反常积分03420
第4节 反常积分
当 p 1 时,
a
1 dx p x
a
1 dx ln x a , x
, p 1 , 1 x 1 p 1 p a a x p dx , p 1. 1 p a p1 a 1 p 因此当p 1时, 广义积分收敛 , 其值为 , p1 当p 1时广义积分发散 .
a
a
dx a2 x2
0 0
x a π lim arcsin lim arcsin 0 . 0 a 0 0 a 2
34
高等数学
●
戴本忠
22
dx 例 8 讨论广义积分 2 的收敛性. 1 x 1 被积函数 f ( x ) 2 在积分区间 [1,1] 上除 解 x 1 x 0 处外连续, 且 lim 2 . x 0 x 0 dx 1 0 1 由于 2 [ ]1 lim ( ) 1 , 1 x x 0 x x 0 dx 1 dx 即反常积分 2 发散 , 所以反常积分 2 发散 . 1 x 1 x 如果疏忽了x 0是被积函数的瑕点, 就会得到 注意：
34
高等数学
●
戴本忠
16
二、无界函数广义积分的概念及计算
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b] 上连续, 在点a的 右邻域内无界 .取 0, 如果极限 lim 作 f ( x )dx .
a b b
0 a
f ( x )dx存在,
则称此极限为函数 f ( x )在区间(a , b]上的广义积分 , 记
lim arctan x lim arctan x
x x
《反常积分课件》课件
汇报人：PPT
目录
反常积分的定义
反常积分的定义：反常积分是一种特殊的积分，它包括无穷积分和瑕积分两种类型。
无穷积分：当积分区间为无穷大时，称为无穷积分。
瑕积分：当积分区间为有限时，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，称为瑕积 分。 反常积分的求解方法：反常积分的求解方法包括积分判别法、积分变换法、积分估计法 等。
反常积分的证明方法
直接证明法：通 过直接计算反常 积分的值来证明
间接证明法：通过 证明反常积分的极 限存在来证明
积分变换法：通过 积分变换来证明反 常积分的性质与定 理
级数展开法：通过 级数展开来证明反 常积分的性质与定 理
物理中的应用实例
计算电场强度：利用反常积 分求解电场强度
计算引力场强度：利用反常 积分求解引力场强度
反常积分的分类
无穷积分：积分区间为无穷大
瑕积分：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点
瑕积分的推广：积分区间为有限，但积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间 断点处函数值趋于无穷大
积分函数在积分区间内有无穷多个间断点，且间断点处函数值趋于无穷大，但积分区 间为有限
反常积分的特点
反常积分的难点解析
反常积分的 定义和性质
反常积分的 收敛性判断
反常积分的 计算方法
反常积分的 应用实例
反常积分的易错点分析
积分函数的选择：注意函数 的连续性和可积性
积分方法的选择：注意积分 方法的适用条件和计算技巧
积分区间的选取：注意区间 的端点和区间内的函数值
积分结果的验证：注意积分 结果的正确性和合理性
反常积分(广义积分)
反常积分的计算方法
反常积分的计算方法反常积分是求解某些积分时需要采用的一种特殊方法，它是指被积函数在某一区间上无法定义的积分。
在反常积分的求解过程中，一些数学定理和技巧被广泛应用。
下面，我们将介绍一些反常积分的常见计算方法。
方法一：分部积分法对于一些形如$∫u(x)v'(x)dx$ 的积分，我们可以采用分部积分法进行求解。
此时，我们需要对被积函数做出适当的分解，使得积分表达式易于计算。
例：$∫lnx dx= xlnx - x + C$此式中，我们采用分部积分法，将 $lnx$ 分解为 $u(x)$，$1$ 分解为 $v'(x)$。
然后，我们可以用求导法和幂函数积分法求解出 $u(x)$ 和 $v(x)$。
方法二：换元法在某些情况下，我们可以使用换元法来简化被积函数的形式，进而使计算更为简便。
换元法的核心思想是将被积函数转化为形式更简单的函数。
例：$∫\frac{1}{1 + x^2}dx$此时，我们可以采用$x = tanθ$ 来进行换元。
这样，我们可以将 $\frac{1}{1 + x^2}$ 转化为 $\frac{cosθ}{sin^2θ +cos^2θ}$ 的形式，然后用三角函数的积分公式进行计算。
方法三：极限求解法对于一些反常积分，我们采用传统的解析方法难以求解。
此时，我们可以使用极限求解法。
基本思路是将被积函数化为某个函数在某一点附近的收敛级数，进而推导出反常积分的值。
例：$∫_0^1\frac{1}{lnx}dx$此式中，我们采用极限求解法，将被积函数变形成为$\lim_{n→0+}∫_n^1\frac{1}{lnx}dx$。
然后，我们对被积函数积分，得到其收敛级数为$∑_{k=2}^∞(-1)^{k+1}\frac{(ln(1/n))^k}{k!}$，然后推导极限值为 $-γ$，其中$γ$ 是欧拉常数。
总之，反常积分的计算方法有多种，采用不同的方法可以经过简单变形，使得积分表达式变得更加容易计算，求解过程也更为快捷高效。
第四节 反常积分(广义积分)
f ( x)dx F ( x) F() F(a),F() lim F( x).
