二次函数与一元二次方程
例3 设二次函数 y = − x + (m − 2) x + 3(m + 1) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
2
练习1.已知抛物线 练习 已知抛物线Y=X2—（m—3）X+m 已知抛物线 （ ） 取何值时， （1）求证：无论 取何值时，抛物线都与 ）求证：无论M取何值时 抛物线都与X 轴有两个交点。 轴有两个交点。 为何值时， （2）M为何值时，抛物线都与 轴有两个交 ） 为何值时 抛物线都与X轴有两个交 点间的距离等于3。 点间的距离等于 。
二次函数与一元 二次方程
的图象： 观察二次函数 y = x − 2 x − 3 的图象： 的根吗？ 你能确定一元二次方程 x 2 − 2 x − 3 = 0的根吗？
2
y
4
3 2
N
1
M
-3 -2 -1 0
1 2 -1 -2 -3
3 x
观察下列图象，分别说出一元二次方程 x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
练习2：如图，抛物线 y = ax + bx + c 和X轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴 相交于点C ∠ABC= ∠ACO 求证：a与c互为倒数
2
y
A o C
B x
y = x2 − 6 x + 9 y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
y = x2 − 2x + 3
y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
的根的情况， 根据一元二次方程 x 2 − 4 = 0 的根的情况， 图象与x 判断二次函数 y = x − 4 图象与x轴交点 坐标是什么？ 坐标是什么？
( D) y = x 2 − x + 2 (C ) y = − x + 6 x − 9
2
4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公 已知二次函数y=x 4x+k+2与 共点， 的取值范围. 共点，求k的取值范围.
?
例1. 已知二次函数 y = x + kx + k - 2 （1）判别上述抛物线与 轴交点情况 ）判别上述抛物线与X轴交点情况
2
N
y 4 3 2 1
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
的根的情况， 根据一元二次方程 − x 2 − 4 x − 6 = 0 的根的情况，
图象与x 判断二次函数 y = − x − 4 x − 6图象与x轴的 位置关系。 位置关系。
2
y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3
2
（2）设抛物线与X轴交点之间距离 ）设抛物线与 轴交点之间距离 为 2 5 ，求k的值 的值
例2：已知二次函数 y = kx − 6x − 7 ： 的图 像与X轴有两个不同的交点 像与 轴有两个不同的交点 （1） 求k的取值范围 ） 的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标 ） 为何值时， 为何值时 的平方和等于50.(x12+x22=50) 的平方和等于
y y . o . x o
பைடு நூலகம்
随堂练习
1、方程 x 2 + 4 x − 5 = 0 的根是 -5，1 ； 2 则函数 y = x + 4 x − 5 的图象与x轴的交点 ）、（1， ） ， ）、（ 有 2 个，其坐标是 （-5，0）、（ ，0） ． 2、方程 − x 2 + 10 x − 25 = 0 的根是 x1 = x2 = 5 ； y = − x 2 + 10 x − 25 的图象与x轴的交点 则函数 有 1 个，其坐标是 （5，0） ． ， ） 3、下列函数的图象中，与x轴没有公共 点的是（ D ） 2 ( B) y = x 2 − x ( A) y = x − 2
研 讨 探 究
问题：一元二次方程的根与图象和x轴交 点坐标有什么关系 ？
方程x2-2x-3=0中△>0,方程有两个实根，二次函 数y=x2-2x-3与x轴有两个交点（函数图象与x轴相交） 方程x2-2x+1=0中△=0,方程有两个等根，二次函 数y=x2-2x＋1与x轴有一个交点（函数图象与x轴相切） 方程x2-2x＋3=0中△<0,方程有两个实根，二次函 数y=x2-2x＋3与x轴有没有交点（函数图象与x轴相离）
能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗？
当a>0时，方程ax2+bx+c=0的根 与函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系
△=b2-4ac ax2+bx+c=0 （a>0） y=ax2+bx+c (a>0)
x1,2
联 想 发 散
△>0 △=0
b
△<0 方程无实数根
y x o x
− b ± b 2 − 4 ac x1 = x2 = − = 2a 2a
二次函数知识点总结和题型总结(1)
二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数,叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题:例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数,求m 的值。
练习、若函数y=（m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 . 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4。
()2y a x h k =-+的性质:(技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k;如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b24a ）1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1,3），则b ＝ ,c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D 。
第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ) A5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ） A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+（m －1）x+m －1有最小值为0,则m ＝ 。
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
2020-2021人教版高一数学《二次函数与一元二次不等式》知识梳理与例题详解
第二章 一元二次不等式、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识网络详解】知识点一：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02>++c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 21,x x 有两相等实根a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x << ∅ ∅ 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或 R R 的解集)0(02>≤++a c bx ax {}21x x x x ≤≤ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b 2 ∅【考向详析】题型一：解一元二次不等式例1.解下列不等式：(1) x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x (4)2x 2－4x ＋7<0.【练习】1.解下列不等式：（1）02132-2≤-+x x ； （2）()422≤-x题型二：含参的一元二次不等式的解法例1.解下列不等式：（1）02322<+-a ax x ； （2）0232≤+-a ax ax ； （3）01)1(2≥++-x a ax【练习】1.解下列不等式（1）()a x a x +--12>0； （2）()0222≤++-x a ax题型三：三个“二次”之间的关系例1.已知不等式02≤++b ax x 的解集为{}32≤≤x x ，则=+b a 。
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
二次函数与一元二次方程的关系
从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
y=x 2 -3x-4
答案： （1）A（-1，0），B（4，0）； （2）x=-1或4； （3） x=-1或4； （4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。
变式训练
观察下列图象，分别说出一元二次方程x2 6 x 9 0, x2 x 3 0的根的情况。
y=x 6 x 9
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
y （m ）
20· 5
20
15
（2，20）
0
1
2
3
4
x t） （
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t2 =4. t 1 = t 2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（10分）解题思路一：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝0的图像交点的横坐标(2)方程ax2＋bx＋c＝1的解为y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝1的图像交点的横坐标(3)方程ax2＋bx＋c＝－1的解为y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝1的图像交点的横坐标(4)方程ax2＋bx＋c＝2的解是y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝2的图像交点的横坐标(5)方程ax2＋bx＋c＝3的解是y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝3的图像交点的横坐标(6)方程ax2＋bx＋c＝k的解是，y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝k动直线的图像交点的横坐标(7)方程ax2＋bx＋c＝kx+n的解是，y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝kx+n的图像交点的横坐标解题思路二：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个解是y＝ax2＋bx＋c与y＝0组成方程组的解的x的值。
(2)方程ax2＋bx＋c＝1的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
(3)方程ax2＋bx＋c＝－1的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
(4)方程ax2＋bx＋c＝2的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝2组成方程组的解的x的值。
(5)方程ax2＋bx＋c＝3的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝3组成方程组的解的x的值。
(6)方程ax2＋bx＋c＝k的解是，y＝ax2＋bx＋c与y＝k组成方程组的解的x的值。
(7)方程ax2＋bx＋c＝kx+n的解是，y＝ax2＋bx＋c与y＝kx+n组成方程组的解的x的值。
解题思路三：注意变形(1)方程ax2＋bx＋c－1＝0的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
(2)方程ax2＋bx＋c+1＝0的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程 的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
|
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
二次函数,与一元二次方程的关系
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ x2，0） y
x1 O A
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函 数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 判别式Δ ＝b2-4ac y=ax2+bx+c(a ax2+bx+c=0(a≠0) ≠0)