湘潭大学 现代控制理论第1章1
现代控制理论 第一章状态空间表达式的建立：实现的方法之一
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Байду номын сангаас
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C
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+−1 −1 +⋯+1 +0
… −n−1
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现代控制理论第1章
控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是系 统的控制。 系统是由客观世界中实体与实体间的相互作用和 相互依赖的若干部分按一定规律组合而成的具有特定 功能的一个整体。 系统具有不同的属性如经济系统、社会系统、 生物系统、物理系统、 化学系统和工程系统等。 系统的分类方法是多种多样的。 动态系统 系统的模型可用微分部分或全部描述 系统
将线性系统更细致的进行分类，可以分为线性定常系统 与线性时变系统, 线性定常系统是描述系统状态的线性微分 或差分方程中的每个系数都是不随时间t 变化的。而线性时 变系统即系统的线性微分或差分方程的系数有随时间t 变化 的系数，不全是常数。
1.6 线性系统理论的主要任务
线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改 变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、 参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。通常，研究 系统运动规律的问题成为分析问题，研究改变运动规律的 可能性和方法的问题则为综合问题或设计。
（3）快速性与平稳性 系统的被控变量从一个值变到另一个值的过程称 为过渡过程。此时系统所表现出来的特性称为动态特 性。过渡过程的快速和平稳是人们所期望达到的又一 目标。控制系统受到外界的作用后，能否从一个平衡 状态迅速地达到另一个平衡状态，这就是系统的快速 性。只有当系统稳定时，才有快速性可言。
1.5 线性系统理论的研究对象
古典控制理论主要以传递函数为基础，以拉氏变 换为数学工具，主要研究单输入- 单输出一类自动控制 系统的分析和设计问题。 现代控制理论主要以线性代数和微分方程为数学 工具，以状态空间法为基础，分析与设计控制系统。 20 世纪70 年代以来控制理论在大系统理论和智 能控制理论方面有了新的突破，有人称之为第三代 控制理论。
前者属于认知系统，后者为改造系统。 (1) 建立系统数学模型
现代控制理论第一章01
态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的 影响的叠加
如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值
之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去 的电流的积分值与电容值之比
• 在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该 系统的数学模型
在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态 系统的动态特性的数学表达式，
du C (t ) 1 i (t ) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
i(t ) uC (t ) 0 1 u ( t ) C
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
1 f 1 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) x x 2 f 2 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x x n f n ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t )
对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:
状态方程描述的是系统动态特性， 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直接传输矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统 不存在这种直联关系,即矩阵D=0。
现代控制理论第1章
x3 U C
1 x3 0 u－R1 x1 L1 x
由基尔霍夫电压定律有 ：
2 R2 x2 x3 0 L2 x
由基尔霍夫电流定律有 C x 3 x2 x1 0
由基尔霍夫电流定律有 C x 3 x2 x1 0 ：
1 R1 L 0 L 1 1 1 x R2 1 整理可得 状态方程为 x 2 0 L2 L2 ： 3 x 1 1 0 C C 1 x1 L1 x2 0 u x 3 0
1.1 状态变量及状态空间表达式
1.1.1 状态变量 状态变量是既足以完全确定系统运动状态又相互独立（个数最少）的一组变量，
当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定t≥t0时刻的输入作用下，便能完全确定系统
在任何t≥t0时刻的行为。 1.1.2 状态矢量
1.1.3 状态空间
1.1.4 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。 用图下所示的 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量
已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
根据牛顿第二定律
dy d2y F F ky f dt m dt 2
即： 选择状态变量 则：
d2y dy m 2 f ky F dt dt
x1 y
1 x2 x
x 1 x2 y
k f dy 1 k f 1 2 y x F x1 x2 F m m dt m m m m
机械系统的系统方程为
现代控制理论第1章答案
第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
第一章现代控制理论预览详解演示文稿
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
b1
b
b2
c [c1 c2
cn ]
an1
an2
ann
bn
d是标量，反映输出与输入的直接关联。
第21页，共59页。
多输入多输出定常线性系统
写成矩阵形式有：
x Ax Bu
x Ax bu
y Cx Du y cx du
x x1 x2 xn T , n 1维状态向量
UC (s)
1
