第七章缝隙流动

第7章缝隙流动一、学习目的和任务1．掌握求解平行平板间缝隙流动、同心圆环缝隙流动问题的方法，分析缝隙大小对流量泄漏和功率损失的影响。

2．掌握平行圆盘间缝隙流动的特性以及圆盘对缝隙的作用力的计算。

3．了解变间隙宽度缝隙流动。

二、重点、难点重点：平行平板间缝隙流动、平行圆盘间缝隙流动难点：平行圆盘间缝隙流动求解方法、偏心圆盘缝隙流动在机械和液压装备中存在着充满油液的各种缝隙，如滑板与导轨间的缝隙、活塞与缸筒间的缝隙、轴与轴承间缝隙、齿轮泵中齿顶与泵壳之间的缝隙等。

这些缝隙流动对机械性能有很大的影响，特别是在液压传动中的影响更为显著。

液压泵、液动机、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动的问题。

缝隙过小则增大了摩擦，缝隙过大又会增加泄漏，所以缝隙大小的选择在液压元件设计中是一个重要问题。

本章主要介绍平行平板间的缝隙流、环形缝隙流、变间隙宽度中的流动、两平行圆盘间的缝隙流以及球面缝隙流。

由于缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在大多数情况下缝隙流动可看作是层流。

7.1 平行平板间的缝隙流平行平板间流体运动微分方程导出方法有两种，一是由N －S 方程简化而来，二是基于牛顿力学的动力平衡分析，并且因坐标系选择不同，得出速度分布方程也有所不同，但结论在本质上无差异。

7.1.1 由N －S 方程简化分析平行平板间的缝隙流动是其他各种缝隙流动的基础，通常把流体两边的平面简化成水平放置的无限大平板。

如图7-1所示；设一平行平板缝隙流的平板长为L ，宽为B ，缝隙高度为h 。

下面s 首先应用N －S 方程来讨论平行平板间流体运动，首先粘性力处于主导地位，故惯性力可不计，即0===dtdu dt du dt du zy x ；因缝隙甚小，质量力可不计0x y z f f f ===；假定流动为一维流，即0==z y u u ，x u u =。

在上述条件下，由N－S 方程可得如下方程。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-0)(10)(10)()(1222222zu y u x u z v z p z u y u x u y v y p z u y u x u x v z u y u x u v x p zy zy zy ρρρ (7.1-1) 对于不可压缩流体0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y ，又0==z y u u ，则⇒=∂∂0x u022=∂∂xu ，则上式进一步简化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-000)(12222zp y pz uy u v xp ρ (7.1-2) 图 7-1 平行平面缝隙流由式(7.1-2)知，压力p 仅为x 的函数，与y 和z 无关；即dxdpx p =∂∂；另外对于平行平面，单位长度上的压力损失是相同的，或者说压力减小服从线性分布规律，即Lpdx dp ∆-=（其中12p p p ∆=-）；再者，对于充分宽的平行平面，任意宽度坐标z 处的流动状态都是相同的，即0=∂∂zu。

根据上式条件和式(7.1-2)等价为L pdyu d μ∆-=22 (7.1-3) 7.1.2 牛顿力学分析法同样取坐标系如图7－1所示， 在流体中任意取一边长为dx 和dy 的平行六面体微小系统，设六面体左右两个面的压强分别为p 和pp dx x∂+∂，上下两个面上形心点上的切应力分别为dy yττ∂+∂和τ，考虑到流体流动是定常、连续，不可压缩的，所以沿x 方向的力平衡方程为0)()(=∂∂--+∂∂+-dxdz dy ydxdz dzdy dx x p p pdzdy τττ (7.1-4) 化简后则有xpy ∂∂=∂∂τ (7.1-5) y 方向同样可以得到p g x yτρ∂∂=+∂∂ (7.1-6)由于τ只是y 的函数，则上式中的0x τ∂=∂，并且缝隙中重力的影响可以忽略不计，所以 0py∂=∂(7.1-7)可见在平面缝隙流动中，压强p 只是x 的函数，p x ∂∂可以写成dp dx ，即Lp dx dp x p ∆-==∂∂，切应力只是y 的函数，y τ∂∂可以写成d dyτ，即式(7.1-5)可写成 d pdy Lτ∆=-(7.1-8)缝隙流动一般都是层流，切应力与速度之间满足牛顿内摩擦定律dudyτμ=，代入上式则有L pdy u d μ∆-=22 (7.1-9) 这就是平板中层流运动的常微分方程，这和N-S 方程推导出的式(7.1-3)一致。

对上式积分得21212p u y C y C Lμ∆=++(7.1-10)积分常数1C 和2C 由边界条件决定。

7.1.2.1 在x 方向压强作用下固定平板之间的缝隙流动上下平面均固定不动，由于两端压力差12p p p ∆=-的作用使流体在x 方向流动。

由边界条件0=y ，0=u ；h y =，0=u ，可以得到积分常数p Lh c ∆=μ21，02=c代入式(7.1-10)得到)(22y hy Lpu -∆=μ（0>y ） (7.1-11)这就是平行平板间的速度分布规律，在压强差p ∆的作用下，速度u 与x 之间是二次抛物线规律。

