常微分方程的发展和应用

对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知 函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段：
发展初期是会具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通 解”时代。就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作 出现在数学家们彼此的通信中，1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方 程”这个数学名词。常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的其雏形的出现甚至比微
1816年，贝塞尔研究行星运动时，开始系统地研究贝塞尔方程
x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0
贝塞尔得到了此方程的两个基本解Jn(x)和J−n(x)。贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解
Jn(x)
=
∑ ∞
Γ(n
+
(−1)k k + 1)Γ(k
+
1)
(
x 2
)2k+n
k=0
2
J−n(x)
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔于1841年证明卡迪方程不存在一般初等解而中 断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。1873年， 德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。 在适定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年 和1876年给出常微分方程的逐次逼近法。皮亚拿在仅仅要求f (x)在(x0, y0)点邻域连续的条 件下证明了柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大发展。这些基本理论包括： 解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性， 奇解等等，这些问题是微分方程的一般基础理论问题。
。
生物学中的SIR传染病模型：假设传染病传播期间总人数不变，为常数N。开始时染
病人数为x0，在时刻t的健康人数为y(t)，染病人数为x(t)，传染系数为k，愈后免疫人数
为r(t)，治愈率为µ，可得
dr(t) = µx(t)
dt
x(t) + y(t) + r(t) = N
dx(t)
dr(t)
dt = ky(t)x(t) − dt
=

∑ ∞
Γ(−n
+
(−1)k k + 1)Γ(k
+
1)
( x )2k−n 2
k=0
。令贝塞尔方程有形如y
=
∑∞
k=0
Ck xk+ρ 的级数解，代入贝塞尔方程得到ρ
=
±n，且得到
了系数Cn的递推公式
(ρ + n + k)(ρ + k − n)Cn + Ck−2 = 0, k = 1, 2, ...
进 而 得 到 了 系 数C2k的 表 达 式 ，C2k+1 ≡ 0。1810年 ， 贝 塞 尔 证 明 了Jn(x)有 无 穷 个 零 点。1824年，贝塞尔给出递推公式
积分的发明还早。纳皮尔发明对数、伽利略研究自由落体运动、笛卡儿在光学问题中由 切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程。牛顿和莱布尼茨在 建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性，实际上是解决了最简单的常微分方
程y = f ′(x)的求解问题。此外，牛顿、莱布尼茨也都用无穷级数和待定系数法解出了某些 初等微分方程。
xJn+1(x) − 2nJn(x) + Jn−1(x) = 0
后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式。由此可见， 贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献。19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题 需研究常微分方程的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所 有解”的新时代。
)
=
0是x，y
，
dy dx
，
dn y dxn
的已知函数，而且一定含有
dn y dxn
；y是未知
函数，x是自变量。
一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意 常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果 根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，
运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常
微分方程求解。此外，常微分方程在化学、生物学、经济学和人口统计等领域都有应用。
常 微 分 方 程 在 物 理 学 中 应 用 的 典 型 例 子 要 属RLC电 路 。 包 含 电 阻R、 电 感L、 电
容C和 电 源 的 电 路 称 为RLC电 路 ， 根 据 电 学 知 识 ， 电 流I经 过R，L，C的 电 压 降 分 别
由上三式可消去r(t)，得
dx dt = kxy − µx, x(0) = x0 dy dt = −kxy, y(0) = N − x0
。SIR模型曾被用于检验本世纪初在印度发生的一次瘟疫，其理论曲线与实际数据相当吻 合。
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为RI，L
dI dt
和
Q C
，其中为电量它与电流的关系为I
=
dQ ，根据吉尔霍夫第二定律：在闭合
dt
回路中，所有的支路上的电压的代数和等于零。假设R，L，C为常数，电源电压e(t)是时
间t的已知函数，可得到以时间t为自变量、电流I为未知函数的常微分方程
d2I R dI I 1 de(t) dt2 + L dt + LC = L dt
周报告
常微分方程的源头问题与应用
在数学分析中，常微分方程是只含有一个自变量的微分方程。对于微积方程的基本概
念，可以简单的认为是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程。一般的n阶常微
分方程具有形式：
dy dny
F
(x,
y,
, dx
...,
dxn
)
=
0
这里F
(x,
y,
dy dx
,
...,
dn y dxn
20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求 所有解”转入“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊解和方程，如混沌（解）、奇 异吸引子及孤立子等。科技与数学界的重大发现是混沌、孤立子和分形，其中混沌、孤立 子直接与微分方程有关。
3
常微分方程应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的
a0xn
dny dxn
+
a1xn−1
dn−1y dxn−1
+ ... + any
=
0
的通解，其中ai(i=1,2,...,n)是常数。1696年莱布尼茨证明，利用变量替换z = y1−n可以将 方程化为线性方程（y与y′的一次方程）。同年，雅科布·伯努利实际上用分离变量法解决 了这一方程。约翰·伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法。1718年 泰勒提出奇解的概念。克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇 解的方法。参加奇解研究的数学家还有拉哥朗日、凯莱和达布等人。
1881年，庞加莱独创出常微分方程的定性理论。此后，为了寻求只通过考察微分方程 本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起 关键作用，并把奇点分为四类（焦点，鞍点，结点，中心）讨论了解在各种奇点附近的性 状。同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环、 极限环等。同时，庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的 开端。常微分方程定性理论中另一个重要领域是1982年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运 动稳定性理论。1982年李雅普诺夫的博士论文《关于运动稳定性的一般问题》给出了判定 运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础。到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概 念，并严格证明了其充要条件，使动力系统的研究向大范围转化。
最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨。他用这种方法解决了形如
dx y = f (x)g(y)
dy 1
的方程，因为只要把它写成
1
g(y)
dx = dy
f (x)
y
就 能 在 两 边 进 行 积 分 。 但 莱 布 尼 茨 并 没 有 建 立 一 般 的 方 法 。1740年 ， 欧 拉 用 自 变 量 代 换x = et把欧拉方程线性化而求得