构分解
–
分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1. 2. 3. 计算 从中任意选取k个线性无关的列 选取n-k个列控性分解的规范表达式
为什么?
Q q1 q k 变换关系 QA AQ QB B q k 1 q n A A的各列是AQ的各列关于Q q1 q k | q k 1 q n 的表达 Aq1 Aqk | Aqk 1 Aqn
1
q k 1 q n
q
qk
因rankQc rank[ B AB A n 1B] k 故Aq1 , , Aqk 对q1 q k | q k 1 q n 的表达中从第k 1行以下都为 0 即为规范表达式中的形 式 所以Aq1 , , Aqk都是q1 , , q k的线性组合
对B同理。
说明:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制理论第1章_控制系统状态空间表达式
L di(t ) u(t ) dt
i(t )
t t0
1 u( )d
L
i0
i0
t0 1 u( )d
L
另一类系统除了输入信息外，还必须知道系统的一组 初始信息才可获得确定的输出信息(输出和输入之间的 关系通常用微分方程描述)，这组初始信息是初始时刻 以前系统所存储的输入信息的体现。
动力学系统：能够储存输入信息的系统。
u
x3
图 1 1 例：C、L 为 两 独 立 储 能 元 件，故 应 有 两 个 独 立 状 态 变量， 不妨取：x1 uc，x2 i。根据电路机理构建微分方程如下：
C d uc dt
•
i，即 Cuc
•
i uc
1i，也 即： C
•
x1
1 C
x2；
L
di dt
R
i
u
c
•
u,即i
1 L
uc
LRi
1
x2
0
1x3 - 1
2 1 0
u1 u2
y1 y2
1 1
0 1
1 0
x1 x2 x3
2
0
1u1
1
u
2
关于状态空间表达式的几点说明
系统的状态与系统的输出：两者在概念上不同，前者是 完全描述系统动态行为的一组变量信息，后者是人们希 望从系统中获得的结果信息。但两者也有联系，输出是 关于状态的函数(在线性系统中，输出常常是状态向量中 某一个分量或几个分量以及输入量的线性组合）。
x1
x
(t)
x2 (t
)，也可简写为：x
x2
xn
(t
)
xn
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Φ(t1)
由此得状态转移矩阵的一个性
质——组合性质：
X0(t=0)
Φ(t2 t1)Φ(t1) Φ(t2 )
二、状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质 3.2
1、性质一（组合性质或分解性质）
Φ(t)Φ( ) Φ(t )
或 eAteA eA(t )
2、性质二 Φ(t t) I eA(tt) I
2
tet t2et et tet t2et 3tet t 2et
1 t2et 2
tet 1 t2et 2
et 2tet 1 t2et
2
3、利用拉氏反变换求eAt
3.2
e At L1[(sI A)1 ]
证： X (t) AX(t) X(0) X0 两边取拉氏变换
SX(s) X(0) AX(s)
X AX
给定初始时刻t0时的状态X(t0) ＝X0，则上式有
唯一确定解 X(t) eA(tt0 )X0 t t 0
给定初始时刻t0＝0时的状态X(t0) ＝X0，则上式
有唯一确定解 X(t) eAtX0 t 0
3.1 证明：和标量微分方程的求解相似
假设 X(t) b0 b1t b2t 2 bk t k 代入齐次状态方程得 b1 2b2t 3b3t2 kbktk1 A(b0 b1t b2t2 bktk ) 上式t的同次幂项的系数相等，有
2)
1
s 2
e At
L1[(sI
A)1 ]
2! 3!
k0 k!
例：已知
A
0 0
1 0
求 eAt
解：
eAt
1 0
0 1
0 0
1 0
t
1 2!
0 0
12 0
t2
1 3!
0 0
1 0
3
t
3
..
.
1 0
0 1
0 0
1 0
t
1 0
t 1
2、将A变换为约旦标准型
3.2
1）A的特征值互异
T1AT
则 eAt TetT1
例：
A
0 2
1 3
求
eAt
1
0
1 0
t 1
1 t2 2!
t
(n
1
1
1)
!
t t
n 1 n2
eAt Φ(t) et
(n 2)!
