相似三角形复习练习题

合集下载

2025届中考数学复习专项(相似三角形-手拉手旋转型综合应用)练习(附答案)

2025届中考数学复习专项（相似三角形-手拉手旋转型综合应用）练习1．如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出ΔOB1C1；（2）点B的对应点B1的坐标是，点C的对应点C1的坐标是．2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC，AC的中点，连接DE．（1）求：的值；（2）将△CDE绕点C逆时针方向旋转一定的角度，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．4．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．5．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．6．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：（1）△ABC∽△ADE（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少7．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△ ≌△ ；②△ ∽△ ．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．8．如图，点B在线段CD上，在CD的同一侧作两个等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB ＝∠BED＝90°，AD与CE，BE分别交于点P，M，连接PB．（1）若AD＝k•CE，则k的值是；（2）求证：△BMP∽△DME；（3）若BC＝，P A＝3，求PM的长．9．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB 上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．。

人教版九年级下册数学 27.2相似三角形同步练习(含解析)

27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。

初中数学精品试卷：相似三角形基础复习

一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝．比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21，则BCDE＝． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ，若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（）（A ）EB AE ＝FC BF ；（B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ；（D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ．求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ．求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点，且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。

相似三角形三角比复习

相似、三角比复习【课堂练习】一、选择1．下列图形一定是相似图形的是 ( ) （A ）两个矩形；（B ）两个正方形；（C ）两个直角三角形；（D ）两个等腰三角形．2．已知Rt △ABC 中，90=∠C ，AC ＝4，BC ＝6，那么下列各式中，正确的是（）（A ）32sin =A ；（B ）32cos =A ；（C ）32tan =A ； (D)32cot =A ． 3．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为72、63，则另一个三角形的最小的内角为（）（A ）72；（B ）63；（C ）45；（D ）不能确定．4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且D E ∥BC ，那么下列结论中错误的是（）（A ）EC AE DB AD =；（B ）AC AEAB AD =；（C ）DB AD BC DE =； (D) ACAEBC DE =． 5．若AM 是∆ABC 的中线，b AC a AB ==，，，则=AM （）（A ）()12a b -; （B ）()12a b +; （C ）()13a b -; （D ）()13a b +. 6. 如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )BCA D 第4题图ECBA(B)(C)(D)(A)二、填空7．如果x943=，那么=x ．8．如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， AE ∶EB =2∶1，DF =8，则FC = ．9．如图：AB 、CD 相交于O ，且∠A =∠C ，若OA =3，OD =4，OB =2，则OC =________． 10．化简：)23(23b a a ---= ． 11．已知在△A BC 中，AD 是中线，G 是重心，如果GD =3cm ，那么AG = cm ．12．在∆Rt ABC 中，∠C =90，3=BC ，61sin =A ，那么=AB ．13．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD =1，AB =3，则ABC AD E S S ∆∆:= ．14．如图：M 为平行四边形ABCD 的BC 边的中点，AM 交BD 于点P ，若PM =4，则AP =_______．15．已知点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），如果AB =2，那么AD 的长为．16．如图，在∆Rt ABC 中，∠ACB =90，CD ⊥AB ，垂足是D ，53=AC AD ，⊿ABC 的周长是25，那么⊿ACD 的周长是． 17．如图，请在方格图中画出一个与 ABC 相似且相似比不为1的△DEF （D 、E 、F 必须在方格图的交叉点）．18．在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D ，AB =4，BC =5，AC =6，EF =10，如果△ABC 与△DEF 相似，那么DE = ．三、解答19．计算：︒-⋅+45tan 30cot 60cot 45cos 45sin 22.DB CA第9题图OA B DCE第8题图F DCBA P M第14题图BACD第16题图BCA第17题图20．已知非零向量a 和b ，求作（1）2a b +、（2）23a b -（不要求写作法）.21．如图，点D 在AC 上，且,6,4,==∠=∠CD AB C ABD 求AD 的长.22．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 在直线BC 上，∠DAE =120︒.求证：.AEABDE AD =BCAD第21题图ACDBE第22题图23．点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边的延长线上，AB =2，AC =4，BD =3，问： (1)当CE 为何值时，DE //BC ； (2) 在（1）的条件下，求△ABC 的面积与四边形BCED 的面积的比.24．如图，已知正方形ABCD 和正方形DEFG ，点G 在AD 上.