培优一次函数与面积专题[1]解析
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】❖ 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤：①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】1．已知一次函数图象经过A （﹣4，﹣10）和B （3，4）两点，与x 轴的交于点C ，与y 轴的交于点D ． （1）求该一次函数解析式；（2）点C 坐标为 ，点D 坐标为 ；（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．【分析】（1）用待定系数法求直线AB 的解析式； （2）令y ＝0求得点C 的坐标，令x ＝0求得点D 的坐标；（3）利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象，然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）当x ＝0时，y ＝﹣2，当y ＝0时，x ＝1， ∴C （1，0），D （0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）．（3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示，∵C（1，0），D（0，﹣2），∴OC＝1，OD＝2，∴S△OCD＝＝1，∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1．2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（2）联立方程，解方程即可．【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，解得，∴直线解析式为y＝﹣2x+3，将x＝0代入得y＝3，∴与y轴交于点（0，3），将y=0代入得x＝，∴与x轴交于点（，0），∴S＝×3×＝．（2）解得，∴点C的坐标是（2，﹣1）．变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），∴2k+b＝0，b＝﹣2k，∴y＝kx﹣2k，令x＝0，则y＝﹣2k，∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，解得：k＝±，则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC 的面积为．【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3）又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC•|x B|＝×3×1＝．故答案为．2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为．【分析】利用一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）可得直线l1与直线l2：与y轴交点，然后可求出△PAB 的面积．【解答】解：∵直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），∴﹣1＝﹣2×1+b，解得：b＝1，∴A点坐标为（0，1），∵直线l2：y＝kx﹣2交y轴于B，∴B（0，﹣2），∴AB＝3，∴△PAB的面积为：3×1＝，故答案为：．变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（）A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k 的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式．【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0），∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×（﹣）×0.5＝4，解得k＝﹣2，则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4．故选：B．类型三三条直线围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式，再确定直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式和以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC进行计算．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，4）、B（﹣2，2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝x+3，当y＝0时，y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，则D点坐标为（﹣6，0），所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC＝×（4+6）×4﹣×（4+6）×2＝10．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA +AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；（2）根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点，联立两直线解析式可求出点E 坐标，再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ，得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积，即可求出△ADE 的面积；（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|，利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y ＝0时，﹣x +4＝0， 解得：x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）． 在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝＝5．由折叠的性质，可知：∠BDA ＝∠CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5， ∴OC ＝OA +AC ＝8， ∴点C 的坐标为（8，0）． （2）∵C （8，0），D （0，﹣6）， ∴直线CD 的解析式为：y=43x-6， ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524，， ∴S △ADE ＝S △BDE ﹣S △ABD ＝BD •|x E |﹣BD •|x A |＝9（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵S △PAD ＝S △ADE ，即DP •OA ＝×OD •OA ，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝S△ADE．