2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高一上学期期中数学试卷和解析

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河南省某重点高中2017-2018学年上学期高一期中考试数学试卷(解析版)

2017-2018学年上期高一期中考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∴故选B2.设集合，，若，则满足条件的实数的值是（）A. 1或0B. 1，0，或3C. 0，3，或-3D. 0，1，或-3【答案】C【解析】∵集合，，∴或∴或或当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意；∴满足条件的实数的值是，或故选C3.函数的图像过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，令，得，则∴函数的图像过定点故选D4.设，若，则的值为（）A. B. 5 C. 6 D.【答案】A【解析】∵，∴当时，，即，不成立；当时，，即或（舍）当时，，即，不成立∴故选A5.已知幂函数在上为减函数，则等于（）A. 3B. 4C. -2D. -2或3【答案】C【解析】∵为幂函数∴∴或又∵在上为减函数∴，即∴故选C6.下列四种说法：（1）若函数在上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数；（2）若函数与轴没有交点，则且；（3）函数的单调递增区间为；（4）和是相同的函数.其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】对于（1），若函数，在上是增函数，在上也是增函数，但在上不是增函数，故（1）错误；对于（2），当时，与轴没有交点，故（2）错误；对于（3），，可知函数的单调增区间为和，故（3）错误；对于（4），与不表示相同的函数，故（4）错误.故选A7.若函数是偶函数，其定义域为.且在上是增函数，则与的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵函数是偶函数，且在上是增函数∴在上是减函数∵∴故选C8.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数的定义域为∴且，即且∵∴，则∴故选A9.函数的图像和函数的图像的交点个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出与的图像如图所示：由图象可知两函数图象有2个交点，故选B10.设是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数满足∴函数是周期为2的周期函数∴又∵是定义在上的奇函数∴∵当时，∴，即故选D11.函数在区间上的最大值为，最小值为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数∴函数的对称轴为直线，且函数的最小值为令，解得或4∵在区间上的最大值为5，最小值为∴实数的取值范围是故选B点睛：本题考查二次函数的图象与性质.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系函数的图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.12.若在函数定义域的某个区间上定义运算，则函数，的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数∴由新运算法则得，即∵∴当时，，其值域为，即值域为当时，，其值域为，即值域为综上可得值域为故选B点睛：本题考查新定义题型，根据新运算法则可得到分段函数，在判断分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给定集合，，定义一种新运算：或，试用列举法写出___________.【答案】【解析】∵，∴又∵∴故答案为14.函数的定义域是__________．【答案】【解析】∵∴要使函数有意义，则，即或∴的定义域为故答案为15.定义在上的奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为-1，则__________．【答案】-15【解析】∵是定义在上的奇函数∴又∵在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为∴，∵是奇函数∴，∴故答案为16.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】令∵函数在上单调递减∴在上单调递增，且∵∴，即∴故答案为点睛：复合函数的单调性规则：若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数单调性相反，则它们的复合函数为减函数，即“同增异减”.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）（2）.【答案】（1）（2）【解析】⑴解：原式=………………………………2分==………………………………6分（2）解：原式=………………………………9分=………………………………13分18.若集合，.（1）当时，求实数的取值范围；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解出集合，，根据，即可求出的取值范围；（2）根据，即可求出的取值范围.试题解析：（1），，；（2），.19.设是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若时，方程仅有一实根，（若有重根按一个计算），求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质，当时，，结合当时，，可写出当时的解析式，即可得到的解析式；（2）记，根据题意，在时仅有一根，设的两实根分别为，根据，，三种情况分类，即可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，当时，，那么，即综上（2）记，设的两实根分别为，当时，有，即；当时，有，即，此时，或不符合（舍去）当时，有可得综上，的取值范围是或.20.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）在内，求使关系式成立的实数的取值范围.【答案】（1）奇函数；（2）.【解析】试题分析：（1）根据函数有意义，求出的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再计算，与作比较，即可判断函数的奇偶性；（2）先根据定义法判断函数的单调性，再由单调性解不等式，即可求出的取值范围.试题解析：（1）函数有意义，需解得且，函数定义域为或；（1），又由（1）已知的定义域关于原点对称，为奇函数.（2）设，，又，，又，，，.；.由①②，得在内为减函数；又，使成立的范围是.点睛：利用函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定要注意函数的定义域；（2）注意应用函数的奇偶性；（3）化成后再利用单调性和定义域列出不等式（组）.21.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立.（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数属于集合，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出所给函数的定义域，假设，则存在非零实数，使得，即，由方程无实数解，即可得出；（2）据所给的函数符合集合的条件，写出符合条件的关系式，并化简，得到，当时，符合题意，当，再根据有解，得到判别式大于等于0，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1），若，则存在非零实数，使得，即此方程无实数解，所以函数（2）依题意，.由得，存在实数，，即又，化简得当时，，符合题意.当且时，由得，化简得，解得.综上，实数的取值范围是.点睛：对于探索性题目，在求解的过程中，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证命题成立.22.设函数满足.（1）求函数的解析式；（2）当时，记函数，求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）法一，根据整体思想，令，则，即可求出的解析式；法二，对中的分子进行配方得到，即可求出的解析式；（2）根据函数判断出为偶函数，由，判断出在上的单调性，再根据偶函数的性质，即可求出在上的值域.试题解析：（1）（法一）设，则，（法二）（2），为偶函数，的图像关于轴对称.又当时，由在单调减，单调增，（需证明），当时，函数在区间上的值域为。

2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（3分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3分）已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）A．7种 B．4种 C．8种 D．12种4．（3分）若向量=（1，﹣1），=（﹣1，1），=（5，1），则++=（）A．B．C．D．+5．（3分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．（3分）在△ABC中，已知a=2，b=4，则角A的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（，]7．（3分）已知函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是π，将函数y=3cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）=（）A．3sin（2x﹣） B．3sin（2x﹣） C．3sin（2x+）D．3sin（2x+）8．（3分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形9．（3分）函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．10．（3分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形11．（3分）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（3分）如图，函数y=log24x图象上的两点A，B和y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q=（）A．12 B．C．6 D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）dx=．