五年级奥数-包含与排除
五年级奥数讲义第33讲 包含与排除(容斥原理)
第33周包含与排除（容斥原理）专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一1，一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？分析把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
5奥—33包含与排除
1，40人都在做加试的两道题，并且至少做 对了其中的一题。已知做对第一题的有30人， 做对第二题的有21人。只做对第一题的有多 少人？
2，五年级122名同学参加语文、数学考试，每 人至少有一门得优。已知语文65人得优，数学 78人得优，求只有语文一门得优的人数。
在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语， 既懂英语义又懂日语的有45人，那么，既不懂英 语又不懂日语的有多少人？
2，五（1）班有50人，在一次测试中，语文90 分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文 和数学都在90分以上的有20人。两科都在90分 以下的有多少人？
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的 有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至 少有一科在90分以上的有38人。两科都在90分 以上的有多少人？
3，全班46名同学，仅会打乒乓球的有 28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有 10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球 的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？
例题04
学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组 和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人， 参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。 问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多 少人？
2，某班在一次测验中有26人语文获优， 有30人数学获优，其中语文、数学双优 的有12人，另外还有8人语文、数学均未 获优。这个班共有多少人？
3，第一小组的同学们都在做两道数学思 考题，做对第一题的有15人，做对第二题 的有10人，两题都做对的有7人，两题都 做错的有2人。第一小组共有多少人？
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 包含与排除
第五讲 包含与排除教学目标1. 熟练掌握容斥原理的基本应用；2. 能够独立解决容斥原理与最值问题的综合应用；3. 了解容斥原理与排列组合、德-摩根定律的综合应用.分析：无弟弟人数有38人，则有弟弟人数有10人，有弟弟无妹妹的有8人，有弟弟有妹妹的有2人，则无弟弟有妹妹的人数是4人，所以无弟弟无妹妹的是34人，即独生子女的有34人.包含排除法：① 若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C.即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.② 若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分. 即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.[评注] 韦恩图在包含与排除中运用广泛，但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况，如果有四组不完全相关性质划分集合，根据乘法原理它们会将集合划分为2×2×2×2=16种类别.这是四个圆划分长方形无法办到的，圆办不到，不代表其他图形办不到，例如右图，粗实线能够分别穿越原来的8个区块将长方形分为8+8=16个部分.一般小学奥数题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况，用韦恩图足够了.万一出现四组不完全相关性质的情况，不推荐使用韦恩图. C B A C B A 想挑战吗？48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，试问：这48人当中是独生子女的有几个？专题精讲（一）容斥原理的基本应用【例1】（2004年中央A类公务员考题）在桌面上放置着三个面积相等的纸片A、B、C，A和B的重叠面积为16 cm2，B和C重叠的面积为12 cm2，C和A重叠的面积为10 cm2，三张纸片共同重叠的面积为6 cm2，已知三张纸片一共覆盖了160 cm2，那么每张纸片的面积为多少？分析：将各种重叠、部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和.可以由公式推倒，也可以靠对各部分面积的容斥关系和数量关系的理解，三张纸片的面积和=覆盖面积+重叠了两次部分的面积+2×重叠了三次部分的面积=覆盖面积+两两相互重叠的面积之和-重叠了三次的部分=160+16+12+10-6=192，所以每张纸片的面积为64cm2.[前铺] 在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积．分析：（法1）直接套用公式：100×3-20-45-31+15=219cm2.套用公式的前提必须建立在对公式的理解的基础上，A、B、C三个圆的面积各包含了四块面积，例如A覆盖的部分包括，A与B 共有而C没有的；A与C共有的而B没有的，A、B、C三圆共有的；A独有的.这样如果将A、B、C的面积简单相加，A与B共有而B没有的；A与C共有的而B没有的；B与C共有的而A没有的；A、B、C三个部分的共有部分则被计算了3次，如果再将A、C两圆重叠的；B、C两圆重叠的；A、B两圆重叠的三部分各减去一遍，那么同时A、B、C三个部分的共有部分则被减了3次，此时得到的结果中A、B、C三个部分的共有部分没有被计算过，所以最后还要将这一部分加上.（法2）分别计算各区块的面积，A与B共有而C没有的=20-15=5，B与C共有的而A没有的=31-15=16，A与C共有的而B没有的=45-15=30.A独有的=100-5-30-15=50，B独有的=100-16-5-15=64，C独有的100-30-16-15=39.盖住桌子的总面积=15+5+16+30+50+64+39=219，事实上如果我们实现没有将各个区块算出来的话，盖住桌子的总面积=15+（20-15）+（31-15）+（45-15）+（100-15-（20-15）-（45-15））+（100-15-（20-15）-（31-15））+（100-15-（36-15）-（45-15））=100×3-20-45-31+15=219.[拓展] 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？