高考数学二轮复习 小题综合限时练(十)
高考数学二轮复习二、小题专项,限时突破限时标准练2理
3＋34π·12·2＝9＋6
3π.
[答案] A
10．已知单位圆有一条长为 2的弦 AB，动点 P 在圆内，则使得A→P·A→B≥2 的概率为( )
4
A.π－2 B.π－2 C.3π－2 D.2
4π
π
4π
π
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，由题意，取 A(1,0)，B(0,1)，设 P(x，y)，则(x－
则 x＝x0 与 x＝x0＋4 是函数 f(x)图象的两条对称轴．
若 ω 取最小值，则 T＝2(x0＋4－x0)＝8，
( ) 从而 f(x)＝2sin 4πx＋4π ，故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0.
[答案] C
12．已知椭圆 C1：mx22＋y2＝1(m>1)与双曲线 C2：nx22－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2
[解析] y＝x2sinx＋2xcosx 在 x∈[－π，π]上是奇函数，图象关于原点对称，排除 D. 又 y′＝(x2＋2)cosx， 当 x∈[0，π]时，令 y′＝0，得 x＝π.
2
( ) 当 x∈ 0，2π 时，y′>0； ( ) 当 x∈ 2π，π 时，y′<0，
因此函数在 x＝π时取得极大值，只有 A 满足． 2
( ) C．n 43－n
( ) D．n 34－n
[解析] 因为PnP→n＋1＝OP→n＋1－O→Pn＝(n＋1，an＋1)－(n，an)＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，所
以 an＋1－an＝2.
所以{an}是公差为 2 的等差数列． 由 a1＋2a2＝3，得 a1＝－13，
( ) 所以 Sn＝－3n＋12n(n－1)×2＝n n－43 .
1，y)·(－1,1)≥2，∴x－y＋1≤0，
高考数学二轮复习小题限时练十理
【2019最新】精选高考数学二轮复习小题限时练十理(建议用时：40分钟)1.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________.解析由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5，6，7，8}，所以集合M中共有4个元素.答案42.已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________.解析因为－＝－＝，由已知得m＝1－m，得m＝.答案123.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________.解析从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，而满足所取2个数的乘积为偶数的基本事件为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有5种，根据古典概型的公式可得所求的概率为P＝.答案564.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.解析由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.答案15.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果S为________.S←0I←1While S≤10S←S＋I2I←I＋1End WhilePrint S解析根据伪代码，开始时S＝0，I＝1，此时满足S≤10，接下来有S＝0＋12＝1，I＝1＋1＝2，此时满足S≤10，接下来有S＝1＋22＝5，I＝2＋1＝3，此时满足S≤10，接下来有S＝5＋32＝14，I ＝3＋1＝4，此时不满足S≤10，结束循环，输出S＝14.答案146.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6的值为________.解析由条件可得解得那么S6＝S4＋(a1＋a1q)q4＝63.答案637.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________.解析第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.答案128.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为________.解析正三棱锥的高h＝＝，底面积S＝×62＝9，故体积V＝×9×＝3.答案3399.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.解析最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.答案2210.若实数x，y满足不等式组目标函数z＝x－2y的最大值为2，则实数a＝________.解析作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.由可知点A(2，0)是最优解，直线x＋2y－a＝0过点A(2，0)，所以a＝2.答案211.在△ABC中，已知BC＝1，B＝，且△ABC的面积为，则AC的长为________.解析由于△ABC的面积S＝×AB×BC×sin B＝×AB×1×＝，所以AB＝4.由余弦定理得AC2＝1＋16－2×1×4×cos ＝13，所以AC＝，即AC 的长为.答案1312.已知函数f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.解析方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1，作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.答案513.设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________.解析联立直线方程x－3y＋m＝0与双曲线渐近线方程y＝±x可得交点坐标为，，则kAB＝，由PA＝PB，可得线段AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝＝.答案5214.若a，b均为正实数，且＋≤m恒成立，则实数m的最小值是________.解析由于a，b均为正实数，且＋≤m，显然有m＞0，b≥a，两边平方得a＋b－a＋2≤m2b，即b＋2≤m2b，于是m2≥1＋2，令＝t(0＜t≤1)，则m2≥1＋2在0＜t≤1时恒成立，即m2≥1＋2，从而m2≥2，故的最小值为.答案2。
2021新高考数学二轮复习专题练：小题满分限时练
限时练(一)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A.∅ B.{1}C.{0，1}D.{－1，0，1}解析 ∵M ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，∴M ∩N ＝{1}. 答案 B2.设(2＋i)(3－x i)＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.5B.13C.2 2D.2解析 易得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(x ，y ∈R ). ∴⎩⎨⎧6＋x ＝3，3－2x ＝y ＋5，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，故|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5. 答案 A3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 8＝0，S 11＝33，则公差d 的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝0，∴a 5＝0， 又S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6＝33，∴a 6＝3，从而公差d ＝a 6－a 5＝3. 答案 C4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析 对于A ，a ∥α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A 不是α∥β的一个充分条件.对于B ，a ⊂α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B 不是α∥β的一个充分条件.对于C ，由a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α可得α∥β或α，β相交，所以C 不是α∥β的一个充分条件.对于D ，存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，如图，在β内过b 上一点作c ∥a ，则c ∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.54x 2－5y 2＝1 B.5y 2－54x 2＝1 C.5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a 2＋b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝55，b ＝255，所以双曲线方程为5x 2－54y 2＝1. 答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P (A |B )的值为( ) A.14B.34C.29D.59解析 ∵P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344， 由条件概率P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝A 3333＝29.答案 C7.在如图所示的△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，CD 上，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则向量BE →·AB→＝( )A.9B.4C.－3D.－6解析 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1， 在△ADC 中，又由AC ＝2，∠BAC ＝60°， 则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3， 即DC ＝3，所以AC 2＝AD 2＋DC 2， 则CD ⊥AB ，故BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝3×2×cos 180°＝－6. 答案 D8.设定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，若a ＝f (2 022)，b ＝f (2 019)，c ＝f (2 020)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.c <a <bD.b <a <c解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (4－x )，则f (x )的周期为4，则a ＝f (2 022)＝f (2)，b ＝f (2 019)＝f (3)＝f (4－3)＝f (1)，c ＝f (2 020)＝f (0). 又当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，知f ′(x )＝1－e x <0. ∴f (x )在区间[0，2]上单调递减， 因此f (2)<f (1)<f (0)，即a <b <c . 答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2＝1 B.C 的离心率为 3C.曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0).又双曲线C 过点(3，2)，∴323－(2)2＝λ，解得λ＝1，故A 正确.此时C 的离心率为3＋13＝233，故B 错误.双曲线C 的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过点(2，0)，故C 正确.把直线方程代入双曲线C 的方程并整理，得x 2－6x ＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x －2y －1＝0与双曲线C 只有一个公共点，所以D 错误.故选AC. 答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( ) A.－2≤f (x )≤2B.f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C.f (x )的最小正周期为πD.直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴解析 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，则－2≤f (x )≤2，A 正确；令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，则f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误；f (x )的最小正周期为π，C 正确；当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin(2×π3－π6)＝2，所以直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.答案ACD11.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75解析由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.答案ABC12.下列结论正确的是()A.若a>b>0，c<d<0，则一定有b c> a dB.若x>y>0，且xy＝1，则x＋1y>y2x>log2(x＋y)C.设{a n}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－1 8x2解析对于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，则－1d>－1c>0，又a>b>0，所以－ad>－bc，则bc>ad，故A正确.