高考数学百大经典例题正态分布

正态分布经典题型

正态分布经典题型正态分布是一种常用的统计分布,它在统计学中应用广泛。

以下是正态分布的一些经典题型:1. 均值和标准差:均值和标准差是正态分布中最为重要的两个参数。

均值可以理解为一组数据的平均数,标准差则是平均数乘以数据数的平方根。

以下是均值和标准差的示例计算:(1)计算正态分布的均值:均值 = (3.5 + 2.5) * 2 / 2 = 7(2)计算正态分布的标准差:标准差 = (3.5 - 2.5) * 2 / 2 = 0.52. 方差:方差是正态分布中另一个重要的参数,它表示数据的离散程度。

以下是方差的示例计算:(1)计算正态分布的方差:方差 = (4.5 + 3.5) * (4.5 - 3.5) / 2 = 6(2)计算正态分布的标准差与方差的关系:标准差 = 方差 / n = 6 / 2 = 33. 分布曲线:绘制正态分布的分布曲线,可以帮助我们了解数据的分布情况。

以下是正态分布分布曲线的示例:正态分布分布曲线图| | 7| ----|---| 3 | 2| 0 | 5| 10 | 8| 15 | 124. 假设检验:假设检验是统计学中常用的一种方法,它可以帮助我们检验一个假设是否成立。

正态分布假设检验中的假设为均值为μ,标准差为σ,我们希望检验的是样本均值是否大于或者等于设定值。

以下是正态分布假设检验的示例:(1)设我们要检验的假设为 H0:μ == 7,那么备择假设为 H1:μ不等于 7。

(2)计算拒绝域D,即满足给定的拒绝域,且拒绝域不包含设定的假设值的区域:D = 临界值 - 标准差 * 根号下(2 * 概率密度函数的平方)/(期望平方和 - 方差平方和)(3)计算拒绝域的概率,即满足拒绝域并且拒绝域不包含设定的假设值的概率:P(D) = (自由度(H1) - 自由度(H0)) / 自由度(H1)P(D) = (6 - 3) / 6 = 1/3(4)选择适当的检验方法,例如t检验或F检验,计算拒绝域和对应的p值,并绘制拒绝域与设定值或临界值的对比图,以检验我们的假设是否正确。

正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

2001.若 x 〜N (0,1),求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228.:2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1 解: (1) F (3) =( ) =0( 1)= 0.8413 2a( )0.975 ■ 200(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413F(y —b))=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)0.8413 — 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1=，求总体落入区间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) (x )22~=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是f(x),x ()，它是偶函数,1说明” 0,f(x)的最大值为f()=亍，所以"1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从 =500元,在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入如果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,0 ( 1.96 ) a, a )内=0.975]解：设表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500520 500(500 500.200 ')(0.1) (0) 0.5398 0.50.0398 ( 2 )a)(盘—)2 200(旦)10.95,200查表知：—1.961设随机变量X 〜 N (3,1), 若P(X4) p ,,则 J P(2<X<4)=—、11(A) p(B)l 一P C .l -2p D . - p22 【答案】C因为P(X 4) P(X 2)p ,所以 P(2<X<4)1 P(X 4) P(X2) 1 2p ,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为C 7-x 2 7 — x 6 — xP( 3= 0)= C 72 =42,x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,C x 2 x x — 1P( 3= 2)= C 72 = 42 ,.x = 3.4A.9 B .1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a= 6’ b= 3 c = 2，二 D(3= 6X2+21-「=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C . 5D . 23贝U 3取值0,1,2,0X7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X X —1 42 55.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()A 255B 9C 247D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C［解析］由条件知旷B(n , P),E E = 4, np = 4 D E = 2n p 1 — p = 2 '1解之得，p = , n = 8, ••• P( = 0)= C 8°x 218= 2 8,1 1 1P( E= 1) = C 81x 2 1x2 7= 2 5，• P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)A . 2< 俘=淨，01=d2> d3B .皿> 俘=淨，d=d < dC . (J1= (J2<P 3, d 1< d 2= d 3D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)f(X),则f(6)的值为0;=1— 18— 1 5= 24Z2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数则()1XX )= 2 nd e —.2X —d^(x € R , 2 di = 1,2,3)的图象如图所示,［解析］正态分布密度函数<>④已知随机变量服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以a b 22ab a b(/,即(a b) 4(a b),解得a b 4,则a b 的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)0;所以③正确④已知随机变量服从正态分布2N(1, ),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P(5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(3) P( 5)0.19 ;所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概率为 ____________ .1【答案】—由题意知1 m 1, 1 n 1.要使方程x2 mx n 2 0有两不相等实4根，则 2=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线m 2n 0,m2n0 , 当 m1 时 1 1, n C—, n B—,所以SO111 1所以方程22 2BC 一 1 [( )xmx n 0有两不相等实根的概率为2 2222S OBC2 1 2 12 24 4'⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；2 1⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .a b【答案】⑵(3)(1)2G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式1x|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|2 1⑵正确.(3)正确.(4)--a b所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).场中的得分如图所示，则该样本的方差为7 2 3频数为A . 26B . 25C . 23D . 18【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为1 [(19 523)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2(31 2 23)] 18,选 D3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的21dx 1 x3.，⑵不等式|x 1|| x 3| a 恒成立,则a 4;| x 3| a 成立,则a 4,所以2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员2 1(a 严 b) 4 19,【答案】C样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,0.38 200 76,选 C .1的概率为,选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）的正方形OABC 中任取一点P,则点 1 A .3【答案】（x x 3）dxP 恰好取自阴影部分的概率为B .14【答案】B12141（c XX ） C.D.-5 6根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为11,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分4如图所示，在边长为I 第孕期图4 2.有,1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为10 5。

