均值与方差

离散型随机变量的均值与方差

【教学引入】复习分布列、三种常见分布列。说明分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律。提出问题：如何从分布列中获取随机变量取值的总体水平（平均取值）、离散程度（区分度）等信息？

【案例探究】销售由a.b.c 三种糖果混合的混合糖，如何进行合理定价？

① 当a,b,c 价格相同，比例相同时； ② ②当a,b,c 价格不同，比例相同时； ③ ③当a,b,c 价格不同，比例也不同时。

对于①②，只需求三种糖价格的算术平均值即可，对于③，习惯的算术平均显然是不合理的。

设a,b,c 三种糖价格分别为18元/kg, 24元/kg, 36元/kg,混合比例为3：2：1，则易得合理价格为

23366

1

243118212336242183=⨯+⨯+⨯=++⋅+⋅+⋅x x x x x x (元/kg).此价格称为三种价格的

加权平均。

【权的含义】设三种糖每颗质量、外观完全相同，从混合糖中任取一颗，分别求取到a 、b 、c 的概率。

设三种糖的颗数分别为3m,2m,m ，属古典概型，用古典概型概率计算公式计算得概率分别为6

1,31,21。

权是各种糖的质量与总质量之比，其统计意义是随机变量X 等于相应值的概率。

【合理价格的统计意义】用X 表示从总体中任取一颗糖，所抽到的糖的价格，则X 有三种可

能的取值，⎪⎩

⎪

⎨⎧=c b a X 如果取出的是如果取出的是如果取出的是,36,24,18，其分布列为：

=18×P （X=18）+24×P （X=24）+36×P （X=36），是以概率为权重的每种糖果的单位价格的加权平均（即随机变量X 的均值）。

【离散型随机变量的均值（数学期望）】

∑==n

i i i p x EX 1.反映随机变量取值的平均水平。

平均水平的含义：一方面是以概率为权的加权平均；另一方面是该随机变量的多次独立观测值的算术平均的极限（当观测次数趋于无穷时）。

【随机变量均值与样本均值的联系与区别】

根本区别是：随机变量均值是常数，样本平均值是随机变量。 联系：样本容量越大，样本的均值越接近总体的均值。 设每1kg 混合糖含有n 颗。从总体中抽出容量为n 的简单随机样本：其中a 糖n 1颗，b 糖n 2颗，c 糖n 3颗，则取到三种糖的频率分别为n

n f 1

1=

，n n f 22=

，n

n

f 33=。用X i 表示样本中第i 块糖的单价，则样本的平均单价3211

3624181f f f X n X n

i i ⨯+⨯+⨯==∑=(即取出的1kg 糖的真实价值)，它是一个

随机变量，不同的试验一般会得到不同的样本，样本的均值也会改变。（1）如果多次抽取容量为n 的随机样本，1f 总在2

1

处左右摆动，2f 总在

31处左右摆动，3f 总在61处左右摆动。6

1

,31,21分别为从混合糖中取到a,b,c 糖的概率。

平均水平的含义：反复对这个随机变量进行独立观测，所得到的各个观测值的算术平均值随着观测次数的增加而越来越接近于这个随机变量的均值。

（2）3211lim lim lim lim lim 3624181f f f X n X n n n n

i i n n ∞

→∞→∞→=∞→∞→⨯+⨯+⨯==∑

=23366

124311821=⨯+⨯+⨯(元/kg).对于这种简单随机样本，随着样

本容量的增加，样本均值将越接近于总体的均值，即样本的真实价值越

接近于总体价值（实际定价）。

【数学期望的运算性质1】若Y=aX+b,其中a,b 为常数，则EY=aEX+b. 进一步推广：随机变量线性组合的均值等于这些随机变量均值的线性组合.

【例1教学】

目的：训练用定义计算随机变量的均值；导出两点分布随机变量的均值公式。

【数学期望的运算性质2】若X 服从两点分布，则EX=p(成功概率). 提出问题：X 服从两点分布，即X ～B （1，0.7）；如何求投篮10次的得分均值？引出服从二项分布的随机变量均值问题。

方法1：（两点分布与二项分布的关系） 若X 服从两点分布，则EX=p(成功概率).

设ξ是n 个相同的两点分布随机变量之和，即ξ=nX,则ξ～B(n,p).根据数学期望的线性性质得E ξ=nEX=np.

方法2：利用公式11--=k n k n nC kC 、期望定义、二项式定理推导。 【数学期望的运算性质3】若X ～B(n,p),则EX=np. 【例2教学】

目的：训练用性质3求期望；进一步了解两点分布与二项分布的内在关系。

注意：（1）模型识别——为什么可以用二项分布随机变量均值的结论求平均成绩；（2）提出三种做法供学生比较；（3）比较一次测试中的成绩与随机变量均值的区别与联系。

【例3教学】

平均损失含义：表示损失的随机变量的均值。多次损失的情况下，各次损失的平均值接近于最小。

每次的损失是损失随机变量的一次观测值。

&.有a.b.c 三种糖果，每颗的质量、外观完全一样，它们的销售的价格和销售利润率情况见下表：

糖中任取一颗糖，取到a,b,c 的三个概率值为权重）为销售价格。已知a 糖在混合糖中所占比例为2

1。

（1）若销售价格确定为24元/kg,求三种糖的混合比例；

（2）为使混合糖的销售利润为3.6元/kg, 三种糖的混合比例应为多少？

（注：利润率=

）

（）

（元销售金额元利润值）

解：设b 糖和c 糖在混合糖中所占比例分别为p,

2

1

-p 。 （1）根据古典概型，在混合糖中任取一颗糖果，其单价为18元/kg,