2_4_谓词逻辑中的基本等价和蕴含关系[14页]

[量词否定定律]全称量词和存在量词可利用┐联结词进行转换： ┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)，┐∃xA(x)⇔∀x┐A(x)。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@sபைடு நூலகம்
在有限论域上的证明： 若论域D ={a1,a2,⋯,an}，有： ┐∀x(A(x))⇔┐(A(a1)⋀A(a2)⋀⋯⋀A(an))
2.4.1 基本等价与蕴含关系
2.4.1 基本等价与蕴含关系
1. 命题逻辑的推广 一般地，得到谓词公式的等价关系和蕴含关系可以借助命题公式做形式上的
推导： ∀x(P(x)→Q(x))⇔∀x(┐P(x)⋁Q(x))。
P(x)和Q(x)有命题形式，是一种纯形式上的等价变换或置换。 ∀xP(x)→∃xQ(x)⇔┐∀xP(x)⋁∃xQ(x)。
会产生变化。B并非一定是命题常量，只要与x无关即可，如B(y)。
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2.4.1 基本等价与蕴含关系
因为存在上述等价关系，容易说明下述两种极限定义的表示方法等价： ∀ε(ε>0→∃δ(δ>0⋀∀x(0<|x-a|<δ→|f(x)-b|<ε)))。 ∀ε∃δ∀x(ε>0→(δ>0⋀(0<|x-a|<δ→|f(x)-b|<ε)))。
双条件式↔可以参照条件式来考虑。 试一试：在不能完全肯定含有复杂联接词的等价关系时，可先将其先转换为⋀ 、⋁表示的公式后再试。
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2.4.1 基本等价与蕴含关系
4. 量词分配律 全称量词意为合取，存在量词意为析取。故有：
∀x(A(x)⋀B(x))⇔∀xA(x)⋀∀xB(x)， ∃x(A(x)⋁B(x))⇔∃xA(x)⋁∃xB(x)。 [例]“所有人唱歌且跳舞”等同于“所有人唱歌且所有人跳舞”，“有人唱歌或跳舞” 等同于“有人唱歌或有人跳舞”。
┐∃x(M(x)⋀┐E(x))⇔∀x(M(x)→E(x))⇔∀x┐(M(x)⋀┐E(x))。
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3. 量词作用域的扩张与收缩 若B是不包含x的命题或谓词公式，则： ∀x(A(x) ⋁B)⇔∀xA(x)⋁B，∀x(A(x)⋀B)⇔∀xA(x)⋀B。 ∃x(A(x) ⋁B)⇔∃xA(x)⋁B，∃x(A(x)⋀B)⇔∃xA(x)⋀B。 量词作用域扩张就是增大，作用域收缩就是缩小。因为⋀、⋁满足交换律，B
⇔┐A(a1)⋁┐A(a2)⋁⋯⋁┐A(an) ⇔∃x┐A(x)。 ┐∃x(A(x))⇔┐(A(a1)⋁A(a2)⋁⋯⋁A(an)) ⇔┐A(a1)⋀┐A(a2)⋀⋯⋀┐A(an) ⇔∀x┐A(x)。
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2.4.1 基本等价与蕴含关系
2.4.1 基本等价与蕴含关系
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2.4.1 基本等价与蕴含关系
5. 量词与联结词结合的蕴含式
对量词∀x和∃x有如下2个最基本的蕴含关系：
∀xA(x)⋁∀xB(x)⇒∀x(A(x)⋁B(x))， ∃x(A(x)⋀B(x))⇒∃xA(x)⋀∃xB(x)。
二者可相互推出!
2.4 谓词逻辑中的基本等价和蕴含关系
[定义] 若两个谓词公式A和B有相同的论域，且在任何解释下A与B有相同的 真值，则称谓词公式A与B等价，记作A⇔B或A≡B。
[定义] 若两个谓词公式A和B有相同的论域，且在任何解释下A→B为1，则称 谓词公式A蕴含B，记作A⇒B。
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∀xP(x)和∃xQ(x)是命题，可依据命题逻辑理论进行等价变换。
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2.4.1 基本等价与蕴含关系
2. 量词的转换 如果否定命题∀x(x>0)会得到什么呢？∃x(x≯0)，即∃x(x≤0)，否定所有数都
是正数等同于至少存在一个非正数。 否定∃x(x>0)如何？得到∀x(x≤0)，即不存在一个正数等同于都是非正数。
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2.4.1 基本等价与蕴含关系
6*. 多量词的等价与蕴含关系 含有2个及以上的量词时称为“嵌套量词”。2个量词共有以下8种组合：
(a) ∀x∀yA(x, y)、∀y∀xA(x, y)；(b) ∃x∃yA(x, y)、∃y∃xA(x, y)； (c) ∀x∃yA(x, y)、∃y∀xA(x, y)；(d) ∀y∃xA(x, y)、∃x∀yA(x, y)。 (a)、(b)两组中的公式等价，但(c)和(d)组中的公式不等价。 [例] 设论域D ={0,1}，考虑命题∀x∃y(x+y=0)和∃y∀x(x+y=0)，对应的自然语言 描述为：
在A(x)的前、后均可。
量词后使用其它联结词如→、↔时可能不存在这样的等价关系。 ∀x(A(x)→B)⇔∀x(┐A(x)⋁B)⇔∀x┐A(x)⋁B⇔┐∃xA(x)⋁B⇔∃xA(x)→B。
∀x(B→A(x))⇔∀x(┐B⋁A(x))⇔ ┐B⋁∀xA(x) ⇔B→∀xA(x)。 只有在条件式的前件不含有受约束变元时，才能直接扩张或收缩，否则量词
[例]共10个人参加一个联欢会。“10个人都唱歌或10个人都跳舞”必可推出“10个
人都唱歌或跳舞”。“10个人中5个唱歌、5个跳舞”不能推出“10个人都唱歌或10
个人都跳舞”。“有学生通过了数学考试和外语考试”能推出“有学生通过了数学
考试且有的学生通过了外语考试”，反之不能。
[逻辑分析] 若∀xA(x)⋁∀xB(x)为1，则∀xA(x)为1或∀xB(x)为1。不妨设∀xA(x)为1 ，则对论域中所有x，有A(x)为1，故A(x)⋁B(x)为1。因此，∀x(A(x)⋁B(x))为1， 蕴含关系成立。
注意：这种等价性不受论域的影响。 [例] 命题“不是所有学生都通过了考试”等同于“有的学生没通过考试”，即二者 逻辑等价。若记S(x)：x是学生，P(x)：x通过了考试，则可符号化为：
┐∀x(S(x)→P(x))⇔∃x(S(x)⋀┐P(x))⇔∃x┐(S(x)→P(x))。 命题“没有不犯错误的人”等价于“所有人都犯错误”。若记M(x)：x是人，E(x) ：x犯错误，则可符号化为：