高中数学典型例题大全第一章概率与统计正态分布

高中数学典型例题大全第一章概率与统计正态分布例设ξ服从)1,0(N ，求以下各式的值：〔1〕);35.2(≥ξP 〔2〕);24.1(-<ξP 〔3〕).54.1(<ξP分析：因为ξ用从标准正态分布，因此能够借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地．解：〔1〕;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P 〔2〕;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP〔3〕)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=讲明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的成效更突出了核心内容．左边的几个公式都应在明白得的基础上记住它，并学会灵活应用．求服从一样正态分布的概率例设η服从)2,5.1(2N 试求：〔1〕);5.3(<ηP 〔2〕);4(-<ηP〔3〕);2(≥ηP 〔4〕).3(<ηP分析：第一，应将一样正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：假设),(~2σμηN ，那么由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情形的表达式，通过查表获得结果．解：〔1〕;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<ηP〔2〕;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP 〔3〕;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P 〔4〕⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=.7612.0)9878.01(7734.0=--=讲明：那个地点，一样正态分布),(~2σμξN ，总体小于x 的概率值)(x F 与)(x P <ξ和⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσμx 是一样的表述，即：.)()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ==<σμξx x F x P 服从正态分布的材料强度的概率例：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度ξ服从).18,200(2N〔1〕运算取得的这件材料的强度不低于180的概率．〔2〕假如所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，咨询这批材料是否符合那个要求．分析：这是一个实咨询题，只要通过数学建模，就能够明白其本质确实是一个〝正态分布下求随机变量在某一范畴内取值的概率〞的咨询题；此题的第二咨询是一个逆向式咨询法，只要把握实质反向求值即可．解：〔1〕-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ〔2〕能够先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿那个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，因此这批材料符合所提要求．讲明：〝不低于〞的含义即在表达式中为〝大于或等于〞．转化〝小于〞后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．公共汽车门的高度例假设公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，假如某地成年男子的身高)36,175(~N ξ〔单位：㎝〕，那么该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析：实际应用咨询题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm (x ，使其总体在不低于x 的概率值小于1％，即：%101.0)(=<≥x P ξ，从中解出x 的范畴．解：设该地公共汽车门的高度应设计高为x cm ，那么依照题意可知：%1)(<≥x P ξ，由于)36,175(~N ξ，因此，;01.061751)(1)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：;99.06175>⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx 通过查表可知：;33.26175>-x 解得：;98.188>x即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．讲明：逆向思维和逆向查表，表达解决咨询题的灵活性．关键是明白得题意和找出正确的数学表达式．学生成绩的正态分布例某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，咨询从理论上讲在80分至90分之间有多少人？分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在那个范畴内的概率，然后乘以总人数即可，而运算那个概率，需要查标准正态分布表，因此应第一把那个正态总体化成标准正态总体．解：设x 表示那个班的数学成绩，那么x 服从)10,80(2N 设1080-=x Z 那么z 服从标准正态分布)1,0(N ．查标准正态分布表，得：5000.0)0(,8413.0)1(==ΦΦ因此，3413.05000.08413.0)0()1()10()1080901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<<z p x p x p∴163824.163413.048≈=⨯．讲明：这类咨询题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直截了当求解，一样地，我们在解决正态总体的有关咨询题时均要第一转化成标准正态总体．。

2022高考数学专题15 正态分布(解析版)