3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：（1）b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积．【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD＝2可求得D点坐标，代入直线CD：y＝x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标．（2）可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而S△BDP＝|x P|，即可求得．【解答】解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），令x＝0则y＝1∴B（0，1），又∵S△ABD＝2∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2∴|BD|＝2，又B（0，1），∴D（0，﹣1）∴b＝﹣1；∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，解得x＝4，y＝3，∴P（4，3）；（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y＝x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝2x+4；设直线CD的解析式为y＝mx+n，把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得，解得，所以直线CD的解析式为y＝x﹣3；如图所示；（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝×（6+2）×4+×（6+2）×3＝28；（3）解方程组得，所以E点坐标为（﹣，﹣），所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD＝×（6+2）×﹣×（6+2）×3＝．变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．【分析】审题知B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为2，而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示，即x+2的绝对值．已知三角形的面积为10，依此列出方程求解即可．【解答】解：由B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为4﹣2＝2，BC＝|x ﹣（﹣2）|＝|x+2|，因为△ABC的面积为10，所以×2×|x+2|＝10，|x+2|＝10，x+2＝10，或x+2＝﹣10，解得：x＝8，或x＝﹣12．考点二一次函数图象与几何图形动点面积【知识点睛】❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息❖对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点❖动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数应用专题--面积问题（教案）（合集五篇）
一次函数应用专题--面积问题（教案）（合集五篇）第一篇：一次函数应用专题--面积问题(教案)《一次函数应用专题--面积问题》教学设计（广州市第四十七中学初二）【教学目标】1、能根据一次函数的解析式（或图像），求图形的面积。
2、通过对已知图形面积求值问题的探究，使学生体会“数形结合”思想和“转化”思想。
3、培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验解决问题的乐趣。
【教学重点】数形结合思想在一次函数中的应用【教学难点】在面积问题中渗透“数形结合”思想和“转化”思想【教学过程】一、课前热身，知识回顾【热身】已知一次函数y=-x+3，请画图并解决以下问题：1、y=-x+3与x轴交于点A（，）与y轴交于点B（，）.2、函数y=-x+3与两坐标轴围成的三角形的面积为.（设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面例1，例3探究，做好铺垫.）二、问题探究，总结方法【例1】：若函数y=-x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为9，求此一次函数的解析式.（设计意2图：使学生会根据面积求一次函数解析式,并了解此类问题的结论有两种,学会分类讨论.）【例2】：如图，若点P(a,b)是直线y=-x+3上的一个动点，在点P运动的过程中，ΔOPA的面积为S（O为坐标原点）（1）当ΔOPA的面积为3时，求P的坐标.（2）若P位于第一象限内，试写出S与a的函数关系式，并求自变量a的取值范围.（设计意图：在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学内容，一方面渗透动态问题的解决方法.）【例3】：如图，直线y=4x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D.且与y=-x+3的交点为E，求两直线与x轴围成的图形的面积.（设计意图：使学生会求两条直线与x轴或y轴所围图形的面积.）【巩固提升】：1求两直线与y轴围成的图形的面积.（设计意图：巩固例3）2、连接CB，求ΔCEB的面积，你有多少种求法？（设计意图：在巩固例3的同时，探究三条边均不平行于坐标轴的三角形的面积的求法.）三、课堂小结，反思提高本环节由学生谈自己的收获，教师做适当的引导与补充.（设计意图：总结回顾本节课的学习内容，养成梳理知识的习惯.）四、练习1、已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积.2、已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式.3、求直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积.54、如图，直线y=kx+经过点A（-2，m），3yB（1，3）．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．5、如图，直线L的解析表达式为y =-AOBx1x +2，且与x轴、y 轴交于点A、B，在2y轴上有一点C（0，4），动点M从A 点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
培优专题(五) 一次函数与面积
图4
