期权的定价
期权定价方法综述
期权定价方法综述期权定价方法综述期权是金融市场中一种重要的金融衍生品，它给予购买者在未来特定时间以特定价格购买或卖出某个标的资产的权利，而不具有强制性。
为了确定一个合理的期权价格，各种期权定价方法应运而生。
本文将对期权定价方法进行综述，并介绍其中几种经典的方法。
1. 期权定价的基本原理期权定价方法的起点是基于期权的内在价值、时间价值和风险溢价。
内在价值指的是期权当前的实际价值，即权利金与标的资产价格之间的差额；而时间价值是指未来时间期权可能产生的价值，因为期权有一定的时间延迟；风险溢价是指市场参与者对未来不确定性风险的补偿。
期权定价方法的目标是确定期权价格，使期权价值与其内在价值、时间价值和风险溢价相匹配。
2. 期权定价方法的分类2.1. 传统期权定价方法传统期权定价方法包括二项式模型、几何布朗运动模型和风险中性定价模型。
二项式模型基于离散时间和离散状态，适用于欧式期权定价。
几何布朗运动模型基于连续时间和连续状态，并假设标的资产价格服从几何布朗运动，适用于欧式和美式期权定价。
风险中性定价模型则基于市场风险中性的假设，将期权价格视为资产组合的风险中性价格，适用于欧式期权定价。
2.2. 数值模拟方法数值模拟方法包括蒙特卡洛模拟和蒙特卡洛树模拟。
蒙特卡洛模拟通过生成大量随机数模拟资产价格的演化，并计算期权价格的期望值，适用于各种类型的期权定价。
蒙特卡洛树模拟将二项式模型和蒙特卡洛模拟相结合，通过生成蒙特卡洛树模拟资产价格的演化，计算期权价格的期望值，适用于欧式和美式期权定价。
2.3. 波动率传播方法波动率传播方法包括BS模型、GARCH模型和SV模型。
BS模型基于标准布朗运动模型，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并计算期权价格的解析解，适用于欧式期权定价。
GARCH模型和SV模型通过建立对资产价格波动率的模型，计算出期权价格的解析解，适用于欧式期权定价。
3. 期权定价方法的比较3.1. 传统期权定价方法相对简单，计算速度较快，适用于欧式期权定价，但对于复杂期权和美式期权可能不适用。
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
期权定价二叉树模型
9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据
u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
期权定价的三种方法
期权定价的三种方法期权是一种权利，持有者有权买卖证券或商品的特定数量。
期权的定价对投资者来说至关重要，因为它决定了期权的价值。
为了定价期权，投资者需要先了解市场和期权的各种因素，然后选择一种有效的定价方法。
本文将介绍期权定价的三种方法，分别是Black-Scholes 模型、蒙特卡罗模拟法和实际条件定价法。
Black-Scholes模型是一种简单而有效的期权定价模型，由美国经济学家贝克-施罗斯和美国数学家史蒂文-黑格森于1973年提出。
Black-Scholes模型假设期权价格受到无风险利率、资产价格、波动率和时间等因素的影响，通过分析复杂的概率函数实现定价。
Black-Scholes模型以期权价值收益率为基准，以确定期权价格是否有利于投资者。
另一种期权定价方法是蒙特卡罗模拟法，它能够模拟出异常动态市场中期权价格的情况。
蒙特卡罗模拟法可以预测风险事件如何影响期权价格，并计算不同投资决策下期权价格的变化。
它根据投资者的投资组合来确定抗风险性，以提供可靠的期权定价评估结果。
最后一种期权定价方法是实际条件定价法，它是基于真实的市场数据定价的。
实际条件定价法主要考虑的因素包括期权的行使价格、期权期限、可买入或卖出的股票价格等。
它可以考虑期权的复杂性，从而帮助投资者做出更精确的定价决策。
总之，期权定价方法有Black-Scholes模型、蒙特卡罗模拟法和实际条件定价法。
期权投资者可以根据他们对期权的理解以及对市场变化的看法，来灵活使用这些方法，以进行有效的期权定价。
期权定价是一个有挑战性的过程，但是把握住期权定价的技巧可以帮助投资者实现更好的投资回报。
许多期权定价模型都是针对特定市场环境的，所以投资者在使用期权定价方法时，需要充分考虑当前市场环境中的多种因素，以确保最优的定价结果。
此外，投资者也需要定期更新期权定价模型，以便于更好地捕捉新的变化并且按照新的变化作出有效的期权定价决定。
第十讲期权的定价-37页PPT资料