联结AE 交FG 于点M ，联结CG 并延长交AE 于点N ，（1）写出图中所有与△EFM 相似的三角形；（2）证明：.2CD FM EF ⋅=ADCBFEG第24题图MN A EDB第23题图C25．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．B A DCEP第25题图一．选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．B ；6．B ．二．填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．12；8．4；9．23；10．b a 2325+-；11．6；12．18；13．)91(9:1或； 14．8；15．15-；16．15；17．略；18．128或．三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分，满分78分）19．解：原式1333)22()22(22-⨯+=………………………………………………5分0= ………………………………………………5分 20．解：图略…………………每题5分21.C ABD ∠=∠,△ABD ∽△ACB . ……………3分AB 2=AD ·AC ………………3分设AD=x ,得x(x+6)=16……………2分 x =2…………1分 AD =2…………1分22. 证明：∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC ，∠ACB =60°……1分 ∴∠ACE =120°……1分 ∵∠DAE =120°∴∠DAE =∠ACE ……1分又∠E =∠E∴△ADE ∽△CAE ……3分∴AE DECA AD =……2分 ∴AEABDE AD =……2分 23. 解：（1）∵DE ∥BC ∴CEACBD AB =……2分 ∵AB =2,AC =4,BD =3， ∴CE432=∴CE =6……2分反之亦然，∴当CE =6时，DE ∥BC ……2分（2）∵DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE ……2分∴2545222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AD AB S S ADE ABC ……2分∴214=∆BCEDABC S S 四边形……2分 24.(1)△EFM ∽△CGD ∽△NEC ∽△AGM ∽AGN ∽△GMN ……………各1分共5分 (2)由全等或三角形内角和证明CN ⊥AE ………………2分△EFM ∽△CGD ……………2分得比例GD ：MF= CD ：EF ……………1分正方形DEFG ，得GD=EF …………1分结论 EF 2=FM ·CD …………1分25．解：（1）过点A 作F BC AF 于⊥ …………………………………………1分在AFB Rt ∆中，︒=∠90AFB ，︒=∠60ABF ∴3223460sin 4sin =⨯=︒=∠=ABF AB AF 221460cos 4cos =⨯=︒=∠=ABF AB BF ……………1分在AFC Rt ∆中，︒=∠90AFC ∴724)32(2222=+=+=FC AF AC …………………1分（2）过点P 作G BC PG 于⊥ 在BPG Rt ∆中，︒=∠90PGB ∴164)2()32(22222++=++=+=x x x PG BG BP ……1分如果ABP ∆和BCE ∆相似 ∵EBC APB ∠=∠又∵BCD BAP ∠=∠>ECB ∠……………………………………1分 ∴ECB ABP ∠=∠∴BC ECBP AB = 即6726616442⨯+=++x x x …………1分解得34,821-==x x （不合题意，舍去）…………1分 ∴8=x ………………………………………………………………………1分（3）︒1 当4==AB AE 时 ∵AP ∥BC ∴ECAEBC AP = 即47246-=x 解得874+=x ……………………………2分︒2 当4==AB BE 时 ∵AP ∥BC ∴BCAPBE PE = 即6441642xx x =-++解得0,51221==x x （不合题意，舍去）………………2分 ︒3 在AFC Rt ∆中，︒=∠90AFC∵AF FC =>=324 在线段FC 上截取AF FH = ∴︒=∠>∠45FAH FAE∴ABE ABC BAE ∠>∠=︒>︒+︒>∠603045∴BE AE ≠ …………………………………………………2分综上所述，当ABE ∆是等腰三角形时，512874或+=x ．【课后作业】一、选择题：1．若mn pq =，则下列比例式正确的是（）（A ）m p n q =；（B ）q p n m =；（C ）n pq m=；（D ）n p m q =．2．如图1，123////，下列比例式中正确的是（）（A ）AD CE BC DF =；（B ）AD DF BC CE =；（C ）AB CD CD EF =；（D ）AD BCBE AF=． 3．如图2，△ABC 中，DE //BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果ADE BCED S S ∆=四边形，那么下列等式成立的是（）（A ）:1:2DE BC =；（B ）:1:3DE BC =；（C ）:1:4DE BC =；（D ）:1:2DE BC =． 4．如果AB CD =，那么下列结论正确的是（）（A ）AC DB =；（B ）AC BD =；（C ）AD BC =；（D ）AD CB =． 5．如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，CD ⊥AB 于D ，下列式子正确的是（）（A ）sin BD A BC =；（B ）cos AC A AD =；（C ）cot AD A BC =；（D ）tan CDA AB=． 6．下列各组图形必相似的是（）（A ）任意两个等腰三角形；（B ）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形；（C ）两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形；（D ）两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形．二、填空题：7．线段4和9的比例中项是．8．如果235a b c==，24a b c +-=，那么a = ． 9．点P 为线段AB 的黄金分割点（P A ＞PB ），则关于P A 、PB 、AB 的比例式是．10．等腰直角三角形斜边上的高与直角边之比为．1 23A B CDEF（图1） ABCD E （图2）ABCD（图3）11．在△ABC 中，若中线AD 和中线CE 相交于G ，则=AD AG : ．12．线段AB 与CD 交于点O ，若AB =3AO ，则当CO :DO 的值为时，线段AC//BD ． 13．三角形的周长是a ，三边中点连线所组成的三角形的周长是．14．化简：113232a b a b ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ．15．已知090α︒<<︒，如果2sin 3α=，那么tan α= ．16．如图4，矩形DEFG 内接于△ABC ，BC =6cm ，DE =3cm ，EF =2cm ，则BC 边上的高的长是．17．如图5，梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、DB 交于点O ，如果S △AOD ∶S △ABD =2∶5，那么S △AOD ∶S △BOC = ．18．若△ABC ∽△DEF ，且∠A =∠E ，AB =DF =6，BC =5，AC =4，则DE = ．三、解答题19．如图6，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE //CD 交CA 延长线于点E 。