a
a
x
b
b
f ( x)dx F ( x)
F(b) F(),F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
10
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
例 求 a 0
x3 a2
x2
dx
(a 0).
解 令x a sint, dx a cos tdt
原式
2
a
3
sin
3
t
a
cos
tdt
0 a2 a2 sin2 t
a3
2 sin3 tdt
2 a3
0
3
注 此反常积分经变量代换化成了定积分.
32
下面是无穷区间上无界函数的反常积分
例
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
dlnx x
1 ln x
e
1
19
2002年考研数学(二)填空3分
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
0
0
[ xe x e xdx] 1
设0
x
,
则
x dt 0 1 t2
1 x
dt
0 1 t2
(
C
).
( A)arctan x
(B)2arctan x
无界函数的反常积分
无界函数的反常积分无界函数是指在某一点的邻域内，函数的值没有上下界限的函数。
它在数学领域中具有重要的应用和研究价值。
而反常积分则是无界函数的一个重要概念，它对于解决一些特殊问题以及在物理学、工程学等领域中的应用都具有重要意义。
反常积分是指对于某些无界函数，在某一区间内进行积分运算时，所得到的结果可能是无穷大或者不存在的情况。
这种情况常常出现在函数在积分区间某些点上的奇异性或者发散性导致的。
因此，对于这类函数的积分计算，需要采用一些特殊的方法和技巧来处理。
我们需要了解反常积分的分类。
反常积分可以分为第一类和第二类反常积分。
第一类反常积分是指当积分区间的一个端点是无穷大时，或者函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
而第二类反常积分则是指当积分区间为有限区间时，函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。
对于第一类反常积分，常用的处理方法是通过取极限的方式进行计算。
例如，对于无界函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫[a,b]f(x)dx，如果在x=a处存在极限lim(x→a)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→a)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→a)∫[x,b]f(t)dt。
同样的，如果在x=b处存在极限lim(x→b)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→b)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→b)∫[x,b]f(t)dt。
通过这种方式，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
对于第二类反常积分，常用的处理方法是通过分部积分、换元积分等技巧进行计算。
通过这些技巧，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。
同时，对于某些特殊的无界函数，还可以利用级数展开的方法进行计算。
除了以上的处理方法，还有一些特殊的无界函数的反常积分计算方法。
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。
无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。
图一如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。
通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。
那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。
（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。
）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。
由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。
最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。
最后给出解答过程：图二虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a 的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。
反常积分的计算演示文档
a
f
(x)d
x
lim
b
b
a
f
(
x)dx
lim [
b
F
(
x ) ]ba
lim F (b) F (a) lim F (x) F (a)
b
x
可采用如下简记形式：
a
f
(x)dx
[F
(x)]a
lim
x
F
(x)
F
(a)
下页
一、无穷限的反常积分
❖无穷限的反常积分的定义
连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f
(
x)d
x
lim
b
b
a
f
(x)d
x
•反常积分的计算
如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f
(x)dx
[F
(x)]a
lim
x
F
(x)
F
(a)
类似地, 有
b
f
(
x)d
x
[F
(x)
]b
F
(b)
lim
x
F
(
x)
,
f
(
x)d
x
[F
(x)
]
lim
x
F
(
x)
lim
x
F
(
x)
下页
f
(
x)dx
c
a
f
(x)d
x
b
c
f
(
x)d
x
[ lim xc
F
(
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0
f ( x)dx
f ( x)dx
0
lim
0
f ( x)dx lim
t
f ( x)dx
t t
t 0
称反常积分 f ( x)dx收敛; 否则称反常积分
f ( x)dx发散.
