上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的能控性和能观性6
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
I
A
n
（24）
例 系统方程如下，试判断系统的能控性
x
2
0
0 5
x
1 2u
y 0 1x
解
C rankCA
0 rank0
1 5
1
不满秩，故系统不能观测。
能观测性判据
定理3-12 如果（18）式描述的系统的A 阵特征值 λi互异，经过
非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是C
λ1 、λ2 、…、 λk 分别为 l1 重、l2 重、…、 lk 重。
k
且 li n ，λi λj ，(i j) 经过非奇异线性变换，得到约当阵 i 1
J1
0
x
J2
x Bu
0
J
k
y Cx
λi 1
0
Ji
λi
1
0
λi
则系统能观测的充分必要条件是矩阵 C 中与每一个约当子块第一列
控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 λi，都有
rank[λi I A B] n (i 1,2,, n)
（10）
定理3-4 （2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 λi 互异，
(i 1,2,, n) 将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵
λ1
0
x
λ2
x Bu
（11）
0
能控性及其判据
2）如果在有限时间区间[t0 , t1 ] 内，存在容许控制 u(t) ，使系统从
状态空间坐标原点推向预先指定的状态 x(t1) ，则称系统是状态能
达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控
性和能达性是等价的。
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控 的。
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
线性系统的能控性和能观性
首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。 ~ ~ B 由前章可知，系统(A，B)和( A ， )之间做线性 非奇异变换时有：
10
~ ~ Qc B
P 1 B P 1 B P 1Qc
x P~ x ~ A P 1 AP ~ B P 1 B ~ ~ ~2 ~ ~ n1 ~ AB A B A B
3.1 线性系统能控性和能观测性的概述
系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个 很重要的基础性概念，是由卡尔曼（Kalman）在六 十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间 描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t) 的变化过程；输出方程则描述了由状态x(t)变化引起 的输出y(t)的变化。 能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控 制的可能性； 能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统 状态的可能性。 对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了 控制系统构成中的两个基本问题。
x(0) A B k ( )u( )d
k tf k 0 0 n1 k 0
n 1
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令
tf
0
k ( )u( )d k
7
x (0) A k B k
k 0
n 1
0 B AB A 2 B A n1 B 1 n1 若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态 x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1来。这就 要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank[ B AB A2B … An 1B ] = n
t0
tf
A( t f )
Bu( )d
线性控制系统的能控性和能观性
x2
0
5
0
x2
4
0u
完全能控
下页 末页
x3 0 0 1 x3 7 5
结束
电气与新能源学院
2019/12/17
电子笔
10
（5） x1 7 0 0 x1 0 0
自 动 控 制
x2
动 控
系统 X AX X (t0) X0 y CX
制 理 论
如果对任意给定的输入u，在有限的观测时间 t f t0 ，使
得根据[t0 ,t f ] 期间的输出y（t）能唯一地确定系统在初始
时刻的状态 x(t0 ) ，则称状态 x(t0 ) 是能观测的。若每一
个状态都是能观测的，则称系统是完全能观测的。
如果存在一个分段连续的输入u（t），能在有限的时间区
间 [t0,t f ] 内，使系统由某一初始状态x(t0 )转移到指定的
任一终端状态x(t f ) ，则称此状态是能控的。若系统的所
有状态都是能控的，则系统是状态完全能控的。
几点说明：
1）系统的初始状态X0，可以是状态空间中任意非零的有
首页
限点，终端状态X(tf)为状态空间的原点。
0 0
0 0 0 1
1 2 u 0 0
能控
首页 上页 下页
（9）
x1 x2
4
0
1 4
0
x1 1 0 1 0 0 2
x2
0
0
2 u
0
0
4
末页 结束
第4章 线性系统的能控性和能观性
态X0在t0时刻为能控。
如果存在一个时刻t1∈J, t1>t0, 以及一个无约束的容许控制 u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则 称非零状态xf在t0时刻为能达。
* 对连续时间线性时不变系统,能控性和能达性等价;对离散时 间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则 能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性 一般为不等价。
u(t )
x1 (0)
1 s
x1
x2 (0)
1 s
x2 y (t )
由于 x (t ) (t t ) x (t )
0 0
(t ) Bu( )d
t t0
1
2
该系统是不完全能观测的
可见系统的状态x(t)的能 观测性与x(t0)的能观测性是等 价的。
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。
结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统， 状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。 结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统, 状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指 数满足 n n r 1
p
设 n 为矩阵A的最小多项式次数，则
rank[ B AB An1 B] n
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章线性系统的能控性和能观性6
上海交⼤杜秀华⽼师《现代控制理论》第四章线性系统的能控性和能观性6三、多输⼊多输出系统的标准形旺纳姆（Wonham ）标准形和龙伯格（Luenberger ）标准形。
1.多输⼊多输出系统的能控标准形考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=x 为n 维状态向量，u 为p 输⼊向量，y 为q 维输出向量如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n ，即cQ 中有n 个线性⽆关列。