如图7-2所示，这种流动称为压差流，也称为伯肃叶流。

最大速度发生在两平行平面中线处，把2hy =代入式(7.1-11)得 2max 8h Lp u μ∆=(7.1-12) 缝隙宽度为B 时，平行平面间的流量q 为32()212hAp Bh q udA B hy y dy p L Lμμ∆==-=∆⎰⎰(7.1-13) 缝隙断面上的平均流速u 为212q q p u h A Bh Lμ∆=== (7.1-14) 比较式(7.1-14)和式(7.1-12)则有max 23u u = (7.1-15)切应力分布为2()22du d p h phy y y dy dy L L τμμμ⎡⎤∆∆⎛⎫==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (7.1-16)从上式可知，当在两平行平面中线处，即2hy =时，0τ=。

切应力分布图如7-3所示。

7.1.2.2 零压强差情况下，上板均速运动带动得间隙流动在压力差021=-=∆p p p 条件下，若下平面固定，上平面以速度0u 在x 向匀速运图7-2 压差流图7-3 切应力动，边界条件为0=y ，0=u ；h y =，0u u =。

可定hu c 01=，02=c ；由于0=∆p ，则代入式(7.1-10)得y hu u 0=（0≥y ） (7.1-17)因平行平面间的相对运动产生的流动称剪切流，也称为库埃特（Couette ）流（如图7-4）。

由式(7.1-17)可求剪切流条件下流量q000hAAu uq dq uBdy B ydy Bh h ====⎰⎰⎰(7.1-18) 切应力分布为00u u du d y dy dy h hτμμμ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(7.1-19)该情况下的切应力为常数。

7.1.2.3 在压强差和上板运动共同作用下的间隙流动如图7-5所示，压差流和剪切流的叠加称压差剪切流（或剪切压差流）。

其速度u 和流量q 可按线性叠加原理求出；式（7.1-11）和式（7.1-17）相加，确定速度u 分布规律，进而求出流量q 。

则压差剪切流的速度和流量方程为20()2u pu hy y y L hμ∆=-± （h y ≤≤0） (7.1-20) 300()122hu h q B udy B p h L μ==∆±⎰ (7.1-21)图7-4 剪切流图7-5 压差－剪切流其切应力为前两种流动切应力的叠加02u du h py dy Lh τμμ∆⎛⎫==-± ⎪⎝⎭ (7.1-22)在上式公式中，当压差流和剪切流的方向相同时用“＋”号，反则用“—”号。

例题7.2 环形缝隙流环形缝隙可以分为同心环形缝隙和偏心环形缝隙两种，现分别介绍如下：7.2.1 同心环形缝隙流如图7-6所示为同心环形缝隙，其在平面上展开以后也就是平行平板缝隙流的问题，只需将平行平板缝隙中的宽度B 用环形长度d π来代替，即02r d B ππ==。

则流量公式为30()122u h q d p h L πμ=∆±(7.2-1)但环形缝隙这一结论有很大局限性，其计算误差比较大，现根据同心环形缝隙流的基本方程重新导出结论。

在上图7-6中，取θxr o -圆柱坐标系，引用圆柱坐标系中的N －S 方程，在不计惯性力，质量力的条件下，假定液体不可压缩和x 向一维流及轴流对称条件，可得环形缝隙中的流体运动微分方程（参看圆管层流内容）01122=-+dxdpdr du r dr u d μ (7.2-2) 因Lpdx dp ∆-=，积分上式则有 212ln 4p u C r r C Lμ∆=-+ (7.2-2) 根据边界条件：0r r =，0=u ；0R r =，0=u 可定220010022200000200()4ln (ln ln )4ln R r p C R L r R r R R r p C R L r μμ⎧-∆=⎪⎪⎪⎨-∆⎪=⎪⎪⎩(7.2-3) 将1C 和2C 代入式(5.4-2)，则有))/ln()/ln()/ln((42002002r r R R r r r r R L p u --∆=μ (7.2-4)则通过环形缝隙流的流量为0022244000000()2[()]8ln(/)R R r r R r p q dq rudr R r L R r ππμ-∆===--⎰⎰(7.2-5)引入平均半径2)(00r R r +=及间隙00r R h -=，并对)/ln(00r R 作一阶线性近似，则有 316dh q p Lπμ=∆ (7.2-6)式中 d ——平均直径 r r R d 200=+= 对于圆管层流00→r ，02R d d ==，0R h =则有4128d q p Lπμ=∆ (7.2-7)通过以上分析及结论可以看出，如果以316dh q p L πμ=∆作为同心环形缝隙流的公式，比引用平行平面缝隙理论312dh q p Lπμ=∆更准确，并且在理论上可将环形缝隙流与圆管层流统一起来。

例题7.2.2 偏心环形缝隙流实际上，在机械和液压装置中，由于制造和安装等原因，更多碰到的是偏心环形缝隙。

因此研究偏心环形缝隙流更有实际意义。

偏心环形缝隙如图7-7所示，偏心距e OO =1，取01R A O =，图7-7偏心环形缝隙A O 1与x 轴成角为ϕ，过O 作A O OC 1//，则间隙)(θh 为)cos 1(cos cos )(0000ϕεϕϕθ+=+=-+=-==h e h r R e OB OC BC h (7.2-8)式中 0h ――同心时间隙，000r R h -= 。