14．（3分）若三点（2，﹣3），（4，3）及（5，）在同一条直线上，则k的值等于．15．（3分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．16．（3分）已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．（12分）设函数f（x）=lg的定义域为A，命题p：3∈A与命题q：5∈A，若p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinAsinB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ﹣1恒成立，求θ的取值范围．20．（12分）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x ﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．21．已知函数f（x）=ae x+﹣2（a+1）（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．23．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．选修：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（I）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（II）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2） B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．2．（3分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=故选：A．3．（3分）已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）A．7种 B．4种 C．8种 D．12种【解答】解：值域C可能为：只含有一个元素时，{a}，{b}，{c}3种；有两个元素时，{a，b}，{a，c}，{b，c}3种；有三个元素时，{a，b，c}1种；∴值域C的不同情况有3+3+1=7种．故选：A．4．（3分）若向量=（1，﹣1），=（﹣1，1），=（5，1），则++=（）A．B．C．D．+【解答】解：∵=（1，﹣1），=（﹣1，1），=（5，1），∴++=（1﹣1+5，﹣1+1+1）=（5，1）故选：C．5．（3分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选：C．6．（3分）在△ABC中，已知a=2，b=4，则角A的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（，]【解答】解：△ABC中，已知a=2，b=4，由正弦定理可得=，即=，∴sinA=sinB∈（0，]．再根据大边对大角可得B＞A，故A为锐角，∴A∈（0，]，故选：B．7．（3分）已知函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是π，将函数y=3cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）=（）A．3sin（2x﹣） B．3sin（2x﹣） C．3sin（2x+）D．3sin（2x+）【解答】解：∵函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是=π，∴ω=2．将函数y=3cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）=3cos[2（x﹣）﹣]=3cos（2x﹣﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：B．8．（3分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA•sinC=，②由①②得：sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+•=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故选：D．9．（3分）函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．10．（3分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选：B．11．（3分）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故选：B．12．（3分）如图，函数y=log24x图象上的两点A，B和y=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q=（）A．12 B．C．6 D．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC=2，2+log2p=q，∴p=2q﹣2，∴4p=2q；又x0﹣p=，∴p=x0﹣，∴x0=p+；又2+log2x0﹣q=1，∴log2x0=q﹣1，x0=2q﹣1；∴p+=2q﹣1；2p+2=2q=4p，∴p=，∴p2×2q=3×=12．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）dx=．【解答】解：令y=，则（x+2）2+y2=1．∴y=（﹣3≤x≤﹣1）表示以（﹣2，0）为圆心，以1为半径的半圆．∴dx==．故答案为：．14．（3分）若三点（2，﹣3），（4，3）及（5，）在同一条直线上，则k的值等于12．【解答】解：∵三点共线且为直线∴设y=kx+b（k≠0）过上述三点将（2，﹣3），（4，3）代入上式可得由①②，得k=3，b=﹣9∴y=3x﹣9∵直线过点（5，）所以将该点代入上式，得=15﹣9∴=6∴k=12．故答案为：1215．（3分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0] ．【解答】解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]16．（3分）已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．【解答】解：函数y=f（f（x））+1的零点，即方程f[f（x）]=﹣1的解个数，（1）当a=0时，f（x）=，当x＞1时，x=，f（f（x））=﹣1成立，∴方程f[f（x）]=﹣1有1解当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]=﹣1无解，当x≤0时，f（x）=1，f（f（x））=0，∴，∴f（f（x））=﹣1有1解，故a=0不符合题意，（2）当a＞0时，当x＞1时，x=，f（f（x））=﹣1成立，当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]=﹣1有1解，当﹣＜x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））=﹣1有1解，当x时，f（x）＜0，∴f（f（x））=﹣1有1解，故，f（f（x））=﹣1有4解，（3）当a＜0时，当x＞1时，x=，f（f（x））=﹣1成立，∴f（f（x））=﹣1有1解，当0＜x≤1时，f（x）≤0．f（f（x））=﹣1，成立∴f（f（x））=﹣1有1解，当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））=﹣1，成立∴f（f（x））=﹣1有1解，故f（f（x））=﹣1有3解，不符合题意，综上：a＞0故答案为：（0，+∞）三、解答题17．（12分）设函数f（x）=lg的定义域为A，命题p：3∈A与命题q：5∈A，若p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．【解答】解：由题意A={x|}，若3∈A，则，解得，若5∈A，则，解得1＜a＜25，若p真q假，则，此时a无解，若p假q真，则，解得1＜a或9≤a＜25，综上可得，a∈（1，]∪[9，25）．18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinAsinB．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：2（a2+b2﹣c2）=3ab，…（2分）∴由余弦定理得：，…（4 分）∴…（7分）（Ⅱ）若c=2，则由（Ⅰ）知：8=2（a2+b2）﹣3ab≥4ab﹣3ab=ab，．（9分）又，…（11分）∴，即△ABC面积的最大值为…（14分）19．（12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ﹣1恒成立，求θ的取值范围．【解答】解：由于：，原不等式变形为：（cosθ﹣sinθ+1）x2﹣（cosθ﹣sinθ﹣4）x+cosθ﹣sinθ+4＞0，令t=cosθ﹣sinθ得：（t+1）x2﹣（t﹣4）x+t+4＞0，∴，∴cosθ﹣sinθ＞0⇒cosθ＞sinθ⇒2kπ﹣＜θ＜2kπ+（k∈Z），所以θ得范围是：θ∈（2kπ﹣，2kπ+）k∈Z．20．（12分）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x ﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【解答】解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由于f′（x）=6x﹣2，得a=3，b=﹣2，所以f（x）=3x2﹣2x．又因为点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以S n=3n2﹣2n．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5．当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5，所以，a n=6n﹣5（n∈N*）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，故T n===（1﹣）．因此，要使（1﹣）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．21．已知函数f（x）=ae x+﹣2（a+1）（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，，，所以f'（1）=e﹣2，所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（e﹣2）x﹣y=0…（4分）（2）．