111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=对多输⼊系统，1p >，c Q 中有np 列，所以，在c Q 中可以找出很多种n 个线性⽆关列的情况。
这⾥介绍两种寻找n 个线性⽆关列的⽅法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。
定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性⾮奇异变换1x Px Q x -==使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形:Σx A x B u y C xcW c c c =+=式中111211222A A A 0A A A Q AQ 00A m m c mm -??==111010011,2,,0001A ,i i ii i mννννααα?-??==---）112()00,1,,00A i j ij ij ij ij j i m νννγγγ==+1(1)11(1)001001B Q B m p c n m np ββββ+-+==????C CQ c =（⽆特殊形式）证明：见书例求如下系统的旺纳姆能控标准形121100*********A B -==计算系统的能控性矩阵2101204010101001042BABA B c Q ??==3c Q rank =，系统完全能控。
按2111{,,} b A b A b 和2222{,,} b Ab A b 搜索，可知112,,b Ab b 是线性独⽴的。
现代控制理论：CH4 线性系统的能控性与能观测性
x(t1) eAt1 x0
t1 eAt1e At Bu(t)dt 0
0
x0
t1 e At Bu(t)dt
0
x0
2
x0T x0
t1 0
e
At
Bu
(t
)dt
T
x0
t1 0
u
T
(t
)
BT
e
AT
t
x0dt
0
x0 2 0 即 x0 0
此结果与假设 x0 0相矛盾，即Wc[0, t1]为奇异的反设不成
x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全能控。
16
第4章 线性系统的能控性和能观测性
必要性：已知系统完全能控，欲证Wc[0, t1] 非奇异。反
设Wc[0, t1]为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
x0TWc[0, t1]x0 0
0 x0TWc[0,t1] x0
t1 0
x0T
e
对于所有 t t0,t1，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状
态的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值 不能被y(t)确定，则称系统在[t0, t1]内是不完全可观测的， 简称不可观测。
14
第4章 线性系统的能控性和能观测性
4.2 线性连续系统的能控性判据（ ※ ）
一、线性定常连续系统的能控性判据（※）
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank B AB
An1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc B AB 称为系统的能控性判别阵。
An1B
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 20
第4章 线性系统的能控性和能观测性
证明：充分性：已知rankQc=n，欲证系统完全能控， 采用反证法。反设系统为不完全能控，则有：
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三、 多输入多输出系统的标准形旺纳姆（Wonham ）标准形和龙伯格（Luenberger ）标准形。
1.多输入多输出系统的能控标准形考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n ，即cQ 中有n 个线性无关列。
111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=对多输入系统，1p >，c Q 中有np 列，所以，在c Q 中可以找出很多种n 个线性无关列的情况。
这里介绍两种寻找n 个线性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。
定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换1x Px Q x -==使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形:Σx A x B u y C xcW c c c =+=式中111211222A A A 0A A A Q AQ 00A m m c mm -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11(11(1)11010011,2,,0001A ,i i ii i mννννααα⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦）112()00,1,,00A i j ij ij ij ij j i m νννγγγ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(1)11(1)001001B Q B m p c n m np ββββ+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C CQ c =（无特殊形式）证明：见书 例 求如下系统的旺纳姆能控标准形121100*********A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦计算系统的能控性矩阵2101204010101001042BABA B c Q ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3c Q rank =，系统完全能控。
按2111{,,} b A b A b 和2222{,,} b Ab A b 搜索，可知112,,b Ab b 是线性独立的。
得1,221==νν。
21111121211111121100110,0,0,000014410A b Ab b b Ab A b αααα=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解得 441211=αα，＝－111111121e b Ab e b α=+=得111212121131040000101100e e b e b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦由22111211112212-Ab b e e αγγ=++，即21121122203111000010αγγ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解得 20,121==-=122121 , γγα由此可得1111122201000-44210000101A A A Q AQ B Q B A c c --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中，变换矩阵为 310001100Q -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统的旺纳姆能控标准形为011004421000101x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦龙伯格能控标准形相对于旺纳姆能控标准形在系统极点配置中应用更广，这是由于在构成状态变换阵时，相对均衡地考虑了各个输入的作用。
考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量。
