第一章自主检测

第一章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．设全集U ＝R ，下列集合运算结果为R 的是( )
A ．Z ∪∁U N
B ．N ∩∁U N
C ．∁U (∁U ∅)
D ．∁U {0}
2．函数f (x )＝x －3＋7－x 的定义域是( )
A ．[3,7]
B ．(－∞，3]∪[7，＋∞)
C ．[7，＋∞)
D ．(－∞，3]
3．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x <－2或x >2}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则图1-1中的阴影部分所表示的集合是( )
图1-1 A ．{x |－2≤x <1} B ．{x |－2≤x ≤2}
C ．{x |1<x ≤2}
D ．{x |x <2}
4．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
A B
C D
5．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2 (x <2)，f (x －1) (x ≥2)，则f (2)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝－4x ＋1
7．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋1x
，则f (－1)＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2
8．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式xf (x )<0的解集为( )
A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B ．(－4，－1)∪(1,4)
C ．(－∞，－4)∪(－1,0)
D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
9．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－0.5
D ．0.5
10．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图1-2，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y ＝f (x )的图象是( )
图1-2
A B
C D
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．已知函数f (x )＝x －1，若f (a )＝3，则实数a ＝__________.
12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ≥0时，f (x )的解析式为____________．
13．已知集合A ＝{x |x 2＋5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，则实数m 的值组成的集合为____________．
14．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭
⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，则有如下结论： ①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是____________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．
分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A .
16．(12分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b.求证：f[g(x)]在(a，b)上也是增函数．
17．(14分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的解析式．
18．(14分)设f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 的图象关于y 轴对称，定义域为[a －1,2a ]，求f (x )的值域．
19．(14分)对于定义域为R 的函数f (x )＝4x －a x 2＋1
(a 为常数)，回答下列问题： (1)若f (1)＝12
，求a 的值； (2)当a 取由(1)所确定的值时，求y ＝f (x )的值域．
20．(14分)已知函数f (x )＝x m －2x ，且f (4)＝72
. (1)求m 的值；
(2)判断f (x )的奇偶性；
(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
第一章自主检测
1．A 解析：∵全集U ＝R ，∴Z ∪∁U N ＝R ，N ∩∁U N ＝∅，∁U (∁U ∅)＝∅，∁U {0}＝{x ∈R |x ≠0}．
2．A 解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3≥0，7－x ≥0解得3≤x ≤7.故选A. 3．C
4．B 解析：依定义知，C 中图象不是函数图象，A 中定义域不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．故选B.
5．A 解析：f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝－1.故选A.
6．B
7．D 解析：f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.
8．D 解析：由已知条件通过f (x )(x ∈R )的草图得知：函数f (x )(x ∈R )的值在(－∞，－
4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．
9．C 解析：方法一：f (7.5)＝－f (5.5)＝f (3.5)＝－f (1.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 方法二：f (7.5)＝－f (－7.5)＝f (－5.5)＝－f (－3.5)＝f (－1.5)＝－f (0.5)＝－0.5.故选C.
10．A 解析：∵2xy ＝20，∴y ＝10x
，x ∈[2,10]．故选A. 11．10
12．f (x )＝－x 2－x 解析：令x ≥0，则－x ≤0, f (－x )＝x 2＋x .因为f (x )是奇函数，所以f (x )
＝－ f (－x )＝－x 2－x .
13.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，12，13 解析：根据题意，可知：A ＝{－2，－3}．由A ∪B ＝A ，得B ⊆A ，故分B ＝{－2}或{－3}或∅三种情况讨论，解得m ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，12，13. 14．①②③④ 解析：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭
⎫－13，2，a <0； ∵－13
，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴－13＋2＝－b a
>0，∴b >0.f (0)＝c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，f (1)＝a ＋b ＋c >0. 故正确答案为 ①②③④.
15．解：∵A ∩B ＝{x |3≤x <6}，
∴∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥6}．
∵∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}，
∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}．
16．证明：设a <x 1<x 2<b ，
∵g (x )在(a ，b )上是增函数，
∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b .
又∵f (x )在(a ，b )上是增函数，
∴f [g (x 1)]<f [g (x 2)]．
∴f [g (x )]在(a ，b )上也是增函数．
17．解：(1)如图D34.
(2)当x <0时，f (x )＝－f (－x )
＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x .
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0). 18．解：f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 的图象关于y 轴对称， 则f (x )是偶函数，即b ＝0. 又因为定义域关于原点对称，则a －1＝－2a ，解得a ＝13
. 所以f (x )＝13
x 2＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤－23，23时，f (x )∈⎣⎡⎦
⎤1，3127. 所以函数y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦
⎤1，3127. 19．解：(1)由f (1)＝12，得4－a 1＋1＝12
，∴a ＝3. (2)当a ＝3时，所给函数变为y ＝4x －3x 2＋1
，定义域为R . 由解析式，得yx 2－4x ＋(y ＋3)＝0.
当y ＝0时，x ＝34
∈R ，∴y ＝0属于函数的值域． 当y ≠0时，若方程有实数解，则Δ＝16－4y 2－12y ≥0， 解得－4≤y ≤1(y ≠0)．
故函数y ＝4x －3x 2＋1
的值域为{y |－4≤y ≤1}． 20．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72
，解得m ＝1. (2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，
又f (－x )＝(－x )－2－x
＝－⎝⎛⎭⎫x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．
(3)f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．证明如下：
设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1－2x 1－⎝⎛⎭⎫x 2－2x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋2x 1x 2.
因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1＋2x 1x 2
>0. 所以f (x 1)>f (x 2)．
因此，f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．。