2.5 平面衍射光栅

2.5
N 2 jmax 1
（b）多缝干涉最小位置： 当
sinN 0 sin 0
sin 2 N 时, 0, 2 sin
得最小光强
I 0.
j' dsin N
因此，多缝干涉最小值（暗纹）位置：
N
N dsin

j'
即
j ' 1， 2， ( N 1)，( N 1)， , (2 N 1)， (2 N 1)， , 3 N 1)， N 1), （ (3 或者j ' 0 , N , 2 N , 3N , 的整数。
透镜 L
像屏


条纹最高级数
j sin j d π , 2
o

P
x
a b
d
焦距 f
d j
dsin
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
由于衍射角 不可能大于90º ，所以主最大的级次jmax 满足 :
| jmax |
例，当＝0.4d 时，则
d

d
只可能有j＝0，±1，±2级次的主最大，而无更高 级次的主最大。 例，若 d ，除零级主最大外，别无其它级主最大存在。 光栅衍射主最大的数目最多为：
dsin j
除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们将可以看到在 衍射图样中有几组不同颜色的谱线，分别对应于不同的波长。
把波长不同的同级谱线集合起来构成一组谱线，称为光栅光谱。 ※ 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。
※
白光或复色光入射，高级次光谱会相互重叠。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
缝平面G
透镜 L
像屏


2



d sin .
a b
d
设最上面的狭缝在P点的光振动 相位为零,则各单缝在P点产生 的复振幅分别为
o

P
x
焦距 f
sinu i 0 ~ E1 A0 e , u
dsin
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
sinu i n 1 sinu i ~ sinu i 2 ~ ~ e , E2 A0 e , E3 A0 e , En A0 u u u b sin sinu i N 1 ~ ……… E A u e , N 0 u
bsin k , { dsin j .
d 得 j k . b
第 j 级干涉主极大被 k 级衍射极小调制掉.
d 例如 3, 则 j 3, 6 等级次被调制掉, 不出现. b
光栅主最大的缺级与波长无关，而由光栅参数决定。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
十、光栅光谱
如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，由光栅主 极大满足的光栅方程：
缝平面G
于是P点的复振幅为：
透镜 L
像屏



sin u i n 1 ~ EP A0 e u n 1
N
o

P
x
sin u 1 e A0 . i u 1 e
iN
a b
d
焦距 f
dsin
P点处衍射光强：
2
2
~ ~ ~ 2 sin u dI EP EP EP A0 2 N( sin ) sin Nv u
d

9
考虑到j=±4，±8缺级，而j＝10实际上看不到。则屏 幕上呈现的全部亮条纹数为：
N 2k max 1 4 2 9 1 4 15( 条）
两个干涉主极大之间有(N-1)个由于干涉产生的光强为零的 最小值.
光学
§ 2.5 平面衍射光栅

(c) 多缝干涉次极大位置 次最大的角位置可由
d sin N 0 d sin
2
求得
因为在两相邻主最大之间有N－1个暗纹，而相邻两零光 强暗纹之间应有一个次最大。
因此，两相邻主最大之间必有N－2个次最大。
d sin ) u ( b sin )
sin u sin N I I0 . 2 2 u sin
2
sin v
2
u
2
称为衍射因子；
sin
2
称为缝间干涉因子.
)
定量描述衍射花样的特征
单缝衍射因子×缝间干涉因子
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
(1) 衍射因子
sin u 2 u
光学
§ 2.5 平面衍射光栅

2 sin 2 0.2 d
由光栅方程可知，第一级和第二级亮条纹的角位置为：
d 会聚透镜的焦距为f ,则它们距中央亮条纹的中心位置的
距离为：
sin 1
0.1
x1 f tg1 ,
当很小时，
因此
x2 f tg2
tg 2 sin 2
I max N I 0 .
2
a b
d
焦距 f
dsin
讨论光栅方程：
主极大角位置
dsin j
和缝数N无关
sin = 0， / d， 2/ d， … 条纹位置 因 很小，故
x f sin
缝平面G
j f xj f j d d
光栅常数越小，明纹间相隔越远； 入射光波长越大，明纹间相隔越远。
2
b sin u
单缝衍射最小位置
sinu 0 由 u 0
即：当 零，光强为零。
得
u k 0 (k 1, 2 , )
b sin k , （k 1, 2 ,）时，衍射因子为
sin 2 N （2）干涉因子： 2 sin
（a）多缝干涉主最大位置： 当
d sin
dsin j 时,
——光栅方程
j
时
即
(j 0 , 1, 2 )
光强为
I max
2
sin 2 u N 2 I0 . 2 u
特别的，屏幕的中心处
0,

透镜 L
sin u lim 1, 2 0 u
光强取得最大值:
P

o

x
θ
θ θ

每个缝的衍 射图样重叠 I
相干叠加
f
只要透镜光心的相对位置 不变,则两套条纹的位置 是完全一样的。
光栅每个缝形成的衍射图样都相同，且在屏幕上相互间 完全重合. 各单缝的衍射光在屏幕上重叠时，由于它们都是相干光， 所以缝与缝之间的衍射光将产生干涉，因此还必须考虑由各缝 发出的多光束之间产生的干涉。
双重因素
四、光栅衍射的强度分布
光栅有N条狭缝，缝宽为b，光栅常数为d． 由于透镜 L2 的作用，来自不同的狭缝的 方向衍射光会 聚在屏幕上同一点，形成多光束干涉． 在夫琅和费远场条件下，各缝在P点产生的振动，振幅 相同，相位不同。相邻两缝在方向上的光程差为：
d sin ,
相邻两个缝到 P点的相位差为
0
与0在法线同侧时取“＋”； 与0在法线异侧时取“－”。
八、谱线的半角宽度
从主最大的中心到其一侧的附加第一最小值的角距 离就是每一主极大谱线的半角宽度。 第j级主极大明纹满足：
dsin j
最靠近j级主极大的第一级极小：j'=（Nj+1）
对第j级来说：
j dsin N
光栅光强分布曲线
sin 2 u u2
sin N sin 2
2
N 4, d 3b

2 b


b
0
2 d d

b
2 b
sin

2 2
sin u sin N I0 2 u sin 2

5 4 d d
2
d d
4 5 d d
sin
5 4 d d
由光栅方程可得其重叠条件为：
j j
1 1 2
2
例如：400nm的第三级(λ1=400 , j1=3 )与 600nm的第二级(λ2=600 , j2=2 )重叠。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
十一.闪耀光栅
光栅方程： d sin(2θв)=jλ
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
十二. 光栅的制备
b a
S
*
屏 幕
设光栅各缝的宽度都等于b，相邻两缝间不透明部分的 宽度都等于a。 光栅常数： d = a + b d 约10-2~10-3mm
它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米内有多少 条狭缝，称为光栅密度，实验室内常用（600~1200）/mm的 光栅。
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
二、光栅衍射图样的特征
三、光栅衍射规律
光栅是由许多单缝组成的，每个缝都在屏幕上各自形 成单缝衍射图样，由于各缝的宽度均相同，故它们形成的 衍射图样都相同，每个缝的衍射图样是否错开？ 透镜
以双缝为例 设每个 缝宽均为b，

d
b
若只开上缝，衍射的中央亮纹在何处? 若只开下缝，衍射的中央亮纹在何处?
f
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
2 P 0
2
sin cu × 4 A cos
2 2 0
2
2
六.干涉与衍射的关系
光学
§ 2.5 平面衍射光栅
七.光栅方程
平行光垂直入射时：
d sin j , ( j 0,1,2,3)
平行光倾斜（0）入射时：
d (sin sin ) j , ( j 0,1,2)