所以，令g（x）=ax2e x﹣（a+1），则g'（x）=ax（x+2）e x＞0，…（8分）所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g（0）=﹣（a+1）＜0，，所以存在x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，且f（x）在（0，x0）上单调递减，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，，因为对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，所以，…（12分）所以，，所以，解得，因为，∴，令，而，当，h'（x0）＜0，x0∈（0，1]时，h'（x0）＞0，所以h（x0）在，在（0，1]上为增函数．又所以h（x0）的值域为[0，e]，所以，解得．故所求实数a的取值范围为…（16分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．23．在平面直角坐标系xoy中，曲线C 1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．【解答】解：（I）∵曲线C1上的点对应的参数ϕ=，∴，解得，∴曲线C1的直角坐标方程为：=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点．∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：=1．可得．∴=+===．选修：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（I）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（II）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（Ⅱ）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

2017—2018学年第一学期高一期中考试数学试题及参考答案

2017--2018学年第一学期高一期中考试数学学科试题试卷分值：160分考试时间：120分钟一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若集合A={1，3}，B={0，3}，则A ∪B= ．2．计算：sin210°的值为．3．若扇形的半径为2，圆心角为，则它的面积为． 4、函数()11+=-x a x f ()1,0≠>a a 过定点．5、若一个幂函数)(x f 的图象过点)41,2(，则)(x f 的解析式为．6、已知a=20.3，b=20.4，c=log 20.3，则a ，b ，c 按由大到小排列的结果是．7、函数()()1log 13--=x x f 的定义域是 .8、已知点(4,)M x 在角α的终边上，且满足x <0，cos α=54，则tan α= ． 9、不等式03242<+-+x x 的解集为． 10、已知)0(51cos sin πααα<<=+，则=-ααcos sin _________． 11、关于x 的函数()()5342+-+=x a ax x f 在区间()2,∞-上是减函数，则a 的取值范围是．12、已知定义在R 上的函数()21,01,0x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，满足对任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是． 13、已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，若()x f 在(]0,∞-上是减函数，且()02=f ，则()0<xx f 的x 的取值范围为． 14、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=)(,42)(,)(2m x m mx x m x x x f ,其中m>0，若存在实数b,使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根,则m 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣8≤0}，集合[]R m m m B ∈-=,3（1）若A ∩B=[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）（1）（2）（lg5）2+lg2•lg50．17．（本小题满分14分）已知y=f （x ）（x ∈R ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）若不等式f （x ）≥mx 在1≤x ≤2时都成立，求m 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数f （x ）=为奇函数．（1）求a 的值；（2）证明：f （x ）是R 上的增函数；（3）解不等式：()x f 2log ≤53．19．（本小题满分16分）如图，在长为10千米的河流OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数()02≠++=a c bx ax y ，x ∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A （4，4）；观光带的后一部分为线段BC ．（1）求函数为曲线段OABC 的函数()[]10,0,∈=x x f y 的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？20．（本小题满分16分）若函数()x f 和()x g 满足：①在区间[a ，b ]上均有定义；②函数()()x g x f y -=在区间[a ，b ]上至少有一个零点，则称()x f 和()x g 在区间[a ，b ]上具有关系G ．（1）若()()x x g x x f -==3,lg ，试判断()x f 和()x g 在[1，4]上是否具有关系G ，并说明理由；（2）若()122+-=x x f 和()2mx x g =在[1，4]上具有关系G ，求实数m 的取值范围．2017--2018学年第一学期高一期中考试数学学科试题(答案)一、填空题1、{0，1，3}；2、﹣21；3、34π； 4、()2,1； 5、()2-=x x f ； 6、b ，a ，c ．； 7、(]4,1； 8、-43； 9、()3log ,02； 10、57； 11、[0, 23]； 12、30≤<m ； 13、()()2,02,⋃-∞-； 14、()+∞,3 二、解答题15．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x |（x +2）（x ﹣4）≤0}==[﹣2，4]———3分 ∵A ∩B=[2，4]，∴，解得m=5————————————7分（ II ）由（Ⅰ）知C R B={x |x ＜m ﹣3，或x ＞m }，————————10分∵A ⊆C R B ，∴4＜m ﹣3，或﹣2＞m ，解得m ＜﹣2，或m ＞7．故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）———————14分16．【解答】解：（1）原式=﹣+3+1———————3分=4﹣+1+3+1 =9﹣．———————7分（2）原式=lg 25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2———————10分=lg5+lg2=1．———————14分17、【解答】解：（1）当x ＜0时，有﹣x ＞0，∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）=f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2+2x ，--------4分 ∴f （x ）=．------------------------------------------6分（2）由题意得x 2﹣2x ≥mx 在1≤x ≤2时都成立，即x ﹣2≥m 在1≤x ≤2时都成立，------------------------------------10分即m ≤x ﹣2在1≤x ≤2时都成立．而在1≤x ≤2时，（x ﹣2）min =﹣1，∴m ≤﹣1．--------------------------14分 18．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为R ．----------------------2分∵f （x ）为奇函数，∴f （-x ）= - f(x)，∴a=1．-----------------------------5分（2）证明：易得f （x ）=1﹣122+x 设x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2，∴f （x 1）﹣f （x 2）==．--------------8分∵， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0．∴f （x 1）＜f （x 2）．∴f （x ）为R 上的增函数．-------------------------------------------------11分（3）令f （x ）=，解得x=2．--------------------------------------13分∴f （log 2x ）≤即f （log 2x ）≤f （2）．∵f （x ）为R 上的增函数，∴log 2x ≤2．-------------------------------------------------------15分∴0＜x ≤4．——————————————————16分19．【解答】解：（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为A （4，4），所以，解得所以，当x ∈[0，6]时，()x x x f 2412+-=---------------（3分）因为后一部分为线段BC ，B （6，3），C （10，0），当x∈[6，10]时，()21543+-=xxf---------------（6分）综上，---------------（8分）（2）设OM=t（0＜t≤2），则由，得，所以点---------------（11分）所以，绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=---------------（13分）当t=1时，所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长---------------（16分）20．【解答】解：（1）它们具有关系G———————2分令h（x）=f（x）﹣g（x）=lgx+x﹣3，∵h（1）=﹣2＜0，h（4）=lg4+1＞0；故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系G．———————6分（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，———————9分当m＞0时，h（x）=；当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故；故m∈[，3]；———————11分当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；———————13分若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；———————15分综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．———————16分。