2020-2021学年新人教版九年级上《相似三角形》期末复习练习及答案

2020-2021学年度第一学期九年级数学期末复习专题相似三角形姓名:_______________班级:_______________得分:______________一选择题:1.下列说法正确的是( )(A)两个矩形一定相似．(B) 两个菱形一定相似．(C)两个等腰三角形一定相似．(D) 两个等边三角形一定相似．2.下列说法中正确的是( )①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A.①②B.②③C.③④D.②④3.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是( )A.△AOM和△AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形C.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形D.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.=D.=5.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )A. B. C. D.6.如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( )A. B. C.∠ABP=∠C D.∠APB=∠ABC7.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E,若AD=4，DB=2,则AE:EC值为( )A.0.5B.2C.D.8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=( )A.2B.C.D.9.若，且，则的值是( )A.14B.42C.7D.10.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为( )A.4B.5C.6D.811.如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作( )A.1条B.2条C.3条D.4条12.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )．A.(-2a,-2b)B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-b)13.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是( )A.3B.C.D.414.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论:①∠BAE=30°；②CE2=AB •CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15.如图所示，若DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S△ADE:S四边形DFGE :S四边形FBCG ( )A.2:6:9B.1:3:5C.1:3:6D.2:5:816.如图所示，一般书本的纸张是对原纸张进行多次对折得到的，矩形ABCD沿EF对折后，再把矩形EFCD沿MN 对着，依此类推，若所得各种矩形都相似，那么等于( )A.0.618B.C.D.217.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=( )A. B. C. D.218.如图所示,已知△ABC中,BC=8,BC上的高h=4，D为BC上一点,EF∥BC,交AB于点E，交AC于点F(EF不过A、B),设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( )A. B. C. D.19.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是( )A． B． C． D．2020此相似的矩形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，，…，分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点、的坐标分别为(1，2)，(3，4)，则Bn的坐标是( )A. B. C. D.二填空题:21.如图，若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=____________．22.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，AD:DB=1:2，S△ADE=1，则S四边形BCED的值为_______．23.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.24.如图,AB是圆O的直径,点C在圆上,CD⊥AB于点D,DE//BC,则图中与△ABC相似三角形共有个．25.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．26.如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF:BF等于27.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米．28.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．29.在方格纸中，每个小格的顶点为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.在如图所示的5×5的方格纸中，作格点△ABC与△OAB相似，(相似比不能为1)，则C点的坐标为30.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则＝____________ .31.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=4，则四边形MABN的面积是．32.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为．三简答题:33.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和点C，使AB ⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，如图，测得BD=12020DC=60米，EC=50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？34.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FC和FG的长．35如图，已知△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．(1)求证:△ABD∽△CBA；(2)若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．36.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．37.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问:(1)运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？(2)运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？38.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证:AC2=AB•AD；(2)求证:CE∥AD；(3)若AD=4，AB=6，求的值．39.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动。