7
例
解
计算 x ex2 d x . 0
x ex2 d x lim t x ex2 d x
0
t 0
令 u x2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
2
正常积分 积分区间有限 被积函数有界
推 广
反常积分
积分区间无限 被积函数无界
正常积分的极限
3
无穷限的反常积分引例：
曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
c点为f ( x)的瑕点,(即lim f ( x) ).如果 x c
反常积分 b f ( x)dx写成 a
b f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
a
b
c f ( x)dx
若等号右边两个反常积分 都收敛, 则定义
b
arctan x
lim arctan x lim arctan x
x
x
2
2
.
y
反常积分的积分值 的几何意义
y
1
1 x
2
O
x
10
例
计算反常积分
1 1
2
x2 sin x dx
解
1 1
2
x2 sin x dx
2
sin
1 x
d
1 x
cos
1 x
2
lim cos 1 cos 1.
1
ln x x2
d
x
.
解 运用分部积分法
1
ln x x2
d
x
ln x x
1
1
1 x2
d
x
lim
ln x
罗
lim
10
x x
x x
d x 1 x2
1 x
1
1.
14
无界函数的反常积分的引例：
曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
ta t
函数 f ( x) 在(a,b]上的反常积分, 仍然记为
b
b
b
f ( x)dx, 即 f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
ta t
也称反常积分 b f ( x)dx收敛;当极限不存在时, a
称反常积分 b f ( x)dx发散. a
16
(2) 设f ( x)在[a, b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
a
t a
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
5
(2) 设f ( x)在(, b]上连续, 取t b
b
如果极限 lim f ( x)dx 存在,则称这个极限值 t t
为f ( x)在(,b]上的反常积分,记作 b f ( x)dx.
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
lim 1 t2 eu d u
2 t
0
能否将这里的书
lim 1 (eu ) 2 t
t2 0
写方式简化？
lim ( 1 et2 1 )
t
2
2
1. 2
8
注 为这了时方反便常起积见分, 的规收定敛: 与发散取决于F ( ) 若和FF对( x(反)是常)连是积续否分函存可数 在用f.如( x下)的的原简函记法数使. 用N--L公式,
(即 lim f ( x) ).取t b, 如极限
x b
t
lim f ( x)dx
tb a
存在, 则定义
b
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
tb a
否则,称反常积分 b f ( x)dx发散. a
17
(3) 设f ( x)在[a,b]上 除x c(a c b)外连续,
x
x
2
11
例
证明反常积分
1
x1pdx,当p
1时收敛,
* 当p 1时发散.
证 (1) p 1,
1
1 x pdx
1 dx
1x
ln
x
1
(2) p 1,
1
1 xp
dx
x1 1
p
p
1
, 1 p1
p1 p1
因此 当p 1时 收敛, 其值为 1 ;
p1
当p 1时 发散.
12
1.计算
e
x
1 ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
lnx x
1 ln x
e
1
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
0
0
[ xe x e xdx] 1
0
0
13
3. 计算
t t
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
6
(3) 设f ( x)在(,)上连续, 如果反常积分
0
f ( x)dx 和 f ( x)dx
0
都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 f ( x)
在(,)上的反常积分,记作 f ( x)dx, 即
f ( x)dx
f ( x)dx F ( x) F() F(a),
a
a
F() lim F( x).
b
b
x
f (x)dx F (x) F(b) F(),
F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
9
例
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
1
dx x2
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
15
二、无界函数的反常积分(瑕积分)
定义2 (1) 设f ( x)在(a, b]上连续,在a点右邻域
内f ( x)无界 (即 lim f ( x) ). 取t a, 瑕点（无
如极限 lim
b
x a
界间断点）
f ( x)dx 存在,则称此极限为
b 1
y
1 x2
A
1b
lim 1 b
1 b
1
4
一、无穷限的反常积分
定义1 (1) 设f ( x)在[a,)上连续,取t a,
如果极限 lim t f ( x
t a 为f (x)在[a, )上的
)dx存在, 则称这个极限值
反常积分,记作
f ( x)dx
.
a
即
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
§5.4 反常积分
improper integral 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 小结
1
第五章 定积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函 数的积分.在科学技术和工程中，往往需要计算无 穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的 积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷 区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其 计算方法进行推广.