2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．32．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．25．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x37．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．ex+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）11．已知函数f（x）定义在实数集R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数aa）+f（log a）≤2f（﹣1），则a的取值范围是（）满足f（log2A．[2，+∞]∪（﹣∞，] B．（0，]∪[2，+∞）C．[，2] D．（0，]12．已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为（）A．3个B．2个C．0个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．19．（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．20．（12分）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．21．（12分）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）22．（12分）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高一（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3【考点】子集与真子集．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．2．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：∵B={x|2x＞4}={x|x＞2}，又A={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及指数不等式的解法，是基础的计算题．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．2【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=9，则r=3，l=3，则对应的扇形的面积S=lr=×3=，故选A．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．5．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x﹣1为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．B．y=x2是偶函数，当x＞0时，函数为增函数，不满足条件．C．y=lgx定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，在（﹣∞，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．7．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．【考点】函数的图象．【分析】先由图象可求得直线的方程，又函数的图象过点（0，2），将其坐标代入可得c值，从而即可求得a+b+c的值．【解答】解：由图象可求得直线的方程为y=2x+2，（x+）的图象过点（0，2），又函数y=logc将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=．故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．e【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据y=f（x）与y=e x的图象关于直线y=x对称，求出f（x），再根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，求出y=g（x），再列方程求a的值即可．【解答】解：函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=lnx，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，∴y=﹣lnx，∴g（a）=﹣lna=1，a=．故选：C．【点评】本题考查了函数图象对称的应用问题，是基础题目．x+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，再判断函数的单调性，确定函数的零点的唯一性，从而得到结果．【解答】解：函数f（x）=2x+x，f（﹣1）=﹣1=﹣＜0，f（0）=1＞0，可知函数的零点a ＜0；令g（x）=x﹣3=0得，b=3；函数h（x）=logx+x=0，h（）=﹣1+=﹣＜0，h（1）=1＞0，2∴函数的零点满足＜c＜1，∵f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=logx+x在定义域上是增函数，2∴函数的零点是唯一的，则a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围．10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，⇒函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，⇒f（）＜f（）＜f（0），及f（）＜f（）＜f（2）．【解答】解：函数f（x）定义在实数集R上，且满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）．又∵当x≥1时，f（x）=2x，∴函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，∴f （）＜f （）＜f （0），及f （）＜f （）＜f （2）．故选：C ．【点评】本题考查了函数的对称性及单调性，属于中档题．11．已知函数f （x ）定义在实数集R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），则a 的取值范围是（）A ．[2，+∞]∪（﹣∞，]B ．（0，]∪[2，+∞）C ．[，2]D ．（0，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （log a ）=f （﹣log 2a ）=f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （loga ）≤2f （﹣1），为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，所以|log 2a|≥1，解得0＜a ≤或a ≥2，则a 的取值范围是（0，]∪[2，+∞）故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．12．已知函数，则函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数为（） A ．3个 B ．2个 C ．0个 D ．4个【考点】函数的图象．【分析】函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数即为f[f （x ）]﹣1=0的解得个数，根据函数解析式的特点解得即可，【解答】解：y=f[f （x ）]﹣1=0，即f[f （x ）]=1，当f（x）+1=1时，即f（x）=0时，此时log2x=0，解得x=1，或x+1=0，解得x=﹣1，当log2f（x）=1时，即f（x）=2时，此时x+1=2，解得x=1（舍去），或log2x=2，解得x=4，综上所述函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为3个，故选：A．【点评】此题考查的是函数于函数图象交点个数的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，应满足，即，解得x≥﹣1且x≠1；所以函数f（x）的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的性质进行求解．【解答】解：令x﹣1=0得x=1，此时f（1）=1﹣2=﹣1．故函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数过定点，是解决本题的关键．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是[1，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+2x＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+2x＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2），则f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t的减区间．利用二次函数的性值可得令t=﹣x2+2x在定义域内的减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα、cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵tanα==，，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•扶余县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x ≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．