对于B，取x＝2，y＝12，则x＋1y＝4，y2x＝18，log2(x＋y)＝log 252>1，故B 不正确.对于C ，由题意得a 1＋a 3＝2a 2且a 1≠a 3，所以a 2＝12(a 1＋a 3)>12×2a 1a 3＝a 1a 3，故C 正确.对于D ，设h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则h ′(x )＝11＋x －1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），当0<x <3时，h ′(x )<0，则h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0，故D不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)与双曲线E ：x 2－y 2＝1的渐近线相切，则r ＝________.解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0.依题意，得r ＝21＋1＝1. 答案 114.已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＋a 5＝24，S 3＝S 9，则a 6＝________，S n 的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由S 3＝S 9，得a 4＋a 5＋…＋a 9＝0，则a 6＋a 7＝0.又a 2＋a 5＝24，所以设等差数列{a n }的公差为d ，可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝0，a 1＋d ＋a 1＋4d ＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝22，d ＝－4，所以a 6＝a 1＋5d ＝2，S n ＝－2n 2＋24n ＝－2(n －6)2＋72，故当n ＝6时，S n 取得最大值72. 答案 2 7215.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析 由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案 －1416.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为________.解析因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，所以正方体的内切球的体积V球＝π4×163＝43π.则内切球的半径r＝1，正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d＝23，因此正方体外接球的直径2R＝d＝23，则半径R＝ 3.所以正方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π(3)2＝12π.答案12π限时练(二)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z＝1－3i1＋i在复平面内对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析z＝1－3i1＋i＝（1－3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点(－1，－2)在第三象限.答案 B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x＞1或x＜0}B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2}D.{x|x＞1}解析易知A＝{x|x＞2或x＜0}，∁R B＝{x|x＞1}，∴A∩(∁R B)＝{x|x＞2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：根据上表可得到回归直线方程y ^＝0.75x ＋a ^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元D.19.05万元解析 易知x －＝4，y －＝16.8.∵回归直线y ^＝0.75x ＋a ^过点(4，16.8)，∴a ^＝16.8－4×0.75＝13.8，则y ^＝0.75x ＋13.8.故7月份的销售额y ^＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元). 答案 D4.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2B.3 2C.6D.－6解析 通项T r ＋1＝C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r 3(2)3－r(－1)r x －6＋6r ， 当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6. 答案 D5.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 2＋b 3＋b 4＝9，则a 5＝( ) A.8B.16C.32D.64解析 由{a n }是等比数列，且b n ＝log 2a n ， ∴{b n }是等差数列，又b 2＋b 3＋b 4＝9，所以b 3＝3.由b 1＝log 2a 1＝1，知公差d ＝1，从而b n ＝n ， 因此a n ＝2n ，于是a 5＝25＝32. 答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( ) A.112125B.80125C.113125D.124125解析 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相应独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫453＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝112125. 答案 A7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π，且x ≠0)的图象可能为( )解析 由f (－x )＝－f (x )及－π≤x ≤π，且x ≠0判定函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B 选项；当x >0且x →0时，－1x →－∞，cos x →1，此时f (x )→－∞，排除C 选项，故选D. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上的一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( ) A.13B.23C.1D.2解析 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，∵BD→＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，∴AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)， 所以AB →·AD→＝3×13＋0×233＝1. 答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10 000，12 000，15 000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析 由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10 000×60%＝6 000(万元)，支付工资10 000×35%＝3 500(万元)，其他费用支出为10 000×5%＝500(万元)； 乙企业的材料成本为12 000×53%＝6 360(万元)，支付工资为12 000×30%＝ 3 600(万元)，其他费用支出为12 000×17%＝2 040(万元)；丙企业的材料成本为15 000×60%＝9 000(万元)，支付工资为15 000×25%＝ 3 750(万元)，其他费用支出为15 000×15%＝2 250(万元).所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业是甲，材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝π6B.函数f (x )的最小正周期为πC.函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称D.函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12解析 由题意可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以－π2＋φ＝π6，所以φ＝2π3∈(0，π)，A 错误；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a >b >0，则下列不等关系正确的是( ) A.b a <b ＋4a ＋4B.lga ＋b 2>lg a ＋lg b2C.a ＋1b <b ＋1aD.a －b >a －b解析 对于A ，因为b a －b ＋4a ＋4＝b （a ＋4）－a （b ＋4）a （a ＋4）＝4（b －a ）a （a ＋4），又a >b >0，所以b a <b ＋4a ＋4，故A 正确；因为lg a ＋lgb 2＝lg ab ，又a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由a >b >0，得a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ，即lg a ＋b 2>lg a ＋lg b2，故B 正确；因为a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )＋a －b ab ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ，又a >b >0，所以a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a >0，即a ＋1b >b ＋1a ，故C 错误；因为a >b >0，所以a－b >0，则(a －b )2＝a ＋b －2ab ，而(a －b )2＝a －b ，即(a －b )2－(a －b )2＝2b －2ab ＝2(b －ab )，又a >b >0，所以b －ab <0，所以(a －b )2<(a －b )2，即a －b <a －b ，故D 错误.故选AB. 答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P 在双曲线C ：x 216－y 29＝1上，点F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点.若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的是( ) A.点P 到x 轴的距离为203 B.|PF 1|＋|PF 2|＝503 C.△PF 1F 2为钝角三角形 D.∠F 1PF 2＝π3解析 由双曲线C ：x 216－y 29＝1可得，a ＝4，b ＝3，c ＝5，不妨设P (x P ，y P )，由△PF 1F 2的面积为20，可得12|F 1F 2||y P |＝c |y P |＝5|y p |＝20，所以|y P |＝4，选项A 错误.将|y P |＝4代入双曲线C 的方程x 216－y 29＝1中，得x 2P16－429＝1，解得|x P |＝203.由双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，可知|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫203－52＋（4－0）2＝133.由双曲线的定义可知|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝133＋8＝373，所以|PF 1|＋|PF 2|＝373＋133＝503，选项B 正确.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝373>2c ＝10>|PF 2|＝133，且cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－513<0，则∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，选项C 正确.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝319481≠12，所以∠F 1PF 2≠π3，选项D 错误.故选BC. 答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1 000名学生，一次数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，P (95≤X ≤105)＝0.34，则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，∴考试成绩关于X ＝105对称.∵P (95≤X ≤105)＝0.34，∴P (X >115)＝12×(1－0.68)＝0.16，∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1 000＝160. 答案 160 14.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝015.已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为________，此时S n ＝________.(本小题第一空3分，第二空2分)解析 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 答案 27 54616.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1－APC 的体积不变.其中，正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 解析 在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确.