等比数列及其前n项和学案

6.3等比数列及其前n 项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查基础知识1、等比数列的判定：（1）定义法：*1()n na q q n N a +=∈为非零常数，（2）等比中项法：2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且（3）通项公式法：*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数，（4）1()1n n a S kq k k q=-=≠≠-是常数且q 0且q 1 （5）若{},{}n n a b 均为等比数列，nS 为{}n a 的前n 项和，则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n nka k a ma b a a ≠；；；公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---，相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比；由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比2、等比数列的性质（1）通项公式：①11n n a a q -=②n m nma q a -= （2）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a =（4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成,,aa aq q ，若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q，方便计算 注意事项1.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q(q ≠1)．2.(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．3.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 题型一 等比数列基本量的计算【例1】设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求a 2的值；(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1<a n (n ∈N *)，试求S n 的表达式． 解：(1)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2.∴a 2＝2.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q . 又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝12，q 2＝2(舍去，a n ＋1<a n (n ∈N *))．∵q ＝12，∴a 1＝4.故数列{a n }的前n 项和S n ＝8－23－n (n ∈N *)．【变式1】 等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值． 解 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329， 又a 1＋a 6＝11，故a 1，a 6看作方程x 2－11x ＋329＝0的两根， 又q ∈(0,1)∴a 1＝323，a 6＝13， ∴q 5＝a 6a 1＝132，∴q ＝12，∴a n ＝323·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －6. (2)由(1)知S n ＝643⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝21，解得n ＝6.题型二 等比数列的判定或证明【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． (1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．【变式2】设d 为非零实数，a n ＝1n [C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋n C n n d n](n ∈N *)．(1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d (1＋d )，a 3＝d (1＋d )2. 当n ≥2，k ≥1时，k n C k n ＝C k －1n －1，因此a n ＝∑nk ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d (d ＋1)n －1. 由此可见，当d ≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列； 当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }不是等比数列． (2)由(1)可知，a n ＝d (d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n (d ＋1)n －1]．① 当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d ≠－1时，①式两边同乘d ＋1得(d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n (d ＋1)n ]．②①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n (d ＋1)n ] ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(d ＋1)n－1d－n (d ＋1)n .化简即得S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1. 综上，S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.题型三 等比数列的性质及应用【例3】已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 从而a 1d ＝d 2， 因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a . 故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n， 因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n )＝1a ·12[1－(12)n ]1－12＝1a [1－(12)n]． 从而，当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.【变式3】在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12. 答案 －2 2n －1－12 重难点突破【例4】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列． [解析] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，由(7－d )(18＋d )＝100，解得 d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为 b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．巩固提高1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则a 5＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：A解析：∵a 2a 12＝16，∴a 27＝16，∴a 7＝4＝a 5×22，∴a 5＝1.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12 B. －12 C. 1 D. －1或12答案：A解析：设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0. ∴q ＝1或q ＝－12.3.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( )A. 33B. 72C. 84D. 189 答案：C解析：由题意可知该等比数列的公比q ≠1，故可由S 3＝3×(1－q 3)1－q ＝21，得q 3－7q ＋6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．所以a 3＋a 4＋a 5＝3×(22＋23＋24)＝84，故选C.4.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A. 64B. 32C. 16D. 8 答案：B解析：∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.∵a 1＝1.∴a 1，a 3，a 5，a 7，a 9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a 9＝16.又a 10·a 9＝29，∴a 10＝25＝32.5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A. 334 B. 314 C. 172 D. 152答案：B解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q >0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q －2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝4(1－125)1－12＝314，选B.。