分析：越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字案从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.【例2】（奥数网原创题）学而思学校有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．分析：设三项都参加的人数有X人，则参加朗诵小组的人数为7X人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为2X人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为2X人.有46-24-20-7X+2X+2X+10-X=0，解得X=3，所以参与朗诵小组的人数为21人．[前铺] 学而思举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其他年级共展出多少幅画？分析：（法1）其他年级与五年级共展出18幅画，其他年级与六年级共展出20幅画，五年级六年级共展出22幅画，其他年级共展出（18+20-22）÷2=8幅.（法2）把五年级的画看成一个集合A，六年级的画看成一个集合B，其他年级的画看成一个集合C，它们的画加起来是集合I，那么我们知道：n(I)－n(A)=20,n(I)－n(B)=18,n(A)＋n(B)=22,其他年级展出的画n(C)=n(I)-n(A)-n(B).把n(I)－n(A)=20,n(I)－n(B)=18两个式子相加得到：2n(I)－n(A)－n(B)=38,即2n(I)=n(A)＋n(B)＋38=22＋38=60,n(I)=30.所以，n(C)=n(I)―n(A)―n(B)=30―22=8幅．[拓展] 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？分析：参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2．仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的认识一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的．由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人．【例3】（奥数网原创题）求不超过120的合数的个数分析：从120中去掉质数，再去掉“1”，剩下的即是合数．（法1）120以内：①既不是素数又不是合数的数有一个，即“1”；②素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共30个．所以不超过120的合数有120－1－30＝89(个)筛法：从小到大按顺序写出1－120的所有自然数：先划掉1，保留2，然后划掉2的所有倍数4,6，…120等；保留3，再划掉所有3的倍数6,9…117、120等；保留5，再划掉5的所有倍数10,15，…120；保留7，再划掉7的所有倍数，…这样，上面数表中剩下的数就是120以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托拉‘筛法’”) 当n 不很大时，计算1－n 中的合数的个数困难不大；但当n 很大时，利用筛法就很困难、很费时了，必须另觅他途．（法2）如果能找出1－n 中质数的个数m ，则n －1－m 就是不超过n 的合数的个数．由初等数论中定理：a 是大于1的整数．如果所有不大于√a 的质数都不能整除a ，那么a 是质数．因为120<121＝112，√120<11，所以不超过120的合数必是2或3或5或7的倍数，所以只要分别计算出不超过120的2、3、5、7的倍数，再利用“容斥原理”即可，所以不超过120的合数共有89个．[前铺1] 求1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.分析：记 A ：1到100中3的倍数，100÷3=33……1，有33个；B ：1到100中7的倍数，100÷7=14……2，有14个；A ∩B:1到100中3和7的倍数，即21的倍数，100÷21=4……16，有4个．依据公式，1到100中3的倍数或7的倍数共有33+14-4=43个，则能被3或7整除的数的个数为43个.[前铺2]（07年我爱数学夏令营）在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？分析：1到2004中是2的倍数的有1002个，3的倍数有668个，5的倍数有[2004/5]=400个,6的倍数有334个，10的倍数有[2004/10]=200个，15的倍数有[2004/15]=133个，30的倍数有[2004/30]=66个.所以不是2、3、5的倍数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个.[巩固] 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析：“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”．记 A ：1～100中5的倍数，，有20个；100520÷=B ：1～100中6的倍数，，有16个；4166100 =÷：1～100中5和6的公倍数，即30的倍数，，有3个．B A 10330100 =÷依据公式，1～100中5的倍数或6的倍数共有个，则既不是5的倍数也不是6的3331620=-+倍数的数有个．6733100=-[拓展1] 不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？分析：10～99中符合条件的数有5个（11、33、55、77、99），100～199中有三个数字都不同的有9×8=72个，偶数有50个，有三个数字都不同的偶数有5×8=40个，因此至少有两个数字相同的不同的奇数有100-72-50+40=18个，200和201都不符合条件．一共有23个符合条件．[拓展2] 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？分析：教师可以先讲解前铺，但要区分例题与前铺的区别.三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盏．【例4】 学而思举行数学擂台赛，共出A 、B 、C 三道题，有110人参加，每个人都至少答对一道题，已知答对A 题的有52人，只答对A 题的有16人；答对B 题的有61人，只答对B 题的有15人；答对C 题的有63人，只答对C 题的有21人，问三道题都答对的有多少人？分析：结合题的条件，设仅答对AB 的有X 人，BC 的有Z 人，AC 的有Y 人，全答对的有W 人，可得以下等式： 16+X+Z+W=52……①15+X+Y+W=61……②21+Y+Z+W=63……③16+15+21+X+Y+Z+W=110…④②+①+③-④×2：解得W=8，即三道题都答对的人数为8．【例5】 （2007中央B 类公务员考题）某次考试有52人参加，共考5题，每题做错的人数统计如表：已知每人都至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多，那么做对4道题的人数是多少？分析：设做对2道题的和3道题的人数为X ，做对4道题的人数有Y 人．