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解：对于一次函数 y＝－ 4x＋ 8， 令 y＝ 0，得 x＝ 2，∴ A 点坐标为 (2， 0)， 令 x＝ 0，得 y＝ 8，∴ B 点坐标为 (0， 8)， ∵ S△ ABP＝ 12， 1 ∴ · AP· 8＝ 12，即 AP＝ 3，∵ P 在 x 轴的负半轴上， 2 ∴ P(－ 1， 0)， ∵一次函数 y＝ kx＋ b 的图象经过点 P 和点 B， － k＋ b＝ 0， ∴将点 P， B 的坐标代入得 b＝ 8， k＝ 8， 解得 b＝ 8， ∴这个一次函数 y＝ kx＋ b 的表达式为 y＝ 8x＋ 8.
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2．如图2，已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2：y＝－x＋5，直线l1， l2分别交x轴于B，C两点，l1，l2相交于点A. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求△ABC的面积．
图2
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解： (1)令直线 l1， l2 中的 y 为 0，得： 3 x1＝－ ， x2＝ 5， 2 由函数图象可知，点
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3 13 (2)由 (1)题知： |BC|＝ 5＋ ＝ ， 2 2 1 1 13 13 169 又由函数图象可知 S△ ABC＝ × |BC|× |yA|＝ × × ＝ . 2 2 2 3 12
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3．如图3，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx＋3在同一平面直角坐标 系内交于点P，且直线l2与x轴交于点A.求直线l2的解析式及 △OAP的面积．
一次函数面积题目专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图,一次函数得图像与x轴交于点B（-6，０),交正比例函数得图像于点A,点A得横坐标为－4,△ＡBC得面积为15,求直线OA得解析式。
２、直线y=ｘ+3得图像与ｘ轴、y轴分别交于Ａ、B两点,直线ａ经过原点与线段AB交于C,把△ABO得面积分为2:１得两部分,求直线a得函数解析式。
3、直线PA就就是一次函数y=x＋n得图像,直线PB就就是一次函数y=-2x+ｍ(m>n>0）得图像,(1）用m、n表示A、Ｂ、P得坐标(2)四边形PQOＢ得面积就就是,ＡB=2,求点P得坐标4、△AOB得顶点O（0,０）、A(2，１)、Ｂ(１０,1),直线ＣD⊥x轴且△AOB面积二等分,若D(m,0)，求m得值5、点B在直线ｙ=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2,０)、Ｏ（0,0),△AＢO 得面积为2,求点B得坐标。
6、直线y＝－x＋1与x轴y轴分别交点Ａ、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC, BＡC=9０°，点P(a,)在第二象限,△ABP得面积与△ABＣ面积相等,求a得值、7、如图,已知两直线ｙ=0、5ｘ+2、５与ｙ＝-ｘ+1分别与x轴交于A、B两点,这两直线得交点为P（1)求点P得坐标(２)求△PAB得面积8、已知直线y=ａx+ｂ（b>0）与y轴交于点N,与x轴交于点A且与直线y=kx 交于点Ｍ(2,3),如图它们与y轴围成得△MＯN得面积为5,求(1)这两条直线得函数关系式(2)它们与x轴围成得三角形面积９、已知两条直线y=2x-３与y=5-ｘ(1)求出它们得交点A得坐标(2)求出这两条直线与x轴围成得三角形得面积10、已知直线y＝x＋3得图像与ｘ轴、ｙ轴交于A、Ｂ两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C,把△AＯB得面积分为２：1得两部分,求直线l得解析式。
11、已知直线y=２x+3与直线y=－2x-１与y轴分别交于点A、B(１)求两直线交点C得坐标（2)求△ABC得面积（3)在直线BC上能否找到点Ｐ,使得△ＡPＣ得面积為６,求出点P得坐标,若不能请说明理由。
初中数学一次函数应用面积类专题1含答案
一次函数应用面积类专题1一．解答题（共25小题）1．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），点C是x轴上一点，且满足CA＝CB（1）求直线l的解析式；（2）求点C的坐标和△ABC的面积；（3）过点C作y轴的平行线CH，借助△ABC的一边构造与△ABC面积相等的三角形，第三个顶点P在直线CH上，求出符合条件的点P的坐标．2．如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4．（1）求AC所在直线的函数关系式；（2）求点E的坐标和△ACE的面积；（3）求点D的坐标，并判断点（8，﹣4）是否在直线OD上，说明理由．3．在底面积为100cm2，高为20cm的长方形水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量，体积忽略不计）如图1所示，先向固定在水槽底部的烧杯内注水，注水速度保持不变，直到把水槽注满为止，水槽水面的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2所示．（1）注满烧杯所用的时间为______s；（2）求烧杯的底面积；（3）若烧杯的高为9cm，求注水的速度和注满水槽的时间．4．如图1，有甲、乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块，现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（cm）与注水时间x（s）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题：（1）线段DE表示______水槽内的水深与注水时间之间的函数关系（请选填“甲”或“乙”）；（2）由A点坐标可知长方体铁块的底面边长为______cm，并结合B点坐标可知长方体铁块的高为______cm，所以一个长方体铁块的体积为______cm3；（3）若设注水速度为vcm3/s，甲水槽的底面积为S①求注水前乙水槽内装有水多少cm3？②求线段BC对应的函数表达式．5．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．①用含n的代数式表示△ABP的面积；②当S△ABP＝8时，求点P的坐标；③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC （1）求点C的坐标；（2）是否存在点M（m，2）使得△ABM的面积等于△ABC的面积，如存在，求出点M 的坐标；不存在，说明理由（3）若点D（4，0）在直线AB上，是否存在点P，使得△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．7．如图，在直角坐标系中，经过点A（2，6）、点B（10，2）的直线与两条坐标轴分别相交于C、D两点，点P是x轴上的一点（1）求直线AB的函数解析式；（2）若∠APB＝90°，求△APB的面积；（3）若△APB的面积等于20，求P的坐标．