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进 入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等 于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益 来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量 都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价 原理。
1.期权价格的影响因素
期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价 格、波动率、无风险利率、到期时间。
2.风险中性定价原理
观察式期权定价公式，我们可以注意到期权价格是与标
的资产的预期收益率 无关的。即在我们描述标的资产价格
所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定 价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市 价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3 个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了求出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空 头和X单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等 于11元时，该组合价值等于（11X－0.5）元；若3个月后该股票价 格等于9元时，该组合价值等于9X元。为了使该组合价值处于无风 险状态，我们应选择适当的X值，使3个月后该组合的价值不变， 这意味着：
d1
Tt
d2
lnS(/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)d1
Tt
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N(x)为标准正态分布 变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据 标准正态分布函数特性，我们有 N (x)1N (x)。
期权的定价基本理论及特性
期权的定价基本理论及特性期权是一种金融衍生工具，它赋予持有者在未来某个时间点或期间内以约定价格买入或卖出某个资产的权利，而并非义务。
期权的定价理论是为了确定期权合理的市场价格。
以下是期权定价的基本理论及特性：1. 内在价值和时间价值：期权的价格由内在价值和时间价值组成。
内在价值是期权执行时的实际价值，即与标的资产市场价格的差额。
时间价值是期权存在期限内所具备的可能增值的价值，它会随时间的推移而减少。
2. 标的资产价格的波动性：期权的价格受标的资产价格的波动性影响。
波动性越高，期权价格越高，因为更大的价格波动可能会带来更大的利润机会。
3. 行权价：期权的行权价是购买或出售标的资产的协议价格。
购买期权的持有者希望标的资产价格高于行权价，而卖出期权的持有者希望标的资产价格低于行权价。
4. 期权到期时间：期权的到期时间是期权生效的时间段。
到期时间越长，期权价格越高，因为时间价值越高。
到期时间到达后，期权将失去其价值。
5. 利率：利率对期权的价格也有影响。
高利率会提高购买期权的成本，因为持有者必须支付为期较长时间的利息。
6. 杠杆作用：期权具有较高的杠杆作用。
购买期权相对于购买标的资产的成本较低，但潜在的利润也较高。
相比之下，期权卖方承担的潜在风险较高，但收入较低。
7. 期权类型：期权可以是看涨期权（认购期权）或看跌期权（认沽期权）。
看涨期权赋予持有者以在行权日购买标的资产的权利，而看跌期权赋予持有者以在行权日以行权价格卖出标的资产的权利。
总的来说，期权定价基于标的资产价格的波动性、行权价、期权到期时间、利率等因素。
同时，期权也具有杠杆作用和灵活性，可以用来进行投机或风险管理。
对于投资者来说，理解期权定价基本理论及特性对于正确选择和定价期权合约至关重要。
期权的定价理论及特性对于投资者和交易员而言非常重要，因为它们能够帮助他们进行科学合理的决策和风险管理。
下面将进一步探讨期权定价的相关内容。
期权定价的基本理论依赖于数学建模，最著名的理论之一就是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权的定价及策略
期权的定价及策略期权是一种金融工具，给予持有者在未来一段时间内以事先协定的价格买入或卖出标的资产的权利，而非义务。
期权的定价和策略是投资者在使用期权时需要考虑的重要因素。
下面将详细探讨期权的定价和策略。
