初中数学抛物线与几何专题训练及答案

全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；２、顶点式:y =a(x—h ） ２+ｋ;3、交点式:y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ,这里x 1、ｘ ２是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两个实根。

解函数与几何的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础;而充分发挥形的因素，数形互动,把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】【例１】 （浙江杭州）在直角坐标系x Ｏy 中,设点A(0,t ），点Q(ｔ,b ）。

平移二 次函数2tx y -=的图象,得到的抛物线F 满足两个条件:①顶点为Ｑ;②与ｘ轴相交于B,Ｃ两点（∣O Ｂ∣<∣OC ∣)，连结A ，B 。

（1）是否存在这样的抛物线Ｆ，OC OB OA ⋅=2?请你作出判断，并说明理由;（2）如果AQ ∥ＢC,且t ａn ∠ＡBO=23,求抛物线Ｆ 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1)由关系式OC OB OA ⋅=2来构建关于t 、ｂ的方程；(2）讨论t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图，抛物线24y x x =+与ｘ轴分别相交于点Ｂ、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.（1）求点A 的坐标；(2）以点A 、B 、O 、Ｐ为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、Ｐ为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为ｘ,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.【思路点拨】(3)可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时,x<0、 ②当点P 在第四象限是，x ＞0这二种情况。

【例３】(浙江丽水)如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（２,4），直线2=x 与x 轴相交于点B ,连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ,顶点M 到A 点时停止移动.(1)求线段OA 所在直线的函数解析式； （2)设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；(3）当线段PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点Q ,使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(２)构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值;（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市)如图１，在平面直角坐标系中,二次函数yBOA P Mx 2x =)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于Ｃ点,与ｘ轴交于A 、B 两点, A点在原点的左侧,B 点的坐标为(3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31.(１)求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点Ｅ，在该抛物线上是否存在这样的点F, 使以点A 、C 、Ｅ、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于Ｍ、N 两点，且以ＭN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度.(4)如图２，若点G(2，ｙ）是该抛物线上一点,点P 是直线A Ｇ下方的抛物线上 一动点,当点Ｐ运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和△A ＰG 的最大面积．【思路点拨】(2)可先以Ａ、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求Ｆ点的坐标,再代入抛物线的表达式检验。

(3）讨论①当直线MN 在ｘ轴上方时、②当直线ＭN 在x 轴下方时二种情况。

（4)构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例5】(山东济南)已知:抛物线2y ax bx c =++(a ≠0）,顶点C （１,3-),与x 轴交于A、B两点,(10)A-，．(1)求这条抛物线的解析式．(2)如图，以ＡB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E，点P为线段AＢ上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作ＰM⊥AＥ于Ｍ，ＰN⊥DＢ于N,请判断PM PNBE AD+是否为定值？若是,请求出此定值；若不是,请说明理由.（3）在(２)的条件下，若点Ｓ是线段EP上一点，过点Ｓ作ＦＧ⊥EＰ,ＦG分别与边．ＡE、ＢE相交于点F、Ｇ(F与A、Ｅ不重合，Ｇ与E、B不重合），请判断PA EFPB EG=是否成立.若成立，请给出证明；若不成立,请说明理由.【思路点拨】(2)证△APM∽△ABE，PM AP BE AB=同理：PN PBAD AB=(３)证PH＝BH且△AＰM∽△PBH 再证△ＭEP∽△EGF可得。