8．如图，直线l1的解析表达式为y＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A，B，直线l1与l2交于点C．（1）求直线l2的函数关系式；（2）求△ADC的面积；（3）若平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1、l2于点E、F，平行于y轴的直线x＝t+2分别交直线l1、l2于点G、H，且以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值．9．已知，直线y＝2x+3与直线y＝﹣2x﹣1．（1）求两直线与y轴交点A、B的坐标；（2）求两直线交点C的坐标；（3）求三角形ABC的面积．（4）若平面直角坐标系内存在一点D，使得点A、B、C、D能构成平行四边形，求满足条件的点D的坐标．（无需过程，直接写答案）10．已知一次函数y＝﹣2x+4与x轴、y轴交于点A，B．（1）分别求出点A，B两点的坐标．（2）以AB为边作等腰直角三角形ABP，若点P在第一象限，请求出点P的坐标．（3）在（2）的结论下，过点P作直线AB的平行线，分别交x轴、y轴于点D和点C，请求出四边形ABCD的面积．11．如图，直线y＝kx+6与x轴，y轴分别交于点E，F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标是（﹣6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出OP A的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在直线EF上是否存在另外的点Q，使得△OQA的面积为12？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．C在y 轴的负半轴上，AC所在直线为y＝kx﹣12．AC⊥BC．BC的长的倍是方程x2﹣3x﹣10＝0的根．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线L经过点C且平分△AOC的面积，求直线L的解析式；（3）在（2）的条件下设直线L交x轴于点D，在y轴上是否存在点P：使以点A，D，P，C为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知直线l1：y＝﹣x+与x轴y轴分别交于A，B两点，C（2，2）．（1）求出A、B两点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在直线AB下方，是否能找到点P，使得S△PBA＝S△ABC？若能，请在图中画出所有满足条件的P点所构成的图象，并写出该图象的函数关系式．14．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的纵截面示意图，乙槽中竖立着一个圆柱形铁块．现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图②中折线ABC表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是______．（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），则乙槽中铁块的底面积为______平方厘米，甲槽的底面积为______平方厘米．15．如图，在平面直角坐标系内，梯形OABC的顶点坐标分别是：A（3，4），B（8，4），C （11，），点P（t，0）是线段OC上一点，设四边形ABCP的面积为S．（1）求S与t的函数关系，判断其是否为一次函数；（2）当S＝20时，求点P的坐标．16．如图，已知在直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．点P是x轴上的一个动点，设P（x，0）．（1）求△ABC的面积；（2）求点C的坐标；（3）是否存在这样的点P，使得|PC﹣PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请标出点P的位置．17．如图，已知矩形ABCD，各顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（8，3），D（6，7），直线y＝kx+1平分矩形的面积，求k的值．18．已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）．（1）求直线l1，l2的表达式；（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）②若矩形CDEF的面积为40，请直接写出此时点C的坐标．19．直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点B（﹣1，0）的直线交线段OC于点D，交线段AC于点E，连接BC，△CDB的面积为1．（1）求点E的坐标；（2）求四边形AODE的面积；（3）点P是线段AC上一点，点Q为平面上一点，当四边形DPQE为矩形时，求P点的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y＝x，y＝﹣2x+12的图象相交于点A，动点E从O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式．21．在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，6）．（1）求△ABO的面积；（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．22．如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于C点，直线是过A 点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点．（1）求C点的坐标；（2）当△APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；（3）当PC⊥OC时，求四边形OAPC的面积．23．如图，S△AOB＝18，且△AOB为等腰直角三角形，C为AB中点，过点C的直线l把△AOB面积分成5：1（1）求直线AB解析式；（2）求C点坐标；（3）求直线l的解析式．24．一次函数y＝﹣x+6的图象，交x轴于点A，交y轴于点B．（1）判断点（4，3）是否在一次函数y＝﹣x+6的图象上，说明理由；（2）求点A，点B的坐标；（3）在线段OA上找一点E，将△ABE沿着直线BE折叠，A点关于直线BE的对称点C在y轴负半轴上，求点C、E的坐标与直线CE的解析式；（4）求△ABC的面积．25．在直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），直线l：y＝﹣x+4，在第一象限有一动点P（x，y）在直线l上，直线l与x轴、y轴分别交于点B、C，设△OP A的面积为S．（1）分别求出B、C的坐标；（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若在坐标系中有一点Q（a，2），且△QAC的面积与△OBC的面积相等，求a的值．