三角形相似证明基础50题

33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求证:AF·BE=2S.
45° A E F B C
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交 AB、
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E， DC⊥BC，与AD交于点D．求证：AC2＝AE·AD．
B C D A E
9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是 AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F．求证：△AFD ∽△DFB．
B C D M N E A
40、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A B C E D
45、如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、 B、A为顶点的三角形相似? 9分

中考一轮复习数学专题16 相似三角形(学生版)

专题16 相似三角形一、单选题1．（2022·甘肃兰州）已知ABC DEF∽△△，12ABDE=，若2BC=，则EF=（）A．4B．6C．8D．162．（2022·广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形''''A B C D﹐已知'1 3OAOA，若四边形ABCD的面积是2，则四边形''''A B C D的面积是（）A．4B．6C．16D．183．（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段3AB=，则线段BC的长是（）A．23B．1C．32D．24．（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若6AB=，则A B''的长为（）A．8B．9C．10D．155．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR6．（2020·甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米7．（2020·广西贵港）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，若3BC =，2BD =，且BCD A ∠=∠，则线段AD 的长为（）A ．2B ．52C ．3D ．928．（2020·湖南永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（）A ．913B ．25C ．35D ．639．（2020·四川成都）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（）A B ．2 C ．4 D ．11．（2020·重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA △OD =1△2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1△2B ．1△3C ．1△4D ．1△512．（2020·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣43，﹣1）C ．（﹣1，﹣43）D ．（﹣2，﹣1）13．（2020·贵州遵义）如图，△ABO 的顶点A 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，△ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（）A ．9B ．12C ．15D ．1814．（2021·辽宁沈阳）如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，若1:1:2OA OA ，则ABC 与111A B C △的周长比是（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．15．（2021·四川巴中）如图，AB C 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12AD AE DBEC，下列结论正确的是（）A ．DE ：BC ＝1：2B ．ADE 与ABC 的面积比为1：3 C ．ADE 与ABC 的周长比为1：2D ．DE //BC16．（2021·湖南湘西）如图，在ECD ∆中，90C ∠=︒，AB EC ⊥于点B ， 1.2AB =， 1.6EB =，12.4BC =，则CD 的长是（）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.317．（2021·山东济宁）如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A ．510B ．1C ．94D ．418．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（） A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：119．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（）A ．32B ．4C ．92D ．620．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（）A ．65B ．125C ．185D ．24521．（2022·四川雅安）如图，在△AB C 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE △BC ，若AD BD＝21，那么DEBC ＝（）A ．49B ．12C ．13D ．2322．（2022·江苏盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A ．40米B ．60米C ．80米D ．100米23．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB△的周长比是（）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:424．（2022·江苏连云港）如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：△GF △EC ；△AB =AD ；△GE ；△OC ；△△COF △△CEG ．其中正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△25．（2022·重庆）如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（）A ．4B ．6C ．9D ．16 本号*资料皆来源于微信：数学26．（2021·山东淄博）如图，在Rt ABC 中，90ACB CE ∠=︒,是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F ．若4,BC AEF =△的面积为5，则sin CEF ∠的值为（）A ．35B C ．45D 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，x 过点A 作x 轴的垂线，与函数(0)ky x x=->的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，3BC BD =，则点B 的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．328．（2021·黑龙江黑龙江）如图，平行四边形ABFC 的对角线AF BC 、相交于点E ，点O 为AC 的中点，连接BO 并延长，交FC 的延长线于点D ，交AF 于点G ，连接AD 、OE ，若平行四边形ABFC 的面积为48，则EOG S ∆的面积为（）A ．4B ．5C ．2D ．329．（2021·黑龙江）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：△2GF =；△OD =；△1tan 2CDE ∠=；△90ODF OCF ∠=∠=︒；△点D 到CF ．其中正确的结论是（）A ．△△△△B ．△△△△C ．△△△△D ．△△△△30．（2021·海南）如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别是边BC CD 、的中点，连接AE AF EF 、、．若菱形ABCD 的面积为8，则AEF 的面积为（）本号资料*皆来源于微信：数学A ．2B ．3C ．4D ．531．（2021·广西来宾）如图，矩形纸片ABCD ，:AD AB =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '并延长交线段CD 于点G ，则EFAG的值为（）A B ．23C ．12D 32．（2021·江苏连云港）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（）A B C D 33．（2021·浙江绍兴）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（）A ．32 B C D ．2二、填空题34．（2022·湖南邵阳）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．35．（2021·贵州黔西）如图，A B C '''与ABC 是位似图形，点O 为位似中心，若OA A A '='，则A B C '''与ABC 的面积比为__．36．（2020·辽宁盘锦）AOB 三个顶点的坐标分别为()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，相似比为23，将AOB 缩小，则点B 的对应点'B 的坐标是__________.37．（2020·辽宁锦州）如图，在ABC 中，D 是AB 中点，//DE BC ，若ADE 的周长为6，则ABC 的周长为______．38．（2020·湖南娄底）若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c-=-________． 39．（2020·湖南湘潭）若37y x =，则x y x -=________．40．（2020·贵州黔东南）如图，矩形ABC D 中，AB ＝2，BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ △BC 于点Q ，则PQ ＝_____．41．（2021·的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形，边AB 1，则该矩形的周长为 __________________．42．（2021·贵州黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点分别为点A （2，1）、点B （2，0）、点O （0，0），若以原点O 为位似中心，相似比为2，将△AOB 放大，则点A 的对应点的坐标为________． 43．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．44．（2021·内蒙古）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN CB⊥，垂足为N．若2AC=，则MN的长为__________．45．（2022·广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．46．（2022·浙江杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB△BC，DE△EF，DE=2.47m，则AB=_________m．