广东省高三上学期摸底数学试卷(理科)
广东省广州市越秀区高三数学上学期摸底考试题 理 新人教A版
数学（理科）一、选择题1、设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,5}U M ==，则U C M = （ ）A 、{1,2,5}B 、{3,4,6}C 、{1,3,4}D 、U2、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = （ ）A 、2B 、2-C 、12D 、12- 3、若向量(2,3),(4,7)BA CA ==，则CB = （ ）A 、(6,10)B 、(6,10)--C 、(2,4)--D 、(2,4)4、下列四个函数，其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A 、2()f x x = B 、()sin f x x = C 、()||f x x x =- D 、()Inx f x x=5、设m R ∈，则“0m <”是“11m <”的 （ ） A 、充分必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分而不必要条件 D 、既不充分也不必要条件6、某几何体的三视图如图1所示，它的表面积为 （ ）A 、45πB 、54πC 、57πD 、63π7、已知1()n x x-展开式的第四项含3x ，则n 的值是 （ ）A 、11B 、10C 、9D 、88、计算：22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 （ ） A 、π B 、2 C 、2π- D 、2π+二、填空题9、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有__________种。
10、右面框图表示的程序所输出的结果是__________11、已知实数,x y 满足20203x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是__________12、在等比数列n {}a 中，已知11a =，且2344,2,a a a 又成等差数列，则234a a a ++=__________13、不等式|21||2|0x x ---<的解集为__________14、（选做）在平面直角坐标系中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为332x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）和3cos 23sin 23x y θθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，02θπ≤≤），曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，则线段,A B 的长度为__________15、（选做）如图2，,AB CD 是圆O 的两条线，且AB 是线段CD 的中垂线，已知6,25AB CD ==，则线段BC 的长度为__________三、解答题16、已知(cos ,cos sin ),(2sin ,cos sin )a x x x b x x x =+=-，设()f x a b =⋅。
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
高三上学期高考模拟测试理科数学试卷答案
广东省高三上学期高考模拟测试理科数学试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．D8．B二、填空题（每小题5分，共30分） 9． 36 ； 10．–540； 11．9π；12．16x －8y +25=0；13．(-+=x y 1122)，()214122x y -+=；14． ①④⇒②③ 或 ①③⇒②④ 。
三、解答题（共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）解：（I ）证明：显然f x ()的定义域是R 。
设任意x R ∈，f x x x x x f x ()()()()()-=--+-=--+=-3333， 4分∴函数f x ()是奇函数6分（II ）解： y x '=-+332，8分令y '>0，由-+>3302x ，解得-<<11x 10分由此可知，当-<<11x 时，y '>0，所以函数f x x x ()=-+33的单调增区间是（－1，1）； 12分当x <-1或x >1时，y '<0，所以函数f x x x ()=-+33的单调减区间分别是（-∞，－1），（1，+∞）14分（写出的区间，无论是否包含端点均可给分。
）16．（本小题满分12分）（I ）∵//，①若，共向，则 a b ＝|a |•|b |＝2 ………………… 3′ ②若，异向，则 a b ＝－|a |•|b |＝－2 ……………… 6′（II ）∵a ，b 的夹角为135°， ∴ a b ＝|a |•|b |•cos135°＝－1 …… 8′∴|a ＋b |2＝（a ＋b ）2 ＝a 2＋b 2＋2a b ＝1＋2－2＝1 ………… 11′ ∴||1a b += ……………………………………12′17．（本小题满分14分）方法一：a b a b a b（I ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O =AO ∴⊥平面BCD（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,22EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD所成角的大小为arccos4（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.hABMDEOC,11....33E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===12ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDE ACDAO S h S ∆∆∴===∴点E 到平面ACD的距离为7方法二： （I ）同方法一。
【高三】高三理科数学上册摸底考试试卷(含答案)
【高三】高三理科数学上册摸底考试试卷(含答案)珠海市2021年9月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分后，满分40分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的．恳请在答题卡上ED79适当选项.1．设全集，集合则集合=a．b．c．d．2．未知实数满足用户的最大值为a．―3b．―2c．1d．23．函数，，其中，则．均为偶函数．均为奇函数．为偶函数，为奇函数．为奇函数，为偶函数4．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是a．36b．108c．72d．1805．未知为不能重合的两个平面，直线那么“”就是“”的a．充分而不必要条件b．必要而不充分条件c．充份必要条件d．既不充份也不必要条件6．设a、b是x轴上的两点，点p的横坐标为2且若直线pa的方程为，则直线pb的方程是a.b.c.d.7．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表雄性雌性总计敏感５０２５７５不脆弱１０１５２５总计６０４０１００由附表：则以下观点恰当的就是：a．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；b．.在犯错误的概率不少于的前提下指出“对激素脆弱与性别毫无关系”；c．有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；d．存有以上的把握住指出“对激素脆弱与性别毫无关系”；8．设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合，a．b．c．d．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．在△abc中，，则.10.已知双曲线的离心率为，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.11.不等式的边值问题就是.12.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是.13.，则的零点个数就是________________．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心至直线的距离就是_____________.15．（几何证明选讲选做题）例如图，在△abc中，d就是ac的中点，e就是bd的中点，ae交bc于f，则.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分后）未知函数.(1)求的定义域；(2)设是第二象限的角，且tan=，求的值.17．（本小题满分12分后）a、b两个投资项目的利润率分别为随机变量和。