一次函数应用面积类专题1参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵CA＝CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的中垂线的解析式为y＝x+b′，∵线段AB的中点为（﹣，﹣1），∴﹣1＝﹣+b′，∴b′＝﹣，∴线段AB的中垂线的解析式为y＝x﹣，令y＝0得到x＝，∴点C坐标为（，0），∴S△ABC＝×（1+）×2＝．（3）如图，①过点A作AP1∥BC交直线CH于P1，此时△P1BC与△ABC面积相等，∵B（0，﹣2），C（，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴直线AP1的解析式为y＝x+，∴x＝时，y＝∴P1（，）．②过点B作BP2∥AC交直线CH于P2，此时△P2AC与△ABC的面积相等．可得点P2（，﹣2），③根据对称性可得P3（，﹣）或P4（，2）也符合题意．综上所述，满足条件的点P坐标为（，）或（，﹣2）或（，﹣）或（，2）．2．解：（1）∵OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，CB＝8，AB＝4．∴A（8，0），C（0，4）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得．∴AC所在直线的函数关系式为y＝﹣x+4；（2）∵矩形OABC中，BC∥OA，∴∠BCA＝∠CAO，又∵∠BCA＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CAO，∴CE＝AE，设CE＝AE＝x，则OE＝8﹣x，在直角△OCE中，OC2+OE2＝CE2，则42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，则OE＝8﹣5＝3，则E的坐标是（3，0）．则S△ACE＝×5×4＝10；（3）如图，作DF⊥x轴于点F．S△ACD＝S△ABC＝×8×4＝16，则S△ADE＝16﹣10＝6，又∵S△ADE＝AE•DF，则×5•DF＝6，∴DF＝，在直角△ADF中，AF＝＝＝，则OF＝8﹣＝，则D的坐标是（，﹣），设直线OD的解析式是y＝mx，则m＝﹣，解得：m＝﹣，则直线OD的解析式是：y＝﹣x，当x＝8时，y＝﹣4，∴点（8，﹣4）在直线OD上．3．解：（1）由可得图象，注满烧杯所用的时间为18s，故答案为：18；（2）由题意可得，烧杯的高度为10cm，∴烧杯的底面积是：＝20cm2，即烧杯的底面积是20cm2；（3）∵注水速度保持不变，∴注满水槽用的时间是90×2＝180s，注水的速度是：＝，即注水的速度是，注满水槽用的时间是180s．4．解：（1）线段DE表示水位匀速下降，所以应该表示的为乙水槽内的水深与注水之间的函数关系．故答案为：乙．（2）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知：长方体铁块的底面边长为5cm，高为9cm，则长方体体积V＝5×5×9＝225cm3．故答案为：5；9；225．（3）①∵注水速度为vcm3/s，乙水槽倒完水的时间为40秒，∴乙水槽存水量＝40v，由题意，解得故注水前乙水槽内装有水3600cm3．②线段BC段水面上升的速度为，故设BC段的解析式为y＝x+b，∵点B（30，14）在线段BC上，∴有14＝×30+b，解得：b＝2，故线段BC对应的函数表达式y＝x+2（30≤x≤40）．5．解：（1）∵把A（0，4）代入y＝﹣x+b得b＝4，∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+4，令y＝0得：﹣x+4＝0，解得：x＝4∴点B的坐标为（4，0）．（2）①∵l垂直平分OB，∴OE＝BE＝2．∵将x＝2代入y＝﹣x+4得：y＝﹣2+4＝2．∴点D的坐标为（2，2）．∵点P的坐标为（2，n），∴PD＝n﹣2．∵S△APB＝S△APD+S△BPD，∴S△ABP＝PD•OE+PD•BE＝（n﹣2）×2+（n﹣2）×2＝2n﹣4．②∵S△ABP＝8，∴2n﹣4＝8，解得：n＝6．∴点P的坐标为（2，6）．③如图，a、过点P作AB的平行线l1交y轴于Q1，交x轴于Q2．∵Q1Q2∥AB，∴△Q1AB与△P AB面积相等，△Q2AB与△P AB面积相等．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，∴直线Q1Q2的解析式为y＝﹣x+8，∴Q1（0，8），Q2（8，0）．b、作点P关于点D的对称点K（2，﹣2），过点K作AB的平行线l2，∵直线l2的解析式为y＝﹣x．∴直线l2经过原点，Q3（0，0）也满足条件，综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，8）或（8，0）或（0，0）．6．解：（1）根据直线的函数关系式，我们可得出A点的坐标为（﹣4，0），B点的坐标为（0，4），那么OA＝4，OB＝4，直角三角形ABO中，AB＝＝8，∠BAO＝30°，根据三角形ABC是个等边三角形，因此∠CAB＝60°．∠CAO＝∠CAB+∠BAO＝90°，因此C点的横坐标应该和A点相同，∵CA＝AB＝BC，∴AC＝AB＝8，那么C点的坐标为（﹣4，8）．（2）由题意可知，M必在与AB平行的直线上，当M、C在直线AB同侧时，设这条直线为y＝x+b，将C点的坐标代入这条直线中得：﹣4+b＝8，b＝12，因此这条直线的解析式是y＝x+12当M、C在直线AB的异侧时，y＝x﹣4，把y＝2代入y＝x+12得，m+12＝2，m＝﹣10，把y＝2代入y＝x﹣4得，m﹣4＝2，m＝6，因此M点的坐标为（﹣10，2）或（6，2），（3）分三种情况：①以P为顶点，AP、DP为腰，图1，过P作PM⊥AD，PD就是线段AD的垂直平分线，AM＝DM＝2+2，OM＝DM﹣OD＝2+2﹣4＝2﹣2，那么P的横坐标就是2﹣2，代入函数式中即可求出P的坐标为（2﹣2，+2），此时P点的坐标是（2﹣2，+2）；②以A为顶点，AP，AD为腰，如图2，过P1作P1E⊥x轴于E，由（1）知，∠BAO＝30°，AP1＝AD＝4+4，在直角三角形AP1E中，P1E＝AP1＝2+2，AE＝AP1＝2+6，∴P1（﹣6﹣6，﹣2﹣2），同理：P2（6﹣2，2+2）此时P点的坐标是（﹣6﹣6，﹣2﹣2）或（6﹣2，2+2）；③以D为顶点，AD，DP为腰，如图3，同理证得PG＝2+6，DG＝2+2，∴P点的坐标是（2+6，2+6），因此存在这样的点P，且P的坐标为（2﹣2，+2）或（﹣6﹣6，﹣2﹣2）或（6﹣2，2+2）或（2+6，2+6）．7．解：（1）设一次函数的解析式是y＝kx+b，则，解得：，则直线AB的解析式是y＝﹣x+7；（2）AB＝＝4，AB的中点是（6，4）．设P的坐标是（x，0），则＝×4，解得：x＝4或8．则P的坐标是（4，0）或（8，0）．当P的坐标是（4，0）时，AP＝＝2，PB＝＝2，则S△P AB＝AP•PB＝×2×2＝20；当P的坐标是（8，0）时，P A＝＝6，PB＝＝4，则S△P AB＝P A•PB＝×6×4＝24；（3）过A和B作x轴的垂线，垂足分别是E和F，则E的坐标是（2，0），F的坐标是（10，0）．则EF＝10﹣2＝8．则S梯形ABFE＝（BF+AE）•EF＝（2+6）×8＝32，当P在线段EF上时（如图1），PE＝x﹣2，PF＝10﹣x，则S△APE＝PE•AE＝×（x﹣2）×6＝3（x﹣2），S△BPF＝PF•BF＝（10﹣x）×2＝10﹣x．