则根据人数和错题数的相关等量关系有以下两条等式：7+2X+Y+6=524×7+3X+2X+Y=4+6+10+20+39X=4Y=31 所以做对4道题的有31人．（二） 容斥原理与最值问题的综合应用题号 一 二 三 四 五 做错人数 4 6 10 20 39容斥原理与最值问题的结合往往是小学生的难点，不仅是因为不等式的出现，还有分数、倍数关系的融合都会使题目复杂易错，更重要的是注意“至少”“最多”等所隐含的数学关系.【例6】 1～100这100个自然数，A 、B 、C 三个人都分别从某一个数开始按顺序往后数，已知A 数了75个数，B 数了60个数，C 数了52个数，那么三个人共同数到的数最少有多少个？分析：三个人共同数到的数也必然是一段连续的数，这段数有X 个．A,B,C 三人中至多有一个人既数了小于这段数的数，又数了大于这段数的数．否则如果有两个人既数了小于这段数的数，又数了大于这段数的数，则第三人无论数了小于这段数的数，还是大于这段数的数，三人共同数的数都不止这X 个．对于另外两个数数区间没有跨越这段数的人有不等式Y+Z-X ≤100（Y 和Z 分别为两人所数的个数）X ≥Y+Z-100≥60+52-100=12.[前铺] 学校组织一次数学竞赛，共出了一、二、三共三道大题，至少做对一道题的有40人，其中做对第一题的有15人，做对第二题的有20人，做对第三题的有25人，如果三道题都做对的只有2人，那么只对两道题的有多少人？只做对一道题的又有多少人？分析：假设只答对两道题的有X 人，根据一、二、三道题总人数中扣去重复计算的人员数乘以被重复计算的次数等于做对一道题的人数，则有15+20+25-X-2×2=40，解得X=16，即只作对一道题的人数为15+20+25-2×16-3×2=22人．【例7】 （人大附中考题）一次数学考试，小明答错题目占总数的，小军答对7道题，两人都答对的19题目是总数的，问：小明答对多少道题？ 16分析：设两人都答对的题的数目是X ，由条件可知一共有6X 道题，小明至少有（7-X ）道题没答，又因为小明答错题目占总数的，所以，小明没答的题有X 道．X ≤（7-X ），得到X ≥，且X 为3192323215的倍数，所以只能为6，一共有题36道，小明答题36-36÷9=32题．[前铺] 某班在体育课上进行了成绩考核，这个班在100米自由泳、跳远、铅球三项测试中获优秀等级的人数分类统计如下：100米自由泳获得优秀的有21人，跳远获得优秀的有19人，铅球获得优秀的有20人．100米自由泳和跳远都获得优秀的有9人，跳远和铅球都获得优秀的有7人，铅球和100米自由泳都获得优秀的有8人．有5人没有获得任何一项优秀．试判断这个班的人数的取值范围．分析：该班人数表达为5+21+19+20-9-7-8+X ，X 为三项测试都优秀的人．考虑X 的取值范围，0≤X ≤7，即该班人数最多能有48人，最少有41人．[小笑话]1. 公共汽车上老太太怕坐过站逢站必问．汽车到一站她就一个劲地用雨伞捅司机：＂这是展览中心吗？＂＂不是，这是排骨！＂2. 护士看到肝病病人在病房喝酒，就上前走过去叮嘱说：＂小心肝！＂病人微笑道：＂小宝贝．＂【例8】 （仁华考题）60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动233445都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？分析：设只会打乒乓球和羽毛球的人有X ，只会打乒乓球和排球的有Y 人，只会打羽毛球和排球的有Z 人．则X 、Y 、Z 有如下关系： 40-(X+Y+22)≥045-(X+Z+22)≥048-(Y+Z+22)≥0将三条关系式相加，得到X+Y+Z ≤33，而60人当中会至少一项运动的人数有40+45+48-（X+Y+Z ）-2×22≥56人．60人当中三项都不会的人数最多4人．（当X 、Y 、Z 分别取7、10、15时，不等式组成立）．【例9】 希望小学的音乐兴趣小组有37人，其中有20人会手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，其中既会手风琴又会钢琴的有8人，既会电子琴又会钢琴的有10人，既会手风琴又会电子琴的有8人．请问：这三种琴都不会的人至多有多少人？分析：三种琴都不会的人有37-20-16-24+8+10+8-X 人，其中X 为三种琴都会的人数，考虑X 的取值范围, X 必须满足会指定乐器的学生人数必须为非负整数．于是有不等式组：X ≥08-X ≥010-X ≥08-X ≥020-8-8+X ≥016-8-10+X ≥024-8-10+X ≥037-20-16-24+8+10+8-X ≥0得到的X 取值范围为2≤X ≤3．当X 取2时三种琴都不会的人数得到最小值1.[前铺] 图书室有100本书，借阅者要在借书证上签名，已知这100本书中有甲签名的33本，有乙签名的44本，有丙签名的55本，其中同时有甲、乙签名的图书有29本，同时有甲、丙签名的图书有25本，同时有乙、丙签名的图书有36本，问：这批图书中有多少本没有被这三个人中的任何一个人借阅过？分析：设这批图书中被这三个人同时借阅过的有x 本，则有33+44+55-29-25-36+x=42+x 本书被人借过，因为同时有甲、丙签名的图书才有25本，所以x 的最大值是25，42+x 的最大值是67，100-67=33（本），即没有被这三个人中的任何一个人借阅过的至少有33本.[小笑话]1. 南非有一位渔民，有一件很烦心的心事：每当他停车离开后，总有野生狒狒把他的汽车后视镜和雨刷掰下来．后来，他想到一条妙计：狒狒很怕蛇，何不在车上放几条橡胶蛇吓唬吓唬它们呢？第二天一早，他就到玩具店买了12条长长的蛇，放在引擎盖和车顶上，几个小时后，他回到车边，发现车身上全是凹坑：一群狒狒正在一边怒气冲冲的朝那些“蛇”扔石头！2. 沙僧参加数学考试，监考老师盯着他脖子上的珠子看了半天，冷笑道：“嘿嘿，把算盘伪装成这样了！休想作弊，快摘下来！”（三） 容斥原理与排列组合、德·摩根定律的综合应用（本部分例题根据近两年全国高中数学联赛改编）[信息提示] 集合的基本概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，集合常常用大写字母表示，比如A ，B ，C 等等，在平面上集合也常用一个圆表示，集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合只有两种关系，即元素属于集合或者不属于集合，元素一般用小写字母表示．元素属于集合记作．a A a A ∈元素不属于集合记作或．a A a A ∉a A ∈由所有属于集合且属于集合的元素所构成的集合，叫做与的交集，记作：（读作“A B A B A B A 交”）．B由所有属于集合或属于集合的元素所构成的集合，叫做与的并集，记作：（读作“A B A B A B A 并”）．B已知全集，集合，由于中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在集合中的补集，I A I A A I 记作：（读作“补”）．A A如果我们用（）表示集合中元素的个数，那么可以叙述容斥原理如下：n A A （1），若是非空集合，称，两个集合是相容的，则()()()()n A B n A n B n A B =+- A B A B ，从而，特别地，若（是空集，称，两个集合()0n A B > ()()()n A B n A n B <+ A B =∅ ∅A B 是不相容的即相斥的），则，这时有()0n A B = ()()()n A B n A n B =+ （2）（是全集，，是的子集）．