【学力训练】1、(广东梅州）如图所示,在梯形ABCD中,已知ＡB∥ＣＤ,AD⊥DB,ＡＤ=ＤＣ＝CB,ＡB=4．以AＢ所在直线为x轴，过D且垂直于AＢ的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴Ｌ.（3）若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使CO x ADPMEBNy∆PDB 为等腰三角形的点Ｐ有几个？(不必求点P 的坐标，只需说明理由)2、（广东肇庆)已知点Ａ(a ,1y )、B （2a ，y 2)、C （３a ，ｙ3)都在抛物线x x y 1252+=上.(1)求抛物线与x 轴的交点坐标; (２）当a ＝1时，求△ＡBC 的面积;（３)是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明;如果不存在，说明理由．3、（青海西宁)如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线,切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，,二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（１)求二次函数的解析式; （2）求切线OM 的函数解析式；(3)线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似.若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．4、(辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中,直线33y x =--与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点. (1)求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在,直接写出P 点坐标;若不存在,请说明理由；(3)试探究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由．5、(四川资阳）如图,已知点A 的坐标是（－１，0),点B 的坐标是(９，０),以A Ｂ为直径作⊙O′,交y 轴的负半轴于点C,连接AC 、ＢC,过A 、B 、C 三点作抛物线.(1）求抛物线的解析式；（２)点E 是AC 延长线上一点,∠ＢCE 的平分线ＣD 交⊙O′于点D ，连结ＢD,求直线ＢD 的解析式；（３）在（2）的条件下,抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠ＣBD?如果存在,请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.6、(辽宁沈阳)如图所示，在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO 在x 轴的yxOAB MO 1y OD EC FA BA O xyBFC负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =，OB =矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ,抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （１)判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； (2）求抛物线的函数表达式;(３）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．7、(苏州市）如图，抛物线y =a(x +1）(x －5)与x 轴的交点为M 、N ．直线y =kx ＋b 与x 轴交于P(-2,0)，与y 轴交于C .若A 、B 两点在直线y ＝ｋｘ+b 上，且ＡO =BO =2,ＡO ⊥BO .D 为线段M Ｎ的中点，OH 为Ｒt △OPC 斜边上的高．(1）OH 的长度等于_＿_____＿＿__;k =_＿_________，ｂ=_＿_______＿_＿;（2)是否存在实数a ,使得抛物线ｙ＝a(x ＋1)(x －５)上有一点Ｅ,满足以D 、N 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E 点(简要说明理由）;并进一步探索对符合条件的每一个E 点,直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足P Ｂ·PG ＜210，写出探索过程．抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例１】 （浙江杭州）（1）∵平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2)(. ∵抛物线与x 轴有两个交点,∴0>b t .令0=y , 得-=t OB t b,+=t OC tb， ∴-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )｜-=2|t 22|OA t tb == , 即22t t tb±=-, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.-- 2分(２) ∵BC AQ //， ∴b t =, 得F : t t x t y +--=2)(, 解得1,121+=-=t x t x ． 在∆Rt AOB 中,1) 当0>t 时,由||||OC OB <， 得)0,1(-t B ， 当01>-t 时, 由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ， 解得3=t , 此时, 二次函数解析式为241832-+-=x x y ; 当01<-t 时， 由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t , 解得=t 53, 此时，二次函数解析式为-=y 532x +2518x ＋12548． ２) 当0<t 时， 由||||OC OB <, 将t -代t , 可得=t 53-, 3-=t , （也可由x -代x ,y -代y 得到） 所以二次函数解析式为=y 532x +2518x –12548或241832++=x x y ． 【例2】(江苏常州) (1）∵4)2(422-+=+=x x x y∴A(-2,-４)(2）四边形ABP 1O 为菱形时，Ｐ1(-2,4)四边形A ＢOP 2为等腰梯形时,P 1(5452-，) 四边形ＡB Ｐ３Ｏ为直角梯形时，P 1(5854，-)四边形ＡBO Ｐ４为直角梯形时，P 1(51256-，）(3)由已知条件可求得ＡB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x①当点Ｐ在第二象限时，ｘ<0，△P ＯB 的面积x x S POB 4)2(421-=-⨯⨯=∆ ∵△ＡOB 的面积84421=⨯⨯=∆AOB S ，∴)0(84<+-=+=∆∆x x S S S POB AOB ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-+≥+-2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥22412232S x∴x 的取值范围是22322241-≤≤-x②当点P 在第四象限是,x ＞0,过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′Ａ的面积44)2(21)2(224+=⋅⋅-+⋅+=-='∆'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△A Ａ′Ｂ的面积42421=⨯⨯='∆BA A S ∴)0(84>+=+='∆'x x S S SB A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤++≥+2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥21242223S x ∴ｘ的取值范围是21242223-≤≤-x【例３】(浙江丽水）(1)设OA 所在直线的函数解析式为kx y =，∵A （2,4),∴42=k , 2=∴k ， ∴OA 所在直线的函数解析式为2y x =(２)①∵顶点Ｍ的横坐标为m ,且在线段OA 上移动， ∴2y m =(０≤m ≤2).