第6章应力状态与强度理论.
应力状态分析与强度理论-习题与答案
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力 ＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙 ，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为 ，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
应力状态与强度理论
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时的断裂破坏。
3、最大剪应力理论（第三强度理论）：
理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要 因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质 有关的某一极限值，材料就发生屈服。
单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的
τmax= s/2时
任意应力状态下
莫尔强度条件为：
1
Байду номын сангаас
t c
3
t
对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、 岩石和土体等，在以压为主的应力状态下， 该理论与试验结果符合的较好。
综合以上强度理论所建立的强度条件， 可以写出统一的形式： σr≤[σ]
σr称为相当应力
r1 1
r2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。
2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)：
理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
拉断时伸长线应变的极限值为
断裂准则为：
1
1 E
1
2
11
b
E
3
1 2 3 b
第二强度理论的强度条件：
1 2 3
max
1 3
2
屈服准则： 1 3 s
2
2
1 3 s
第三强度理论建立的强度条件为：
1 3
在机械和钢结构设计中常用此理论。
4、形状改变比能理论(第四强度理论)：
第四强度理论认为： 形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。
单向拉伸时，
1
3E
s
2的形状改变比能。
应力状态的概念
应力状态与强度理论\应力状态的概念
应力状态的概念
1.1 一点处的应力状态
在工程中，只知道杆件横截面上的应力是不够的。例如，在铸 铁试件压缩时，沿与轴线大约成45°左右的斜截面发生破坏（如 图），这是由于在与轴线成45°的斜截面上存在最大切应力所引起 的。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
力的影响。
为了分析破坏现象以及解决复杂受力构件的强度问题，必须首
先研究通过受力构件内一点处所有截面上应力的变化规律。我们把
通过受力构件内一点处不同方位的截面上应力的大小和方向情况，
称为一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
1.2 应力状态的表示
为了研究受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点取出一个 微小的正六面体，称为单元体，并分析单元体六个面上的应力。由 于单元体的边长无限小，可以认为在单元体的每个面上应力都是均 匀分布的；且在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。
力状态。例如从地层深处某点取出的单元体，它在三个方向都受到 压力的作用，处于空间应力状态（如图）。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有切应力作
用，称为纯剪切应力状态，例如图所示的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念 应力状态也可以按主应力的情况分类。若单元体的三个主应力
如果知道了单元体的三个互相垂直平面上的应力，则其他任意 截面上的应力都可以通过截面法求得（详见8.2.1），那末该点处的 应力状态就可以确定了。因此，可用单元体的三个互相垂直平面上 的应力来表示一点处的应力状态。
目录
应力状态与强度理论\应力状态的概念
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论
第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
材料力学第06章 复杂应力状态分析及强度理论
2
s′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD s A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
s"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2s l plD 0 s 2
理论分析表明，在复杂应力状态下（平面应力状态和空 间应力状态），一点处的最大正应力为 s max s 1 ，最小 正应力为 s min s 3 ，最大切应力的值为t s 1 s 3。
max
2
例题1 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和 切应力分别为s =-70MPa,t =50MPa.确定A点的主应力及主平面 的方位.
t xy
s x s y 0
txy
Mn t xy t WP
求极值应力
tyx
y O
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ）t xy 2 2 s 2
2 t xy t
x
s 1t ;s 2 0;s 3 t
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
铸铁
在圆杆的扭转试验中，对于剪切强度低于拉伸强度的材料(例如低碳 钢)，破坏是从杆的最外层沿横截面发生剪断产生的(图c)，而对于 拉伸强度低于剪切强度的材料(例如铸铁)，其破坏是由杆的最外层 沿杆轴线约成450倾角的螺旋形曲面发生拉断而产生的(图d)
2
平面应力状态分析——图解法
一、应力圆（ Stress Circle）
2 2
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