()(I)()()()n A B n n A n B n A B =--+ I A B I（3）()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A n A B C =++---+ （4）()()()()()()()n A B C n I n A n B n C n A B n B C =---++()()n CA n A B C +-【例10】 从6名运动员中选出4名参加4x100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?分析：设全集U ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A={甲跑第一棒的排列，B={乙跑第四棒的排列}，根据容斥原理得参赛方法共有：252)()()()(24353546=+--=+--A A A A B A B n A n n (种).【例11】 学而思五年级竞赛班的学生中，参加课外语文小组的有20人，参加数学小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问共有多少学生? 分析：设U={学而思五年级竞赛班的学生}，A={学而思五年级竞赛班参加语文小组的学生}，B={学而思五年级竞赛班参加数学小组的学生}，由容斥原理及德·摩根定律：)(4710222015)()()())(()()]([)(人=-++=-++=+=B A n B n A n B A C n B A n B A C n U n【例12】 由数字1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字且2、3都与4不相邻的五位数． 分析：设A={2与4相邻的五位数}，B={3与4相邻的五位数}，则原题即求)(B C A C n ，由容斥原理及德·摩根定律：.36)()()()()()()]([)(33224422442255=⋅+⋅-⋅-=+--=-==A A A A A A A B A n B n A n n B A n n B A C n B C A C n注：)(B A n 表示2与4相邻且3与4相邻的五位数的个数，那么4一定排在2与3之间，且2、3、4相邻，故有3322A A ⋅种排法．[字谜及脑筋急转弯]1. 十个人打架，八个人拉，六个人进屋把门叉（打一个字）——答案：校2. 乌龟和豆子赛跑，遇到一条河，乌龟游过去赢了.（猜一种蔬菜名）——答案：荷兰豆3. 一个小人，带个小帽，过个小桥，看着月亮，哼着小曲，吃着小豆（打一个繁体字）——答案：體（体）专题展望因为容斥原理的相关内容我们会在六年级继续学习.练习五1. （例1）边长为6、5、2的三个正方形，如图所示，求它们的盖住部分的面积．分析：边长为5的正方形与边长为6的正方形，共同盖住的部分面积为9；边长为5的正方形与边长为2的正方形，共同盖住的部分面积为2；边长为2的正方形与边长为6的正方形，共同盖住的部分面积为2；三个正方形共同盖住的面积为1．它们一共盖住面积为25+36+4-9-2-2+1=53.2. （例3）求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析：“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”．记 A ：1～100中5的倍数，，有20个；100520÷=B ：1～100中6的倍数，，有16个；4166100 =÷：1～100中5和6的公倍数，即30的倍数，，有3个．B A 10330100 =÷依据公式，1～100中5的倍数或6的倍数共有个，则既不是5的倍数也不是6的3331620=-+倍数的数有个．6733100=-3. （例3）以105为分母的最简真分数共有多少个？分析：105=3×5×7，105以内的3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，3×5的倍数有7个，3×7的倍数有5个，5×7的倍数有3个，只有105是3、5、7的倍数，105以内与105互质的数一共有105-35-21-15+7+5+3-1=48个.4. （例4）在所有的三位自然数中，组成数字的三个数字既有大于5的数字，又有小于5的数字的自然数共有多少个？分析：所有三位的自然树中仅仅由不大于五的数字组成的数有5×6×6=180个数字，仅仅由不小于5的数字组成的数有5×5×5=125个，其中555各位书即不大于5，也不小于5，因此符合条件的三位数共有999-99-（180+125-1）=596个.5. （例8）某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误．分析：按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=29人，与实际参加人数不符，所以这个报名表有误．6. （例9）某班有45人，其中35人会中国象棋，30人会国际象棋，38人会围棋，40人会跳棋，那么这个班至少有多少人四项都会？分析：由题可知该班10人不会中国象棋，15人不会国际象棋，7人不会围棋，5人不会跳棋，所以最多可以有37人不全都会，至少有45-37=8人四项都会．成长故事好学不倦在一个漆黑的晚上，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏． 正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之际，突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声．它们震惊之余，更各自四处逃命，但大花猫绝不留情，不断穷追不舍，终于有两只小老鼠走避不及，被大花猫捉到，正要向它们吞噬之际，突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命． 大花猫走后，老鼠首领施施然从垃圾桶后面走出来说："我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命．" 温馨提示："多一门技艺，多一条路．"不断学习实在是成功人士的终身承诺11。
五年级第四讲-包含与排除学生版
第4讲包含与排除内容概述有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题．典型问题兴趣篇1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？拓展篇1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？5．森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜．如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？6．三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只．张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？7．唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难．请问：师徒四人共同渡过的有多少难？8．培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？9．