一、期权的定价1.标的资产的价格：标的资产的价格是期权定价的主要因素之一、购买期权的投资者希望未来标的资产价格上涨，而卖出期权的投资者则希望标的资产价格下跌。
2.行权价格：期权价格中的行权价格也是影响期权定价的重要因素之一、购买看涨期权的投资者希望标的资产价格上涨超过行权价格，而购买看跌期权的投资者希望标的资产价格下跌低于行权价格。
3.波动率：波动率是期权定价中的重要因素之一、较高的波动率意味着标的资产价格可能会有更大的波动，从而增加了购买期权的投资者获利的机会，因此较高的波动率会导致期权价格上涨。
4.无风险利率：无风险利率也是影响期权定价的重要因素之一、越高的无风险利率意味着购买期权的成本更高，因此会导致期权价格的上涨。
5.行权时间：期权价格还受到行权时间的影响。
行权期限越长，购买期权的成本也越高，因此期权价格会随着行权时间的延长而上涨。
二、期权的策略根据期权在买入或卖出时的不同操作方式，期权的策略可以分为多种类型，常见的期权策略包括：1.买入看涨期权：当投资者预期标的资产价格将上涨时，可以购买看涨期权。
这种策略可以使投资者在未来以较低的价格买入标的资产，并在标的资产价格上涨时获得差价收益。
2.买入看跌期权：当投资者预期标的资产价格将下跌时，可以购买看跌期权。
这种策略可以使投资者在未来以较低的价格卖出标的资产，并在标的资产价格下跌时获得差价收益。
3.卖出看涨期权：当投资者预期标的资产价格将保持稳定或下跌时，可以卖出看涨期权。
这种策略可以使投资者通过卖出期权的权利金获得收益，同时如果标的资产价格保持不变或下跌，投资者还可以保留权利金作为收益。
4.卖出看跌期权：当投资者预期标的资产价格将保持稳定或上涨时，可以卖出看跌期权。
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符号说明
• C ：欧式看涨期权价格 • • p ：欧式看跌期权价格 • • S0 ：当前股价 • • X 、K:执行价格 •
• T : 到期期限 • : 股价波动率 • St ：t时的股价
C : 美式看涨期权价格 P : 美式看跌期权价格 ST :期权存续期内股价 D : 期权存续期内红利 现值 • r : T时刻到期的无风 险收益率（复利）
E( X ) e
2 2
D( X ) e
2 2
(e 1)
好处：若X、Y均服从对数正态分布，则
z X aY b
也服从对数正态分布
ln X Y , 则Y e
X
二、预备知识：股票价格模型的演绎
1900年Bachelier：股价服从正态分布 缺陷：有限负债，即股价不可能为负.
（3）以价格C卖出3份期权
163.64 （ 2） -200 （ 3） 3C 现金流 0
C 12.12
-180 240 -60 0
-180 180 0 0
163.64 200 3C 0
2.一般化1Biblioteka R 1 r R 1 r S
无风险利率 股票
uS dS
期初
C
Cu
Cd
X＝S的买权 上升 期末 下降
价外期权（期权 处于虚值状态） 平价期权 价内期权（期权 处于实值状态）
SX
At-the-money option：两平期权 In-the-money option：实值期权 Out-of-the-money option：虚值期权
2.期权的时间价值：期权费-内在价值
期权价值
期权有效期内随其标的资产价格波动 可为持有者带来收益的可能性所隐含的 价值。
第一节 期权基础
一、基本术语：
买的权利 多头（买方） 亏损有限 支付期权费 看涨期权：预期标的资产价格上升 看跌期权：预期标的资产价格下降 基本术语： 基础资产 期权的执行价格 美式期权 欧式期权 权利 卖的权利 空头（卖方） 亏损无限
期权费
到期日
二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益 1.看涨期权多头的损益
e t d ud
10% （每年）
15％（每年） t 0.0833 （一个月） ＝
则：
ue
e
t
＝ 1.0443
d 1/ u＝0.9576
d ＝0.5853 ud
t
第三节
1 e 2
( x )2 2
2
Black-Scholes期权定价
C St K C
St K
St K
看跌期权空头
看跌期权多头
C
St K C
C
K St C
St K
损益
St K
K 空头
0
St
Lt
C K St C
St K
三、期权的价值（期权费）：
理解：当前的价值
期权的价值＝内在价值+时间价值
1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。
R t (1 )(u d )
t
t 的方差
Rt t
取
u d 12
(u d ) / 2 1 (t )
u 1 t t
(u d ) / 2 t
CRR模型：确定u、d ，再求