【解析】解：（1） µ =35 × 0.02 + 45 × 0.12 + 55 × 0.20 + 65 × 0.25 + 75 × 0.24 + 85 × 0.13 + 95 × 0.04 =66.2 ．故 Z ~ N(66.2,198) ，易知
= σ 198 ≈ 14 ．
∴ P(Z ≤ 80.2) = 1 − 1 − P(66.2 − 14 < Z ≤ 66.2 + 14) = 1 − 1 − 0.6826 = 0.8413 ．
的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 S 2 ≈ 77.8（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，
该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型：（ⅰ）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数．（结果四舍五入到整数）（ⅱ）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为ξ ，求随机变量 ξ 的分布列和期望．
【解析】解：（Ⅰ）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 33 分，
即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分，由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人，
∴两人得分之和不大于 33 分的概率为：
= P C= 52 + C51C91
组别
[30 ， 40) [40 ， 50) [50 ， 60) [60 ， 70) [70 ， 80) [80 ， 90) [90 ，100)

正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

2001.若 x 〜N (0,1),求(I) P (-2.32< X <1.2) ; (2) P (x >2).解： ⑴ P (-2.32< x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P (x >2)=1- P (x <2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228.:2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在 N(1,4)下，求 F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6);3 1 解: (1) F (3) =( ) =0( 1)= 0.8413 2a( )0.975 ■ 200(2)F(y+b)= ( -------------- )=0( 1)= 0.8413F(y —b))=0 (— 1 )=1—0 ( 1 )= 1 - 0.8413 = 0.1587F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)0.8413 — 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1=，求总体落入区间(一1.2 , 0.2 )之间的概率.[0 ( 0.2 ) =0.5793,0 ( 1.2 ) (x )22~=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是f(x),x ()，它是偶函数,1说明” 0,f(x)的最大值为f()=亍，所以"1,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2) (0.2) [1 (1.2)] (0.2) (1.2) 10.5793 0.8848 10.46424.某县农民年平均收入服从 =500元,在500 : 520元间人数的百分比；(2) 的概率不少于0.95，则a 至少有多大？ =200元的正态分布 (1)求此县农民年平均收入如果要使此县农民年平均收入在( [0 ( 0.1 ) =0.5398,0 ( 1.96 ) a, a )内=0.975]解：设表示此县农民年平均收入,~ N(500,2002).P(500520 500(500 500.200 ')(0.1) (0) 0.5398 0.50.0398 ( 2 )a)(盘—)2 200(旦)10.95,200查表知：—1.961设随机变量X 〜 N (3,1), 若P(X4) p ,,则 J P(2<X<4)=—、11(A) p(B)l 一P C .l -2p D . - p22 【答案】C因为P(X 4) P(X 2)p ,所以 P(2<X<4)1 P(X 4) P(X2) 1 2p ,选C .2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为了，贝U 汁B(1 000,0.1)，所以E(8= 1 000 X 0.1= 100,而 X = 2E,故 E(X)= E(2 3= 2E( 3 = 200，故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:3—10 1 Pabc其中a , b , c 成等差数列，若 E( 3 = 3,贝U D(3 =( )［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7— x 个，取出的2个球中所含白球个数为C 7-x 2 7 — x 6 — xP( 3= 0)= C 72 =42,x - 7 — x x 7 — x P( 3=1)= C 72 =21 ,C x 2 x x — 1P( 3= 2)= C 72 = 42 ,.x = 3.4A.9 B .1 2 9 C.3［答案］D［解析］由条件a , b , c 成等差数列知，2b = a + c ,由分布列的性质知 a + b + c = 1,又1 111 1E( 3 = — a + c = 3 解得 a= 6’ b= 3 c = 2，二 D(3= 6X2+21-「=舟.4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到白球个数的数学期望值为7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C . 5D . 23贝U 3取值0,1,2,0X7— x 6— x 42x 7 — x 21 + 2X X X —1 42 55.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E 的期望值为4,方差为2，则p( &1)=()A 255B 9C 247D 7 A 256 B.256 C.256 D .64 ［答案］C［解析］由条件知旷B(n , P),E E = 4, np = 4 D E = 2n p 1 — p = 2 '1解之得，p = , n = 8, ••• P( = 0)= C 8°x 218= 2 8,1 1 1P( E= 1) = C 81x 2 1x2 7= 2 5，• P(E 1) = 1 — P( = 0) — P(E= 1)A . 2< 俘=淨，01=d2> d3B .皿> 俘=淨，d=d < dC . (J1= (J2<P 3, d 1< d 2= d 3D .小< p2= 3, d 1 = d < d 3 ［答案］D(^2(X)和g(X )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故3= 3，又屉(X)的对称轴的横坐标值比也(X)的对称轴的横坐标值大，故有 3<比 =3.