五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍．求参加文艺小组的人数．10．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？11五年级三班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有22人，参加英语竞赛的有20人．如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？12．甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事．已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事．请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？超越篇1．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜．其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？2．育才小学匦展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画．其他年级的画共有多少幅？3．巨人学校有105名男生和75名女生参加数学竞赛，有95名女生和85名男生参加作文竞赛．已知该校一共有280名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同．请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？4．冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片．回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里，爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了37张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的45张照片都拿出来放到了自己的相册．请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？5．一次测验共有5道试题．测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的同学做对第5题．如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？6．五年级一班有22人参加语文竞赛，32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人．请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？7．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问：(1)恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？(2)恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？8．一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，每隔7厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？。
五年级奥数：包含与排除
五年级奥数：包含与排除五年级奥数：包含与排除1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。
那么有多少人两个小组都不参加？解：两个小组共有（15+18）-10=23（人），都不参加的有40-23=17（人）答：有17人两个小组都不参加。
解：45-29-10+3=9（人）答：语文成绩得满分的有9人。
解：4的倍数有50/4商12个，6的倍数有50/6商8个，既是4又是6的倍数有50/12商4个。
4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。
面向老师的人数=50-12=38（人）答：现在面向老师的同学还有38名。
解：2的倍数有100/2商50个，3的倍数有100/3商33个，2和3人倍数有100/6商16个。
领2支的共准备（50-16）*2=68，领3支的共准备（33-16）*3=51，重复领的共准备16*（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33共需要68+51+80+33=232（支）答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。
5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段？解：3厘米的记号：180/3=60，最后到头了不划，60-1=59个4厘米记号：180/4=45，45-1=44个，重复的记号：180/12=15，15-1=14个，所以绳子中间实际有记号59+44-14=89个。
剪89次，变成89+1=90段答：绳子共被剪成了90段。
解：1，2，3，4，5年级共有16，1，2，3，4，6年级共有15，5，6年级共有25所以总共有（16+15+25）/2=28（幅），1，2，3，4年级共有28-25=3（幅）答：其他年级的画共有3幅。
7、有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占2/3，标有4的倍数的卡片占3/4，标有12的倍数的卡片有15张。
五年级数学奥数讲义-包含与排除(学生版)
“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。
一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。
这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。
【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
五年级奥数第24讲-包含与排除(学)
