各种分布白噪声的产生
白噪声
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
各种分布白噪声的产生
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数 ➢2、联合法〔组合发生器〕 ➢ 混和同余法实际上是通过同余等运算打乱数列0，1，…， m-1的次序，来到达产生随机序列的目的。“打乱数列的次使之 排列无规那么〞是设计发生器的一个可依据的原那么，基于此产 生联合法： ➢(1) 两个发生器的组பைடு நூலகம் ➢ Greenwood在1976年对两个混合同余法发生器使用组合方 法，且两个发生器的模都简单地取成2k，使组合后的发生器周期 到达2k(2k-1)。 ➢(2) n个发生器的组合 ➢ Salfi于1974年提出了一个较好的算法。 ➢注20：21/8组/24合发生器并非先产哈尔生滨工一业大些学序电子列工程再系将它们组合起来，而是9
➢数学方法——伪随机数 ➢1、线性同余法(Linear Congruential Generators) ➢ 均匀分布U[0, 1]随机数的产生： ➢yi=a·yi-1+1 (mod 231) ➢式中乘子a取前面优选的15种数值中任一个，种子数y0 ≠ 0 任选。 ➢ 令ri=yi/231，那么R就是[0, 1]上的均匀分布随机数。
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非均匀分布白噪声的产生
➢理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为根底 ➢2、舍选抽样法 (rejection method) ➢该方法计算机实现过程如下： ➢
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非均匀分布白噪声的产生
➢理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为根底 ➢3、复合法 (composition method) ➢ 1961年马萨格里亚(Marsaglia)提出用复合法产生非均匀随 机数。此法相当于先将密度函数曲线下的面积分解为几个局部， 然后以各局部面积值表示的概率去产生相应各局部密度函数的随 机数，即 ➢F(x) = ∑ pi ∙ Fi(x) ➢4、变换法 ➢ 利用变换关系从一种分布的随机数产生另一种分布的随机 数，前述的反变换法是此法特例。 ➢ 设Y = g(X)，其反函数为X = g-1(Y) = h(Y)，那么所得随机 变量Y的概率密度函数为： ➢fY(y) = fX[h(y)] ∙ |h'(y)|
白噪声时间序列
白噪声时间序列
白噪声时间序列是指一种特殊类型的时间序列，其中每个时间点的值都是独立且具有恒定方差的随机变量。
这意味着每个时间点的值与其过去的或未来的值之间没有明显的相关性，因此无法通过过去的值来预测未来的值。
白噪声时间序列的特性使其在许多领域中都有应用，例如在信号处理、通信和金融领域中用于测试和评估系统的性能。
白噪声时间序列通常可以通过多种方法生成，其中包括从正态分布中抽取值来形成时间序列。
最广泛使用的白噪声是来自标准正态分布或者说高斯分布（即白噪声序列中的每一项都是从高斯分布中抽样而来），称为高斯白噪声。
白噪声时间序列的自相关函数图显示，当时间间隔为0时，自相关性为1，这是自然的，每个值自己跟自己的相关性是1。
对于其它的时间间隔（lag），相关性小到可以忽略不计。
这是因为，所有的值都来自（抽样自）相同的独立的正态分布。
独立的随机变量之间的相关性是0，也就是它们是不相关的。
白噪声中每个值与不同时间间隔的值之间是不相关的，而这也反映在自相关图上。
尽管白噪声时间序列是随机的，但是历史数据仍然可以用来估计正态分布的方差，从而得出一些关于时间序列下一时刻值的预测结论。
总的来说，在白噪声序列中，序列中每个点的值的方差就是白噪声值服从的正态分布的方差。
这种正态分布具有特定
均值和方差，不会随着时间改变。
因此，白噪声序列是具有恒定均值和方差的，由不相关的随机变量组成的序列。
白噪声
-0.0156 0.9219 0.5703 0.4531 -0.2500 -0.4844
0.1016 -0.3672 0.8047 -0.1328 0.2188 0.3359
-0.9531 -0.7188 0.6875 -0.8359
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820 0.4922 0.9609
0.7852 0.7266 0.3750 0.2578 0.5508 0.3164
0.9023 0.4336 0.6094 0.6680 0.0234 0.1406
0.8438 0.0820 0.4922 0.9609 0.7852 0.7266
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820
。
1编程如下：
A=6;x0=1;M=255;f=2; N=100；%初始化；
x0=1;M=255;
fork=1:N %乘同余法递推100次；
x2=A*x0;%分别用x2和x0表示xi+1和xi-1；
x1=mod (x2,M);%取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中；
白噪声
如果一个零均值、平稳随机过程的谱密度为常数，我们称之为白噪声（由白色光联想∞，τ=0