又d 越大，曲线越“矮胖”，d 越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数咖(X)和侯(X )的图象一样“瘦高”，松(X )明显“矮胖”，从而可知d= d < d .6①命题"X R,cosx 0 ”的否定是：“ X R,cosx 0 ”； ②若lg a lg b lg( a b),则a b 的最大值为4； ③定义在R 上的奇函数f(X)满足f (X 2)f(X),则f(6)的值为0;=1— 18— 1 5= 24Z2 2 256. 5已知三个正态分布密度函数则()1XX )= 2 nd e —.2X —d^(x € R , 2 di = 1,2,3)的图象如图所示,［解析］正态分布密度函数<>④已知随机变量服从正态分布 N(1, 2),P( 5) 0.81,则P( 3) 0.19 ;其中真命题的序号是 ________ (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】①③④ ①命题“ x R,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0 ”；所以① 正确.②若 lg a lg b lg( a b),则 Ig ab lg( a b),即 ab a b,a 0,b 0 .所以a b 22ab a b(/,即(a b) 4(a b),解得a b 4,则a b 的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f( x)满足f ( x 2) f ( x),则f (x 4) f(x),且 f (0) 0,即函数的周期是 4.所以 f (6) f(2) f (0)0;所以③正确④已知随机变量服从正态分布2N(1, ),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P(5) 1 0.81 0.19 ,所以 P(3) P( 5)0.19 ;所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间［1,1］上任取两数 m 和n ,则关于x 的方程x 2 mx n 2 0有两不相等实根的概率为 ____________ .1【答案】—由题意知1 m 1, 1 n 1.要使方程x2 mx n 2 0有两不相等实4根，则 2=m 4n 2 0 , 即(m 2n )(m 2n) 0 . .作出对应的可行域，如图直线m 2n 0,m2n0 , 当 m1 时 1 1, n C—, n B—,所以SO111 1所以方程22 2BC 一 1 [( )xmx n 0有两不相等实根的概率为2 2222S OBC2 1 2 12 24 4'⑶ 随机变量X 服从正态分布 N(1,2),则P(X 0) P(X 2)；2 1⑷ 已知a,b R ,2a b 1,则一一 &其中正确命题的序号为 ________________________ .a b【答案】⑵(3)(1)2G lnx 〔2 ln2 ,所以⑴错误.(2)不等式1x|x 1| |x 3|的最小值为4,所以要使不等式|x 1|2 1⑵正确.(3)正确.(4)--a b所以⑷错误，所以正确的为 ⑵(3).场中的得分如图所示，则该样本的方差为7 2 3频数为A . 26B . 25C . 23D . 18【答案】D 样本的平均数为23,所以样本方差为1 [(19 523)2 (20 23)2 (22 23)2 (23 23)2(31 2 23)] 18,选 D3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示 ,据图估计，样本数据在8,10内的21dx 1 x3.，⑵不等式|x 1|| x 3| a 恒成立,则a 4;| x 3| a 成立,则a 4,所以2已知某篮球运动员 2012年度参加了 40场比赛,现从中抽取 5场,用茎叶图统计该运动员2 1(a 严 b) 4 19,【答案】C样本数据在 8,10之外的频率为（0.02 0.05 0.09 0.15） 2 0.62,0.38 200 76,选 C .1的概率为,选 B .45从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为2【答案】25_3从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C 5 10种.则3个数能构成等差数列的42所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38,所以样本数据在 8,10的频数为4. （ 2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）的正方形OABC 中任取一点P,则点 1 A .3【答案】（x x 3）dxP 恰好取自阴影部分的概率为B .14【答案】B12141（c XX ） C.D.-5 6根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为11,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分4如图所示，在边长为I 第孕期图4 2.有,1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为10 5。

2019-2020年高考数学百大经典例题正态分布(含解析)

2019-2020年高考数学百大经典例题正态分布（含解析）例设服从，求下列各式的值：（1）（2）（3）分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和有其用武之地．解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P（2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP（3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．求服从一般正态分布的概率例设服从试求：（1）（2）（3）（4）分析：首先，应将一般正态分布转化成标准正态分布，利用结论：若，则由知：其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<ηP （2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=说明：这里，一般正态分布，总体小于的概率值与和是一样的表述，即：服从正态分布的材料强度的概率例已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．解：（1）-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．公共汽车门的高度例若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率值小于1％，即：，从中解出的范围．解：设该地公共汽车门的高度应设计高为cm ，则根据题意可知：，由于，所以，;01.061751)(1)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：通过查表可知：解得：即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．学生成绩的正态分布例某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从设则z 服从标准正态分布．查标准正态分布表，得：所以，3413.05000.08413.0)0()1()10()1080901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<<z p x p x p ∴．说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．.。