如果系统完全能控，设矩阵B 的列线性无关，这在实际上通常总能成立，或可进行处理获得，b i 为B 的第i 列，那么，系统的能控性矩阵c Q 可表示为111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=对上式从左到右依次找出n 个线性无关列，即若某个列不能表示成其左边各线性独立列的线性组合就为线性无关列，否则为线性相关列。
考虑到c Q 的组成特点，如果,1,2,,A b i m m p = 和其左边线性独立列线性相关，则1Ab i m+也和其左边线性独立列线性相关，又由于假设B 为满秩，则可将此搜索结果重新排列，并组成非奇异矩阵P ：121111111222P b Ab A b b Ab A b b Ab A b pp p p μμμ----⎡⎤=⎣⎦式中，n p =+++μμμ 21， },,{21p μμμ 为系统能控性指数集。
对定义1P -矩阵求逆，并表示成分块矩阵形式：1111111()e e P P e e pTT T p T p μμ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中，块的行数为,1,2,,i i p μ= 。
再在矩阵P 中，取出各个块矩阵的末行，即为1212,,,e e e pT T T p μμμ ，并按如下方式构造变换矩阵P cL：111111111e e A e A P e e A e A p pppTTT cLT p Tp Tp μμμμμμμμ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理[龙伯格能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换1ˆxP x Q x cL cL -== 使状态空间表达式转化为龙伯格能控标准形ˆˆˆˆ:ˆˆΣx A x B u y Cx cL c cc=+= 1112112122212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆA A A A A A A Q AQ A AA pp c cL cL p p pp -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(01001ˆ1,2,,0001***A ,i i ii i p μμ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦）()00ˆ,,,1,2,,000***A i j iji j i j p μμ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1001**ˆ001B Q B c cL-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ˆC CQ c cL =（无特殊形式）*表示可能的零元或非零元。
证明：从略。
例 求如下系统的龙伯格能控标准形1000303110114101101000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦计算系统的能控性矩阵c Q223312121212000114413100331010300114413135100011339c Q b b Ab Ab A b A b A b A b =⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦ 式中，21212,,,b b Ab A b 线性无关，所以，系统完全能控，且11μ=，23μ=。
由此构成矩阵1P -，并求其逆阵P 。
121212001410310014130013P b b Ab A b -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1102101330041001P -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将P 分为两个块阵，第一个块的行数为1，第二个块的行数为3。
取出P 中的第一行11e T 和第四行23e T，组成变换矩阵P cL ，并求其逆阵Q cL 。
1123232231102100110000010e eP e A e A T T cL T T -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦10010123000010110Q P cL cL -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由此可求出系统的龙伯格能控标准形为1101010001000ˆˆ000100113401A Q AQ B Q B=c cL cLc cL--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2.多输入多输出系统的能观标准形利用能观性和能控性的对偶关系，可以方便地得出完全能观系统的旺纳姆能观标准形和龙伯格能观标准形。
定理 [旺纳姆能观标准形]对完全能观的线性定常系统，存在线性非奇异变换1xP x Q x o o -== 使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形:Σx A x B u y Cx oW o oo=+= 式中111212212A A A A P AP A AA o o ol l ll -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1101001,1,2,,0001A i ii i i lγαα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1200,1,,,1,2,,00A i ij ij ij iji j l j l νςςς⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1B P B o o-= （无特殊形式） (1)1(1)1010101C CP o o l l n p pn ββββ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理 [龙伯格能观标准形]对完全能观的线性定常系统，存在线性非奇异变换1x P x Q x o o -==使状态空间表达式转化为龙伯格能控标准形:Σx A x B u y C xoL o o o =+=式中1112121221112A A A A A A A P AP A A A q q o oL oL q q qq -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0*1001,1,2,,00001*A ii i q⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦00*00*,00*A ij i j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦1B P B o oL -= （无特殊形式）01**01C CP o oL ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦能观标准形在系统观测器设计中有重要应用。
应该指出，单变量系统的传递函数与能控标准形和能观标准形的参数有明显的关系。
已知传递函数可直接写出系统的能控标准形和能观标准形，不必求出变换矩阵，反之，由标准形也可以直接写出传递函数。
但在多变量系统中，不存在这样的对应关系，必须求出变换矩阵，才能求出标准形。
4.7 线性系统的结构分解介绍如何通过非奇异变换，将系统的状态空间描述按能控性和能观性进行结构分解。
通过状态空间描述的结构分解可以建立状态空间描述和系统传递函数之间的关系，为最小实现问题的提出提供理论依据。
状态空间描述的结构分解在系统综合状态反馈和系统镇定问题中也有重要作用。
一、 按能控性的系统结构分解按能控性分解是通过线性非奇异变换，将系统的完全能控状态和不能控状态，以明显的方式区分开来表示。
考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=式中，x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量。