0，τ≠0
3 ，其中， 为Dirac函数，即 =
且
4 无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。
Columns 31 through 40
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
Columns 41 through 50
白噪声的定义式
白噪声的定义式白噪声是一个经典的信号处理问题，它在工程、物理、生物等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍白噪声的定义式，并探讨其在实际应用中的意义和应用。
1. 白噪声的定义白噪声是一种特殊的随机信号，其功率谱密度在所有频率范围内均匀分布，即具有平坦的功率谱密度。
这意味着在所有频率上，白噪声的功率都是相等的。
白噪声的名称源于其类似于白光的性质，即白光是由所有频率的光波组成的，而白噪声是由所有频率的信号组成的。
白噪声的数学定义式为：$$P(f)=K$$其中，$P(f)$ 是白噪声在频率 $f$ 处的功率谱密度，$K$ 是一个常数。
这个定义式表示白噪声在所有频率上具有相同的功率，即功率谱密度是常数 $K$。
在实际应用中，我们通常使用功率谱密度的对数形式来描述白噪声的特性。
因为在对数坐标下，平坦的功率谱密度将呈现为一条水平的直线。
因此，我们可以将白噪声的定义式改写为：$$log P(f)=log K$$这个等式表示在对数坐标下，白噪声的功率谱密度是一个常数。
2. 白噪声的特性白噪声具有以下特性：(1) 平稳性：白噪声是一种平稳随机过程，即其统计特性在时间上不变。
这意味着在任何时间点，白噪声的统计特性都是相同的。
(2) 独立性：白噪声的各个样本之间是相互独立的。
这意味着在任何时间点，白噪声的各个样本之间是不相关的。
(3) 均匀性：白噪声的功率谱密度在所有频率上均匀分布。
这意味着在所有频率上，白噪声的功率都是相等的。
(4) 白噪声是高斯分布的：白噪声的各个样本是服从高斯分布的。
3. 白噪声的应用白噪声在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：(1) 信号处理：白噪声在信号处理中有广泛的应用，例如在滤波、降噪、信号分析等方面。
(2) 通信系统：白噪声在通信系统中也有广泛的应用，例如在信道建模、信道估计、信号检测等方面。
(3) 物理学：白噪声在物理学中也有重要的应用，例如在热力学、量子力学、天文学等方面。
各种分布白噪声的产生
由于这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机性质。但是 只要产生伪随机数的递推公式选得较好，由此产生的随机数序列的独 立性是可以近似得到满足的。而且只要公式的参数选得适当，就可以 保证所得到的随机数循环周期有足够长。若所使用的随机数总数不超 过伪随机数序列的循环周期时，使用要求即可得到满足。理论定量分 析结果表明，为保证随机数学期望的最大容量（对应循环周期）、独 立性及均匀性，递推公式及其有关参数的正确选择是极为重要的。
➢ 物理方法——真随机数
所谓物理方法就是在电子计算机上装一台物理随机数发生器， 它是把具有随机性质的物理过程直接在机器上变换为随机数字。例 如：以放射性物质为随机源的放射型随机数发生器、以电子管或晶 体的固有噪声为随机源的随机数发生器。主要的物理方法有： 放射性物质、电子管或晶体管噪声、锁相环噪声源、量子模型、混 沌模型
➢数学方法——伪随机数
2、联合法（组合发生器）
混和同余法实际上是通过同余等运算打乱数列0，1，…，m-1的次 序，来达到产生随机序列的目的。“打乱数列的次使之排列无规则”是 设计发生器的一个可依据的原则，基于此产生联合法：
3、各种分布白噪声的产生
➢均匀分布白噪声的产生
1、物理方法 2、数学方法
线性同余法、联合法、反馈位移寄存器法
➢非均匀分布白噪声的产生
1、理论方法 反变换法、舍选抽样法、复合法、变换法、查表法
2、常用的连续分布及其产生 均匀分布、指数分布、 正态分布、 对数正态分布、威布尔分布、 瑞利分布 3、常用的离散分布及其产生
3、建立各种估计量
具有各种分布随机序列的模拟是计算机模拟及系统仿真的基础，广 泛地应用于雷达、通信、声呐、机械振动、核物理、自动控制、金融分 析、数值计算、贝叶斯统计等许多领域，例如雷达/声呐回波中的杂波和 噪声的模拟、机械振动噪声的模拟、随机测量误差的模拟等。
白噪声的生成
白噪声的研究与生成目录白噪声的研究与生成 (1)目录 (1)1. 白噪声的定义 (2)2. 统计特性 (2)3. 白噪声的生成 (3)3.1 高斯白噪声的生成 (3)3.1.1. WGN：产生高斯白噪声 (3)3.1.2. AWGN：在某一信号中加入高斯白噪声 (3)3.1.3.注释 (4)3.2 均匀分布的白噪声的产生 (5)4.白噪声的应用 (6)1.白噪声的定义白噪声是指功率密度在整个频域内均匀分布的噪声。
所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。
从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”（每高一个八度，频率就升高一倍。
因此高频率区的能量也显著增强）。
即，此信号在各个频段上的功率是一样的。
由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整信号视为白噪声，以方便进行数学分析。
