衍射光栅

四．干涉与衍射的区别和联系
干涉是光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是 离散的、不连续的、可数的。
衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。 无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。 干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；在衍射时，光的能 量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于集合成象的情况。
有 L2 = L1 + δ , L3 = L1 + 2δ ，Ln = L1 + (n −1)δ ，δ = d sinθ 为相邻两狭缝中心发出的
光到达P点的光程差。 在第j个狭缝中，位置在xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为
∆rj = −x j sinθ ，即 rj = L j − x j sinθ ，上述积分化为
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崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅
通常采用图示的两种方式入射（照明）。
第一种方式，在反射光方向上，干涉的光程差为 δ = 2d sinθ B ，相应的光栅级数为
2d sinθ B = jλ ，j=1 时，衍射最强的波长为 λ1B = 2d sinθ B ，一级闪耀波长。
其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度，所以，其它 波长的一级谱线也有足够的强度。
u
λ
个狭缝只有一个次波波源。
三． 衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
主极大由 N（θ）决定
N（θ）的极大值，β=jπ，N（θ）=N，sinθ=jλ/d，j=0, ±1，±2，±3，……
I
=
I0N
2 (sin u )2 u
4
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2．有一系列的亮条纹，j：谱线级数。 谱线位置与 N 无关，由 d，j，λ决定。 谱线位置与衍射因子无关。
−a / 2
j
= [KF U~0 (0) a sin u ][ N eikLj ]
r0
u
j =1
可见前面[]内为单缝衍射的结果，对各个狭缝都是一样的；后面[]内为多缝之间干涉的
结果。最后在 P 点的振动是两者乘积。
∑ U~(P) = [KF U~0 (0)eikL1 a sin u ][ N e ] ik( j−1)d sinθ
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅
第五章 衍射光栅
§ 5.1 多缝夫琅和费衍射（光栅衍射）
衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 可以具有反射或透射结构 可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。 对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。
一． 衍射强度分布
1、 用矢量法分析 每一个衍射单元的复振幅用一个矢量表示。 不同单元间具有位相差Δφ。 所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。
3．谱线强度与N2成正比，受衍射因子调制。 4．极小值位置
衍射因子 U（θ）=0，sinu=0，u≠0 asinθ=nλ，n=±1，±2，±3，…… 干涉因子 N（θ）=0，sinNβ=0，sinβ≠0 dsinθ=kλ/N，dsinθ≠jλ，即 k≠jλ dsinθ=0，1(λ/N)，2(λ/N)……(N-1)(λ/N)，N(λ/N)，(N+1)(λ/N)，(N+2)(λ/N)，…… 2N(λ/N)，……j(λ/N)，……两住极大值之间有N-1 个最小值，N-2 个次极大。 5．谱线的缺级 当干涉的最大值与衍射的极小值重合是，出现缺级 干涉极大位置 sinθ=jλ/d，衍射极小位置 sinθ=nλ/a，所以有 j/d= n/b，j=na/d。上述 谱线级数缺。
二． 双缝衍射，N=2
I (P)
=
4I0
cos 2
β
sin 2 u2
u
，而杨氏干涉为
I
=
I 0[1 +
cos( 2πd λ
sinθ )]
=
I 0 (1 +
cos 2β )
=
4I0
cos 2
β
相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为 sin u = 1，u=0，πa sinθ = 0, a << λ 。每一
(θ
)eiϕ (θ
)
N
(θ
)
，
I
(P)
=
I0
( sin u
u
)2
(sin Nβ sin β