（1）求A∪B，（∁A）∩B；R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接利用并集、补集和交集的概念求解；（2）由C∩A=C，∴C⊆A，然后分C为空集和不是空集分类求解a的范围，最后取并集．【解答】解：（1）A∪B={x|1≤x≤8}，∁R A═{x|x≥5或x＜1}，（∁RA）∩B═{x|5≤x≤8}，（2）∵A∩C=C，∴C⊆A当C=∅时 a+3＜﹣a解得a≤﹣当C≠∅时解得：﹣综上所述：a≤﹣1【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系，解答的关键是端点值的取舍，是基础题．18．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求值得解．（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．【解答】解：（1）f（α）=+cosα=sinα+cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴+==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断；对数函数的图象与性质．【分析】（1）f（x）为奇函数，结合对数的运算性质和奇偶性的定义，可得答案．（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得答案．【解答】解：（1）f（x）为奇函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）证明如下：因为，定义域为（﹣1，1）关于原点对称﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f（﹣x）=，∴f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令u==﹣1为（﹣1，1）上的减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由复合函数的单调性可知f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得：＜m＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．20．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可．【解答】解：（1）对称轴x=，且图象开口向上．若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，则满足≤2或≥4，解得：m≤5或m≥9；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，则只需：x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＞2x﹣9在区间[﹣1，1]恒成立，即x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上①当≥1即m≥1时，h（x）在[﹣1，1]上是减函数，=h（1）=2＞0，所以h（x）min所以：m≥1；②当﹣1＜＜1，即﹣3＜m＜1，函数h（x）在顶点处取得最小值，=h（）=m+2﹣＞0，解得：1﹣2＜m＜1；即h（x）min③当≤﹣1即m≤﹣3时，h（x）在[﹣1，1]上是增函数，所以，h（x）min=h（﹣1）=2m+4＞0，解得：m＞﹣2，此时，m∈∅；综上所述：m＞1﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．21．（12分）（2014秋•增城市期末）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．22．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x ﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（e x+1）﹣ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）﹣f（x）=0，则ln（e﹣x+1）+ax﹣ln（e x+1）+ax=0，ln（e x+1）﹣x+2ax﹣ln（e x+1）=0，则（2a﹣1）x=0，即2a﹣1=0，解得a=．若g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．则g（0）=0，即1﹣b=0，解得b=1；（2）∵b=1，∴g（x）=e x﹣e﹣x，则g（x）单调递增；（3）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，等价为f（x）＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，即ln（e x+1）﹣x＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，则m＜ln（e x+1）+x，设m（x）=ln（e x+1）+x，则m（x）在[1，+∞）上单调递增。

2017-2018年河南省郑州市盛同学校高一(上)数学期中试卷和答案

2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）已知集合A={x|1＜x≤5}，B={x|log2x≥1}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x≤5}2．（3分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则f（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（3分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（0，1]C．D．4．（3分）设若f（x）=，f（f（1））=8，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣25．（3分）函数f（x）=x2+lgx﹣3的一个零点所在区间为（）A． B． C． D．6．（3分）下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x2+2|x| C．y=|lnx|D．y=2﹣x7．（3分）已知a=lg3，，c=lg0.3，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．（3分）已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（6x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．（3分）函数f（x）的定义域为[a，b]，其图象如图，则f（|x|）的图象是（）A． B．C．D．11．（3分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，则（）A．a≥3 B．a＞0 C．a≤3 D．a＜312．（3分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）若log3x=5，则=．14．（3分）已知幂函数的图象过点（2，8），则=．15．（3分）设集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈N，且k＜3}，则A ∩B=．16．（3分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则满足的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知函数的定义域为集合A，B={x|x＞3或x＜2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|x＜2a+1}，B∩C=C，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．19．某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．20．已知函数f（x）=x2﹣kx﹣3，x∈（﹣1，5]．（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，5]上是单调函数，求实数k的取值范围．21．已知函数，其中b是常数．（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；（2）求证：y=f（x）是单调增函数．22．若函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=e x+e﹣x，则称f（x）为“e函数”．（1）试判断f（x）=e x+x3是否为“e函数”，并说明理由；（2）若f（x）为“e函数”且，（ⅰ）求证：f（x）的零点在上；（ⅱ）求证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）已知集合A={x|1＜x≤5}，B={x|log2x≥1}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x≤5}【解答】解：集合A={x|1＜x≤5}，B={x|log2x≥1}={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x≤5}．故选：A．2．（3分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则f（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则2f（2）+f（﹣2）=3×2+2=8，2f（﹣2）+f（2）=3×（﹣2）+2=﹣4，消去f（﹣2）可得3f（2）=20．解得f（2）=．故选：D．3．（3分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（0，1]C．D．【解答】解：由，解得x．∴函数的定义域为（﹣∞，）．故选：C．4．（3分）设若f（x）=，f（f（1））=8，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【解答】解：f（x）=，f（f（1））=8，f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0=t3=a3=8，解得a=2．故选：B．5．（3分）函数f（x）=x2+lgx﹣3的一个零点所在区间为（）A． B． C． D．