∴顶点M 的坐标为(m ,2m )．∴抛物线函数解析式为2()2y x m m =-+. ∴当2=x 时，2(2)2y m m =-+224m m =-+(０≤m ≤２）. ∴点P 的坐标是(２,224m m -+）.②∵PB =224m m -+=2(1)3m -+， 又∵0≤m ≤２，∴当1m =时,PB 最短（3)当线段PB 最短时,此时抛物线的解析式为()212+-=x y . 假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M AS S =. 设点Q 的坐标为（x ,223x x -+).①当点Q 落在直线OA 的下方时，过P 作直线P C //AO ,交y 轴于点C ，∵3P B =，4A B =,∴1A P =,∴1O C =，∴C 点的坐标是（０,1-）.∵点P 的坐标是（2,3),∴直线P C 的函数解析式为12-=x y∵Q M A P M AS S =,∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴223x x -+=21x -.解得122,2x x ==,即点Q （2,3）. ∴点Q 与点P 重合.∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M 的面积相等.②当点Q 落在直线OA 的上方时,作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线DE ／／AO ，交y 轴于点E ，∵1A P =,∴1E OD A ==，∴E 、D 的坐标分别是(0，1），（2,5)， ∴直线DE 函数解析式为12+=x y ． ∵Q M A P M AS S =,∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴223x x -+＝21x +.解得：12x =,22x =. 代入12+=x y ,得15y =+25y =-∴此时抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.综上所述，抛物线上存在点(12Q ,()225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.【例４】（广东省深圳市)（１)方法一：由已知得：C(0，-3）,A(-1,０）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a解得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （2)存在,F 点的坐标为（2,－3）易得Ｄ(１，-4)，所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴Ｅ点的坐标为(－3,0) ∵以A 、Ｃ、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为（2，－３）或（―2，―3）或(－4,3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2，－３)符合 ∴存在点Ｆ,坐标为(2,-3）(3)如图,①当直线M Ｎ在ｘ轴上方时，设圆的半径为Ｒ(R>0）,则N （R+1,Ｒ）, 代入抛物线的表达式，解得2171+=R ②当直线ＭN 在x 轴下方时,设圆的半径为r(r>０）， 则Ｎ(r+1,-r ）,代入抛物线的表达式,解得2171+-=r∴圆的半径为2171+或2171+-． （4）过点Ｐ作y 轴的平行线与A Ｇ交于点Q, 易得G （2,-3),直线A Ｇ为1--=x y ．设P(x ,322--x x ）,则Q （x ,-x －1）,ＰQ 22++-=x x .3)2(212⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG 当21=x 时，△APG 的面积最大 此时Ｐ点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-415,21,827的最大值为APG S ∆．【例5】（山东济南）（１)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-- 将A (-1,０)代入: 20(11)3a =---∴34a =∴抛物线的解析式为23(1)34y x =--,即:2339424y x x =--（２)是定值,1PM PNBE AD+= ∵A Ｂ为直径,∴∠AEB =９0°，∵P Ｍ⊥AE ，∴ ＰM ∥ＢE ∴△APM ∽△ABE ，∴PM APBE AB=① 同理:PN PB AD AB =②① + ②:1PM PN AP PBBE AD AB AB+=+=（3）∵直线E Ｃ为抛物线对称轴，∴ＥC 垂直平分A Ｂ∴EA =ＥB∵∠ＡE Ｂ＝90°∴△ＡＥB 为等腰直角三角形． ∴∠EAB =∠EB Ａ=45° ...................... 7分 如图,过点Ｐ作P Ｈ⊥ＢＥ于Ｈ,由已知及作法可知,四边形PHEM 是矩形, ∴PH =ME 且PH ∥ME 在△AP Ｍ和△PBH 中 ∵∠ＡＭP =∠PHB =９0°，∠E ＡB =∠BPH =45°∴PH =B Ｈ且△A ＰM ∽△PBH ∴PA PMPB BH=∴PA PM PMPB PH ME==① 在△ＭEP 和△ＥG Ｆ中，∵PE ⊥ＦG ,∴∠FGE +∠ＳＥG =90° ∵∠ＭE Ｐ+∠S ＥG ＝90° ∴∠ＦGE =∠MEP ∵∠PM Ｅ=∠FE Ｇ=9０° ∴△ＭEP ∽△E ＧF ∴PM EFME EG=② 由①、②知：PA EFPB EG=【学力训练】 1、(广东梅州）（１） DC ∥AB ,AD =DC ＝ＣB ,∴∠CD Ｂ=∠ＣB Ｄ=∠DBA ,∠DAB ＝∠C ＢA ，∴∠DA Ｂ=2∠D ＢA ,∠DA Ｂ+∠ＤBA =90 ,∴∠DA Ｂ＝60 , ∠DB Ａ=30 , AB =4,∴D Ｃ=ＡD =２,Ｒt ∆AOD ,O Ａ=１,OD =3,∴A (-１,0）,D (0，3),C （２，3).