连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误.VD 1－APC ＝VC －AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1－APC 的体积不变，所以④正确. 答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A ＝{x ∈N |x 2<8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则B ∪(∁A C )＝( ) A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}解析 因为A ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以∁A C ＝{1，4，5，6}，所以B∪(∁A C)＝{1，2，3，4，5，6}.故选C.答案 C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，则z＝()A.163i B.6i C.203i D.20解析因为z＝3a＋2＋(6－a)i为纯虚数，所以3a＋2＝0，解得a＝－23，所以z＝203i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x，y的线性相关性进行试验，并分别用回归分析法求得相关系数r，如下表：哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1，因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a＝ln 12，b＝－5－12，c＝log132，则()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析由题意易知－a＝ln 2，－b＝5－12，－c＝log32.因为12＝log33<log32<ln 2<1，0<5－12<4－12＝12，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2 000，1002)，则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1 900，2 200]内的概率为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2解析 ∵ξ服从正态分布N (2 000，1002)，∴μ＝2 000，σ＝100，则P (1 900<ξ≤ 2 200)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋12[P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.682 7＋12(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6.故选C. 答案 C6.设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，且AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( ) A.2 2 B.2 3 C.±2 2D.±2 3解析 由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p k y －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2).因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2.所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性，直线AB 的斜率为±2 2. 答案 C7.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝( ) A.12B.1C.2D.3解析 设|OC→|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，得OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC→＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1.答案 B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，将△ADE 沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A－BCED体积最大时，二面角A－BC－D 的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于O，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A－BCED体积最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，则BC⊥平面AOH，∴∠AHO为二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由AOOH＝ADDB＝3，∴tan∠AHO＝AOOH＝3，则二面角A－BC－D的大小为π3.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是()A.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 解析 根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数比9月小，A 错误.根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B 正确.一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，C 正确.根据折线图可知D 正确.故选BCD. 答案 BCD10.下列各式中，值为12的是( ) A.sin 15°cos 15°B.cos 2π6－sin 2π6C.1＋cos π62D.tan 22.5°1－tan 222.5°解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°2＝14，排除A ；cos 2π6－sin 2π6＝cos π3＝12，B 正确；1＋cos π62＝1＋322＝2＋32，排除C ；tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°，得tan 22.5°1－tan 222.5°＝12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知{a n }是等比数列，若a 6＝8a 3＝8a 22，则( )A.a n ＝2n －1B.a n ＝2nC.S n ＝2n －1D.S n ＝2n ＋1－2解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 6＝8a 3，得a 3·q 3＝8a 3，则q 3＝8，所以q ＝2.又8a 3＝8a 22，则a 2·q ＝a 22，又a 2≠0，所以a 2＝2，即a n ＝a 2q n －2＝2n －1，所以a 1＝1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，故选AC.答案 AC12.数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n项和为S n，则下列结论正确的是()A.F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)B.S4＝F6－1C.S2 019＝F2 020－1D.S2 019＝F2 021－1解析根据题意有F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a＝210＋1211＋1，b＝212＋1213＋1，则a，b的大小关系为________.解析法一由题意知，a－b＝210＋1211＋1－212＋1213＋1＝（210＋1）（213＋1）－（212＋1）（211＋1）（211＋1）（213＋1）＝3×210（211＋1）（213＋1）>0，故a>b.法二可考虑用函数的单调性解题.令f(x)＝2x＋12x＋1＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x＋1＋1，则f(x)在定义域内单调递减，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C410个，而首位数字是1的“递增型验证码”有C38个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率p＝C38C410＝415.答案4 1515.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的右焦点的坐标为________，离心率为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析如图，∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，则右焦点为F2(5，0).连接PF2.设点A为PF的中点，连接OA，则OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|＝205＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝|FF2|2－|PF2|2＝6.由双曲线的定义，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴离心率e＝ca＝5.答案(5，0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析因为QB∥平面D1NT，所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内，如图，取DC的中点E1，取A1G＝1，则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，交AD 的延长线于点E，连接EG，交DD1于点I.显然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊12AB，∴DE1为△EAB的中位线，∴D为AE的中点.又DI∥AG，∴DI＝12AG＝1，∴GI＝（2－1）2＋32＝10.答案10限时练(四)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁R B)＝()A.[2，3)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁R B＝(－3，3)，则A∩(∁R B)＝(2，3).答案 B2.设x，y∈R，i为虚数单位，且3＋4iz＝1＋2i，则z＝x＋y i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z＝3＋4i1＋2i＝（3＋4i）（1－2i）5＝115－25i，则z－＝115＋25i，z－对应点⎝⎛⎭⎪⎫115，25在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.数列{S n}是递增数列C.数列{a n}的最大项是a11D.数列{S n}的最大项是S11解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{a n }不是递增数列，所以A 错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S 33＝S 34，所以数列{S n }不是递增数列，所以B 错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{a n }的最大项是a 11，所以C 正确；由a n ≥0，知S n ＋1≥S n ，故数列{S n }的最大项是最后一项，所以D 错误.故选C. 答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A.112B.12C.13D.16解析 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n ＝C 24A 33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝A 33＋C 23A 22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p ＝m n ＝1236＝13. 答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋12x 7的展开式中，有理项的项数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 7x7－r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x 7－3r 2，r ＝0，1，2，…，7.当r ＝1，3，5，7时，T r ＋1为有理项，共有4项.故选D. 答案 D6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析 以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)， ∴cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，∴〈AD →，A 1C →〉＝π3. 答案 B7.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3解析 由OC→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)， 所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)， 又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －4x ，x >0.若函数F (x )＝f (x )－|kx －1|有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916解析 当k ＝12时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥2，1－12x ，x <2.