统考版2022届高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书教案北师大版

等比数列及其前n 项和[考试要求]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a＝b G，G 2＝ab ，G ＝±ab ，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－qq ≠1.[常用结论]等比数列的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍然是等比数列．(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，q ＝－1且n 为偶数时除外．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、教材习题衍生1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4C [∵a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4. 又∵a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4.]2．在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为( )A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32D [由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.∴a 2＝a 3q ＝32或－3.故选D.]3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴21－2n 1－2＝126，解得n ＝6.]4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB ＝210 MB)．39 [由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }， 且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ， 则2n ＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒)．]考点一 等比数列基本量的运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意分q ＝1和q ≠1两类分别讨论．1．(2020·成都模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5A [∵S 2＝3，S 4＝15，∴q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 21－q＝3， ①a 11－q 41－q＝15， ②②①得q 2＝4，又q ＞0，∴q ＝2.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( ) A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1B [法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12，a 6－a 4＝a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝a 11－q n1－q＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 41－q 2a 31－q 2＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S n a n＝a 11－q n1－qa 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.] 3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188， 此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.点评：抓住基本量a 1，q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，在套用等比数列求和公式解题时，务必注意讨论公比q 是否为1.考点二 等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法[典例1] (2020·南昌模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋12b n,2b n＋1＝12a n ＋b n . (1)证明：数列{a n ＋b n }，{a n －b n }为等比数列； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＜103.[证明] (1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2a n ＋1＝a n ＋12b n ，2bn ＋1＝12a n ＋b n ，两式相加，得a n ＋1＋b n ＋1＝34(a n ＋b n )．又∵a 1＋b 1＝32≠0，∴{a n ＋b n }是首项为32，公比为34的等比数列，两式相减，得a n ＋1－b n ＋1＝14(a n －b n )．又∵a 1－b 1＝12≠0，∴{a n －b n }是首项为12，公比为14的等比数列．(2)由(1)得，a n ＋b n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，①a n －b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，②①＋②得，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ，故S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n 4n 1－34＝103－13×4n －3n ＋14n ＜103.点评：本例以数列的递推关系为载体，在考查等比数列判定方式的同时考查方程思想，学会从结论入手寻找解题思路是该问题的一个思维亮点．[跟进训练]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ，若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21. (2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1， ∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.考点三 等比数列性质的应用应用等比数列性质的两个关注点[典例2] (1)已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 (2)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B ．73C ．310D ．1或2(3)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(1)D (2)B (3)2 [(1)法一：(基本量法)设数列{a n }的公比为q ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：(性质法)由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)设S 2＝k ，S 4＝3k ，∵数列{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.]点评：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项a n 或和S n 的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．[跟进训练]1．已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A ．83B ．1C ．2 D．