等比数列前n项和导学案

等比数列前n项和导
学案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§３.２等比数列前n 项和导学案
【学习要求】
1．掌握等比数列前n 项公式；（重点）
2．等比数列前n 项公式的推导方法；（难点）
2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．（拓展）
【知识要点】
1．等比数列前n 项和公式：
（1）公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＝ q ≠1 q ＝1.
（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．
2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝
a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝ .
3．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为
( ) A ．1－x n
1－x B ．1－x n －1
1－x C ．⎩⎨⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1n ，x ＝1 D ．⎩⎨⎧
1－x n －11－x ，x ≠1n ，x ＝1 【问题探究】
国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定一千粒麦的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢(将超过7 000亿吨)这实际上是求数列1,2,4，…，263的和．据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求．
这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢怎样的等比数列才能应用这个公式呢这一节我们就来学习等比数列的求和公式．
探究点一 等比数列前n 项和公式的推导
探究1 阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．
设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，由等比数列的通项公式可将S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1. ①
则qS n ＝ ② .
由①－②得：(1－q )S n ＝ .
当q ≠1时，S n ＝ .
当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝ .
综上所述，S n ＝⎩⎨⎧ ，q ＝1 ， q ≠1
当q ≠1时，因为a n ＝a 1q n －1.
所以S n 可以用a 1，q ，a n 表示为S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1
，q ≠1
探究2 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整．
方法一 由等比数列的定义知：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3
＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得：
a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即 ＝q . 故S n ＝ ＝a 11－q n
1－q .
当q ＝1时，易知S n ＝ .
方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得：
S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q · ＝a 1＋q ·
从而得(1－q )·S n ＝ .
当q ≠1时，S n ＝ ；
当q ＝1时，S n ＝na 1.
探究点二 错位相减法求和
问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }
与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n 2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．
设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，∴12S n ＝ ，
∴S n －12S n ＝ ，
即12S n ＝ ＝ .
∴S n ＝ ＝ .
【典型例题】
例1 在等比数列{a n }中，a 1＋a ３＝10，a 4 + a 6＝５４
，求a 4和S 5.
例2 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .
小结 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．
跟踪训练1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .
例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．
小结一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n b n}的前n 项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·a n－1的前n项和
【当堂检测】
1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则S n等于()
A．
(1)1
2
n
n
B．
1
(1)1
2
n
C．
(1)1
2
n D．
(1)1
2
n
2．等比数列{a n}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是()
A．179 B．211 C．243
D．275
3．在等比数列{a n}中，已知a3＝3
2，S3＝
9
2，则a1＝______.
4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n＝_____________
【课堂小结】
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．。