作出函数y ＝f (x )与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1的图象，如图.此时两函数的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除B ，C.当k ＝－120时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－120x －1，x ≤－20，1＋120x ，x >－20，作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象，如图.由图可得函数y ＝f (x )的图象与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除A.故选D. 答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知0<c <1，1>a >b >0，则下列不等式成立的是( )A.c a <c bB.a a ＋c <b b ＋cC.ba c >ab cD.log a c >log b c解析 构造函数y ＝c x ，因为0<c <1，所以函数y ＝c x 是减函数，而a >b >0，根据指数函数的单调性得c a<c b，故A 正确；由题意得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb ，因为0<c <1，1>a >b >0，所以0<c a <c b ，即0<a ＋c b <b ＋c b ，取倒数得a a ＋c >b b ＋c ，故B 错误；由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b ，整理得ba c <ab c ，故C 错误；由已知得log a c >0，log b c >0，又0<log c a <log c b ，所以1log c a >1log c b ，则log a c >log b c ，故D 正确.故选AD.答案 AD10.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的对称中心可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1 解析 由图象知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，有x ＝－π6；k ＝1，x ＝π3. 答案 CD11.对于函数f (x )＝ln xx ，下列说法正确的是( )A.f (x )在x ＝e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (4)＜f (π)＜f (3)D.π4＜4π解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝1e ，A 正确.令f (x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )有且仅有一个零点，B 错误.由f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，得f (4)＜f (π)＜f (3)，则C 正确.因为f (4)＜f (π)，即ln 44＜ln ππ，所以ln 4π＜ln π4，则4π＜π4，D 错误.综上知，正确的为AC. 答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P 是双曲线C ：x 23－y 2m ＝1(m >0)上任意一点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点.设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1 B.双曲线C 的离心率为2C.函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.直线2x －3y ＝0与双曲线C 有两个交点解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2).由A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，得B (－x 1，－y 1)，则x 213－y 21m ＝1，x 223－y 22m ＝1.两式相减，得x 21－x 223＝y 21－y 22m ，所以y 21－y 22x 21－x 22＝m 3.又直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，所以k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2×－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝m3.所以|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2m3，当且仅当|k 1|＝|k 2|时取等号.又|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，所以2m 3＝233，解得m ＝1.因此双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，则A 项正确.因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23＝233，则B 项不正确.双曲线C 的左、右焦点分别为(－2，0)，(2，0)，而当x ＝2时，y ＝log a (2－1)＝log a 1＝0，所以函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点(2，0)，则C 项正确.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 23－y 2＝1消去y ，得x 2＝－9，此方程无实数解，所以直线2x －3y ＝0与双曲线C 没有交点，则D 项不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和.已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________.解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即(2a 3－3d )2＝(a 3－2d )·(4a 3－2d ).又a 3＝5，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，解得d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －114.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________. 解析 由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M ，P 1，P 2，P 3，P 4，N 以及N ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4，E .一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至点Q 4，则其爬行的最短距离为________.(参考数据：cos 9°≈0.987 7，cos 18°≈0.951 1，cos 27°≈0.891 0)解析 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在平面ABB 1A 1和平面ABCD 内作弧MN 和NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面ABB 1A 1共面的位置，如图(1)，则∠P 1AQ 4＝180°10×8＝144°，所以P 1Q 4＝2sin 72°.将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，将ABB 1A 1绕AA 1旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，如图(2)，则∠P 1AQ 4＝90°5×2＋90°＝126°，所以P 1Q 4＝2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°，且由诱导公式可得sin 63°＝cos 27°，所以最短距离为|P 1Q 4|＝2sin 63°≈2×0.891 0＝1.782 0.图(1)图(2)答案 1.782 016.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＜a ，x 2，x ≥a ，若函数f (x )在R 上是单调的，则实数a 的取值范围是________；若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则实数a 的取值范围是________(本小题第一空2分，第二空3分).解析 令x ＋2＝x 2，得x ＝－1或x ＝2.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，若函数f (x )在R 上单调，只需a ≥2.若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，可得x 1＋2＋x 22＝0，即－x 22＝x 1＋2，即有a ＋2≤0，解得a ≤－2.答案 [2，＋∞) (－∞，－2]限时练(五)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z ＝i1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.12B.－12C.12iD.－12i解析 z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i 2＋12，∴z 的虚部为12.答案 A 2.已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x ＋1≥0，则A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由x －2x ＋1≥0，得x ≥2或x ＜－1，则B ＝{x |x ≥2，或x ＜－1}，∴A ∩B ＝{2，3}，A ∩B 中有2个元素.答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x ≤0，2x ＋1，x ＞0，则f (－2)＋f (1)＝( )A.6＋32B.6－32C.72D.52解析 f (－2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝12，f (1)＝21＋1＝3.∴f (－2)＋f (1)＝3＋12＝72. 答案 C4.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析 依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E －BCD 的体积是( )A.3B.4C.6D.12解析 ∵CE ＝2EC 1，∴V E －BCD ＝13×12×23×V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝19×36＝4.故选B. 答案 B6.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )。
小题专练10-2021届高考数学二轮复习新高考版(含解析)
小题专练10解析几何(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:两条直线的位置关系,★)已知直线l :x+m 2y=0与直线n :x+y+m=0,则“l ∥n ”是“m=1”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线x 24-y 2m=1(m>0)的离心率为2,则双曲线x 2m-y 2=1的焦距是( ).A .2√3B .√13C .4√3D .2√133.(考点:椭圆性质的应用,★★)已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m 的值为( ). A .14 B .12 C .2 D .44.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过圆C :(x-2)2+(y-1)2=25上一点P (-1,-3)作切线l ,直线m :3x+ay=0与切线l平行,则实数a 的值为( ). A .35B .2C .125D .45.(考点:求双曲线的渐近线方程,★★)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若点P (0,2b ),F 1,F 2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是( ). A .y=±√3x B .y=±√217x C .y=±√33xD .y=±√213x 6.(考点:求双曲线的离心率,★★)若双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2-4x+2=0所截得的弦长为2,则该双曲线C 的离心率为( ). A .√3B .2√33C .√5D .2√557.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A (4√55,2√55),则双曲线C 的方程为( ).A .x 2-y24=1 B .x 24-y 2=1C .x 26-y 22=1D .x 22-y 26=18.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=4x 的准线与x 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,则当|MA ||MF |取得最大值时,直线MA 的方程为( ). A .y=x+1或y=-x-1 B .y=12x+12或y=-12x-12 C .y=2x+2或y=-2x-2 D .y=-2x+2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:点到直线的距离,★★)下列说法正确的是( ). A .“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件 B .直线x sin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[0,π4]∪[3π4,π)C .