均值与方差的点估计
《应用统计学》第6章：置信区间估计
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量
均值、方差、自相关函数的估计
2
{x(t)
E[x(t)]}2
f
( )d
0
2
0 [sin(0t
)
0]2
1
2
d
1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d
2
0 sin(0t1
) sin(0t1
)
1
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
E[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
2 x
)
E{[
2 x
E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2
N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn
1 N
mx2
N N
1
m2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )
1 N
mx2
N N
1
m2
x
m2x
1 N
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得
§7-1 已知方差的均值区间估计
一、复习引入 1．点估计 2．假设检验的方法和程序
§7—1 已知方差的均值区间估计
二、已知方差估计均值的基本思想方法 引例： 引例： 从长期的生产实践知道，某厂生产的灯泡的 使用寿命 ， 现从该厂生产的一批灯泡中随机抽取5只，测得使用寿 命如下： 试对这批灯泡的平均使用寿命作区间估计。 样本均值的观测值 这就是对总体均值的点估计 但只是的近似值，的真值是未知的。 我们希望给出一个区间，使得这个区间能够按足够大 的概率（比如）包含总体均值。
§7—1 已知方差的均值区间估计
（1）构造统计量，并确定其分布： （2）对给定的概率，查正态分布表知 其中=是根据需要选定的，是在选定后查正态 = 分布表所得到的。一般不能过大。 （3）因为，从而 解出 得：这就是说： 值包含在区间内的概率为 （4）当作一次具体的抽样，得到一组样本值 后，以代入上式，得到区间 ，可以认为总体均 值在该区间了。
§7—1 已知方差的均值区间估计
三、置信水平、临界值和置信区间 置信水平、 从引例可知，区间表达了估计的精确度，概率表达了估计的可靠 程度。 称区间为的置信区间。 置信区间。 置信区间 称概率为为的置信水平 置信水平（或叫置信度）。 置信水平 由所确定的称为置信水平为时的临界值 临界值。 临界值 置信水平通常用表示，不一定选取。通常选取=、、。对于不同 的置信水平，可确定不同的临界值，从而得到不同的置信区间。 注意： 注意： 总体均值虽然未知，但它是一个常量。由于样本是随机抽取的， 观测值不同，置信区间也不同，所以置信区间也是随机的，它以 很大的概率（）包含了总体均值。 置信区间的长度越小，估计越精确；置信水平越大，估计越可 靠。我们希望：估计的范围要小，而可靠性要大。但对固定样本 容量来说，这是办不到的。如果不降低可靠性，而缩小估计范围， 那么就只有增大样本容量。
参数估计公式
参数估计公式参数估计是统计学中非常重要的一个概念，它是指对于一个总体的一些参数进行估计，使得估计值接近于真实值。
参数估计一般分为点估计和区间估计两种，其中点估计是指用一个数值来估计总体参数，而区间估计是指用一个区间来估计总体参数。
本文将着重介绍点估计中的一些常用的精确估计方法。
首先，最简单也是最常用的点估计方法是样本均值估计总体均值。
假设我们有一个样本数据集，包含n个观测值，样本均值可以作为总体均值的一个良好估计。
它的计算公式如下：\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本均值可以作为总体均值的一个无偏估计，即样本均值的期望等于总体均值。
另外一个常用的点估计方法是样本方差估计总体方差。
样本中的每一个数据点和样本均值之间的差别可以用来估计总体的分散程度。
样本方差可以通过以下公式计算：\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)其中，\(s^2\)表示样本方差，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本方差是总体方差的一个无偏估计，即样本方差的期望等于总体方差。
除此之外，还有一些其他的点估计方法，例如极大似然估计和最小二乘估计等。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
最小二乘估计是一种常用的线性回归模型参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型估计值之间的平方残差和来估计参数值。
在进行参数估计时，我们通常需要估计参数的精确度。
一个常用的方法是计算参数的标准误差。
对于样本均值的标准误差，可以用以下公式计算：\(SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)其中，\(SE(\bar{x})\)表示样本均值的标准误差，s表示样本方差，n表示样本的个数。
第6讲离散型随机变量的均值与方差
【示例】甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机 投弹一次命中目标的概率为2/3，乙机投弹一次命中目标的 概率为1/2，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投 弹之间互不影响． (1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被 摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学 期望． 【审题视点】 对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重 复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法 求解，题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立 重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求 出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随 机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则 哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
所以 E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
【反思与悟】 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数 学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件， 求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列 的性质p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 【变式3-1】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项 目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失 10%，可能 不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为1/2，1/4，1/4； 如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%， 这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)． (1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回 收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项 目的平均收益，求α的取值范围．
《总体平均值与方差的估计》教案
《总体平均值与方差的估计》教案一、教学目标1. 让学生理解总体平均值和方差的概念，掌握它们的计算方法。
2. 培养学生运用样本数据估计总体数据的能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二、教学内容1. 总体平均值的估计：利用样本平均值估计总体平均值，了解估计误差的概念。
2. 方差的估计：利用样本方差估计总体方差，了解方差的性质和意义。
3. 估计方法的应用：解决实际问题，如产品质量检测、数据预测等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：总体平均值和方差的估计方法，估计误差的概念。
2. 教学难点：方差的计算，利用样本数据估计总体数据的方法。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法、实践教学法等。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、计算器、实际数据案例等。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际案例，引发学生对总体平均值和方差的关注，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解总体平均值和方差的定义，引导学生理解估计误差的概念，阐述方差的性质和意义。
3. 案例分析：分析实际案例，让学生掌握利用样本数据估计总体数据的方法。
4. 课堂练习：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 总结与拓展：对本节课的主要内容进行总结，提出一些拓展问题，引导学生思考。
6. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对总体平均值和方差概念的理解程度，以及对估计方法的应用能力。
2. 练习题解答：检查学生课堂练习的解答情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：批改学生的课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否适合学生的认知水平，是否需要调整。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学手段：评估教学手段的运用情况，充分利用多媒体课件等资源，提高教学质量。
高中方差的计算公式
高中方差的计算公式
方差是统计学中常用的一个概念，它是用来衡量一组数据的离散程度的。
在高中数学中，我们通常使用样本方差来估计总体方差，其计算公式为：
s^2 = Σ(xi- x̄)^2 / (n-1)
其中，s^2代表样本方差，xi代表第i个数据点，x̄代表所有数据点的平均值，n代表样本数据点的数量。
这个公式看起来可能有些抽象，下面我们来逐步解释。
方差的概念就是衡量数据点与平均值之间的偏离程度。
如果所有数据点都非常接近平均值，那么方差就会很小；如果数据点离平均值比较远，那么方差就会比较大。
方差的计算方法就是将每个数据点与平均值之间的差值求平方，然后将所有差值的平方相加，最后再除以样本数据点数量减一。
这个除以n-1的操作是为了让样本方差更准确地估计总体方差。
如果我们想要得到标准差，则可以将样本方差开方，得到：
s = √(Σ(xi- x̄)^2 / (n-1))
标准差也是一个常用的统计学概念，它是方差的平方根，用来衡量数据的离散程度。
与方差类似，标准差越大，数据的离散程度就越
大。
需要注意的是，样本方差和总体方差是有一定区别的。
如果我们使用整个总体的数据来计算方差，则分母应该是n而不是n-1；而在实际问题中，我们通常只有样本数据，因此使用样本方差来估计总体方差更为常见。
方差是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们了解数据的离散程度，从而更好地理解数据的含义。
同时，掌握样本方差的计算方法也是高中数学学习的重要内容之一。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22