则32﹣3（x﹣2）﹣（10﹣x）＝20，解得：x＝4，则P的坐标是（4，0）；当P在FE的延长线上时，如图2，PE＝2﹣x，PF＝10﹣x，则S△APE＝AE•PE＝×6（2﹣x）＝3（2﹣x），S△BPF＝PF•BF＝（10﹣x）×2＝10﹣x，则S△P AB＝S△APE+S梯形ABFE﹣S△BPF，则3（2﹣x）+32﹣（10﹣x）＝20，解得：x＝4（舍去）；当P在EF的延长线上时，如图3．PE＝x﹣2，PF＝x﹣10，则S△APE＝AE•PE＝×6（x﹣2）＝3（x﹣2），S△BPF＝PF•BF＝（x﹣10）×2＝x ﹣10，S△P AB＝S梯形ABFE﹣S△BPF﹣S△APE，则32+（x﹣10）﹣3（x﹣2）＝20，解得：x＝4（舍去）．综上所述，P的坐标是（4，0）．8．解：（1）设直线l2为y＝kx+b，∵直线l2经过点B（﹣1，5），A（4，0），∴，∴，∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4．（2）由得，∴点C（2，2），∵直线y＝与x轴交于点D，∴D（﹣2，0），∴S△ADC＝×6×2＝6．（3）如图当EF＝GH时，四边形FEHG是平行四边形，即﹣t+4﹣（）＝﹣[﹣（t+2）+4]，∴t＝1，∴t＝1时，四边形FEHG是平行四边形．9．解：（1）∵直线y＝2x+3，∴当x＝0，y＝3，即点A的坐标为（0，3），同理可求得点B的坐标是（0，﹣1）；（2）联立两个一次函数的解析式得：，解得：，∴点C的坐标是（﹣1.1）；（3）∵点A（0，3），点B（0，﹣1），∴AB＝4，∵点C的横坐标绝对值＝1，∴S△ABC＝×4×1＝2；（4）①当AB、CD为平行四边形的对角线时，∵点A（0，3），点B（0，﹣1），∴线段AB的中点坐标是（0，1），∵点C的坐标是（﹣1，1），设点D的坐标为（x，y），∴0＝，解得：x＝1，同理可得y＝1，∴点D的坐标为（1，1）；②当BC、AD为平行四边形的对角线时，由①可知点D的坐标为（﹣1，﹣3）；③当BD、AC为平行四边形的对角线时，由①可知点D的坐标为（﹣1，5）．10．解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，则B的坐标是（0，4）．令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得：x＝2，则A的坐标是（2，0）；（2）当B是等腰△ABP的直角顶点时，如图1，作PM⊥y轴于点M．∵∠PBA＝90°，∴∠PBM+∠ABO＝90°，又∵直角△BPM中，∠PBM+∠MPB＝90°，∴∠MPB＝∠ABO，在直角△BPM和直角△ABO中，，∴△BPM≌△ABO，∴PM＝OB＝4，OA＝BM＝2．∴OC＝4+2，∴P的坐标是（4，6）；当A是等腰△ABP的直角顶点时，如图2．作PN⊥x轴于点N．同理可得△ABO≌△P AN，∴PN＝OA＝2，AN＝OB＝4，∴P的坐标是（6，2）．当P是直角三角形的直角顶点时，如图3．作PF⊥y轴，交AB于点G，作PE⊥AB于点E，则PF∥x轴．AB＝＝＝2，PE＝AB＝×2＝．∵PF∥x轴，∴∠PGE＝∠OAB，又∵∠PEG＝∠AOB，∴△OAB∽△EGP，∴＝＝，∴＝＝，解得：PG＝，EG＝．∴BG＝，∵PF∥x轴，∴△BFG∽△BOA，∴＝＝，即＝＝，∴BF＝1，GF＝，∴OF＝4﹣1＝3，PF＝PG+FG＝+＝3，∴P的坐标是（3，3）；（3）当如图1时，设经过P与AB平行的直线的解析式是y＝﹣2x+b，则﹣4+b＝6，解得：b＝10．则直线的解析式是y＝﹣2x+10．令x＝0，解得y＝10；令y＝0，解得x＝5，则D的坐标是（0，10），C的坐标是（5，0）．则S四边形ABCD＝S△OCD﹣S△OAB＝×5×10﹣×2×4＝21；同理，P在图2的位置时，S＝45；当P的位置如图3时，S＝．11．解：（1）把E（﹣8，0）代入直线y＝kx+6中，得0＝﹣8k+6，解得：k＝；（2）P在直线是：y＝x+6，设P坐标是：（x，x+6）S△OP A＝×|OA|×（x+6）＝×6×（x+6）＝x+18，P是第二象限内的直线上的一个动点，得﹣8＜x＜0．∴△OP A的面积S与x的函数关系式为S＝x+18，自变量的取值范围为﹣8＜x＜0；（3）Q在直线是：y＝x+6，设Q坐标是：（x，x+6），S＝×|OA|×|x+6|＝×6×|x+6|＝|x+18|＝12，解得x＝﹣或﹣，当x＝﹣时，y＝×（﹣）+6＝4，当x＝﹣时，y＝×（﹣）+6＝﹣4即当Q点的坐标是（﹣，4）或（﹣，﹣4）时，△OQA的面积为12．12．解：（1）解方程x2﹣3x﹣10＝0得x1＝5，x2＝﹣2，则BC＝3×5＝15，在y＝kx﹣12中，令x＝0，解得y＝﹣12，则C的坐标是（0，﹣12），OC＝12．在直角△BOC中，OB＝＝＝9，则B的坐标是（0，9）．∵∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO＝90°，又∵直角△AOC中，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCO＝∠CAO，又∵∠AOC＝∠BOC，∴△AOC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：OA＝16，则A的坐标是（﹣16，0）；（2）OA的中点D是（﹣8，0），设直线L的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：，则直线L的解析式是y＝﹣x﹣12；（3）当四边形ACPD是梯形时，如图1．设AC的解析式是y＝mx+n，根据题意得，解得：，则直线AC的解析式是y＝﹣x﹣12，设DP的解析式是y＝﹣x+c，则6+c＝0，解得：c＝﹣6．则DP的解析式是y＝﹣x﹣6，令x＝0，解得y＝﹣6，则P的坐标是（0，﹣6）；当四边形APCD是梯形时，如图2，同理，CD的解析式是y＝﹣x﹣12，AP的解析式是y＝﹣x﹣24，则P的坐标是（0，﹣24）．故P的坐标是（0，﹣6）或（0，﹣24）．13．解：（1）在y＝﹣x+中，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），B（0，），（2）如图1，过C作CD⊥x轴于D，∵C（2，2），∴OD＝2，CD＝2，∴S△ABC＝S梯形BODC﹣S△ABO﹣S△ACD＝（）×2﹣﹣＝；（3）如图2所示，∵S△PBA＝S△ABC，∴所有满足条件的P点所构成的图象是一条平行于AB且到AB的距离等于点C到AB的距离的直线，设这条直线的解析式为y＝﹣x+b，∵C到直线AB的距离为：＝，∴点A到直线y＝﹣x+b的距离＝C到直线AB的距离，∴＝，∵b＜0，∴b＝﹣2，∴该图象的函数关系式为：y＝﹣x﹣2．14．解：（1）图②中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；故答案为：乙，甲，乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）∴，解得，，解得：，∴解析式为y＝3x+2和y＝﹣2x+12，令3x+2＝﹣2x+12，解得x＝2，∴当2分钟时两个水槽水的深度相同．