直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x 2+y 2=5相切D .离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x10.(考点:抛物线性质的应用,★★)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列说法正确的是( ). A .以线段AB 为直径的圆与直线x=-32相离 B .以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C .当AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D .|AB|的最小值为411.(考点:椭圆性质的应用,★★)设椭圆C :x 22+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆C 上的动点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|+|PF 2|=2√2 B .离心率e=12C .△PF 1F 2面积的最大值为√2D .以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切12.(考点:双曲线的性质综合,★★★)已知点P 是双曲线E :x 216-y 29=1右支上的一点,F 1,F 2为双曲线E 的左、右焦点,△PF 1F 2的面积为20,则下列说法正确的是( ).A.点P的横坐标为203B.△PF1F2的周长为803C.∠F1PF2小于π3D.△PF1F2的内切圆半径为34三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C1与双曲线C2:x22-y26=1的渐近线相同,且双曲线C1的焦距为8,则双曲线C1的方程为.14.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点,M,N分别为圆C:(x-3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(0<r<3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r= .15.(考点:直线与双曲线的位置关系,★★)已知直线l与双曲线y2-2x2=1交于A,B两点,当A,B两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l的方程为.16.(考点:双曲线的几何性质的应用,★★★)已知A,B分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右顶点,P为C上一点,且点P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,k1的值为,△PAB的重心坐标为.答案解析：1.(考点:两条直线的位置关系,★)已知直线l:x+m2y=0与直线n:x+y+m=0,则“l∥n”是“m=1”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若l∥n,则1×1=m2×1,故m=1或m=-1.故“l∥n”是“m=1”的必要不充分条件.【答案】B2.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线x24-y2m=1(m>0)的离心率为2,则双曲线x2m-y2=1的焦距是().A .2√3B .√13C .4√3D .2√13【解析】由题意可得√4+m2=2,解得m=12,则双曲线x 2m-y 2=1的焦距为2√m +1=2√12+1=2√13. 【答案】D3.(考点:椭圆性质的应用,★★)已知椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m 的值为( ). A .14 B .12 C .2 D .4【解析】将椭圆方程化为标准方程得x 2+y 21m=1,由题意可得1m >1,且1m =4,解得m=14.故选A .【答案】A4.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过圆C :(x-2)2+(y-1)2=25上一点P (-1,-3)作切线l ,直线m :3x+ay=0与切线l平行,则实数a 的值为( ). A .35 B .2 C .125 D .4【解析】由题意得k PC =1-(-3)2-(-1)=43, 所以切线的斜率为-34. 所以-3a=-34,解得a=4.【答案】D5.(考点:求双曲线的渐近线方程,★★)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若点P (0,2b ),F 1,F 2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是( ). A .y=±√3x B .y=±√217x C .y=±√33xD .y=±√213x 【解析】设F 1(-c ,0),F 2(c ,0).∵F 1,F 2,P 是等腰直角三角形的三个顶点,∴c=2b ,∴c 2=a 2+b 2=4b 2,即a 2=3b 2,∴b a =√33,∴该双曲线的渐近线方程为y=±√33x. 【答案】C6.(考点:求双曲线的离心率,★★)若双曲线C :x 2a -y 2b =1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2-4x+2=0所截得的弦长为2,则该双曲线C 的离心率为( ).A .√3B .2√33C .√5D .2√55【解析】双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax ,依据对称性,不妨取y=bax ,即bx-ay=0.又曲线方程x 2+y 2-4x+2=0可化为(x-2)2+y 2=2, 则其是圆心坐标为(2,0),半径为√2的圆. 由题意得,圆心到该渐近线的距离d=√(√2)2-12=1,又由点到直线的距离公式可得d=√b 2+a 2=1,解得b 2a2=13,所以e=√c 2a2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=2√33. 【答案】B7.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点A (4√55,2√55),则双曲线C 的方程为( ).A .x 2-y 24=1 B .x 24-y 2=1C .x 26-y 22=1 D .x 22-y 26=1【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=±ba x ,所以由点到直线的距离公式可得出右焦点F 到渐近线的距离为b. 由题意可得|OA|2=c 2-b 2=a 2=4,且b a =12, 所以b 2=1,即双曲线C 的方程为x 24-y 2=1.【答案】B8.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=4x 的准线与x 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,则当|MA ||MF |取得最大值时,直线MA 的方程为( ).A .y=x+1或y=-x-1B .y=12x+12或y=-12x-12C .y=2x+2或y=-2x-2D .y=-2x+2【解析】过点M 作MP 与准线垂直,垂足为P ,则|MA ||MF |=|MA ||MP |=1cos∠AMP =1cos∠MAF ,则当|MA ||MF |取得最大值时,∠MAF 最大,此时AM 与抛物线C 相切, 易知此时直线AM 的斜率存在,设切线方程为y=k (x+1),联立{y =k (x +1),y 2=4x ,得k 2x 2+(2k 2-4)x+k 2=0,由Δ=16-16k 2=0,解得k=±1,则直线AM 的方程为y=±(x+1). 【答案】A二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:点到直线的距离,★★)下列说法正确的是( ). A .“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件 B .直线x sin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[0,π4]∪[3π4,π) C .直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x 2+y 2=5相切 D .离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x【解析】对于选项A,由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3,可得|6+4+c |5=3,解得c=5或-25,所以“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件,故选项A 错误;对于选项B,直线x sin α-y+1=0的斜率k=sin α∈[-1,1],设直线的倾斜角为θ,则0≤tan θ<1或-1≤tan θ<0,所以θ∈[0,π4]∪[3π4,π),故选项B 正确;对于选项C,直线y=-2x+5可化为2x+y-5=0,其与直线2x+y+1=0平行,圆x 2+y 2=5的圆心O (0,0)到直线2x+y-5=0的距离d=√1+4=√5,则直线2x+y-5=0与圆x 2+y 2=5相切,故选项C 正确;对于选项D,离心率e=ca =√3,则ba=√2,若焦点在x 轴,则双曲线的渐近线方程为y=±√2x ,若焦点在y 轴,则双曲线的渐近线方程为y=±√22x ,故选项D错误. 【答案】BC10.(考点:抛物线性质的应用,★★)过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列说法正确的是( ). A .以线段AB 为直径的圆与直线x=-32相离B .以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C .当AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D .|AB|的最小值为4【解析】对于选项A,点M 到准线x=-1的距离为12(|AF|+|BF|)=12|AB|,于是以线段AB 为直径的圆与直线x=-1一定相切,与直线x=-32一定相离,故A 正确.对于选项B,显然线段BM 中点的横坐标与12|BM|不一定相等,故B 错误.对于选项C,D,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 方程为x=my+1,联立直线与抛物线方程可得y 2-4my-4=0,y 1y 2=-4,x 1x 2=1,若设A (4a 2,4a ),则B (14a 2,-1a ),于是|AB|=x 1+x 2+p=4a 2+14a2+2,所以|AB|的最小值为4,故D 正确;由AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-2y 2,即4a=-2(-1a),所以a 2=12,|AB|=92,故C 正确. 【答案】ACD11.(考点:椭圆性质的应用,★★)设椭圆C :x 22+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆C 上的动点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|+|PF 2|=2√2 B .离心率e=12C .△PF 1F 2面积的最大值为√2D .以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切【解析】对于A 选项,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,所以A 选项正确; 对于B 选项,依题意a=√2,b=1,c=1,所以e=ca =2=√22,所以B 选项错误;对于C 选项,|F 1F 2|=2c=2,当P 为椭圆短轴端点时,△PF 1F 2的面积取得最大值,最大值为12·2c ·b=c ·b=1,所以C 选项错误;对于D 选项,以线段F 1F 2为直径的圆,其圆心为(0,0),半径c=1,圆心到直线x+y-√2=0的距离为√2√2=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切,所以D 选项正确. 【答案】AD12.(考点:双曲线的性质综合,★★★)已知点P 是双曲线E :x 216-y 29=1右支上的一点,F 1,F 2为双曲线E 的左、右焦点,△PF 1F 2的面积为20,则下列说法正确的是( ). A .点P 的横坐标为203B .△PF 1F 2的周长为803C .∠F 1PF 2小于π3D .△PF 1F 2的内切圆半径为34【解析】双曲线E :x 216-y 29=1中的a=4,b=3,c=5,不妨设P (m ,n )(m>0,n>0),由△PF 1F 2的面积为20,可得12|F 1F 2|n=cn=5n=20,即n=4, 由m 216-169=1,可得m=203,故A 正确;由P (203,4),且F 1(-5,0),F 2(5,0),可得k PF 1=1235,k PF 2=125,则tan ∠F 1PF 2=125-12351+125×1235=360319∈(0,√3),则∠F 1PF 2<π3,故C 正确;由|PF 1|+|PF 2|=√16+(353)2+√16+(53)2=373+133=503,则△PF 1F 2的周长为503+10=803,故B 正确;设△PF 1F 2的内切圆半径为r ,可得12r (|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)=20,解得r=32,故D 错误. 【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C 1与双曲线C 2:x 22-y 26=1的渐近线相同,且双曲线C 1的焦距为8,则双曲线C 1的方程为 .【解析】设双曲线C 1的方程为x 22-y 26=λ(λ≠0),故x 22λ-y 26λ=1(λ≠0), 则2λ+6λ=16或-2λ-6λ=16,解得λ=2或λ=-2, 故双曲线C 1的方程为x 24-y 212=1或y 212-x 24=1.【答案】x 24-y 212=1或y 212-x 24=114.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知P 为椭圆x 2100+y 291=1上的一个动点,M ,N 分别为圆C :(x-3)2+y 2=1与圆D :(x+3)2+y 2=r 2(0<r<3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r= .【解析】由题意可得,C (3,0),D (-3,0)恰好为椭圆的两个焦点,且|PM|≥|PC|-1,|PN|≥|PD|-r , 所以|PM|+|PN|≥|PC|+|PD|-1-r=2a-1-r. 因为a 2=100,解得a=10,所以20-1-r=17,解得r=2. 【答案】215.(考点:直线与双曲线的位置关系,★★)已知直线l 与双曲线y 2-2x 2=1交于A ,B 两点,当A ,B 两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l 的方程为 . 【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的斜率为k ,则{y 12-2x 12=1,y 22-2x 22=1,两式相减得到(y 1+y 2)(y 1-y 2)-2(x 1+x 2)(x 1-x 2)=0,将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2代入上式,化简得k=2. 故直线l 的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0. 【答案】2x-y-1=016.(考点:双曲线的几何性质的应用,★★★)已知A ,B 分别是双曲线C :x 2-y 22=1的左、右顶点,P 为C 上一点,且点P 在第一象限.记直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,当2k 1+k 2取得最小值时,k 1的值为 ,△PAB 的重心坐标为 .【解析】由题意知A (-1,0),B (1,0),设P (x ,y ),则k 1=yx+1,k 2=yx -1,∴k 1k 2=y 2x 2-1=2,2k 1+k 2≥2√2k 1k 2=4,当且仅当2k 1=k 2时取等号,此时k 1=1,直线PA 的方程为y=x+1;k 2=2,直线PB 的方程为y=2(x-1). 联立{y =x +1,y =2(x -1),解得{x =3,y =4,∴P (3,4),∴△PAB 的重心坐标为(-1+1+33,0+0+43),即(1,43).【答案】1 (1,43)。