U (s) LCs2 RCs 1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
第11页，共59页。
定义状态变量
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量 x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
第12页，共59页。
状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一条轨 迹。
第8页，共59页。
•状态方程：描述系统状态变量与系统输入变量间关系的一 阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。
x1(t) f1(x1, x2 ,, xn , u1, u2 ,ur , t) x2 (t) f2 (x1, x2 ,, xn , u1, u2 ,ur , t)
u u1 u2 ur T , r 1维输入向量
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
,
an1
an2
ann
n n维系统矩阵, 表征各状态变量间的关系
b11
B
b21
《现代控制理论》 教案大纲
《现代控制理论》教案大纲第一章：现代控制理论概述1.1 控制理论的发展历程1.2 现代控制理论的基本概念1.3 现代控制理论的应用领域1.4 本章小结第二章：线性系统的状态空间表示2.1 状态空间的概念2.2 线性系统的状态空间表示2.3 状态方程和输出方程2.4 本章小结第三章：线性系统的稳定性分析3.1 系统稳定性的概念3.2 线性系统的稳定性条件3.3 劳斯-赫尔维茨稳定判据3.4 奈奎斯特稳定判据3.5 本章小结第四章：线性系统的控制器设计4.1 控制器设计的目标4.2 比例积分微分控制器（PID控制器）4.3 状态反馈控制器4.4 观测器设计4.5 本章小结第五章：非线性系统的控制5.1 非线性系统的基本概念5.2 非线性系统的状态空间表示5.3 非线性系统的稳定性分析5.4 非线性控制器设计方法5.5 本章小结第六章：采样控制系统6.1 采样控制理论的基本概念6.2 采样控制系统的数学模型6.3 采样控制系统的稳定性分析6.4 采样控制系统的控制器设计6.5 本章小结第七章：数字控制系统7.1 数字控制系统的组成与特点7.2 数字控制器的原理与设计7.3 数字控制系统的稳定性分析7.4 数字控制系统的仿真与实现7.5 本章小结第八章：现代控制方法8.1 模糊控制理论8.2 自适应控制理论8.3 神经网络控制理论8.4 智能控制理论8.5 本章小结第九章：现代控制理论在工程应用中的实例分析9.1 工业控制系统中的应用9.2 航空航天领域的应用9.3 交通运输领域的应用9.4 生物医学领域的应用9.5 本章小结第十章：现代控制理论的发展趋势与展望10.1 控制理论研究的新领域10.2 控制理论在新技术中的应用10.3 控制理论的发展前景10.4 本章小结重点和难点解析一、现代控制理论概述难点解析：理解控制理论的演变过程，掌握现代控制理论的核心思想。
二、线性系统的状态空间表示难点解析：理解状态空间的物理意义，熟练运用状态空间表示线性系统。
现代控制理论第一章答案
a0 3 a1 7 a2 5 b0 2 b1 1 b2 0 b3 0
标准型实现
1 0 0 0 x 0 u 0 x 0 1 3 7 5 1
y (b0 a 0 b3 ) (b1 a1b3 ) (b2 a 2 b3 )x 2 1 0x
1 0 0 0 x 0 0 1 x 0 u 3 7 5 1
y (b0 a 0 b3 ) (b1 a1b3 ) (b2 a 2 b3 )x 2 3 1x
【习题1－6】已知系统传递函数
10( s 1) (1) W ( s ) s ( s 1)(s 3) 6( s 1) (2) W ( s ) s ( s 2)(s 3) 2
x1
0 0 0 x 0 K1 Kp 0
1
0 Kb 0 J2 Kp 0 J1 0 K1 0 0 0 Kn
0 0 1 J1 0 0 0
0 0 Kp J1 K1 K1 Kp 0
0 0 0 0 1 0 J1 x 0 0 K1 Kp 0 0 0
y 0 0 1x
【解】（1）画模拟结构图的步骤 第一步：画出三个积分器 第二步：画出各增益系数和信号综合点 第三步：根据各变量的相互关系用信号线连接起来 （2）求系统的传递函数矩阵
Y ( s) 2s 2 7 s 3 1 W ( s) c( sI A) b U ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) 2s 1 ( s 1)(s 2)
1 0
4 3
【习题1－10】已知两个子系统的传递函数分别为：
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现代控制理论基础信息工程学院黄辉先huanghx05@本课程课时安排：理论教学48学时，实验课外完成本课程相关知识： 1. 高等数学 2. 线性代数3. 积分变换4. 电路理论参考书目：1. 刘豹，现代控制理论，机械工业出版社，第3版，20062. 胡寿松，自动控制原理，科学出版社，第五版，20073. 谢克明，现代控制理论基础，北京工业大学出版社，20054. 李先允，现代控制理论基础，机械工业出版社，2007学习要求： 1. 认真听好课2. 敢于提问、善于提问绪论一、古典理论的局限性二、现代控制理论的产生三、现代控制理论与古典理论的比较1. 适用对象2. 采用的数学工具3. 研究方法4. 系统分析与综合的差别5. 控制器的实现四、现代控制理论的主要内容1. 线性系统理论2. 建模和系统辩识3. 最优滤波理论4. 最优控制5. 自适应控制五、本课程所讨论的内容1. 控制系统的状态空间描述2. 线性控制系统的分析3. 线性控制系统的能控性和能观测性4. 控制系统的稳定性分析5. 系统的状态反馈和状态观测器第一章控制系统的状态空间描述1. 1 控制系统中状态的基本概念1. 2 控制系统的状态空间表达式1. 3 由物理系统建立系统的状态空间表达式1. 4 由系统的微分方程建立状态空间表达式1. 5 系统传递函数与状态空间表达式的相互转换1. 6 系统的状态空间表达式的特征标准型1. 7 由离散系统状态空间表达式求脉冲传递函数1. 1 控制系统中状态的基本概念1.状态：动力学系统的状态是表示系统最小一组变量(状态变量)，只要知道了系统在t=t0时刻的这组变量和t> t0时刻的输入，那么就完全能确定系统在任何t> t0的行为。
2. 状态变量：状态变量构成动力学系统状态的变量，是指能完全描述系统行为的最小变量组中的每一个变量。
如：完全描述控制系统行为的最小变量组为n 个变量x1(t),x2(t),…,x n(t),则系统具有n个状态变量x i(t)(i=1,2,…,n)3. 状态向量：如果完全描述一个给定系统的行为需要n 个状态变量，那么可将这些状态变量x1(t) , …, x n(t)看作是向量X(t)的各个分量，X(t)就称为状态向量。
记为：X(t) = [ x1(t) …x n(t) ] T4. 输入向量：如果一个给定系统的输入需要r 个变量来描述，那么可将这r 个输入变量u1(t) , …, u r(t)看作是向量U(t)的各个分量，U(t)就称为输入向量。