（3）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，设铁块的底面积为acm2，则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3，放了铁块的体积为3×（36﹣a）cm3，∴1×3×（36﹣a）＝1×2.5×36，解得a＝6，∴铁块的底面积为6cm2；设甲槽的底面积为m，乙槽的底面积为n，则根据前4分钟和后2分钟甲槽中流出的水的体积和乙槽中流入的水的体积分别相等列二元一次方程组，∵“匀速注水”，没过铁块前和没过铁块后注水速度未变，则总水体积不变∴，解得：m＝45．故答案为6，45．15．解：（1）∵B（8，4），∴BE＝4，∴S＝（AB+PC）BE，＝（5+11﹣t）×4，＝﹣2t+32，（2）当S＝20时，即﹣2t+32＝20，解得：t＝6，故P（6，0）．16．解：（1）∵点A的坐标为：（4，0），点B的坐标为：（0，3），可得：OB＝3，OA＝4，∴在Rt△OAB中，AB＝＝5，∴AC＝AB＝5，∴S△ABC＝×AB×AC＝×5×5＝12.5．（2）过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，则∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH＝4，OB＝HA＝3，∴OH＝OA+AH＝7，∴点C的坐标为（7，4）；（3）存在这样的P点．当PB与P A成一直线时，|PC﹣PB|的值最大，如图2，17．解：∵四边形ABCD为矩形，点P是该矩形对角线的交点，A（0，4），C（8，3），∴P（4，）．又∵直线y＝kx+1平分矩形的面积，∴直线y＝kx+1经过点P，把点P的坐标代入，得＝4k+1，解得k＝．18．解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，把（18，6）代入得：18k1＝6，即k1＝，∴y＝x，设直线l2的表达式为y＝k2x+b，它过点A（0，24），B（18，6），将A与B坐标代入得：，解得：，∴直线l2的表达式为：y＝﹣x+24；（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a，∴a＝x，即x＝3a，∴点C的坐标为（3a，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为3a，∵点D在直线l2上，∴y＝﹣3a+24，∴D（3a，﹣3a+24），②∵C（3a，a），D（3a，﹣3a+24），∴CF＝3a，CD＝﹣3a+24﹣a＝﹣4a+24，∵矩形CDEF的面积为40，∴S矩形CDEF＝CF•CD＝3a×（﹣4a+24）＝40，解得：a＝，当a＝时，3a＝9+，则C（，9+）．19．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0，得到y＝4；令y＝0，得到x＝3，∴C（0，4），A（3，0），即OC＝4，OA＝3，∵BO＝1，△CBD面积为1，∴CD•BO＝1，即CD＝2，∴OD＝OC﹣CD＝4﹣2＝2，即D（0，2），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B与D坐标代入得：，解得：，即直线BD解析式为y＝2x+2，联立得：，解得：，即E（0.6，3.2）；（2）S四边形AODE＝S△COA﹣S△CDE＝×3×4﹣×2×0.6＝6﹣0.6＝5.4；（3）如图所示：当四边形DPQE为矩形时，DP⊥DE，∵直线DE解析式为y＝2x+2，D坐标为（0，2），∴直线DP解析式为y﹣2＝﹣x，即y＝﹣x+2，联立得：，解得：，则P（2.4，0.8）．20．解：（1）依题意得解得．∴点A的坐标为（4，4）．（2）设直线MF、NE与y轴交于点R、Q，则△OQE是等腰直角三角形．∵OE＝1×t＝t，∴EQ＝OQ＝t，∴E（t，t）．∵EF∥y轴，∴RF＝t，RO＝﹣2×t+12＝12﹣t．∴EF＝RQ＝12﹣t﹣t＝12﹣t．①当EF＞QE时，即12﹣t＞t，解得t＜3．∴当0≤t时，S＝EF•QE＝t（12﹣t）＝﹣+6t．②当EF≤QE时，即12﹣t≤t，解得t≥3．∴当3≤t＜4时，S＝EF2＝．21．解：（1）∵直线AB与x轴交于A（﹣6，0），与y轴交于B（0，6），即OA＝OB＝6，∴S△ABO＝×6×6＝18；（2）作EG⊥x轴于G，可得∠EGD＝∠DOB＝90°，∵△EDB为等腰直角三角形，∴ED＝BD，∠BDE＝90°，∵∠DEG+∠EDG＝90°，∠EDG+∠BDO＝90°，∴∠DEG＝∠BDO，在△DEF和△BDO中，，∴△DEF≌△BDO（AAS），∴EG＝OD，DG＝OB＝6，设D（﹣d，0），d＞6，则G（﹣d﹣6，0），E（﹣d﹣6，d），设直线EA的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣1，b＝﹣6，∴直线EA的解析式为y＝﹣x﹣6，令x＝0，得到y＝﹣6，即F（0，﹣6）．22．解：（1）联立得：，解得：，即C（2，4）；（2）对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，得到y＝6；令y＝0，得到x＝6，即A（6，0），B（0，6），∴AC＝＝4，如图所示，分三种情况考虑：当AC＝AP1＝4时，△ACP1为等腰三角形，此时P1（6，4）；当AC＝CP2＝4时，△ACP2为等腰三角形，此时P2（6，8）；当AP3＝CP3时，线段AC垂直平分线与直线l交于点P3，∵线段AC垂直平分线的方程为y﹣2＝x﹣4，∴当x＝6时，y＝4，即P3（6，4）；（3）∵直线OC解析式为y＝2x，且OC⊥CP，∴直线CP解析式为y﹣4＝﹣（x﹣2），把x＝6代入得：y＝2，即P（6，2），则S四边形AOCP＝S△OCD+S梯形ADCP＝×2×4+×（2+4）×4＝4+12＝16．23．解：（1）∵S△AOB＝18，且△AOB为等腰直角三角形，∴OA＝OB＝6，即A（﹣6，0），B（0，6），设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：，解得：k＝1，b＝6，则直线AB解析式为y＝x+6；（2）∵C为AB的中点，A（﹣6，0），B（0，6），∴C（﹣3，3）；（3）∵过点C的直线l把△AOB面积分成5：1，S△AOB＝18，∴S△ACD＝×18＝15或S△ACD＝×18＝3，设D坐标为（d，0）d＜0，若△ACD面积为3时，C纵坐标为3，AD＝|d﹣6|，∵S△ACD＝•|d﹣6|•3＝3，∴|d﹣6|＝2，即d﹣6＝2或﹣2，解得：d＝8（舍去）或d＝4（舍去）；若△ACD面积为15时，C纵坐标为3，AD＝|d﹣6|，∵S△ACD＝•|d﹣6|•3＝15，∴|d﹣6|＝10，即d﹣6＝10或﹣10，解得：d＝16（舍去）或d＝﹣4，此时D（0，﹣4），设直线CD解析式为y＝px+q，把C与D坐标代入得：，解得：p＝﹣，q＝﹣4，则直线l解析式为y＝﹣x﹣4．24．解：（1）点（4，3）在一次函数y＝﹣x+6的图象上，理由如下将（4，3）代入函数解析式，得3＝﹣×4+6，点（4，3）满足函数解析式，点（4，3）在一次函数y＝﹣x+6的图象上；（2）当x＝0时，y＝6，即B（0，6），当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝8，即A（8，0）；（3）设E点坐标为（a，0），AE＝AO＝OE＝（8﹣a），由勾股定理，得AB＝＝10，由轴对称的性质，得BC＝AB＝10，CE＝AE＝8﹣a，由线段的和差，得OC＝BC﹣OB＝10﹣6＝4，即C（0，﹣4）在Rt△OCE中，由勾股定理，得OC2+OE2＝AE2，即a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，即E（3，0），设CE的解析式为y＝kx+b，将C、E点坐标代入，得，解得，CE的解析式为y＝x﹣4；（4）S△ABC＝BC•OA＝×10×8＝40．