【解答】解：∵f（）=+lg﹣3=﹣+lg＜﹣+lg=﹣+=﹣＜0，f（2）=4+lg2﹣3=1+lg2＞0，∴f（）f（2）＜0，根据零点定理知，f（x）的零点在区间（，2）上．故选：D．6．（3分）下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x2+2|x| C．y=|lnx|D．y=2﹣x【解答】解：A.是偶函数，当x＞0时，=（）x是减函数，不满足条件．B．y=x2+2|x|是偶函数，当x＞0时，y=x2+2|x|=x2+2x是增函数，满足条件．C．y=|lnx|的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．7．（3分）已知a=lg3，，c=lg0.3，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=lg3∈（0，1），＞1，c=lg0.3＜0，∴c＜a＜b．故选：C．8．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．9．（3分）已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（6x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数y=f（6x），可知6x＞0，由函数的图象可知函数y=f（6x）的零点个数为：2．故选：C．10．（3分）函数f（x）的定义域为[a，b]，其图象如图，则f（|x|）的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由已知f（x）的图象以及定义域，可知函数f（|x|）定义域为[﹣b，b]，并且是偶函数f（|x|）=，因此f（|x|）的图象在[0，b]的图象与f（x）的相同，在[﹣b，0]的图象与[0，b]的图象关于y轴对称；故选：D．11．（3分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，则（）A．a≥3 B．a＞0 C．a≤3 D．a＜3【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+6的开口向上，对称轴为x=a，函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，∴a≥3．故选：A．12．（3分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，可得，解得：a∈[3﹣，2）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）若log3x=5，则=15．【解答】解：∵log3x=5，∴x=35．则=3=3×5=15．．故答案为：15．14．（3分）已知幂函数的图象过点（2，8），则=．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象过点（2，8），∴2a=8，解得a=3，∴f（x）=x3，∴=（）3=．故答案为：．15．（3分）设集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈N，且k＜3}，则A ∩B={1，3，5} ．【解答】解：集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈N，且k＜3}={1，3，5}，所以A∩B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．16．（3分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则满足的实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2x﹣1，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴f（x）=1﹣2﹣x，令f（x）=x，即，或，或x=0，求得x=2，x=0，x=﹣2，如图所示：∴满足的实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知函数的定义域为集合A，B={x|x＞3或x＜2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|x＜2a+1}，B∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数，要使f（x）有意义，其定义域满足，解得﹣2＜x≤3，∴集合A={x|﹣2＜x≤3}，集合B={x|x＞3或x＜2}．故得A∩B={x|﹣2＜x＜2}．（2）C={x|x＜2a+1}，∵B∩C=C，∴C⊆B，∴2a+1≤2，解得：故得求实数a的取值范围是（﹣∞，]．18．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．19．某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．【解答】解：当0＜t＜15，t∈N+时，y=（t+30）（﹣t+40）=﹣t2+10t+1200=﹣（t ﹣5）2+1225．∴t=5时，y max=1225；当15≤t≤30，t∈N+时，y=（﹣t+60）（﹣t+40）=t2﹣100t+2400=（t﹣50）2﹣100，而y=（t﹣50）2﹣100，在t∈[15，30]时，函数递减．∴t=15时，y max=1125，∵1225＞1125，∴最近30天内，第5天达到最大值，最大值为1225元．20．已知函数f（x）=x2﹣kx﹣3，x∈（﹣1，5]．（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，5]上是单调函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）k=2时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴函数f（x）的对称轴是x=1，开口向上，∴f（x）在（﹣1，1）递减，在（1，5]递增，∴f（x）最小值=f（1）=﹣4，f（x）最大值=f（5）=12，∴函数f（x）的值域是：[﹣4，12]．（Ⅱ）∵f（x）的对称轴是x=，函数f（x）在区间（﹣1，5]上是单调函数，∴≥5或≤﹣1，解得：k≥10或k≤﹣2．实数k的取值范围：（﹣∞，﹣2]∪[10，+∞）．21．已知函数，其中b是常数．（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；（2）求证：y=f（x）是单调增函数．【解答】解：（1）设y=f（x）的定义域为D，∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即+=lgb=0，解得b=1，此时，，D=R，为奇函数．证明：（2）设定义域内任意x1＜x2，，==当b≤0时，总有0＜x1＜x2，，，∴，得h（x1）＜h（x2），当b＞0时，∵x1﹣x2＜0，，，∴，得h（x1）＜h（x2），故总有f（x）在定义域上单调递增．22．若函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=e x+e﹣x，则称f（x）为“e函数”．（1）试判断f（x）=e x+x3是否为“e函数”，并说明理由；（2）若f（x）为“e函数”且，（ⅰ）求证：f（x）的零点在上；（ⅱ）求证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．【解答】（1）解：∵f（﹣x）+f（x）=e﹣x﹣x3+e x+x3=e x+e﹣x，∴f（x）为“e函数”．（2）证明：∵f（﹣x）+f（x）=e x+e﹣x①，②∴①+②得：，∴．（ⅰ）∵y=e x与均为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为赠函数，又e x＞0，∴f（x）的唯一零点必在（0，+∞）上．∵f（）=﹣2=﹣2＜0，f（2）=e2﹣＞0，∴f（x）的唯一零点在（，2）上．（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零点x0∈（，2），且f（x0）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＜0在（0，x0）上恒成立，∴对任意a＞0，存在λ=＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．。

郑州一中2017-2018学年上学期期中考试高一数学试题(含答案)(2017.11)

2017-2018学年上期中考20届高一数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,3,4,3,4,5A B ==，则集合()U C A B =A.{}3B.{}4,5C.{}1,2,5D.{}1,2,4,52.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的函数是A.21y x =+ B.2x y = C.1y x x =+ D.21y x =-3.设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是A.12a B.56a C.76a D.32a 4.函数()2ln 4f x x x =+-的零点所在的区间是A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,45.设20.920.9,2,log 0.9a b c ===，则A.b a c >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b>>6.已知奇函数()y f x =在区间[],a b 上为减函数，且在此区间上的最小值为2，函数()y f x =在区间[],b a --上是A.减函数且最大值为-2B.增函数且最小值为-2C.增函数且最大值为-2D.减函数且最小值为-27.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图象运动一周，P,O 两点的连线的距离y 与点走过的路程x 的函数关系如右图所示，那么P 所走的图形是8.已知()()6,1,1x a x a x f x a x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是A.(]2,6 B.[)2,6 C.()1,6 D.(]1,69.已知函数()213x ax f x -+=在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则a 的取值范围是A.[)2,+∞ B.(],1-∞ C.(],2-∞ D.[)1,+∞10.函数ln y x x =的大致图象是11.若函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()2xf xg x e -=，则()f x =A.x x e e -- B.x x e e -- C.x x e e -+ D.x xe e ---12.