记为：U(t) = [ u1(t) …u r(t) ] T5. 输出向量：如果一个给定系统的输出需要m 个变量来描述，那么可将这m个输出变量y1(t) , …, y m(t)看作是向量Y(t)的各个分量，Y(t)就称为输出向量。
记为：Y(t) = [ y1(t) …y m(t) ] T系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式，称之为系统的输出方程。
[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(),...,(),();(),...,(),()(.............................................);(),...,(),();(),...,(),()();(),...,(),();(),...,(),()(2121212122212111===]),(),([)(t t U t X G t Y =：用向量矩阵方程表示为维向量函数。
维输出变量；系统的式中：m G m t Y ___][___)(o []Tm t g t g t g G )(),...,(),(][21=o 2. 输出方程：注意：系统的状态变量的选取不是唯一的，系统的状态变量的个数是唯一的，必须等于系统的阶数。
★1.2.2 状态空间表达式的一般形式对于具有r 个输入、m 个输出、n 个状态变量的系统，其状态空间表达式的一般形式如下：]),(),([)(t t U t X F t X=&状态方程：式中：[]T n n t x t x t x t x t x t x t X )(),....,(),()(.......)()()(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=X (t)为n ×1状态向量，X ∈Rn输出方程：]),(),([)(t t U t X G t Y =U (t )为r ×1状态向量，U ∈R rY (t )为m ×1状态向量，Y ∈Rm[]T r r t u t u t u t u t u t u t U )(),....,(),()(.......)()()(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=[]T m m t y t y t y t y t y t y t Y )(),....,(),()(.......)()()(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Tn f f f F ],....,[][21=o Tm g g g G ],....,[][21=o ——G [▫]为m ×1函数向量——F [▫]为n ×1函数向量[]t t u t u t u t x t x t x g r n i );(),...,(),();(),...,(),(21211. 非线性时变系统]);(),...(),();(),...(),([2121t t u t u t u t x t x t x f r n i 非线性时变函数]),(),([)(t t U t X F t X =&状态方程：输出方程：]),(),([)(t t U t X G t Y =系统（性质）分类：线性系统、非线性系统定常系统、时变系统为常系数矩阵其中，D C B A ,,,, (21)2222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nr n n r r b b b b b b b b b B ..............................................212222111211,. (21)2222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c c c c c C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mr m m r r d d d d d d d d d D ..............................................212222111211其中，a ij 、b ij 、c ij 、d ij 均为标量元素⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t DU t CX t Y t BU t AX t X &：向量矩阵微分方程形式1.3 由系统的物理机理建立状态空间表达式一、步骤1. 确定系统的输入变量、输出变量和状态变量。
2. 根据系统变量应遵循的有关物理、化学定律，列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程。
3. 消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量的关系以及输出变量与状态变量输入变量的关系式。
4. 将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。
[例1.3]求下图所示网络的状态空间表达式，系统的输入为u1(t), u2(t),输出y(t)。
二、举例。
例1.5图1.3给出了双水槽液位调节系统。
设k 1, k 2分别为进水管阀门I 、II 的开度，u 1、u 2为输入液压，R 1、R 2分别为水管的液阻系数，h 1、h 2分别为I 、II 水槽的液位高度，C 1、C 2是规则形柱状水槽的横截面积。
图1.3 双水槽液位调节系统111222q k u q k u ==，111222//Q h R Q h R ==，解:根据题意得：单位时间的出水量2Q 注意：既是水槽Ⅱ的出水量，也是水槽Ⅰ的进水量。
要求：以u 1、u 2为输入变量，h 1、h 2为输出变量，试列写该双输入-双输出双水槽液位调节系统的状态空间表达式。
单位时间的进水量2图1.3 双水槽液位调节系统1.4 根据系统微分方程建立状态空间表达式一、微分方程中不含输入函数导数项输入函数中不含导数项时系统微分方程:bu y a ya ya yn n n n =++++−−&L 1)1(1)(上式可表示为：作为状态变量，取)1(21,,,−===n n y x y x y x L &bu x a x a x a x a xx xx xx xn n n n n n n +−−−−−====−−−11221113221L &&M&&写成向量矩阵形式：Bu Ax x+=&⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−1000,10000100001,121121M L L M M M MLL M B a a a a A x x x x x n n nn n 系统状态空间表达式为:⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x &[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==n x x x x y M 2110....001C=[1 0 0 …0]。