)2
3
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(sinu/u)2
(sinNβ /sinβ ) 2
u=π bsinθ /λ
U(θ ) 2N(θ ) 2
β =π dsinθ /λ
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
π bsinθ /λ
定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。
6
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dθ / dλ = j / d cosθ 。
（1） j = 0, dθ / dλ = 0 ，零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线都集中于同
一位置。原因是由于零级谱的干涉的光程差等于零。
（2）θ 很小时， dθ / dλ = j / d ，对于固定的 j，为常数。
δ 0 = d sin(θ0′ + θ B )
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九、正弦光栅
与黑白型光栅不同，正弦光栅的透过率可以用正弦或余弦函数表示，其透过率为
t ∝ 1 + cos 2π x ，其中 d 为光栅的空间周期。则其瞳函数 d
U~0 (x)
= U 0[1 + cos
2π d
x] ，单元衍射因子为
反射式光栅
d (sinθ ± sinθ0 ) = jλ ，同侧取“+”，异侧取“-”。
六．谱线的角宽度和光栅的色分辨本领
1．谱线的角宽度
sinθ j
=
j φλ d
，相邻的最小值出现在 sinθ ′j
=(j+
1)λ Nd
，θ ′j
=θ j
+ ∆θ j
有 sinθ ′j
− sinθ j
= cosθ j ∆θ j
d
=
1 2 i( 2π
1
i( 2π −k sinθ ) d
[e d
2
− k sinθ )
−i( 2π −k sinθ ) d
−e d
2]=
1 2
2i sin[(π − k d sinθ )] 2
i( 2π − k sinθ )
dΣ
=
KFU~0
(0)
1 r0
Σ
eikr dΣ
仅对衍射屏透光部分求积分，即不透光部分的瞳函数为零。有
∑ ∫ U~(P)
=
KFU~0
(0)
1 r0
N
[
j =1
e
Σj
ikr
dΣ
j
]
对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在 P 点引起的振动，即复振幅， 为光的衍射；对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在 P 点引起的振动即复振幅进行
e ikr0 r0
[sin β β
+
1 2
sin(β − π ) β −π
+
1 2
sin(β + π )] β +π
∫ ∫ （∵
d /2
1
i(
e
2π d
−k
sin θ
)
x
dx
2 −d / 2
=
1 2
i( 2π
1 − k sinθ )
d/2
e
i
(
2π d
−k
sin θ
)
x
d
[i
(
2π
−d / 2
d
Hale Waihona Puke − k sinθ )x]=
λ Nd
， ∆θ j
λ Nd cosθ j
=
λ L cosθ j
L=Nd：光栅的宽度。
2．光栅的分辨本领
波长差为δλ 的同级衍射光谱线的角距离δθ 。
d sinθ = jλ ， d cosθδθ = jδλ ，δθ = j δλ 。 d cosθ
用
Rayleigh
判据， ∆θ
= δθ 时，可分辨，有
上式进一步化为
r0
u
j =1
∑ =
U~0
[
sin u
u
][
N j =1
e ik
(
j −1) d
sin θ
]
U (θ )
=
sin u u
=
sin( π a sin θ ) λ
π a sin θ
，为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。
λ
∑ N~(θ ) =
N
eik ( j−1)d sinθ
j =1
2iN πd sinθ
角色散率与 N 无关。
线色散率 fdθ / dλ = dl / dλ ，谱线在焦平面上的距离。
2．自由光谱范围（色散范围）
波长范围为 λm ~ λM = λm + ∆λ ， ∆λ < λm / j 即 λM − λm < λm / j 。光栅方程要求
λM
< d 。于一级光谱有 λm
>
1 2
λM
，所以一级光谱的自由光谱范围为 (λm ,2λm ) ，即其中
2λm < d 。
八．闪耀光栅
平面式光栅在衍射零级的色散为零。但该级却集中了绝大部分衍射能量。 必须注意到，能量集中是衍射的结果，即大部分能量都集中在几何象点上。而色散是干 涉的结果，来自不同狭缝的光具有不同的光程。对于平面光栅，单元衍射零级的位置与缝间 干涉的零级的位置恰好是重合的。如果让干涉零级与衍射的零级在空间上分开，则可以使衍 射的绝大部分能量集中在一个有色散的衍射级上。即让光的几何象点偏离光栅平面的法线即 可。闪耀光栅具有这种能力。