广东省揭阳一中高三上学期摸底考试数学(理)试题(扫描版).pdf
9.1 杠杆 （一）教学要求 1．知道什么是杠杆。
能从常见的工具中辨认出杠杆。
2．知道有关杠杆的一些名词术语。
理解力臂的概念。
会画杠杆的力臂。
3．理解杠杆的平衡条件，并能用来解决简单的问题。
（二）教具：抽水机模型、切纸用小铡刀、剪刀。
学生分组实验器材：杠杆和支架、钩码、尺、线。
（三）教学过程 一、新课引入 由学生阅读课本第章前言部分，引出本章学习内容。
教师指出，常用的简单机械有杠杆、滑轮、轮轴、斜面等。
由学生阅读本节开头的大问号后的一段。
并参阅图说明杠杆在我国古代就有了许多巧妙的应用。
引出杠杆一节。
“板书：第章 简单机械 一、杠杆” 二、进行新课 1．什么是杠杆？提问：如何用一根硬棒撬起一块很重的石块？ 学生讨论，教师总结并结合课本图13�2甲或出示事先画好图的小黑板讲解。
给出杠杆的定义。
教师指出：杠杆在力的作用下能绕固定点转动，这是杠杆的特点。
杠杆有直的也有弯的。
观察和演示：抽水机的手柄、切纸的铡刀、剪刀都是杠杆。
观察装置中哪个硬棒在力的作用下绕哪个固定点转动。
板书：“1．什么是杠杆？一根硬棒，在力的作用下如果能绕着固定点转动，这根硬棒就叫杠杆。
” 2．描述杠杆的几个有关名词术语 (1)教师以讲什么是杠杆时所画的撬杠撬石头的板图为基础，边讲下列名词边在图中规范标画出三点、两力、两臂。
并板书写出各名词及其定义。
板书：“2．名词术语：”支点：杠杆（撬杠）绕着转动的点，用字母O标出。
动力：使杠杆转动的力画出力的示意图，用字母F1或F动标出。
阻力：阻碍杠杆转动的力画出力的示意图，用字母F2或用F阻标出。
注意：动力和阻力使杠杆转动方向相反，但它们的方向不一定相反。
动力臂：从支点到动力作用线的距离。
用字母L1或L动标出。
（简介力的作用线概念。
） 教师说明力臂的画法：首先确定杠杆的支点，再确定力的作用线。
然后使用直角三角板画出从支点到力的作用线的垂线，垂足要落在力的作用线上，符号指明哪个线段是力臂，并写出字母L1或L动。
广东省华侨中学高三数学上学期摸底考试试题理
广东省华侨中学高三数学上学期摸底考试试题理高三理科数学第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．若集合则a的取值范围是（）A． B．C． D．2．复数（是虚数单位）等于( )A． B． C． D．3．命题“若，则”的否命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4.已知动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是( ) A．两条相交直线 B．抛物线C．双曲线D．椭圆5.函数（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A． B．4 C．D．6.设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点且PF2F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于A. B. C. D.8. 已知sin－3cos=0，则()。
A. B. C.2 D.9.已知数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大的n是（）A．18 B．19 C．20 D．2110. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.11. 从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（）（A）（B）（C）（D）12. 设函数，若，，则函数的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知，，则.14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为．15．函数的导函数．16．我校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：心晴社话剧社羽毛球社高一45 30高二15 10 20学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果心晴被抽出人，则的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024—2025学年广东省高三上学期开学摸底联考数学试卷
2024—2025学年广东省高三上学期开学摸底联考数学试卷一、单选题(★) 1. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表：钢管口11.0径频数26则这批钢管口径的中位数为（）A．14.00cm B．15.25cm C．16.25cm D．16.50cm(★★★) 3. 已知直线，直线，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★★) 4. 已知向量，若，则（）A．5B．3C．D．(★★) 5. 在平面直角坐标系中，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 当时，方程在上根的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题(★★) 9. 若在复平面内对应的点为，则（）A．的实部为1B．的虚部为C．D．直线的倾斜角为(★★★★)10. 已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（）A．B．C．的最小值为D．面积的最小值为2(★★★★) 11. 已知函数的定义域为，则（）A．若，则是上的单调递增函数B．若，则是奇函数C．若，且，则D．若，则是奇函数或是偶函数三、填空题(★★) 12. 若，则 __________ ．(★★★) 13. 函数，若的一个单调递增区间为，且，则 __________ ．(★★★★) 14. 已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是 __________ ；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为 __________ ．四、解答题(★★★) 15. 在中，已知内角所对的边分别为，且依次为等比数列的前3项，设其公比为，且．(1)若，求的前项和；(2)证明：当时，长度为的三条线段可以构成三角形．(★★★) 16. 已知函数．(1)当时，若存在极大值，且存在极小值，求的取值范围；(2)证明：当时，．(★★★) 17. 如图，在四棱锥中，平面，．(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面的夹角．(★★★) 18. 已知双曲线的离心率为，焦距为．(1)求的标准方程；(2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围．(★★★★) 19. 将4个面上分别写有数字的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率．(1)当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差；(2)若正四面体有瑕疵，即．①设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：；②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率．。
高三数学理科摸底考试试题+参考答案