已知函数()11xf x x +=-，则关于a 的不等式()11f a f a ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭的解集是A.()3,1-B.()0,2C.1,1⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14.已知集合[][]2,2,1,1A B =-=-，对应关系:f x y ax →=，若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射:f A B →，则实数a 的取值范围是.15.下列四个命题正确的有.（填写所有正确的序号）①函数y x =与函数2y =是同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③幂函数y x α=（α为常数）的图象不经过第四象限；④若函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =在区间(),a b 上至少有一个实数根.16.已知函数()2,4816,4x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分（1））求值2233418164-⎛⎫+- ⎪⎝⎭：（2）已知25a b m ==，且112a b+=，求实数m 的值.18.（本题满分12分）已知实数集R为全集，集合{{}2|,|log 1.A x y B x x ===>（1）求(),R A B A C B ；（2）若集合{}|0C x x a =<<，且A C ⊆，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数），对任意实数x 都有成立，且()()12f x f x x +-=，()0 1.f =（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()2f x x m >+在区间[]1,1-上有解，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日170元.根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出，若超过90元，则没超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆.设每辆电动汽车的日租金为x 元()60300,x n N*≤≤∈，用y （单位：元）表示出租电动汽车的日净收入.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？并求出日净收入的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()22.x xf x -=-（1）写出函数()f x 的单调性（不必证明），判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（2）若不等式()()1420x x f f m +-+≤对一切[]1,1x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数()()4log 41x f x kx =++是偶函数（1）求实数k 的值；（2）若关于x 的方程()2x f x a =+没有实数根，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()[]22421,0,log 3xf x xg x m x +=+⋅-∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.。

2017-2018学年度高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

2017-2018学年度高一上学期期中考试数学(总分150) 时间:120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合}1,0,1{-=M ，{}1,0,2-=N ，则N M ⋂＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0} 2. 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是( )A ．),31(+∞-B ．)1,31(- C. )31,31(- D.)31,(--∞3. 设221(1),()log (1).x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩ 则(1)(4)f f += ( )A. 5B. 6C. 7D. 8 4.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A ．3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；B ．x x f =)(，2)(x x g =；C．()f x =()F x = D ．1()|25|f x x =-, 2()25f x x =- 5．()2333)2(ππ-+-的值为（）A.5B. 52-πC. 1-D.π25-6.如果集合A={x |a x 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定7、已知幂函数()y f x =的图象过⎛ ⎝⎭，则它的一个单调递减区间是（） A.),2(+∞ B ．(),0-∞ C ．(),-∞+∞ D ．[)0,+∞8. 方程330x x --=的实数解落在的区间是（）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,2] D.[2,3] 9．若2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．(,3]-∞- B ．[3,)-+∞ C ．(,5]-∞D ．[3,)+∞10. 函数121()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．011.函数与（）在同一坐标系中的图像只可能是( ）12.若函数()y f x =定义域为R ，且满足f (－x )＝－f (x )，当a ∈(－∞，0], b ∈(－∞，0]时,总有()()0f a f b a b->-(a ≠b )，若f (m ＋1)＞f (2)，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤1B ．m ＞1C ．－3＜m ＜1D ．m ＜－3或m ＞1二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x)=1+,则f (-2)=14.函数32+=-x a y （a >0且a ≠1）的图象必经过点 15.函数)2(log 22+=x y 的值域为 .16．关于函数f(x)＝lg 21x x＋(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是____ ____．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称； ②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．x a y =x y alog -=1,0≠>a a 且三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）。

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2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）已知集合A={x|1＜x≤5}，B={x|log2x≥1}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x≤5}2．（3分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则f（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（3分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（0，1]C．D．4．（3分）设若f（x）=，f（f（1））=8，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣25．（3分）函数f（x）=x2+lgx﹣3的一个零点所在区间为（）A． B． C． D．6．（3分）下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x2+2|x| C．y=|lnx|D．y=2﹣x7．（3分）已知a=lg3，，c=lg0.3，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．（3分）已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（6x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．（3分）函数f（x）的定义域为[a，b]，其图象如图，则f（|x|）的图象是（）A． B．C．D．11．（3分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，则（）A．a≥3 B．a＞0 C．a≤3 D．a＜312．（3分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）若log3x=5，则=．14．（3分）已知幂函数的图象过点（2，8），则=．15．（3分）设集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈N，且k＜3}，则A ∩B=．16．（3分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则满足的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知函数的定义域为集合A，B={x|x＞3或x＜2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|x＜2a+1}，B∩C=C，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．19．某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．20．已知函数f（x）=x2﹣kx﹣3，x∈（﹣1，5]．（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，5]上是单调函数，求实数k的取值范围．