47．（2022·北京）如图，在矩形ABCD中，若13,5,4AFAB ACFC===，则AE的长为_______．48．（2022·上海）如图，在△AB C中，△A=30°，△B=90°，D为A B中点，E在线段AC上，AD DEAB BC=，则AEAC=_____．49．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．50．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33OA B ，44OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．51．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△AB C 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．52．（2022·辽宁沈阳）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别在E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为______．53．（2022·湖南常德）如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．54．（2021·四川内江）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．55．（2021·甘肃兰州）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．△以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；△分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．56．（2021·辽宁营口）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC ∠=∠，则CF =_________．57．（2021·江苏无锡）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB =6AC =，点E 在线段AC 上，且1AE =，D 是线段BC 上的一点，连接DE ，将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四边形FGDE ，当点G 恰好落在线段AC 上时，AF =________．58．（2020·四川眉山）如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD △的周长为26，则DE 的长为________．59．（2020·四川宜宾）在直角三角形AB C 中，90,ACB D ︒∠=是AB 的中点，BE 平分ABC ∠交AC 于点E 连接CD 交BE 于点O ，若8,6AC BC ==，则OE 的长是________．60．（2020·山东潍坊）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．三、解答题61．（2021·江苏南通）如图，利用标杆DE 测量楼高，点A ，D ，B 在同一直线上，DE AC ⊥，BC AC ⊥，垂足分别为E ，C ．若测得1m AE =， 1.5m DE =，5m CE =，楼高BC 是多少？62．（2021·广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC ，且AB ＞A C ．本号资料皆来源于微信公众#号：数学（1）在AB 边上求作点D ，使DB ＝DC ；（2）在AC 边上求作点E ，使ADE △AC B ．63．（2021·广西玉林）如图，在ABC 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △△AED ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．64．（2021·湖北黄冈）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．65．（2020·湖北省直辖县级单位）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．66．（2022·上海）如图所示，在等腰三角形AB C中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)△CAE=△BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ67．（2022·吉林长春）如图△、图△、图△均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中ABC 的形状是________；(2)在图△中确定一点D ，连结DB 、DC ，使DBC △与ABC 全等：(3)在图△中ABC 的边BC 上确定一点E ，连结AE ，使ABE CBA △∽△：(4)在图△中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连结PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．68．（2022·湖南常德）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．69．（2022·湖北黄冈）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证AB AC ＝BD CD．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE △AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB AC ＝BD CD ．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB AC ＝BD CD； (2)应用拓展：如图3，在Rt △AB C 中，△BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．△若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；△若BC ＝m ，△AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．70．（2022·山东泰安）如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．(1)若BE 平分CBD ∠，求证：BF AC ⊥；(2)找出图中与OBF 相似的三角形，并说明理由;(3)若3OF =，2EF =，求DE 的长度．71．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝， EF ＝；(2)进一步观察，我们还会发现EF △AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．72．（2021·四川雅安）如图，OAD △为等腰直角三角形，延长OA 至点B 使OB OD =，其对角线AC ，BD 交于点E ．（1）求证：OAF DAB △≌△；（2）求DF AF的值．73．（2021·广西贺州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．（1）求证：AE 平分BAC ∠；（2）若30B ∠=︒，求CE DE的值．74．（2021·湖南永州）如图1，AB 是O 的直径，点E 是O 上一动点，且不与A ，B 两点重合，EAB ∠的平分线交O 于点C ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：22AC AD AO =⋅；（3）如图2，原有条件不变，连接,BE BC ，延长AB 至点M ，EBM ∠的平分线交AC 的延长线于点P ，CAB ∠的平分线交CBM ∠的平分线于点Q ．求证：无论点E 如何运动，总有P Q ∠=∠．75．（2021·湖南益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：△BD CF =；△22BD DE AE EG =+⋅．76．（2021·黑龙江绥化）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值；（3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．77．（2021·山西）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：9325F C =+得出，当10C =时，50F ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式12111R R R =+求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120︒的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：△用公式12111R R R =+计算：当17.5R =，25R =时，R 的值为多少； △如图，在AOB 中，120AOB ∠=︒，OC 是AOB 的角平分线，7.5OA =，5OB =，用你所学的几何知识求线段OC 的长．78．（2022·辽宁大连）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC 中，D 是AB 上一点，ADC ACB ∠=∠．求证ACD ABC ∠=∠．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E ，使CE BD =，BE 与CD 的延长线相交于点F ，点G ，H 分别在,BF BC 上，BG CD =，BGH BCF ∠=∠．在图中找出与BH 相等的线段，并证明．” 本号资料皆来源@于微信：数学问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当90BAC ∠=︒时，若给出ABC 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若90BAC ∠=︒，4AB =，2AC =，求BH 的长．”79．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图△所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：BFG BCG △≌△（2）【类比迁移】如图△，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且8,6,AD AB ==将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交BC 边于点,G 延长BF 交CD 边于点,H 且,FH CH =求AE 的长．（3）【拓展应用】如图△，在菱形ABCD 中，E 为CD 边上的三等分点，60,D ∠=︒将ADE 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点,P 求CP 的长．80．（2022·山东烟台）(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△ABC ＝△ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，△ABC＝△ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．△求BDCE的值；△延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin△BFC的值．。