高三数学理科摸底考试试题一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{}2log ,1y y x x =>，B ＝{}2,1xy y x -=>，则A ∪B ＝ （ ） A ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}0y y >C ． ΦD ．R 2. 复数212ii+-的虚部是（ ） A ．0B ．iC ．1D ．-13. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，， 在某项测量中，已知()196P.ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9754. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75.在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是（ ） A ．∠C 为钝角的三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形 D ．∠A 为直角的直角三角形6．关于θ的方程cos 2sin θθ=在区间[0，2π]上的解的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．47. 己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是( )A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 8. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④9．汕尾市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（ ）A.18B.24C.30D.3610．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 12．设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=（ ）A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.彭湃中学高一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差， 则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 14．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .15. 如果1()nxx 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ______________16.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点第13题图相同，则双曲线的渐近线方程为____.三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）若10,BC =求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，211=a ，点()()12n n n a a n N *+-∈，在直线x y =上． （1）令11--=+n n n a ab ，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．19. （本题满分12分）广州大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（3）求ξ的分布列和数学期望。
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广东省高三上学期摸底数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·洛阳模拟) 已知集合A={x|1＜x＜10，x∈N}．B={x|x= ，n∈A}．则A∩B=（）
A . {1，2，3}
B . {x|1＜x＜3}
C . {2，3}
D . {x|1＜x＜ }
2. （2分） (2018高二下·中山月考) 复数的共轭复数是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2020·长春模拟) 命题p：存在实数，对任意实数x，使得恒成立；：
，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 如图是一个程序框图，则输出的n的值是（）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
5. （2分） (2016高一下·枣强期中) 已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2003的值是（）
A . 20032
B . 2002×2001
C . 2003×2002
D . 2003×2004
6. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·邯郸模拟) 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且• =5，则| |等于（）
A . 2
B . 4
C . 6
D . 1
8. （2分）已知正方形ABCD的边长为2， H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<
的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） 5个人排队，其中甲、乙、丙3人按甲、乙、丙的顺序排队的方法有（）
A . 12
B . 20
C . 16
D . 120
10. （2分） (2019高一上·焦作期中) 设函数，若，则实数a的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到抛物线准线l的距离为d1 ，点P到圆（x+2）2+（y+4）2=4的距离为d2 ，则d1+d2的最小值是（）
A . 6
B . 1
C . 5
D . 3
12. （2分） (2017高三上·河北月考) 设函数，其中，，存在
使得成立，则实数的值是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2020高三上·四川月考) ________.
14. （1分）(2017·邯郸模拟) 若（﹣3x）n的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为________．（用数字作答）
15. （1分）已知一个球的表面积为36πcm2 ，则这个球的体积为________ cm3 ．
16. （1分）(2018·台州模拟) 若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________.
三、解答题 (共5题；共40分)
17. （10分） (2016高二上·船营期中) 在△ABC中， cos2A=cos2A﹣cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC ．
18. （10分）为了判断高中生的文理科选修是否与性别有关，随机调查了50名学生，得到如下2×2列联表：
理科文科
男1410
女620
（1）画出列联表的等高条形图，并通过图形判断文理科选修与性别是否有关？
（2）利用列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选修文理科与性别有关？
19. （5分）(2017·成都模拟) 如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离．
20. （10分） (2020高二上·衢州期中) 已知圆 : 直线过定点 .
（1）若与圆相切，求直线的方程;
（2）若与圆相交于两点，求面积最大值，并求出此时直线的方程.
21. （5分） (2017高二下·成都期中) 已知函数f（x）=x2+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
四、选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答 (共3题；共20分)
22. （10分）如图，AC是圆O的直径，ABCD是圆内接四边形，BE⊥DE于点E，且BE与圆O相切于点B．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若AB=6，BE=3，求AD的长．
23. （5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足 =2 ．
（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；
（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ= 与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．
24. （5分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x﹣1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是m，且a，b，c均为正数，a+b+c=m，求的最小值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、
21-1、
四、选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答 (共3题；共20分)
22-1、22-2、
23-1、
24-1、。