高三数学正态分布试题

高三数学正态分布试题1.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2【答案】B【解析】根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.2.某班有60名学生，一次考试后数学成绩,若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7【答案】【解析】由已知，正态曲线的对称轴为，即,所以该班学生数学成绩在120分以上的人数为. 选.【考点】正态分布.3.设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由正态曲线的对称性，得是对称轴，故．【考点】正态分布.4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )A． B． C． D．【答案】B【解析】∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝．5.商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）注：，，【答案】0.0228【解析】∵袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，∴.【考点】正态分布6.设随机变量服从正态分布.若P(<2)=0.8，则p(0<<1)的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6【答案】B【解析】因为随机变量服从正态分布，则，所以，.【考点】正态分布.7.给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量服从正态分布，则；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是 ( )A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数越大，拟合效果越好，越小，拟合效果越差；③随机变量服从正态分布，正态曲线对称轴为；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则说明“与有关系”的把握程度越小【考点】正态分布，频率分布直方图与通监理，统计案例点评：本题考察的是基本知识点，属于识记范畴，题目简单8.已知随机变量服从正态分布，且，则 .【答案】0.48 ；【解析】ξ服从正态分布，则正态曲线关于x=3对称，因为，所以0.5-[1-]=0.48.【考点】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

【高中】正态分布经典练习题(可编辑修改word版)

正态分布一、选择题1.已知随机变量服从正态分布N (2,9) ，若P (>c +1) =P (<c -1) ，则c 等于（）A.1B.2C.3D.42.已知随机变量服从正态分N (2,2) ，且P (< 4) = 0.8 ，则P(0 << 2) 等于（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.23.已知随机变量服从正态分布N (2,2) ，P (≤4)=0.84，则P (≤0)等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.844.已知随机变量X 服从正态分布N (2,2)，P(0 <X < 4) = 0.8 ，则P( X > 4) 等于（）A．0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.65.已知随机变量服从正态分布N (3,2) ，且P (< 2) = 0.3 ，则P(2 << 4) 等于（）A.0.5B.0.2C.0.3D.0.46.已知随机变量服从正态分布N (3,2) ，P (≤4)=0.842，则P (≤2)等于（）A.0.842B.0.158C.0.421D.0.3167.已知随机变量X 服从正态分布N (3,1) ，且P(2 <X < 4) = 0.6826 ，则P( X > 4) 等于（）A.0.1588B.0.158C.0.1586D.0.15858.已知随机变量X 服从正态分布N (0,2) ，若P( X > 2) = 0.023，则P(-2 ≤X ≤2) 等于（）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9779.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100, 2) (> 0) ，若在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.210.已知随机变量X 服从正态分布N (,2) ，且P (- 2<X <+ 2) = 0.9544 ，P (-<X <+) =0.6826 ，若=4,=1, 则P(5 <X <6) =（）A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.271811.某商场经营的一种袋装的大米的质量服从正态分布N (10, 0.12 ) （单位kg）,任选一袋这种大米，其质量在9.8~10.2kg 的概率为（）A.0.0456B.0.6826C.0.9544D.0.997412.一批电池的使用时间X （单位：小时）服从正态分布N (36,42 ) ，在这批灯泡中任取一个第1 页共 2 页“使用时间不小于40 小时”的概率是（）A.0.9544B.0.6826C. 0.3174D. 0.1587二、填空题13.某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩~ N (90,2) ,统计结果显示P(60≤≤120)=0.8，该校参加此次考试的理科学生共420 人，试估计该校成绩高于120 分的理科学生数为.14.某班有50 名学生，一次考试的成绩服从正态分布N (100,2) , 已知P(90 ≤≤ 100) = 0.3 ,估计该班数学成绩在110分以上的人数为.15.某中学200 名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N (120,102 ) ，则此校数学成绩在140 分以上的考生人数约为.16.某市高二理科学生数学考试的成绩x 服从正态分布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是10000 人，则成绩位于(65,85] 的人数约.17.在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1,2) (>0) ，若在(0,1) 内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为.18.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502) 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为.19.一批电阻的阻值X 服从正态分布N (1000,52 ) (单位Ω).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为. (填写正确序号)①甲乙两箱电阻均可出厂；②甲乙两箱电阻均不可出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.20.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件3 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502 ) ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为.16 题图第2 页共 2 页20 题图15 2O75 x。

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