截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
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截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
注意平方问题
第十六次课结束处
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
O
z
Iz=∫ A y2dA =∫ A(a+yC)2dA =∫ Aa2dA + 2a∫ A yCdA +∫ A yC2dA
y
C
dA
a zc
yc
∫ A yCdA 对形心轴的面积矩=0
b zc z
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
y yc
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
同理
Iy=∫ A b2dA + IyC Iyz=∫ A abdA + IyCzC
二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=∫ A z2dA
=∫ A1z2dA +… +∫ Anz2dA
n
= ∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz = ∑ Izi
i=1
n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余 下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 12
bh3
5 d 4
32
y
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设 a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
yC
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
附录 截面几何性质(1)
A
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
HOHAI UNIVERSITY
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
截面的几何性质—平行移轴公式(材料力学)
三、平行移轴公式
1、平行移轴公式
右图任意截面，zc、yc 轴为通过截面形心C的一对正交轴，z、y轴为分别与zc、yc 轴平行的轴，
两平行轴之间的距离分别为a和b。
根据定义，图形对zc、yc 轴的惯性矩和惯性积分别为
Izc yc2dA, I yc zc2dA, Izc yc yc zcdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
例题 求T形截面对其形心轴 zC 的惯性矩（单位为mm）。
解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 y 上。
取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作z轴。
A1
20140
2800mm2 ,
Iz c
I1 zc
I2 zc
7.68106
4.43106
12.11106 mm4
20 140
yc
20
1
a1 zc
y1 a2 yc z
2
100
a2A b2A
c
I zy I zc yc abA
上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
y
z yc
b
zc
dA
C
yc
a y zc
O
z
2、组合截面的惯性矩、惯性积
组合截面对某轴的惯性矩、惯性积，等于各简单图形对此轴的惯性矩、惯性积的代数和。
n
Iz Iz i
i 1
n
I y I y
i1 i
n
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A
1、平行移轴公式
右图任意截面，zc、yc 轴为通过截面形心C的一对正交轴，z、y轴为分别与zc、yc 轴平行的轴，
两平行轴之间的距离分别为a和b。
根据定义，图形对zc、yc 轴的惯性矩和惯性积分别为
Izc yc2dA, I yc zc2dA, Izc yc yc zcdA
I zy
i 1
I yzi
Izi， Iyi
,Iyz i
----指第
i个简单截面对
y, z
轴的惯性矩，惯性积。
例题 求T形截面对其形心轴 zC 的惯性矩（单位为mm）。
解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 y 上。
取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作z轴。
A1
20140
2800mm2 ,
Iz c
I1 zc
I2 zc
7.68106
4.43106
12.11106 mm4
20 140
yc
20
1
a1 zc
y1 a2 yc z
2
100
a2A b2A
c
I zy I zc yc abA
上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
y
z yc
b
zc
dA
C
yc
a y zc
O
z
2、组合截面的惯性矩、惯性积
组合截面对某轴的惯性矩、惯性积，等于各简单图形对此轴的惯性矩、惯性积的代数和。
n
Iz Iz i
i 1
n
I y I y
i1 i
n
ycdA a2
dA
A
A
A
A
A
A
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
2 2 2 2 R
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
A
z1 y1dA ( y a) 2 dA y 2 dA 2a ydA a 2 dA
z z1 z 2 117 2 17105 3.34105 cm4 ;
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小
结
ห้องสมุดไป่ตู้
S y z dA A zc ; 一、静矩： S z A y dA A yc ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
1 y1 2 y2 yc 1 2
500 5 500 10 25 20cm; 500 500
I z1 y1 I zy abA ;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
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b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32
y
13
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
Iy、Iz为形心主惯性矩
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
8
例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
z
y
dy
zz y
Iy
Iz
64
d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz （作业题）
9
四、惯性半径的定义
√iy =
Iy
A
√iz =
Iz
A
故 Iy = A iy 2 Iz = A iz 2
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1
形心位置：
n
yc
Sz =
∑Ai yci
= i=1
A
n
∑Ai
i=1
n
Sy
∑Ai zci
zc =
= i=1
A
n
∑Ai
i=1
4
15.5
例2 求图示截面的形心的位置。
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
zC 0
5
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=
∫
z2dA
A
Iz=
∫
y2dA
A
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义 Iyz= ∫ yzdA
A
惯性积可正、可负或为零
若y为对称轴，则 Iyz= 0
o
z
y z dA
y
y dA dA z zz y
6
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。
yC1 255mm yC2 140mm
c
50
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
z
50
C3
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
120mm
z
y
C
dA
a z
yc c
bz zc y yc
Iy= ∫ b2dA
A
Iyz= ∫ abdA
A
+ IyC
+ IyCzC
11
二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=
∫
z2dA
A
=∫ z2dA
A1
n
= ∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz = ∑ Izi
i=1
+… +∫ z2dA
An
n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
12
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下图形对z轴的惯性矩。
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy= ∫ zdA
A
Sz= ∫ ydA
A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
1
二、截面形心的位置
∫ ydA
yc = A A
Sz =
A
∫ zdA
zc = A A
Sy =
A
故
Sz = A yc
Sy = A zc
z
oz
z
yc
yc
注意平方问题
第十六次课结束处
10
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
Iz=
∫
y2dA
A
= ∫ (Aa+yC)2dA
= ∫ a2dA
A
+ 2a ∫ yCdA
A
+∫ yC2dA
A
∫ yCdA
A
对形心轴的面积矩=0
∫ yC2dA
A
对形心轴的惯性矩
故
Iz= ∫ a2dA
A
+ IzC
同理
O
yC
14
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
C
dA
y
形心轴：过平面图形形心的轴截 Nhomakorabea对形心轴的面积矩为零。
2
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：
ah
Sz
ydA
A
a
ybdy
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
三、组合截面的面积矩和形心位置的确定
面积矩：
n
Sy = ∑Ai zci
主惯性矩：
截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2
形心主轴：
过截面形心的主轴。
h/2
z'
形心主惯性矩：
截面对形心主轴的惯性矩。
z
h/2
y
7
例3 计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
解：
Iz y2dA
A
h/2 y2 bdy h / 2
bh3 12
同样地
hb3 I y 12
I yz 0
y、z为形心主轴