高考数学二轮复习习题 小题综合限时练(二) Word版含答案
(限时：分钟)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .已知集合＝{－－≤}，＝{(－)＞}，则∩＝( ).(，) .(，].(－，－) .[－，－)解析∵－－≤，∴－≤≤，∴＝[－，].又∵(－)＞，∴－－＞，∴＜－或＞，∴＝(－∞，－)∪(，＋∞).∴∩＝(，].故选.答案.若复数满足(－)＝，则的虚部为( ).－.－解析依题意得＝＝＝＋，因此复数的虚部为.故选.答案.在等比数列{}中，若、是方程－＋＝的两根，则的值是( ).±.－.±解析由题意可知＝，＝，或＝，＝.当＝，＝时，设公比为，则＝＝，∴＝，∴＝＝；同理可求当＝，＝时，＝.答案.将函数()＝的图象向右平移φ个单位长度后得到函数()的图象，若对于满足()－()＝的，，有－＝，则φ＝( )解析由题意知，()＝(－φ)，－≤()≤，又－≤()≤，若，满足()－()＝，则，分别是函数()，()的最值点，不妨设()＝－，()＝，则＝＋π(∈)，＝＋π(∈)，－＝(，∈)，又－＝，＜φ＜，所以－φ＝，得φ＝，故选.答案.如图，多面体－的底面为正方形，＝＝，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析注意，在平面上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除，选项，观察，选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则，的投影为虚线，故选.答案.已知直线＋＋－＝(＞)经过圆＋－－＝的圆心，则＋的最小值是( )解析依题意得，圆心坐标是(，)，于是有＋＝，＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当即＝＝时取等号，因此＋的最小值是.故选.答案.已知四面体－的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且＝，＝＝，则球的表面积为( )π ππ π解析依题意记题中的球的半径是，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是、、，于是有()＝＋＋＝，π＝π，∴球的表面积为π.。
2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)1-6-2
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。
高考数学二轮复习习题 小题综合限时练(九) Word版含答案
(限时：分钟)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) .设全集＝，集合＝{≤≤}，＝{≤≤}，则(∁)∪＝( ).(，] .(－∞，]∪(，＋∞).[，) .(－∞，)∪[，＋∞)解析因为∁＝{＞，或＜} ，＝{≤≤}，所以(∁)∪＝(－∞，)∪[，＋∞).答案.双曲线－＝(＞，＞)与椭圆＋＝的焦点相同，若过右焦点且倾斜角为°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( ).(，) .(，].[，) .(，＋∞)解析椭圆＋＝的半焦距＝.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜°＝，即＜，∴－＜.整理得＜.∴＞，又＜＝，则此双曲线实半轴长的取值范围是(，).故选.答案.若数列{}满足－＝(∈*，为常数)，则称数列{}为调和数列.已知数列为调和数列，且＋＋…＋＝，则＋＝( )－＝，∴{}是等差数列.解析∵数列为调和数列，∴－＝＋又∵＋＋…＋＝＝，∴＋＝，又∵＋＝＋，∴＋＝.故选.答案.已知实数，满足约束条件则＋＋的最小值是( )－解析满足约束条件件的平面区域如图中阴影部分所示：∵＋＋＝(＋)＋－，表示(－，)点到可行域内任一点距离的平方再减，由图可知当＝，＝时，＋＋取最小值，故选.答案.已知函数()＝(＋φ)，其中＜φ＜π，若()≤对∈恒成立，且＞(π)，则φ等于( )解析若()≤对∈恒成立，则等于函数的最大值或最小值，即×＋φ＝π＋，∈，则φ＝π＋，∈又＞(π)，即φ＜，＜φ＜π，当＝时，此时φ＝，满足条件，故选.答案.设数列{}的前项和为，且满足＋＝，则的取值范围是( ).(，) .(，＋∞)解析已知＋＝，当＝时，得＝；当≥时，－＋－＝，两式相减，得－－＋＝，＝－，由题意知，－≠，∴＝(≥)，∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，∴＝＝－，∴∈.答案.过抛物线＝(＞)的焦点的直线交抛物线于，，交其准线于点，若＝－，＝，则抛物线的方程为( )＝＝＝＝解析分别过，点作准线的垂线，垂足分别为，，过作⊥轴.∴＝，＝.又∵＝，∴＝，∴∠＝°，∴∠＝∠＝°，又＝，∴＝，∴＝＋＝，∴＝，∴抛物线方程为＝.答案.如图，在三棱锥－中，，，两两互相垂直，且＝，＝，＝，设是底面三角形内一动点，定义：()＝(，，)，其中，，分别表示三棱锥－，－，－的体积，若()＝(，，)，且＋。
专题08：临考强化新高考数学小题综合限时提分专练(解析版)
专题08：临考强化新高考数学小题综合限时提分专练（解析版）一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，集合{}2,xB y y x A ==∈，则AB =（ ）A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．11,0,,1,2,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C 【分析】根据指数函数性质确定集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意1{,1,2,4}2B =，所以{1,2}A B =．故选：C ．2．设a R ∈且0a ≠，若复数3(1)ai +是实数，则2a =（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．2【答案】C 【分析】对给定式子进行运算，利用复数为0的充要条件求解即得. 【详解】因为()23323(1)133()()133ai ai ai ai a a a i +=+++=-+-， 所以330a a -=，又0a ≠，所以23a =. 故选：C3．在等比数列{}n a 中，2651116a a a a +=，则39a a 的最大值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【分析】根据等比数列性质可求得3948a a a a =及224816a a +=，利用基本不等式可求得48a a 的最大值，即为所求结果. 【详解】由等比数列性质知：3948a a a a =，22265114848162a a a a a a a a +=+=≥（当且仅当48a a =时取等号），488a a ∴≤，398a a ∴≤，即39a a 的最大值为8.故选：B.4．条件p ：2450x x --<是条件q ：2650x x ++>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分又非必要条件【答案】A 【分析】分别解不等式化简命题，利用充分不必要条件的定义求解即可． 【详解】p ：由2450x x --<，解得：15x -<<， q ：由2650x x ++>，解得：1x >-或5x <-， 由p q ⇒，而q 推不出p ，p ∴是q 的充分不必要条件，故选：A .5．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin cos 5αα+=，则tan α=（ ） A ．2- B ．2C ．211D ．211-【答案】A 【分析】对等式进行平方运算，用同角三角函数关系式中平方和关系进行代换，最后利用同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可. 【详解】22222224sin cos 4sin cos (2sin cos )4sin cos 4sin cos sin cos αααααααααααα+++=++==+224tan 14tan 9tan 15ααα++=+，所以211tan 20tan 40αα+-=，解得tan 2α或2tan 11α=，又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2α.故选：A6．2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭､学校､社会各方面，与德育､智育､体育､美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”.贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分.已知甲､乙两人进行选课，则仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310D ．35【答案】D 【分析】求出两人各选2门课程的方法数，再计算仅有一门相同的方法数（方法是先选一门相同的课程，然后两人各选一门不相同的课程），由概率公式计算概率． 【详解】甲､乙两人进行选课的总方法数为2255100C C =，仅有一门相同的方法数为11154360C C C =，所求概率为6031005P ==． 故选：D ．7．如图所示，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()0,3A x 是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，HF 交抛物线于点B ，且2HB BF =，则p =（ ）A ．2B 3C 2D ．1【答案】B 【分析】设(),B x y ，,32p H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2HB BF =化为坐标关系即可求解p 值． 【详解】解： 设(),B x y ，,32p H ⎛⎫-⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为2HB BF =，所以,32,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6p x =，1y =，所以126pp =⋅，所以p = 故选：B ．8．已知平面向量a 、b 、c ，若,3a b π=，4a =，231c a -=，则c 在b 方向上投影的最小值为（ ）A ．B ．31-C ．52D ．2【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，将各向量均转化为共起点O 的向量，由231c a -=知向量c 终点在圆上运动，过终点作向量b 所在直线的垂线，数形结合得到投影最小值. 【详解】不妨设(4,0)a OA ==，b OB =，c OC =，由231c a -=，可得3122c a -=，又3(6,0)2a =，故点C 在以(6,0)M 为圆心，12为半径的圆上运动.如图，由,3a b π=，不妨设b 在直线y =上，过点C 、M 分别作直线OB 的垂线，垂足为1C 、1M ， 则c 在b 方向上投影的最小值即为1OC ，即1115cos60222OM OM -=-=. 故选：C.【点睛】向量投影问题的处理通常有两个角度：一是利用数量积变形公式cos a b a bθ⋅=求解；二是利用投影的几何意义，作垂直辅助线，数形结合求解.二、多选题9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，48a =，则（ ） A ．226n S n n =- B ．23n S n n =-C ．48n a n =-D ．2n a n =【答案】AC 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式和求和公式可求得n a 和n S . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则314133038S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得144a d =-⎧⎨=⎩，()()1144148n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，()()211421262n n n dS na n n n n n -=+=-+-=-. 故选：AC. 【点睛】本题考查的等差数列的通项公式和前n 项和公式，一般要求出等差数列的首项和公差，考查运算求解能力，属于基础题.10．