二次函数图象的平移规律
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。
本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。
5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。
当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。
b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
初中数学解密二次函数的变化规律
初中数学解密二次函数的变化规律二次函数是数学中非常重要的一类函数，它的图像形状是一个抛物线。
在初中数学中，我们通过学习二次函数的变化规律，可以更好地理解和应用这一概念。
本文将通过解密二次函数的变化规律，帮助我们更好地掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二次函数的一般式和顶点式。
二次函数的一般式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0；二次函数的顶点式为：y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k是常数，且a ≠ 0。
通过这两种表示方式，我们可以在具体问题中进行选择，便于计算和分析。
接下来，我们解密二次函数的变化规律。
二次函数在坐标系中的图像是一个抛物线，其变化规律可以描述为：当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。
这是因为a决定了抛物线的开口方向和形状，而顶点则决定了抛物线的最高点或最低点。
其次，我们来研究二次函数的平移。
平移是指将二次函数的图像在坐标系中沿x轴或y轴方向移动。
对于顶点式y = a(x - h)^2 + k，横向平移h个单位可以表示为：y = a(x - (h - t))^2 + k，其中t是平移的单位数；纵向平移k个单位可以表示为：y = a(x - h)^2 + (k - t)，其中t是平移的单位数。
通过平移，我们可以将二次函数的图像在坐标系中灵活地进行调整，便于我们观察和研究其性质。
此外，我们需要了解二次函数的对称性。
二次函数关于其自身的顶点对称。
换句话说，如果顶点坐标为(h, k)，那么(-h, k)也是图像上的一点。
这一性质可以通过二次函数的一般式和顶点式来进行证明。
对于一般式y = ax^2 + bx + c，通过平方完全平方公式可以转化为顶点式y= a(x - h)^2 + k，其中h = -b / (2a)，k = c - b^2 / (4a)。
因此，(-h, k)也是图像上的一点。
二次函数的平移与反转
二次函数的平移与反转二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数的研究中，平移和反转是两个重要的概念。
一、平移的概念平移是指二次函数在坐标平面上按照一定规律进行的位移操作。
它可以使得函数图像的位置在坐标平面上发生改变，同时保持函数图像的形状不变。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指二次函数图像在横向方向上的移动。
一般地，我们将向右移动看作是正向的平移，向左移动看作是负向的平移。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向右平移h个单位，则可以通过将x替换为x - h来实现。
具体地，新的函数表达式为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。
2. 垂直平移垂直平移是指二次函数图像在纵向方向上的移动。
类似于水平平移，向上移动被看作是正向的平移，向下移动被看作是负向的平移。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向上平移k个单位，则可以通过将整个函数表达式加上k来实现。
具体地，新的函数表达式为f(x) + k = ax² + bx + c + k。
二、反转的概念反转是指二次函数图像关于某个轴进行对称操作，使得函数图像在该轴上呈现对称关系。
反转可以分为水平反转和垂直反转两种情况。
1. 水平反转水平反转是指二次函数图像关于y轴进行对称操作。
在水平反转后，原二次函数的图像会呈现关于y轴的对称特点。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想对函数进行水平反转，可以通过将x替换为-x来实现。
具体地，新的函数表达式为f(-x) = a(-x)² +b(-x) + c。
2. 垂直反转垂直反转是指二次函数图像关于x轴进行对称操作。
在垂直反转后，原二次函数的图像会呈现关于x轴的对称特点。
二次函数的平移与垂直变换
二次函数的平移与垂直变换二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是指一个以x的二次方作为最高次项的函数。
在图像的表示中，二次函数的平移与垂直变换是非常常见的操作。
本文将介绍二次函数的平移与垂直变换的概念和应用，并通过具体的例子进行解析。
一、平移变换平移是指将函数的图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
对于二次函数，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.水平平移水平平移是指将函数的图像沿着x轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中h表示水平平移的单位数。
当h为正数时，图像会向右移动h个单位；当h为负数时，图像会向左移动h个单位。
例如，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变h的值来实现水平平移。
当h=2时，原来的抛物线图像会向右平移2个单位，变为y=(x-2)²。
同样地，当h=-3时，图像会向左平移3个单位，变为y=(x+3)²。
2.垂直平移垂直平移是指将函数的图像沿着y轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中k表示垂直平移的单位数。
当k为正数时，图像会向上移动k个单位；当k为负数时，图像会向下移动k个单位。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变k的值来实现垂直平移。
当k=3时，原来的抛物线图像会向上平移3个单位，变为y=x²+3。
同样地，当k=-4时，图像会向下平移4个单位，变为y=x²-4。
二、垂直变换垂直变换是指对函数的图像进行纵向的拉伸或压缩。
对于二次函数来说，这可以通过改变a的值来实现。
当a>1时，图像会被纵向拉伸；当0<a<1时，图像会被纵向压缩。
具体来说，当二次函数的公式为y=ax²时，参数a的变化会影响曲线的形状。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变a的值来实现垂直变换。
当a=2时，原来的抛物线图像将被纵向拉伸，变为y=2x²。
二次函数的平移问题
二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。
1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。
需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为上加下减或上正下负。
2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。
需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为左加右减或左正右负。
例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。
y=-(x-1)²+3B。
y=-(x+1)²+3C。
y=-(x-1)²-3D。
y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。
b=2，c=2B。
b=2，c=0C。
b=-2，c=-1D。
b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。
二次函数专题—函数图像的平移
二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。