2.统计特性术语白噪声也常用于表示在相关空间的自相关为0的空域噪声信号，于是信号在空间频率域内就是“白色”的，对于角频率域内的信号也是这样，例如夜空中向各个角度发散的信号。
右面的图片显示了计算机产生的一个有限长度的离散时间白噪声过程。
需要指出，相关性和概率分布是两个不相关的概念。
“白色”仅意味着信号是不相关的，白噪声的定义除了要求均值为零外并没有对信号应当服从哪种概率分布作出任何假设。
因此，如果某白噪声过程服从高斯分布，则它是“高斯白噪声”。
类似的，还有泊松白噪声、柯西白噪声等。
人们经常将高斯白噪声与白噪声相混同，这是不正确的认识。
根据中心极限定理，高斯白噪声是许多现实世界过程的一个很好的近似，并且能够生成数学上可以跟踪的模型，这些模型用得如此频繁以至于加性高斯白噪声成了一个标准的缩写词：AWGN。
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数
1、线性同余法(Linear Congruential Generators)
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数
1、线性同余法(Linear Congruential Generators) 均匀分布U[0, 1]随机数的产生： yi=a·yi-1+1 (mod 231)
FSR法的优点在于算法简单，所产生随机数与具体的计算机及其字 长无关。
应用实例：雷达相位编码信号的产生（伪随机码）
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register）
n级线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列，其最大可能周 期是N=2n-1，这样的序列称为最大长度序列或M序列，其中1元素比0 元素的个数多1，即0、1的个数分为(N-1)/2、(N+1)/2。
丁石孙，线性移位寄存器序列，上海科学技术出版社，1982
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非均匀分布白噪声的产生
➢理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
1、反变换法 (inversion method) 由已知的分布函数r = F(x)反过来求x。用反变换法产生随机数时，
特点：可以在计算机上得到真正的随机数，但是它带来了新的问题。 由于这种随机过程是一去不复返的，不能重复出现，因此就无法再 用原来的随机数进行试算、检查或对比分析，并且对设备要求较高， 从而大大降低了这类方法的使用价值。
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数
3、各种分布白噪声的产生
➢均匀分布白噪声的产生
1、物理方法 2、数学方法
线性同余法、联合法、反馈位移寄存器法
➢非均匀分布白噪声的产生
1、理论方法 反变换法、舍选抽样法、复合法、变换法、查表法
2、常用的连续分布及其产生 均匀分布、指数分布、 正态分布、 对数正态分布、威布尔分布、 瑞利分布 3、常用的离散分布及其产生
伯努利分布、离散均匀分布、几何分布、泊松分布
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主要参考图书
1. 方再根，计算机模拟和蒙特卡洛方法，北京工业学院出版社，
1988.6 2. Wolfgang Hormann et al, Automatic Nonuniform Random
Variate Generation, Springer, 2004 3. J.E. Gentle, Random Number Generation and Monte Carlo
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数
1、线性同余法 (Linear Congruential Generators)
xi ai x1c(mm o)d
式中 x i 、a、c均为正整数，初值 x 0（亦称种子数） ，a为乘子
c 0 时为乘同余法，c 0时为混合同余法
如果F-1(x)没有解析形式，或者F(x)就没有解析形式，则可以用F-1(x)的 近似公式代替。
以[0, 1]均匀分布随机数r为基础，所有分布随机数都可通过计算或 近似计算其分布函数的反函数，用反变换法或查表法等方法产生。
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非均匀分布白噪声的产生
➢理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
1962年Hull和Dobell给出了混合同余法达到最大周期T=m的充要条件： (ⅰ) c与m互素； (ⅱ) 对m的任意素因子p中，有a≡1 (mod p) (ⅲ)若4是m的因子，则a≡1 (mod 4)
一般采用m=2k混合同余法，则由以上条件可得最大周期发生器为：
xi(4a 1 )xi 1(2 b 1 )(m2ko ) d
式中乘子a取前面优选的15种数值中任一个，种子数y0 ≠ 0 任选。 令ri=yi/231，则R就是[0, 1]上的均匀分布随机数。
BASIC、C、MATLAB中均有产生均匀分布随机数的函数可调用： RND()、RAND()、UNIFRND()
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均匀分布白噪声的产生