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第六章应力状心《«皮理论§ 1 轨述卿?血oa?低或4i4A 伸技,* # <a1w4*戈aT7剪中有拉结论不仪横筑面上存及应力，蚪IG 荀上也存在 盒力；不仗要研丸横就面•！的应力，而且也 萎研丸斜就ft 上的虫力-应力的三个宣要:k 念应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.lAr.n; aZ横截面上正应力分析和切应力分析S 的结果表明：同一面上不同点的应力各! 不相同，此即应力的点的概念・%单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念应力状态的分类9T ；O aa O Q ! ______________T*A平面应力状态■・三向应力状态单向应力状炭纯3r 应力状态§2 平而曲力状盘的皮力分析i 盘力6■1»aTrr -<T H= « 工片=0 :J llz". cos a =yi■I.2 I - COS 2asn a-3 !(7皿-码(必砌<除(^了 丁 1^淞师上畑晶8何Mn 口瓦20^(d45in ff )sm (/ "02 2匚必-码(必zHakm a - r,(/MctKa)eos£e + r^(dE4sh ajsin df+cr JtMsn a )ccscza0 (7 ~<7J =———sin 加 + J cos 2a〕2场**^^*卑元体皮力如图所念，其切墓方耐=?-术+方向各平而 的血力乙知・互柑套直的二灣asab 柑be 的卄出戎分別易X 砂/ 粘成30°和-63角，战求此二科面ab 和1X 上的皮力•6-b cJ ■ ———-sin 2a + G cos2a2Q ij<:北此］砒V 细肘如厲删伽■ 2込（f +6 = 6+5 = 40MPa4二甸血劝狀去・1\ 佞*的个,4*上.AO 的和芳一 $it 。
二.苻罟规：由X 虽甸逵4f4f 林列Z7JL4｝命舟正t 总之为A 0O i.:粗力为止切应力後単丸体或Jt 易押用! 时什*砌样场知足,及之；iOM 九 iIftWAjJ化=b 工+6匚45血32b 0a Wa---- -------% Vi■分析轴初核伸杵件的最丸切宏力的作用而.说凹低琰攵： 竝什才发生血服的i 要虑B.AQt 饭担*Ab 真丄佟您一点卯是羊勺左力找4k6*6 €r -CT..= • +—— cos 2a -r,sn2£Z2 2<7 a<F. =—+ —COS2£C•予 1■ ■6 —6 - = -- ------ sin 2a + s cos 2tz 2T. = ^sin2«• 5 性載也氏耳ii 挣£41«1对*£妙45£出现旻•*支匕应力引邑4^・分析圖轴扭舁对最久切皮力的作用面，说明4<>铁国风=^ i 坏的i 要虑0.tfT - zr_ -二 ^rarsff% =-rsbi 2aC ■ <7—_ srla + r cos2«2山f^-rcos2<3fa - ±45"=11件檢S 比綽4ftW 比**h 王是^t<<A 皮力并黑逓("45'«戏irJ 棉/t 的.《比. 丐琅认为迄静雄也戒坏是由*丸A A 力nd (t M,应力圓-•应力0的方b。
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二特角对宏A J _______J H 向对皮 ---- 车銓it 黑?方向与许观而空戋ilui 方*)-枚;半&转过的角皮是郵面it 骑角度的两点面对应ba转向对应、二信九对应a鬪心兀严.());半径/ 岂玉)亏;对于图中斯=5：之年面应力状态，若要求*肉最a \ maxMP乳’^zv<85MPa,洪求J的取<4#tfi・ffl中A力的半住為；巴知疑彫札第1&上的ir 力F 尸120kZA^«M=10kZE ■烬电： 康*1・2. 3・4点直力欢杰轲单死体.幷卓岀$点的ij6"g be60mm.h«100mnn.2.计鼻各AiA-4=1AJJW ' VI =^i- = 500o 『 (r(]) = — s? UlCiifra<r, = a. = 0 <T , =-l(K)Wfu-"12/&50() xM]2点(it 于*t J IIJ =2盒，弘胡虹121(T, = 3()MA J<7^ = 0 f 73=-50MFa2/1 2x 60x1004 4,；3点_ 空2 _ 15*切P'x60x25x37.5•, = 100MP«]切成力等于举的截面为主平® 主平面上的正虫力称为主成力矽&0+ 9O'*) = fg2a^■ 6 5 匕巧・Sz ■—2 —■A~T~-2r.心“= --------- -b 厂J\i4T：主应力和宝丰面20,,O巧d(务&a （碍忑） ba7;/5 > 叭：61 £少・ pj 2?；创-:過礦f 心…6 =0 ' b严5&6MP<i 6 二0 6 二8・6 肘尸"(T, = 235MPa n^j s 0 r_ = l72・5MPn ran＜魏7" S 吳力的仲内飢-*充律•*上畝更应力bffl*. r -CT /V3 •戎库此点； 检/ 的X,衣力Ai 年區.I•才b goc 巩T 上窗 30" 4无Aj,eg30° =0 ；6 =—r/73 = -n-/3 <Tj 3/7 —6 = • b/3构件中#盘孙年面应力秋恚，两斜黴上的皮力如酌折［ 徐/ 示.武用废力0求主血力和墩丸七?康力Ic/3IfV)Ki n人龙力Q 上畳JK平面应力状态的儿种椅辣侑况a /■；%+空矜z2a -r.sin2a<r* ft仏二土乙nin平面底力状态的几种特珠情况S J ；%+空旦心 2a -r,sin 2a2 2乙= --(! +cos 2a)2C7, =66=6=0r s 冬 sin la25严±守 mn 厶d = -f sin 2a *» "a = COS 2a6*6 CT. ■rr. 亠.C6 =二工 + -- cos3« -T^sn2cf2 2 f7 —(TJ ■' sin 2a +r,cos2ttcr^ = — T —cos 2a - r, sin 2a■ 2r* = ^sin 2ff + 巧£os2<?仏=土J(牛尸*/ii*n I J§3空间应力状态的帆念r；6J9 6 %土” 26分析:SOWRji aOAm 单尢体如®示・求三个力和倉丸切皮力・O ZTM MlMP/r<T, = 80MP“xy 平Ji 丄角他itu*怎 6 = SQMPa2000^1•北京 fti丸*5£lMPa§4 应力占应支间的关纟cr -<7S = —€ = -1^ =7 —EE 0\ :I 八■泊松比・ 66 I6宀哙CjXz^S 遽良为20mE的伺直方养i手AH ®X ft力F-14kN0E用・[ /^吵“乙如.v=03 «1设・*的丈形以;(IA*体勾衬的康族^可以电: 4不计•比J K A才体•金而上的A皮力・S ==-竺0=-35J WP£/▼ A 20x20£八浪7& 5)1=0S-0.3(-35+<7： )=0 冬=*-血"』=0fT, ■ 0・3(・ 35 + trj - 0CT =C7. = -15MPa某点的应力状态如旳所示，吿5。
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