学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义年级：五年级辅导科目：奥数课时数：3学科教师：授课主题授课类型T同步课堂第24讲——包含与排除P实战演练S归纳总结教学目标①了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容②掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用授课日期及时段T（T extbook-Based）——同步课堂知识梳理一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．1．先包含——A+B重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：A+B+C重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？A C B例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？会游泳的A 两项都会的B会打篮球的两项都不会的例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？既采A樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？乙丙甲A B考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，（1）数学成绩优秀的有几个学生？（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？考点三：图形中的重叠问题例1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？例2、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4厘米2厘米图3例3、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？A B10C考点四：容斥原理在数论问题中的应用例1、在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？“ ” “P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练课堂狙击1、一个班有 48 人，班主任在班会上问： 谁做完语文作业？请举手！ 有 37 人举手。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第04讲：包含与排除
第4讲包含与排除内容概念：有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。
典型问题：兴趣篇：1.暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。
如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？2.在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3、五年级一班45个学生参加期末考试。
成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。
请问：语文成绩得满分的有多少人？4.某餐馆有27道招牌菜。
小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的。
请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5.如图4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。
请问：（1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6.在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。
其中有10个人爱喝红茶，12人不爱喝红茶却爱喝绿茶。
请问：只爱喝花茶的有多少人？7.光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。
同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人。
光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8.卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种。
人教版小学数学五年级奥数训练第33讲 包含与排除(容斥原理)
第33讲包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
二、精讲精练例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？练习一1、一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？练习二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？例3：学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
小学五年级奥数教案--第33讲-包含与排除(容斥原理)
第33讲包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
二、精讲精练例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？练习一1、一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？练习二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？例3：学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
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五年级奥数－包含与排除
1.某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人
两个小组都参加。
那么有多少人两个小组都不参加？
2.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3， (49)
50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？
3.在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？
4.在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有
多少个？
5.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。
三个纸片共同重叠
的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。
问：图中阴影部分的面积之和是多少？
五年级奥数－包含与排除答案
1.解析：
40=
-
-人。
(
+
)
17
10
15
18
2.解析：
面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计38
+
[=
-
+
50
-人。
)]
4
4
8
12
(
3.解析：
1000=
(
-
+
-个。
142
686
200
)
28
4.解析：
前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36， (900)
961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。
所以既不是平方数也不是立方数的有962
1000=
+
-个。
-
)3
(
10
31
5.解析：
2
⨯
-
=
-
⨯。
8
8
2
36
3
20cm。