(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知,满足条件的抛物线必过点Ａ（－1,０），B (3,０）, 故可设所求为y ＝a (x +1）（x -3) 将点D (0，3）的坐标代入上式得,a ＝33-． 所求抛物线的解析式为y =).3)(1(33-+-x x 其对称轴L 为直线x =1. （3)∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况:①因直线L 与D Ｂ不平行,D Ｂ的垂直平分线与Ｌ仅有一个交点P 1,P 1Ｄ=P 1B , ∆P １DB 为等腰三角形；②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点Ｐ2、Ｐ3,DB ＝DP ２，D Ｂ=DP ３，∆Ｐ2DB ,∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，Ｌ上也有两个点Ｐ4、P 5，使得ＢＤ=BP 4，BD =BP 5.由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个.２、（广东肇庆）(１)由5x x 122+=0,(１分)得01=x ，5122-=x .∴抛物线与x 轴的交点坐标为(０,0）、(512-，0）.(3分) （2）当a =１时,得A (1，17）、Ｂ(2，44）、Ｃ（3,８1）， 分别过点A 、Ｂ、C 作ｘ轴的垂线,垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 －BEFC S 梯形=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+＝５（个单位面积）(３）如:)(3123y y y -=．事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= ＝45a 2+３６a ．３（12y y -）＝3[５×（２a ）2+12×2a -(5a 2+1２ａ）］ =45a 2+36a . ∴)(3123y y y -=． 3、(青海西宁)（1)圆心1O 的坐标为(20)，,1O 半径为1,(10)A ∴，,(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+-（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ．OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径)．在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠==1O OM ∠为锐角,130O OM ∴∠=1cos302OM OO ∴===,在Rt MOF △中，3cos30322OF OM ===.1sin 30322MF OM ===.∴点M 坐标为32⎛ ⎝⎭设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠,由题意可知32k =,k ∴=∴切线OM 的函数解析式为y x =（3)存在．①过点A 作1AP x ⊥轴,与OM 交于点1P .可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 30P A OA AOP =∠==11P ⎛∴ ⎝⎭②过点A 作2AP OM ⊥,垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥,垂足为H ． 可得21Rt Rt AP O O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似） 在2Rt OP A △中，1OA =,23cos302OP OA ∴==，在2Rt OP H △中，223cos 4OH OP AOP =∠==，2221sin 2P H OP AOP =∠==234P ⎛∴ ⎝⎭∴符合条件的P 点坐标有13⎛ ⎝⎭，,344⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，4、（辽宁１2市) 解:（1)直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C .(10)A ∴-，，(0C -，点A C ，都在抛物线上,0a c c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为233y x x =-顶点13F ⎛- ⎝⎭， （2）存在1(0P2(2P （3）存在理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于 点M ，则点M 就是所求的点．过点B '作B H AB '⊥于点H .B点在抛物线233y x x =--,(30)B ∴， 在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=， 30OBC ∴∠=，BC =，在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=,(3B '∴--，设直线B F '的解析式为y kx b =+图10答案图123343k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩解得333k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩33362y x ∴=- 33333y x y x ⎧=--⎪∴⎨=-⎪⎩解得371037x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，31037M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ,使得MBF △的周长最小，此时310377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，.５、(四川资阳） （1) ∵以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C, ∴∠ＯCA+∠OCB=９0°， 又∵∠ＯＣＢ+∠OB Ｃ＝90°, ∴∠OC Ａ=∠O ＢC ，又∵∠ＡOC= ∠COB=９０°, ∴ΔAOC ∽ ΔCOB , ∴OA OC OC OB =． 又∵A(–1,０），B （9，0）,∴19OC OC =，解得OC=3(负值舍去)． ∴C(０，–3),设抛物线解析式为ｙ=ａ（x+1）(x –9), ∴–３＝a(０+1)(０–9),解得ａ=13,∴二次函数的解析式为ｙ=13（x ＋１)(x –９),即y=13ｘ２–83ｘ–3.