函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。
1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。
解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。
这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。
反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。
如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。
二次函数像的平移与缩放
二次函数像的平移与缩放二次函数是学习高中数学中重要的一部分，它们具有许多有意义的性质。
其中一个非常有趣的性质是二次函数的平移和缩放。
通过平移和缩放，我们可以改变二次函数的图像位置和大小，使得它们更符合我们的需求。
在本文中，我们将讨论二次函数图像的平移和缩放，并探索如何通过这些变换来改变函数的性质。
一、平移变换平移是指通过对二次函数的自变量（即x）进行加减常数的操作，使得函数的图像在坐标平面上沿x轴或y轴方向移动。
平移变换仅影响函数的图像位置，而不改变其形状。
1. 沿x轴平移当我们对二次函数进行沿x轴平移时，我们将函数的自变量（即x）的值加上或减去一个常数。
具体来说，若要将函数图像向左平移h个单位，则我们可以通过将所有x替换为x-h来实现；若要将函数图像向右平移h个单位，则将所有x替换为x+h即可。
例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向右平移2个单位。
通过将x替换为x-2，我们得到平移后的函数y=(x-2)^2。
这样，原来函数的图像将平移2个单位向右。
同理，当我们希望将函数图像向左平移3个单位时，可以将x替换为x+3，得到新函数y=(x+3)^2。
这样，原来函数的图像将平移3个单位向左。
2. 沿y轴平移与沿x轴平移类似，当我们对二次函数进行沿y轴平移时，我们将函数的值加上或减去一个常数。
具体来说，若要将函数图像向上平移k 个单位，则我们可以通过将所有y替换为y-k来实现；若要将函数图像向下平移k个单位，则将所有y替换为y+k即可。
例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向上平移3个单位。
通过将y替换为y-3，我们得到平移后的函数y=x^2-3。
这样，原来函数的图像将平移3个单位向上。
同理，当我们希望将函数图像向下平移4个单位时，可以将y替换为y+4，得到新函数y=x^2+4。
这样，原来函数的图像将平移4个单位向下。
二、缩放变换缩放是指通过乘以或除以一个常数来改变二次函数图像的大小。
缩放变换会影响函数图像的形状和大小，但不会改变其位置。
初中数学 二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
初中数学二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
二次函数的图像的平移变换是通过改变二次函数的参数来实现的，其中包括改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变二次函数的平移方向。
以下是对二次函数图像的平移变换如何影响图像位置的详细解释：
1. 改变顶点的横坐标：将二次函数的顶点从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的横坐标实现。
如果我们将顶点的横坐标加上一个正数a，那么图像会向右平移 a 个单位；如果我们将顶点的横坐标减去一个正数a，那么图像会向左平移 a 个单位。
2. 改变顶点的纵坐标：将二次函数的顶点的纵坐标从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的纵坐标实现。
如果我们将顶点的纵坐标加上一个正数b，那么图像会向上平移b 个单位；如果我们将顶点的纵坐标减去一个正数b，那么图像会向下平移b 个单位。
3. 改变平移方向：除了改变顶点的横坐标和纵坐标，我们还可以通过改变二次函数的平移方向来实现图像的平移变换。
当a 的值为正数时，二次函数图像向右平移；当 a 的值为负数时，二次函数图像向左平移。
同样地，当b 的值为正数时，二次函数图像向上平移；当b 的值为负数时，二次函数图像向下平移。
通过改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变平移方向，我们可以实现二次函数图像的平移变换。
这些变换会影响图像的位置，使图像在坐标平面上移动到新的位置。
理解和运用平移变换的概念和方法，有助于我们分析和解释二次函数图像的位置和变化。
需要注意的是，平移变换只会改变二次函数图像的位置，而不会改变图像的形状。
图像的形状由二次函数的系数决定。
平移变换是一种基本的图像变换，也是了解和应用二次函数图像的重要工具之一。
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注：左右移动时k不变；上下移动时h不变。
2．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=_(x_+__4_)2____的图像；
（2）把二次函数__y_=__(x_+_2_)_2_+_1__的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_y_=_3_(_x_+_3_)_2-_2___的图像； （2）把二次函数___y_=_-3_(_x_+_6_)_2__的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
－4
y 1 x 12
2
－2 －2
－4
y 1 x2 －6 2
24
y 1 x 12
2
y 2x 42
－4 －2 －2 －4
y 2x －162
24
y 2x 32
y
y=x2+4
8
6
4
y=x2
2
y=x2-2
-10
-5
O
5
x 10
-2
-4
y
8 6 4 2
-10
-5
O
5
x 10
y 2x 62 2Fra bibliotek-2y 2x2 2 y 2x 52 2
-4
y 2x 62 6
yy
8 8
y 2x 32 1
6 6
y 2x 12 6
4 4
2 2
y 2x 62 1
-10 -10
-5 -5
OO
5 5
10
xx 10
y 2x 12 1
-2
-2
y 2yx27x2312 5
-4 -4
1．抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移３个单位， 得到_y_=__(x_+_1_)_2_+_3___的图像； （2）把二次函数____y_=_x_2+_3_____的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
二次函数图像在 坐标系中的平移
y=ax2 ; y=ax2+k
y=a(x-h)2; y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c [a≠0]
y=ax2+k
y=ax2
h>0向右平移K个单位 h<0向左平移|K|个单位
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c 均可化为顶点式 y=a(x-h)2+k
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向
_右平移_2_个单位，得到图像的对称轴是直 线x=3. 8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右 平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位， 得到___y_=_-_3_x_2_-1____的图像． 9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴 向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2 个单位，得到图像的顶点坐标是_(_-3_,_-2_)_．
y=a(x-h1)2+k1
y=a(x-h2)2+k2
按解析式书写的先后顺序，当h2> h1 先将函数图像 水平向右移动，[h1 ，h2 同号时，移动的单位长度 是（大-小）的值，异号时，移动的单位长度是绝 对值的和。当h2< h1 先将函数图像水平向左移动， [h1 ，h2 同号时，移动的单位长度是（大-小）的 值，异号时，移动的单位长度是绝对值的和。当