21．已知函数，其中b是常数．（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；（2）求证：y=f（x）是单调增函数．22．若函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=e x+e﹣x，则称f（x）为“e函数”．（1）试判断f（x）=e x+x3是否为“e函数”，并说明理由；（2）若f（x）为“e函数”且，（ⅰ）求证：f（x）的零点在上；（ⅱ）求证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．2017-2018学年河南省郑州市盛同学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）已知集合A={x|1＜x≤5}，B={x|log2x≥1}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x≤5}【解答】解：集合A={x|1＜x≤5}，B={x|log2x≥1}={x|x≥2}，则A∩B={x|2≤x≤5}．故选：A．2．（3分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则f（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则2f（2）+f（﹣2）=3×2+2=8，2f（﹣2）+f（2）=3×（﹣2）+2=﹣4，消去f（﹣2）可得3f（2）=20．解得f（2）=．故选：D．3．（3分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（0，1]C．D．【解答】解：由，解得x．∴函数的定义域为（﹣∞，）．故选：C．4．（3分）设若f（x）=，f（f（1））=8，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【解答】解：f（x）=，f（f（1））=8，f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0=t3=a3=8，解得a=2．故选：B．5．（3分）函数f（x）=x2+lgx﹣3的一个零点所在区间为（）A． B． C． D．【解答】解：∵f（）=+lg﹣3=﹣+lg＜﹣+lg=﹣+=﹣＜0，f（2）=4+lg2﹣3=1+lg2＞0，∴f（）f（2）＜0，根据零点定理知，f（x）的零点在区间（，2）上．故选：D．6．（3分）下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x2+2|x| C．y=|lnx|D．y=2﹣x【解答】解：A.是偶函数，当x＞0时，=（）x是减函数，不满足条件．B．y=x2+2|x|是偶函数，当x＞0时，y=x2+2|x|=x2+2x是增函数，满足条件．C．y=|lnx|的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．7．（3分）已知a=lg3，，c=lg0.3，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=lg3∈（0，1），＞1，c=lg0.3＜0，∴c＜a＜b．故选：C．8．（3分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．9．（3分）已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（6x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数y=f（6x），可知6x＞0，由函数的图象可知函数y=f（6x）的零点个数为：2．故选：C．10．（3分）函数f（x）的定义域为[a，b]，其图象如图，则f（|x|）的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由已知f（x）的图象以及定义域，可知函数f（|x|）定义域为[﹣b，b]，并且是偶函数f（|x|）=，因此f（|x|）的图象在[0，b]的图象与f（x）的相同，在[﹣b，0]的图象与[0，b]的图象关于y轴对称；故选：D．11．（3分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，则（）A．a≥3 B．a＞0 C．a≤3 D．a＜3【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+6的开口向上，对称轴为x=a，函数f（x）=x2﹣2ax+6在区间（﹣∞，3）是减函数，∴a≥3．故选：A．12．（3分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，可得，解得：a∈[3﹣，2）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）若log3x=5，则=15．【解答】解：∵log3x=5，∴x=35．则=3=3×5=15．．故答案为：15．14．（3分）已知幂函数的图象过点（2，8），则=．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象过点（2，8），∴2a=8，解得a=3，∴f（x）=x3，∴=（）3=．故答案为：．15．（3分）设集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈N，且k＜3}，则A ∩B={1，3，5} ．【解答】解：集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈N，且k＜3}={1，3，5}，所以A∩B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．16．（3分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则满足的实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2x﹣1，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴f（x）=1﹣2﹣x，令f（x）=x，即，或，或x=0，求得x=2，x=0，x=﹣2，如图所示：∴满足的实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知函数的定义域为集合A，B={x|x＞3或x＜2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|x＜2a+1}，B∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数，要使f（x）有意义，其定义域满足，解得﹣2＜x≤3，∴集合A={x|﹣2＜x≤3}，集合B={x|x＞3或x＜2}．故得A∩B={x|﹣2＜x＜2}．（2）C={x|x＜2a+1}，∵B∩C=C，∴C⊆B，∴2a+1≤2，解得：故得求实数a的取值范围是（﹣∞，]．18．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．19．某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=，该商场的日销售量Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．【解答】解：当0＜t＜15，t∈N时，y=（t+30）（﹣t+40）=﹣t2+10t+1200=﹣（t+﹣5）2+1225．∴t=5时，y max=1225；时，y=（﹣t+60）（﹣t+40）=t2﹣100t+2400=（t﹣50）2﹣100，当15≤t≤30，t∈N+而y=（t﹣50）2﹣100，在t∈[15，30]时，函数递减．∴t=15时，y max=1125，∵1225＞1125，∴最近30天内，第5天达到最大值，最大值为1225元．20．已知函数f（x）=x2﹣kx﹣3，x∈（﹣1，5]．（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，5]上是单调函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）k=2时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴函数f（x）的对称轴是x=1，开口向上，∴f（x）在（﹣1，1）递减，在（1，5]递增，∴f（x）最小值=f（1）=﹣4，f（x）最大值=f（5）=12，∴函数f（x）的值域是：[﹣4，12]．（Ⅱ）∵f（x）的对称轴是x=，函数f（x）在区间（﹣1，5]上是单调函数，∴≥5或≤﹣1，解得：k≥10或k≤﹣2．实数k的取值范围：（﹣∞，﹣2]∪[10，+∞）．21．已知函数，其中b是常数．（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；（2）求证：y=f（x）是单调增函数．【解答】解：（1）设y=f（x）的定义域为D，∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即+=lgb=0，解得b=1，此时，，D=R，为奇函数．证明：（2）设定义域内任意x1＜x2，，==当b≤0时，总有0＜x1＜x2，，，∴，得h（x1）＜h（x2），当b＞0时，∵x1﹣x2＜0，，，∴，得h（x1）＜h（x2），故总有f（x）在定义域上单调递增．22．若函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=e x+e﹣x，则称f（x）为“e函数”．（1）试判断f（x）=e x+x3是否为“e函数”，并说明理由；（2）若f（x）为“e函数”且，（ⅰ）求证：f（x）的零点在上；（ⅱ）求证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．【解答】（1）解：∵f（﹣x）+f（x）=e﹣x﹣x3+e x+x3=e x+e﹣x，∴f（x）为“e函数”．（2）证明：∵f（﹣x）+f（x）=e x+e﹣x①，②∴①+②得：，∴．（ⅰ）∵y=e x与均为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为赠函数，又e x＞0，∴f（x）的唯一零点必在（0，+∞）上．∵f（）=﹣2=﹣2＜0，f（2）=e2﹣＞0，∴f（x）的唯一零点在（，2）上．（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零点x0∈（，2），且f（x0）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＜0在（0，x0）上恒成立，∴对任意a＞0，存在λ=＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。