期末复习：相似

期末复习︰相似三角形设计人︰石建峰试做人︰桑乃军审核人︰茅玲玲班级姓名一．选择题1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题︰（1）若AB =A 1B 1，AC =A 1C 1，∠A =∠A 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1；（2）若AB =A 1B 1，AC =A 1C 1，∠B =∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1；（3）若∠A =∠A 1，∠C =∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1；（4）若AC ︰A 1C 1=CB ︰C 1B 1，∠C =∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1．其中真命题的个数为（）A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个2． △ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且位似比是1︰2，已知△ABC 的面积是3，则△A ′B ′C ′的面积是（）A ．3B ．6C ．9D ．123．如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（）A ．3︰2B ． 3︰1C ． 1︰1D ． 1︰2（第3题）（第4题）（第5题）（第7题）4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD=4，DB=2，则的值为．5．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A ．AC AE AB AD = B ．FB EA CF CE =C ．BD AD BC DE = D ．CB CF AB EF = 6．如图3，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是（）7．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C =∠E ，AD ︰DE =3︰5，AE =8，BD =4，则DC 的长等于（）A ．B ．C ．D ．8．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A ．ΔADE ∽ΔAEFB ．ΔECF ∽ΔAEFC ．ΔADE ∽ΔECFD ．ΔAEF ∽ΔABF9．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），∠ADE=∠B=α，DE 交AC 于点E ，且cos α=0.8．下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD=6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）10．如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E .若11FA E ∆∽BF E 1∆，则AD =__________.（第8题）（第10题）（第11题）二、填空题11．如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm12．如图10，在ABC ∆中，AD ︰DB=2︰3，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，则FC ︰BF= ．13．如图11，在□ABCD 中，AB=20cm ，BC=12cm ，延长AB 至E ，使BE=8cm ，连结OE 交BC 于F ，则BF= cm ．14．如图12，在ABC Rt ∆中，90=∠C °，内接正方形DEFG 边长x ，若AE=9，BF=4，则x = ．15．如图，A 、B 、C 、D 依次为一直线上4个点，BC =2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A 、D 、E 3点，且∠AOD =120°．设AB =x ，CD =y ，则y 与x 的函数关系式为．（第15题） (第16题)16．在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有条．Q H G FE D C B A P A CB17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠AC B．（1）求证︰=；（2）若AB⊥AC，AE︰EC=1︰2，F是BC中点，求证︰四边形ABFD是菱形．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；19如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