0 0 0
t
0 0 0
1
4、若
A
3.2
eAt
Φ(t)
e
t
cost sint
sint cost
四、Φ(t)或eAt的计算
3.2
1、按定义直接计算法
e At I At A2t 2 A3t 3 1 Ak t k
2!
k!
于是
X(t) eAtX0
3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
一、状态转移矩阵
齐次矩阵微分方程的自由解
X(t) eAtX0 或
X(t) eAtt0 X0
eAt称为状态转移矩阵，记为Φ(t)
即： X AX的解，又可表述为 Φ(t) X(t) Φ(t)X(0)
或 X(t) Φ(t t0 )X(t0 )
X0(t=0)
X(t)(t=t)
状态空间表示法的一个特点（优点）：
3.2
状态的变化在时间上可以分段求取。
X(t2 ) Φ(t2 )X(0) X(t1) Φ(t1)X(0) X(t2 ) Φ(t2 t1)X(t1)
Φ(t2 t1)Φ(t1)X(0)
X(t2)(t=t2) Φ(t2-t1) X(t1)(t=t1) Φ(t2)
第三章 控制系统状态空间表达式的解
• 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 • 3.4 线性时变系统的解
3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
自由解：系统输入为零时，由初始状态引起的自 由运动。 状态方程的齐次矩阵微分方程
3.2
J T1AT
则 eAt TeJtT1
0
例： A 0
1
1 0
0
1
3 3
求eAt
解：| I A | 3 32 3 1 ( 1)3 0
将矩阵A变换为约旦标准形的变换矩阵为
1
0
0
1 0 0
T 1
1
0 T1 1 1
0
1
2 1
1 2 1
1
0 00 1
01
0
T1AT 1
1
00
解：
I A
1 2 3 2
2 3
( 1)( 2) 1 1 2 2
3.2
变换矩阵为
T
1 1
1 2
T1
2 1
1 1
则
eAt
T et T 1
1 1
1 et 2 0
0 2 1
e2
t
1
1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
2）A的特征值有重根
3、性质三（可逆性）
[Φ(t)]1 Φ(t) [eAt ]1 eAt
4、性质四
3.2
Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A
或 Φ (t) AeAt eAtA
5、性质五 对n n矩阵A和B， 当且仅当AB BA时，eAteBt e(AB)t 而当 AB BA 时， e e At Bt e(AB)t 和标量指数函数的性质不同
即 (SI A)X(s) X(0) X0
X(s) (SI A)1X0
X(t) L1[(SI A)1]X0
和式
X(
t
)
e
AtX
比较
0
eAt L1[(SI A)1]
3.2
例：
A
0 0
1 2
求eAt
解：
sI
A
s 0
0 s
0 0
1 2
s 0
1 s 2
1
(sI
A) 1
s
0
1
s(s
0
1
1
1
1
2 1 1
3 31
2
1
1
0
0
1
1
J
0
0 1
3.2
0 0 1
eAt TeJtT1
3.2
1 eAt 1
1
0 1
0 e t 0 0
tet et
1 t2e 2
tet
t
1 1
0 0 1 0
2
1 0 0 et 1 2 1
et
tet
1 2
t2et
1 2
t
2et
tet
1
t2et
3.1 b1 Ab 0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A
2
b0
b3
1 3
Ab 2
1 3!
A3k1
1 k!
A
k
b
0
由对X(t)的假设式，令 t＝0，则 b0=X(0)=X0
3.1
X(t)
(I
At
1 A2t2 2!
1 Aktk k!
)X 0
引入矩阵指数函数eAt
eAt I At 1 A2t2 1 Ak tk
三、几个特殊的矩阵指数函数
3.2
1、若A为对角线矩阵
1
0
A
2
0
n
e1t
0
eAt Φ(t)
e2t
0
en
t
2、若A能够通过非奇异变换变为对角线矩阵 3.2
即 T1AT
e1t
0
则 eAt Φ(t) T
e2t
T1
0
en
t
3、若A为约旦标准型矩阵
3.2
1
0
AJ