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断. 【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+， 所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确； 因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.11．当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）A ．2xyx y≤+B ．114x y x y+≥+C ．11x y +D ．22334x y x y x y++≥【答案】ABD 【分析】利用基本不等式变形，判断ABC 选项，选项D 首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断. 【详解】对于A ，2xy x y =+x y =时取等号，正确. 对于B ，()1124y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号，正确.对于C ，211xy x y x y xy xy++=≥=，当且仅当x y =时取等号，错误. 对于D ，()()()()23322224x y x y x y xy xy x y ++=++-≥，当且仅当x y =时取等号，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式判断不等式，本题的关键选项是D ，需利用立方和公式，先化简再判断.12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【分析】对于选项AD 可以利用反证法分析得解；对于选项B 可以证明；对于选项C ，可以先找到截面再计算得解. 【详解】根据题意，假设直线D 1D 与直线AF 垂直，又1DD AE ⊥,,,AEAF A AE AF =⊂平面AEF ，所以1DD ⊥平面AEF ,所以1DD EF ⊥,又11//DD CC ,所以1CC EF ⊥,与4EFC π∠=矛盾，所以直线D 1D 与直线AF 不垂直，所以选项A 错误；因为A 1G ∥D 1F ，A 1G ⊄平面AEFD 1，1D F ⊂平面AEFD 1，所以A 1G ∥平面AEFD 1，故选项B 正确．平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形AEFD 1，由题得该等腰梯形的上底22EF =下底12AD =5，所以梯形面积为98，故选项C 正确；假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故选项D 错误． 故选：BC ．【点睛】方法点睛：对于空间几何线面位置关系命题的判断，常用的方法有：（1）举反例；（2）直接证明；（3）反证法. 要根据已知条件灵活选择方法解答.三、填空题13．若实数x 、y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为_____________．【答案】6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得最优解，将最优解代入目标函数即可得最值. 【详解】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知直线2z x y =-，即2y x z =-过点()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为6.故答案为：6.14．孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用()10523n n +∈N 表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是___________. 【答案】19 【分析】列举出被3除余1的整数有、被4除少1的整数、被5除余4的整数，从中找到同时满足条件的最小整数可得结果. 【详解】因为被3除余1的整数有：1,4,7,10,13,16,19,22,25,,被4除少1即被4除余3的整数有：3,7,11,16,19,23,27,,被5除余4的整数有：4,9,14,19,24,29,,所以这个数最小为19. 故答案为：1915．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．【答案】10【分析】根据题意设出三边，根据正弦定理，结合二倍角的正弦公式、余弦公式进行求解即可. 【详解】解：因为ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数， 设b x =，则2a x =-，2c x =+，又2C A =，则由正弦定理sin sin a cA C=，可得2222sin sin sin 22sin cos x x x x A C A A A -+++===， 解得2cos 24x A x +=-，由余弦定理可得222222(2)(2)8cos 22(2)24b c a x x x x A bc x x x +-++--+===++，所以282424x x x x ++=-+，解得10x =，所以10b =． 故答案为：10． 【点睛】关键点睛：根据角的关系由正弦定理转化为边的关系是解题的关键.16．若函数2()1x af x x +=+在(1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(,1]-∞- 【分析】函数在(1,)-+∞上单增，说明其导数在(1,)-+∞上大于等于0，恒成立，从而解得参数取值范围. 【详解】22222(1)()2()(1)(1)x x x a x x af x x x +-++-'==++，(1,)x ∈-+∞ ()f x 在(1,)-+∞上单增，等价于2()020f x x x a '≥⇔+-≥，在(1,)-+∞上恒成立，22y x x a =+-的对称轴为1x =-，则22y x x a =+-在(1,)-+∞上单增，则22120x x a a +-≥--≥ 即1a ≤-故答案为：(,1]-∞-【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调递增，则其导数在去上大于等于0，恒成立.试卷第11页，总11页。
高三数学二轮专题复习小题满分限时练(一)
限时练(一)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A.A ∩B ＝{x |x <0} B.A ∪B ＝R C.A ∪B ＝{x |x >1}D.A ∩B ＝∅[解析] A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}. [答案] A2.(2018·青岛模拟)若z 是复数，且z ＝1－2i1＋i，则z ·z －＝( )A.102B.52C.1D.52[解析] ∵z ＝1－2i 1＋i ＝12(1－2i)(1－i)＝－12－32i.∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52.[答案] D3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132B.116C.14D.12[解析] 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12. 令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132. [答案] A4.已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝( )A.－35B.35C.45D.－45[解析] ∵角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， ∴sin α＝m4＋m 2＝55m ，则m 2＝1. 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35.[答案] B5.在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A.48B.36C.24D.12[解析] AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝24. [答案] C6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A.8B.17C.29D.83[解析]由程序框图知，循环一次后s＝2，k＝1.循环二次后s＝2×3＋2＝8，k＝2.循环三次后s＝8×3＋5＝29，k＝3.满足k>n，输出s＝29.[答案] C7.如图，半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A，B，C，D，这四个小圆都与圆O内切，且相邻两小圆外切，则在圆O内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为()A.3－2 2B.6－4 2C.9－6 2D.12－8 2[解析]由题意，A，O，C三点共线，且AB⊥BC.设四个小圆的半径为r，则AC＝AB2＋BC2，∴2R－2r＝22r，∴R＝(2＋1)r.所以，该点恰好取自阴影部分的概率P＝4πr2πR2＝4（2＋1）2＝12－8 2.[答案] D8.已知函数f(x)＝3＋log a(7－x)(a>0，a≠1)的图象恒过点P，若双曲线C的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，且点P在双曲线C上，则双曲线C的方程为()A.x29－y2＝1 B.x2－y29＝1C.x23－y2＝1 D.x2－y23＝1[解析]由已知可得P(6，3)，因为双曲线的一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，故可设双曲线方程为x2－(3y)2＝λ，即x2－9y2＝λ，由P(6，3)在双曲线上可得62－9×(3)2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为x29－y2＝1.[答案] A9.函数f(x)＝x2－2ln|x|的图象大致是()[解析]f(x)＝x2－2ln|x|为偶函数，排除D.当x>0时，f(x)＝x2－2ln x，f′(x)＝2x－2x ＝2（x＋1）（x－1）x，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，排除B ，C ，故选A. [答案] A10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3 2B.2 3C.2 2D.2[解析] 由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D －BCC 1B 1，最长棱为DB 1，且DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3.[答案] B11.函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位得到函数y ＝g (x )的图象，且函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值可能为( ) A.74B.32C.2D.54[解析] 根据题意g (x )＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，又函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，g (x )＝1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝1，即sin ωπ4＝1，得ωπ4＝π2＋2k π，k ∈Z ，则结合选项得ω＝2. [答案] C12.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4an ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.358C.283D.274[解析] 由题意知，a 2－4＋2a －8＝－(a ＋8)(a <0)，则a ＝－4， 所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝(n ＋1)＋13n ＋1＋2(n ∈N *)，记g (x )＝x ＋13x ＋2，x ≥2.由g ′(x )＝1－13x 2＝（x ＋13）（x －13）x 2，得g (x )在[2，3)上单调递减，在(13，＋∞)单调递增，且g (3)＝283，g (4)＝374满足g (4)<g (3)，故x ＝n ＋1＝4， 则n ＝3时，取最小值且最小值为374. [答案] A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的[答案]填写在各小题的横线上.)13.设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________.[解析] 设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的平均数为x －，又y i ＝x i －1，所以样本数据y 1，y 2，…，y 2 017的平均数为x －－1，则样本数据y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(x 1－1－x －＋1)2＋(x 2－1－x －＋1)2＋…＋(x 2 017－1－x －＋1)2]＝12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4.[答案] 414.(2018·烟台模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为________.[解析]作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示.z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y，令u ＝x －y ，当直线u ＝x －y 经过点A (4，0)时u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.[答案] 1615.(2018·郑州质量预测)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0，1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，则y 1＋y 2＝103，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163. [答案] 16316.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ≠0)，若f (x )存在2个零点x 1，x 2，且x 1，x 2都大于0，则a 的取值范围是______.[解析] f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ， 当a >0时，易知x ＝0是极大值点，x ＝2a 是极小值点. ∵f (0)＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a 2－4a 2<0，解得a ∈(0，2). 当a <0时，易知x ＝2a 是极小值点，x ＝0是极大值点.又f (0)＝1>0，∴函数f (x )只有一个大于零的零点，不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(0，2). [答案] (0，2)。