25．解：（1）令y＝0，则0＝﹣x+4，得：x＝4，∴B（4，0），令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），（2）∵S＝•y，∴S＝×3y，∵点P（x，y）在直线l上，∴S＝（﹣x+4）＝﹣x+6，即S＝﹣x+6，（0＜x＜4）；（3）当a＞0时，如图1，∵Q（a，2），∴过Q点作x轴的平行线交y轴的交点G（0，2），∵S△OBC＝OB•OC＝×4×4＝8，S△CQG＝GQ•GC＝a×2＝a，S四边形OAQG＝（OA+GQ）•OG＝（a+3）×2＝a+3，S△OAC＝OA•OC＝＝6，又∵△QAC的面积与△OBC的面积相等，∴S△CQG+S四边形OAQG﹣S△OAC＝8，即a+a+3﹣6＝8，解得：a＝．当a＜0时，如图2，∵Q（a，2），∴过Q点作y轴的平行线交x轴的交点G（a，0），∵S△OBC＝OB•OC＝×4×4＝8，S△AQG＝GQ•GA＝×2×（3﹣a）＝3﹣a，S四边＝（OG+OC）•OG＝（2+4）×（﹣a）＝﹣3a，S△OAC＝OA•OC＝形OCQG＝6，又∵△QAC的面积与△OBC的面积相等，∴S△OAC+S四边形OCQG﹣S△AQG＝8，即6﹣3a﹣（3﹣a）＝8，解得：a＝﹣．综上，a的值为或﹣．。
一次函数中的面积问题(学生版)
知识点：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式 2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决 考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用 2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握 一次函数相关的面积问题画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
规则图形 （公式法）不规则图形 （切割法） 不含参数问题含参数问题 （用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。
一、典例精讲一、利用面积求解析式1、直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =________.2、已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线 经过原点，与线段AB 交于点C ，把,△AOB 的面积分为2：l 两部分，求直线 名的解析式．3、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示)若AB=2,且S 四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.3、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB∆分成两部分（1）若AOB ∆被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ∆被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值5、已知一次函数332y x =-+的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果AOB DOC S S ∆∆=，求直线y kx b =+的解析式．二、利用解析式求面积 1、直线b kx y +=过点A （－1，5）和点)5,(-m B 且平行于直线x y -=，O 为坐标原点，求AOB∆的面积.2、 如图，所示，一次函数b kx y +=的图像经过A ，B 两点，与x 轴交于C求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC ∆的面积3、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.求两直线交点C 的坐标;(2)求△ABC 的面积.(3)在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6， 若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
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一次函数与面积专题
问题一x轴交于点B(-6,0)交正比例函数的图象于点A,点A的横坐标为OA的解析式.
问题二：直线y= x+3的图象与x轴、y轴分别交A、B两点 ,直线a经过原点与线段AB交于C,把△ABO面积分为2:1的两部分.
求：直线a的解析式.
问题三:直线PA是一次函数y= x+n的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m (m＞n)的图象.
求点P坐标.
X
练习1、△AOB 的顶点 O(0, 0)、A(2, 1)、B(10, 1),直线CD ⊥x 轴且将△AOB 面积二等分，若D(m, 0).求m 的值.
2、点B 在直线y= -x+1上，且点B 在第四象限，点A(2,0)、O(0,0),△ABO 的面积
为2，求点B 的坐标.
3、直线
与x 轴y 轴分别交点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,AB=2,
∠BAC=90度,点P(a, 2
1
)在第二象限，△ABP 面积与△ABC 面积相等，求a 的值. X
1x 3
3y +-=
练习二
1、
2、
3、
4、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．
5、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.
（2）求△ABC的面积.
（3）在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6
P的坐标，若不能请说明理由。
6、
7、
8、9、
A
F E
o
y
x
10、已知直线111:b x k y l +=经过点（－1，6）和（1，2），它和x 轴、y 轴分别交于B 和A ；直线212:b x k y l +=经过点（2，－4）和（0，－3），它和x 轴、y 轴的交点分别是D 和C 。
（1）求直线1l 和2l 的解析式；[（2）求四边形ABCD 的面积； （3）设直线1l 与2l 交于点P ，求△PBC 的面积。
11、如图，直线6y kx =+与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；
（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为27
8，并说明
理由。