(2) ∵ＡＢ为O′的直径,且A(–1，０),B(９，0）， ∴OO′=４,O′(4，0),∵点E 是ＡＣ延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点Ｄ，∴∠B ＣD ＝12∠BC Ｅ=12×90°=45°,连结Ｏ′D 交BC 于点Ｍ，则∠BO′D =2∠BCD=２×45°=90°，OO′＝4,O′D=12ＡＢ=5.∴D(4，–5).∴设直线B Ｄ的解析式为y=kx+b(k≠0）图10∴90,4 5.k bk b+=⎧⎨+=-⎩解得1,9.kb=⎧⎨=-⎩∴直线BD的解析式为y=ｘ–9．(3) 假设在抛物线上存在点Ｐ,使得∠PＤB＝∠CBＤ，设射线DP交⊙O′于点Q,则BQ CD=．分两种情况(如答案图1所示)：①∵O′(4,0），D(４,–５),B(９,0）,C(0，–３).∴把点C、Ｄ绕点Ｏ′逆时针旋转90°,使点D与点Ｂ重合,则点C与点Q1重合, 因此，点Q1(7，–4)符合BQ CD=,∵D(４，–5),Q１(７，–4）,∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=13x–193．解方程组211933183.33y xy x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得11xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P1坐标为)，[)不符合题意，舍去]．②∵Q1（7,–4），∴点Q１关于x轴对称的点的坐标为Q2(7,4）也符合BQ CD=.∵Ｄ(4,–5)，Q2(7，4)．∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=３x–１7.解方程组2317183.33y xy x x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩，得1138xy=⎧⎨=-⎩，；221425.xy=⎧⎨=⎩，∴点P2坐标为(14，25）,[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去］．∴符合条件的点Ｐ有两个：P1(92+,296-)，P２(14，25）．６、(辽宁沈阳)（１)点E在y轴上理由如下：连接AO,如图所示,在Rt ABO△中,1AB =，BO=，2AO∴=1sin2AOB∴∠=,30AOB∴∠=由题意可知:60AOE∠=306090BOE AOB AOE∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． (2)过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =,2OM =点D 在第一象限,∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，由(1)知2EO AO ==,点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，点A的坐标为( 抛物线2y ax bx c =++经过点E ,2c ∴=由题意，将(A ,12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得321312422a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =--+（3）存在符合条件的点P ，点Q .· 10分理由如下:矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边, 又3OB =OB ∴边上的高为2依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线2829y x x =-+上282299m m ∴--+=解得，10m =，28m =-1(02)P ∴，,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB ==∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q,2Q ; 当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时,点Q的坐标分别为328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，428Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．7、(苏州市） (1)O Ｈ＝1;k =33,b =332;(2）设存在实数a ,是抛物线ｙ=ａ(x ＋1)(x －５)上有一点E ，满足以D 、Ｎ、Ｅ为顶点的三角形与等腰直角△AOB 相似∴以Ｄ、N 、Ｅ为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形,另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形． ①若DN 为等腰直角三角形的直角边,则ED ⊥ＤN . 由抛物线y =a(ｘ+1)(ｘ-5)得:M （－1,0)，N(5，0) ∴Ｄ(2，0),∴E Ｄ＝DN ＝3,∴Ｅ的坐标是(2,3)． 把E(２，３)代入抛物线解析式，得a =31-初中数学抛物线与几何专题训练及答案∴抛物线解析式为y ＝31-（x ＋１)(x －5） 即y ＝31-x 2+34ｘ＋35 ②若ＤN 为等腰直角三角形的斜边，则DE ⊥EN ,D Ｅ＝EN .∴E 的坐标为(3.5,1．5)把Ｅ(3．5，1.5)代入抛物线解析式，得a =92-. ∴抛物线解析式为ｙ＝92-(ｘ+1)(x -５),即ｙ＝92-x ２+98x ＋910 当a =31-时,在抛物线y =31-x 2+34ｘ＋35上存在一点E （2,3）满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E 点,不妨设为Ｅ’点,那么只有可能△DE ’N 是以ＤＮ为斜边的等腰直角三角形,由此得E ’(3.5，1.５)．显然E ’不在抛物线y =31-x 2＋34x +35上，因此抛物线ｙ＝31-x ２+34x ＋35上没有符合条件的其他的E 点. 当a =92-时，同理可得抛物线ｙ=92-x 2+98x ＋910上没有符合条件的其他的Ｅ点． 当E 的坐标为(2,３)，对应的抛物线解析式为y ＝31-x 2＋34ｘ+35时. ∵△ED Ｎ和△ABO 都是等腰直角三角形,∴∠G ＮP ＝∠PBO =4５°．又∵∠NP Ｇ＝∠BP Ｏ，∴△NP Ｇ∽△B ＰＯ． ∴PB PN PO PG =，∴PB ·P Ｇ＝ＰO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜210. 当E 的坐标为(３.5，１．5)，对应的抛物线解析式为y =92-x 2＋98ｘ＋910时， 同理可证得:ＰB ·PG ＝PO ·PN =2×7=１４，∴总满足PB ·P Ｇ＜210．。