3 C [由已知得数列{a n }的公比满足q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，∴a 1＝2，a 3＝12，故数列{a n a n ＋1}是以2为首项，公比为a 2a 3a 1a 2＝14的等比数列， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，83，故选C.] 2．等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 2a 8＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 9＝________.9 [由题意可得a 2a 8＝a 25＝4，a 5＞0，所以a 5＝2，则原式＝log 2(a 1a 2…a 9)＝9log 2a 5＝9.]数学文化1 数列与数学文化纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养.等差数列中的数学文化[典型案例1] (2020·葫芦岛一模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列．”则下列说法正确的是( )A ．该金锤中间一尺重3.5斤B ．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C ．该金锤的重量为15斤D ．该金锤相邻两尺的重量之差的为1.5斤C [设该等差数列为{a n }，公差为d ，a 5＝2，a 1＝4，则4＋4d ＝2，解得d ＝－12. ∴a n ＝4－12(n －1)＝9－n 2. ∴a 3＝3，S 5＝5×2＋42＝15， ∴a 2＋a 3＋a 4＝72＋3＋52＝9，a 5＋a 1＝6，故选C.] [评析] 以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n 项和等．[跟进训练](2020·湖南六校联考)“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( )A ．3.4升B ．2.4升C ．2.3升D ．3.6升A [设从下至上各节容积分别为a 1，a 2，…，a 9为等差数列，公差d ，则由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6.6，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝4.4，故⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6.6，4a 1＋26d ＝4.4，解得，d ＝－0.2，a 1＝2.4， 所以中间节a 4＋a 5＝1.8＋1.6＝3.4.故选A.]等比数列中的数学文化[典型案例2] (2020·荆州一模)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为( )B [根据题意，设这个等比数列为{a n }，设其公比为q ，又由a 1＝1，a 13＝2，则q 12＝a 13a 1＝2，插入的第四个数应a 5＝a 1q 4＝q 4＝2，故选B.][评析] 以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n 项和等．[跟进训练](2020·湖北模拟)某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )A ．3 233万元B ．4 706万元 C ．4 709万元 D ．4 808万元 C [设每个实验室的装修费用为x 万元，设备费为a n 万元，n ＝1,2,3， (10)则⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 2＝a 1q 4－a 1q ＝42，a 7－a 4＝a 1q 6－a 1q 3＝168， 解得a 1＝3，q ＝2，∴a 10＝3×29＝1 536，依题意：x ＋1 536＜1 700，解得x ＜164.∴该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要：10x ＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝10x ＋31－2101－2＝10x ＋3 069≤4 709.故选C.]递推数列中的数学文化[典型案例3] 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为 ( )A ．7B ．10C ．16D ．22 C [数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，所以a 2＝1，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝16.故选C.][评析] 以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，求a 5的问题． [跟进训练](2020·邯郸二模)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n ＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641*6700417，不是质数．现设a n =log 4(F n -1)(n =1,2,…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n =63a n ，则n = ( )A ．5B ．6C ．7D ．8 B [因为F n ＝22n ＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝log 4(22n ＋1－1)＝log 422n ＝2n －1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝11－2n1－2＝2n －1. 所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6，故选B.]周期数列中的数学文化[典型案例4] 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 021项的和为( )A ．672B ．673C ．1 348D ．2 021C [由于{a n }是数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，故{a n }为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1，…所以{a n }是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2 021＝673×3＋2，所以数列{a n }的前2 021项的和为673×2＋1＋1＝1 348.故选C.][评析] 以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果．[跟进训练](2020·全国卷Ⅱ)0­1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈{0,1}(i ＝1,2，…)，且存在正整数m ，使得a i ＋m ＝a i (i ＝1,2，…)成立，则称其为0­1周期序列，并称满足a i ＋m ＝a i (i ＝1,2，…)的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0­1序列a 1a 2…a n …，C (k )＝1m ∑mi ＝1a i a i ＋k (k ＝1,2，…，m －1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0­1序列中，满足C (k )≤15(k ＝1,2,3,4)的序列是( ) A ．11010…B ．11011…C ．10001…D ．11001…C [对于A ，因为C (1)＝1×1＋1×0＋0×1＋1×0＋0×15＝15，C (2)＝1×0＋1×1＋0×0＋1×1＋0×15＝25，不满足C (k )≤15，故A 不正确；对于B ，因为C (1)＝1×1＋1×0＋0×1＋1×1＋1×15＝35，不满足C (k )≤15，故B 不正确；对于C ，因为C (1)＝1×0＋0×0＋0×0＋0×1＋1×15＝15，C (2)＝1×0＋0×0＋0×1＋0×1＋1×05＝0，C (3)＝1×0＋0×1＋0×1＋0×0＋1×05＝0，C (4)＝1×1＋0×1＋0×0＋0×0＋1×05＝15，满足C (k )≤15，故C 正确；对于D ，因为C (1)＝1×1＋1×0＋0×0＋0×1＋1×15＝25，不满足C (k )≤15，故D 不正确．综上所述，故选C.]。