华师大版八年级下相似三角形复习练习一、【方法指导与教材延伸】1．在数学上，把具有形状的图形称为相似形。

2．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做，简称。

3.已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的，线段a 、d 叫做比例，线段b 、c 叫做比例，线段d 叫做a 、b 、c 的。

比例中项：如果比例内项是两条相同的线段，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

4. 比例的性质：a ∶b ＝c ∶d ⇔ ；a ∶b ＝b ∶c ⇔ 5．两个相似形的特征：对应边成比例，对应角相等；6．识别两个多边形是否相似的方法：如果两个多边形，那么这两个多边形相似 7．相似三角形：定义：的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: 。

相似比：相似三角形的比叫相似比，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是。

即相似比是有顺序的。

8．相似三角形的识别方法：(1)定义法：的两个三角形相似。

(2)平行线法：的直线和其它两边(或两边的延长线) ，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) ∵ED ∥BC ，∴△ABC ∽△AED(3) 的两个三角形相似。

(4) 的两个三角形相似。

(5) 的两个三角形相似。

(6) 对应成比例的两个直角三角形相似。

(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

ABCDEABCDE3．相似三角形的识别方法的选择：(1)已知有一角相等时，可选择方法和方法； (2)已知有二边对应成比例时，可选择方法和方法； (3)若有平行条件时，可考虑方法； (4)有直角三角形时，可考虑方法 4.相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应的比、对应的比、对应角的比都等于相似比． (3)相似三角形的比等于相似比．以上各条可以概括为：相似三角形的对应之比等于相似比． (4)相似三角形面积之比等于． 5．相似三角形性质的作用综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题： (1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等； (2)可用来计算周长、边长、角度等； (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。

注意：(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：S ＝21底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3．直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点．如图，由Rt △ACD ∽Rt △CBD ∽Rt △ABC ，得AC 2＝AD ·AB ， BC 2=BD ·AB ，CD 2=AD ·DB ．熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．二、例题选讲例1：已知线段a ＝15厘米，b ＝20厘米，c ＝75毫米，d ＝米，问这四条线段成比例吗ABCD说明：在线段求比时，线段的长度单位要统一；要同单位下，两线段的比值是无单位的正数。

例2：已知线段a ＝7，b ＝4，求线段a ＋b 与a －b 的比例中项。

说明：(1)此处是求线段的比例中项，所以只能取正值，但实际上，比例中项并不一定都是指两条线段，两个数、两个字母同样也可以求出它们的比例中项，并且比例中项也可为负。

(2)所以在求比例中项时，一定要看清是求线段的比例中项，还是两个数的比例中项，它们的结果不一样的。

例3：已知235x y z==，且3x ＋4z －2y ＝40，求x 、y 、z 的值。

说明：设k 法是有关比例式计算题中常用的方法，应学会、掌握。

例题4：判断正误，并简要说出理由 (1)两个矩形一定相似。

；(2)两个菱形都有一个角是400，那么这两个菱形相似 (3)两个正方形一定相似。

(4)有一个角相等的两个等腰梯形相似。

例题5：如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB ＝1，求矩形ABCD 的面积ABCDEF说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的AB 是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。

例题6：(1)、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似形三角形有对，分别是。

(2)、如果AD ＝5，DB ＝3，FC ＝2，则△ADE 与△ABC 的相似比是；如何求出BF 的长例题7：如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，EF ∥AB ，EM ∥CD ，求EF EM ABCD+的值。