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2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十）(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋5i ，2＋4i(i 为虚数单位)对应的点分别为A 、C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( ) A.－2＋3i B.4＋i C.－4＋iD.2－3i解析 ∵两个复数对应的点分别为A (6，5)、C (2，4)，C 为线段AB 的中点，∴B (－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A. 答案 A2.如图，设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤8}，B ＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3 .4 C.7.8解析 依题意，A ∩B ＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A. 答案 A3.已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0，若z ＝x －y ，则z 的最大值为( )A.3B.4C.5D.6解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y ＝x －z ，平移直线y ＝x －z 可知，当直线经过点(3，0)时，z 取最大值，代值计算可得z ＝x －y 的最大值为3.故选A. 答案 A4.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.34 C.35D.45解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，又|F 1F 2|＝2c ＝22，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.故选B.答案 B5.已知定义在R 上的函数f (x )满足条件： ①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1、x 2∈[0，2]且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. 则下列结论正确的是( ) A.f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) B.f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C.f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)D.f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，得f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，由题意知，f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (4.5)＜f (7)＜f (6.5).故选D. 答案 D6.已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为( ) A.[2，6) B.[2，6) C.[2，6)D.[4，6)解析 ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，即B ＝60°.∵S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝34ac ＝3，∴ac ＝4.法一 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，又△ABC 为锐角三角形，∴a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，∵b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴b 2＋c 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(a 2＋b 2)，整理得2a ＞c ，且b 2＋a 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(b 2＋c 2)，整理得2c ＞a ，∴c2＜a＜2c ，ac2＜a 2＜2ac ，又ac ＝4，∴2＜a 2＜8，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝a 2＋16a2－4，2＜a 2＜8，∴令a 2＝t ∈(2，8)，则b 2＝f (t )＝t ＋16t－4，2＜t ＜8，∵函数f (t )在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增，∴f (t )∈[4，6)，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 法二 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得ac ＝b 2sin 2B ·sin A sin C ⇒4＝43b 2sin A sin(120°－A )，即b 2＝3sin A sin （120°－A ）＝3sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14（1－cos 2A ）＝6sin （2A －30°）＋12，∵30°＜A ＜90°，∴30°＜2A －30°＜150°，1＜sin(2A －30°)＋12≤32，∴632≤b 2＜61，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 答案 A7.点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →·PN →的取值范围是( ) A.[0，2] B.[0，3] C.[0，4] D.[－2，2]解析 如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O ，则PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝PO →2－OM →2，由正三棱柱底边长为23，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM ＝ON ＝1，外接球半径为OA ＝OA 1＝5，对三棱柱上任一点P 到球心O 的距离的范围为[1，5]，∴PM →·PN →＝PO →2－OM →2＝OP →2－1∈[0，4].故选C. 答案 C8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx ＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( ) A.－43B.－54C.－35D.－53解析 ∵圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴圆C 的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y ＝kx ＋2上至少存在一点A (x 0，kx 0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴存在x 0∈R ，使得|AC |≤1＋1成立，即|AC |min ≤2，∵|AC |min 即为点C 到直线y ＝kx ＋2的距离|4k ＋2|k 2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，即k 的最小值是－43.故选A.答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 法一 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2， ∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 法二 由题意得y ＝1－2x ＋2＝1－2(x ＋2)－1， ∴y ′＝2(x ＋2)－2，∴y ′|x ＝－1＝2，所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案 y ＝2x ＋110.在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝154，a 6a 7＝98，则1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________.解析 由等比数列的性质知a 5a 8＝a 6a 7，∴1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝a 5＋a 8a 5a 8＋a 6＋a 7a 6a 7＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 6a 7＝154×89＝103. 答案10311.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是________.解析 由三视图知该几何体为两个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的圆柱的组合体，所以几何体的表面积为4π×12＋2π×1×2＝8π，体积为43π×13＋π×12×2＝10π3.答案 8π10π312.若x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________.解析 因为f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a ，0<|φ|<π2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；因为x ＝π6是函数f (x )的一条对称轴，所以2×π6＋φ＝k π＋π2，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以φ＝π6，所以a ＝tan φ＝33，所以函数f (x )的最大值为1＋a 2＝233.答案 π23313.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy的最小值为________.解析 设y ＝1－x ，则x －y ＝x －(1－x )＝2x －1，0<x <1，所以x －y ∈(－1，1)；1x ＋x y ＝x ＋y x＋x y ＝y x ＋x y ＋1≥3，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取得等号. 答案 (－1，1) 314.如图，等腰△OAB 中，∠OAB ＝∠OBA ＝30°，E ，F 分别是直线OA ，OB 上的动点，OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，|OA →|＝2.若AF →·AB →＝9，则μ＝________；若λ＋2μ＝2，则AF →·BE →的最小值是________. 解析 以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，由|OA |＝2，∠OAB ＝∠OBA ＝30°得A (－3，0)，B (3，0)，O (0，1)，AB →＝(23，0)，由OF →＝μOB →得F (3μ，1－μ)，所以AF →＝(3μ＋3，1－μ)，由AF →·AB →＝23(3μ＋3)＝9得μ＝12，由OE→＝λOA →得E (－3λ，1－λ)，BE →＝(－3λ－3，1－λ)，由λ＋2μ＝2得BE →＝(－33＋23μ，2μ－1)，所以AF →·BE →＝4μ2－10，当μ＝0时，AF →·BE →取得最小值－10. 答案 12－1015.关于函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称；②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为π的整数倍；④y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6上单调递增；⑤y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到.其中正确命题的序号有________.解析 对于①，y ＝f (x )的对称轴是2x －π6＝k π＋π2，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π3，当k ＝－1时，x ＝－π6，即①正确；对于②，y ＝f (x )的对称点的横坐标满足2x －π6＝k π，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π12.即②不成立；对于③，函数y ＝f (x )的周期为π，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为半个周期π2的整数倍，即③不正确；对于④，y ＝f (x )的增区间满足－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，即④成立；对于⑤，y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≠f (x )，即⑤不正确. 答案 ①④。