rT 0.120.25
风险中性概率： 期权的价值为
e d e 0.9 0.6523 ud 1.1 0.9
C e
0.120.25
(0.62531 0.3477 0) 0.633
二、两期模型 120 100
B A
u 1.2
D
144
d 0.9 R 1.1 Cu
第二节 二叉树模型(binomial model)
一、单期模型
1.举例
1
1.1
1.1
无风险利率
120 100
股票
Cu 20
C
Cd 0
X＝100的买权 期末 下降
90
期初
构建套利组合：
资产 组合
上升
（1）以10％的利率借入资金 163.64，即到期还本付息180， （ 1）
（2）以价格100买入2股股票
(1.1 0.9) 2 (1.2 0.9) 3
h：称为套头比，有时也称Delta () ，是 股票期权价格变化与标的股票价格变化 之比，即对一单位现货头寸进行套期保 值所需的套期工具单位数。
时间为T（以年为单位），将R改为：
R 1 rT erT
例题：看涨期权 ，当前股票价格为 $20，三个月末其价格将为$22或$18， 该股票相应3个月期的看涨期权执行价为$21，假设无风险收益率（连续复利） 为12%。 解决：1.画出二叉树；2.求出u和d；3.求出套头比；4.求出风险中性概率；5. 给该买权定价。
-BR hds -Cd 0
Cu Cd h S (u d )
dCu uCd B R(u d )
( R d )Cu (u R)Cd (ert d )Cu (u ert )Cd C Cu (1 )Cd 1 R(u d ) ert (u d ) C rt E (C ) R e
d 1 t t
u e
t
d e
t
Rt d 1 rt d e t d ud ud ud
注：该概率并非风险中性概率，而是期望收益为μ 的概率。
2.单期期限 t的确定
ue
t
d e
t
Rf e
rf
损益
股价
时间
K
ST
多头
Lt
St K
C St K C
看涨期权多头
St K
St K
看涨期权空头
损益
C
St K C
St K
C
K St C
St K
0
K
St
Lt
C K St C
空头
St K
2.看跌期权的损益
损益
K
多头
ST
Lt
St K
0
t1
t2
T
简单净收益率（单利R）服从正态分布： 缺陷：多期问题：多期收益是单 期收益的乘积，单期是正态分布 St R ( ) 1 单期 则多期不是正态分布。 St 1
1 R0,n 1 R(T ) (1 R0,1 )(1 R1,2 )(1 Rn1,n ) 股价 ST S0 (1 R(T ))
C
X 100
Cuu 44
90
C
E 108 F
Cd
Cu Cd h S (u d )
Cud 8
倒推算法：
81
Cdd 0
1 2 1 Cu (44 8 ) 29.09 1.1 3 3 1 2 1 Cd (9 0 ) 4.85 1.1 3 3 1 2 1 C (29.09 4.85 ) 19.10 1.1 3 3
三、参数的确定
1.确定
u, d ,
White算法：固定 求u、d
t (t ) r r
1 r t 1 (t ) r R t
t 的收益
) 1 (t ) E( R t
1
u
Ru u
d Rd d ) R R u d 1 (t ) E( R t u u d d u d
t
无套利要求：
u Rf d
t rf (t ) t
t r f
2
当标准差远远小于无风险收益率时，可能会产生套利，所以时 间间隔的选择很重要，因为u、d是它的函数。
3.标准差与期望收益的计算：统计学
例题
ue
t
d 1/ u
风险中性概率不变
( R d ) 1.1 0.9 2 (u d ) 1.2 0.9 3
44 8 h1 1 120(1.2 0.9) 80 h2 0.3 90(1.2 0.9)
29.09 4.85 h 0.81 100(1.2 0.9)
值随时间节点的变化而变化， 即随时间变化而变化。
100
股票
Cu 20
1.1
C
90
Cu Cd 20 0 2 h S (u d ) 100(1.2 0.9) 3
Cd 0
X＝100的买权
dCu uCd 0.9 20 1.2 0 B 54.55 R(u d ) 1.1(1.2 0.9)
( R d )Cu (u R)Cd (1.1 0.9) 20 (1.2 0.9) 0 C 12.12 R(u d ) 1.1(1.2 0.9)
1 x2 e dx 2
2
一、预备知识：正态分布与对数正态分布
y
dx
z
( x)
z
1 e 2
2
x2 2
dx
如果随机变量 ln X为正态分布，即 服从对数正态分布
ln X N ( , )，则称X
2
E (ln X )
D(ln X ) 2
（1）以r的利率借入资金B，即 r 到期还本付息BR（ Be ）； （2）以价格S买入h股股票；