例题8：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，则图中有对相似三角形，当△ ∽△ 时，则有AF EF BFFD=；要 AC ·CE ＝CB ·CD ，则应找哪两个三角形相似解：例题9：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，说明：BP 2＝PE ·PF 。

解：AB D E 图(1)F M F EDBA ABC D EF AB C DE F P说明：当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形例10．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成三块S 1、S 2、S 3，若S 1︰S 2︰S 3＝1︰4︰10，BC ＝15，求DE 、FG 的长例11如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F 。

(1)说明：△ABC ∽△FCD(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长。

A B CD E FG S 123SS三【同步练习】练习一一、判断题：1．所有的三角形都相似； 2．所有的梯形都相似；3．所有的等腰三角形都相似； 4．所有的直角三角形都相似； 5．所有的矩形都相似； 6．所有的平行四边形都相似； 7．大小的中国地图相似； 8．所有的正多边形都相似。

二、填空：1．延长线段AB 到C ，使BC ＝AB ，则AC ︰AB ＝，AB ︰BC ＝，BC ︰AC ＝ 2．在比例尺为1︰500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25㎝，则两地的实际距离是。

3．已知点P 在线段AB 上，且AP ︰PB ＝2︰5，则AB ︰PB ＝，AP ︰AB ＝ 4．如图，已知AD AE DBEC=，AD ＝15，AB ＝40， AC ＝28，则AE ＝。

5．已知：线段a ＝3，b ＝2，c ＝4，则b 、a 、c 的第四比例项d ＝；则a 、b 、(a －b )的第四比例项是；3a 、(2a －b )的比例中项是。

6．已知：数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数是。

7．已知：).0(,52≠+==d b d c b a 则=++d b c a 。

8．已知356x y z==，且3y ＝2z ＋6，则x ＝、y ＝。

9．把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为。

三、判断下列各组线段是否成比例1．4㎝、6㎝、8㎝、2㎝； 2．㎝、㎝、㎝、㎝3．㎝、㎝、㎝、㎝； 4．2㎝、4㎝、4㎝、8㎝。

A BCDE1．已知：3x －5y ＝0，求：(1)xy ；(2)x y y-；(3)x y x +2．已知：x ︰y ︰z ＝2︰3︰4，求：32x y zx y z+-++的值。

练习二一、填空：1、如图(1)，在中，R 在BC 的延长线上，AR 交BD 于P ，交CD 于Q ，若DQ ∶CQ ＝4∶3，则AP ∶PR ＝图(1) 图(3) 图(4)2、如图(2)，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则图中有对相似形三角形；若DC ＝9，AB ＝15，则OD ∶OB ＝，EF ＝。

3、如图(3)，在△ABC 中，∠BAC ＝900，CE 平分∠ACB ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 、CE 相交于点F ，则△AFC ∽△ 。

4、如图(4)，要使△AEF ∽△ABC ，已具备的条件是，还需补充的条件是或或。

5、如图(5)，点D 是△ABC 内一点，连结BD 并延长到E ，连结AD 、AE ，若∠BAD ＝200，AB BC AC AD DE AE==，则∠EAC ＝图(5) 图(6)6、在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，则有AD 2＝，ED 2＝，BD 2＝。

若DF ⊥AC ，则还有线段是比例中项。

FOA BC D E图(2)QRPDCBAABCD ABCDE FA BCEFA BDCEA BCDEF1、如图(1)，在中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC ＝18，E 为OD 的中点，连结CE 并延长交AD 于点F ，求DF的长。

2、如图(3)，在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，AF 与BE 交于点O ，ED ∥AF ，交BC于点D ，求BO ∶OE 的值。

3、如图，AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。

4、如图，已知AB AC BC AD AE DE ==，试说明：AB ·EC ＝AC ·BD 。

5、如图，D 是△ABC 内一点，在△ABC 外取一点E ，使∠CBE ＝∠BAD ，试说明△ABC ∽△DBEABCD OFEDC BAA BD CE12ABDCE A BDCE6、如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，AD ＝2，试在AB 上求一点E ，使△ADE 和△ABC 相似，并求出AE 的长。

7、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则这样的P 点有个8、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，①当AC 、CD 、BD 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ②当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。