2、舍选抽样法 (rejection method) 1951年，冯•诺依曼(Von Neuman)提出用舍选抽样法产生随机数。
但有时此法效率很低，为提高抽样效率，在此基础上产生了推广的舍选 抽样法。该方法直观图示如下：
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非均匀分布白噪声的产生
➢理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
➢数学方法——伪随机数
2、联合法（组合发生器）
混和同余法实际上是通过同余等运算打乱数列0，1，…，m-1的次 序，来达到产生随机序列的目的。“打乱数列的次使之排列无规则”是 设计发生器的一个可依据的原则，基于此产生联合法：
(1) 两个发生器的组合 Greenwood在1976年对两个混合同余法发生器使用组合方法，且两
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均匀分布白噪声的产生
➢数学方法——伪随机数
3、反馈位移寄存器法（FSR：Feedback Shift Register） 实验表明用同余发生器得到的随机数构造的随机向量序列经常有明
显的规律性。1965年Tausworthe提出用模2线性循环产生均匀随机数 的方法。Toothill，Robinson和Adams于1971年给出了FSR发生器的 另一种描述方法，适用于编制程序。
x1
x2
x n1
xn
f(x1,x2,,xn)
n级线性移位寄存器的反馈函数、特征函数可定义为：
n
f(x1,x2,,xn) cixi
n
f () cii
i1
i1
式中ci=0或1，反馈函数或特征函数完全刻划了对应的线性移位寄存器的反馈功能。
理论上，为了产生M序列，设计线性移位寄存器的问题在原则上可归结 为找本原多项式的问题。目前对于n<=168的本原多项式已有表可查。
Methods, 2nd Ed, Springer, 2003 4. A.M. Law, Simulation Modelling and Analysis, 3rd Ed, McGraw-
Hill, 2000 5. Tezuka, Shu, Uniform random numbers theory and practice,
➢ 物理方法——真随机数
所谓物理方法就是在电子计算机上装一台物理随机数发生器， 它是把具有随机性质的物理过程直接在机器上变换为随机数字。例 如：以放射性物质为随机源的放射型随机数发生器、以电子管或晶 体的固有噪声为随机源的随机数发生器。主要的物理方法有： 放射性物质、电子管或晶体管噪声、锁相环噪声源、量子模型、混 沌模型
5、查表法 将连续概率分布以离散分布逼近，则查表法可用来产生连续随机
数。此法优点是计算速度很快，缺点是连续分布函数离散化引入误差。
F(x )
1
0.5
x
f(x )
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x
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非均匀分布白噪声的产生
➢常用的连续分布及其产生——假设随机数r ~ U[0, 1]已产生
1、均匀分布U[a, b] — Uniform Distribution
在计算机上用数学方法产生随机数，是目前使用较广，发展较快 的一种方法。它利用数学递推公式来产生随机数，通常把这样得到的 随机数称为伪随机数。
由于这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机性质。但是 只要产生伪随机数的递推公式选得较好，由此产生的随机数序列的独 立性是可以近似得到满足的。而且只要公式的参数选得适当，就可以 保证所得到的随机数循环周期有足够长。若所使用的随机数总数不超 过伪随机数序列的循环周期时，使用要求即可得到满足。理论定量分 析结果表明，为保证随机数学期望的最大容量（对应循环周期）、独 立性及均匀性，递推公式及其有关参数的正确选择是极为重要的。
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非均匀分布白噪声的产生
➢常用的连续分布及其产生——假设随机数r ~ U[0, 1]已产生
2、指数分布E(β) – Exponential Distribution
扩展：双指数分布、超指数分布、截尾指数分布
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非均匀分布白噪声的产生
Kluwer Academic Publishers, 1995 6. Dagpunar, John., Principles of random variate generation,
Oxford : Clarendon Pr., 1988 7. Devroye, Luc., Non-uniform random variate generation, New
2、舍选抽样法 (rejection method) 该方法计算机实现过程如下：
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非均匀分布白噪声的产生
➢理论方法——以均匀分布随机数r ~ U[0, 1]为基础
3、复合法 (composition method) 1961年马萨格里亚(Marsaglia)提出用复合法产生非均匀随机数。此