3.4 函数的单调性与极值
函数的单调性与极值点求解
函数的单调性与极值点求解函数的单调性是指函数在定义域上的增减情况，即在整个定义域上是递增还是递减。
而极值点则是指函数在定义域上的最大值或最小值所对应的点。
在数学中，我们经常需要确定一个函数的单调性以及求解其极值点，这对于研究函数的性质及应用具有重要的意义。
函数的单调性判断在求解函数的单调性时，我们可以通过函数的导数来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果在定义域内存在任意两个点x1和x2，且满足x1<x2，则有以下情况：1. 当f'(x)>0时，函数f(x)在区间(x1,x2)上是递增的；2. 当f'(x)<0时，函数f(x)在区间(x1,x2)上是递减的；3. 当f'(x)=0时，函数f(x)在该点处可能存在极值点。
根据以上判断准则，我们可以利用函数的导数来确定函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^3+2x^2-3x+4，我们可以先求出它的导函数f'(x)，即f'(x)=3x^2+4x-3。
然后我们可以通过求解f'(x)=0来确定函数f(x)的极值点。
极值点的求解在确定函数的极值点时，我们可以通过求导数为零的点来进行求解。
具体步骤如下：1. 对于给定的函数f(x)，求出其导函数f'(x)；2. 解方程f'(x)=0，得到函数f(x)的极值点的横坐标；3. 将横坐标代入原函数f(x)中，求出相应的纵坐标，得到函数f(x)的极值点。
以函数f(x)=x^3+2x^2-3x+4为例，我们已经得到了导函数f'(x)=3x^2+4x-3。
现在我们将f'(x)=0转化为方程，即3x^2+4x-3=0。
通过解这个方程，我们可以得到函数f(x)的极值点的横坐标。
假设解的结果为x1和x2，则将x1和x2分别代入原函数f(x)中，求出相应的纵坐标，即可得到函数f(x)的极值点。
需要注意的是，在某些情况下，函数的极值点可能不只是导数为零的点，还可能存在于定义域的边界上或者无穷远处。
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
2024高考数学函数的单调性与极值
2024高考数学函数的单调性与极值在2024年高考数学考试中，函数的单调性与极值是一个重要的考点。
掌握了函数的单调性与极值的概念和判断方法，能够帮助考生更好地解答相关题目。
本文将以对函数的单调性和极值的定义、判断依据和解题方法为主线，详细介绍这一考点的相关知识。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2满足x1 <x2，则有f(x1) < f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1和x2满足x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
判断函数的单调性有多种方法，常见的有导数法和图像法。
导数法的核心思想是利用函数的导数来研究函数的单调性。
如果函数在区间[a, b]上的导数大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在区间[a, b]上的导数小于0，则函数在该区间上递减。
图像法则是通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，确定函数的单调性。
二、函数的极值函数的极值是指在定义域内，函数取得的最大值和最小值。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在区间内部存在一点c，使得对于任意的x，有f(c)≥f(x)，那么f(c)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值；如果在区间内部存在一点d，使得对于任意的y，有f(d)≤f(y)，那么f(d)是函数f(x)在区间[a, b]上的最小值。
判断函数的极值需要使用极值的判定条件。
常用的判定条件有：当函数在某一点x处的导数等于0或导数不存在时，这一点可能是函数的极值点。
需要注意的是，判定得到的极值点只是可能是极值点，还需要进一步的讨论确认。
三、解题方法1. 利用导数法判断函数的单调性与极值。
首先求出函数在定义域内的导数，然后通过判断导数的符号来确定函数的单调性。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点在数学的广袤世界里，函数就像是一个个独特的“角色”，拥有着自己的性格特点，而单调性和极值点就是它们性格中非常关键的部分。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数在某个区间内的变化趋势。
如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值反而减小，那就是单调递减的。
想象一下，你正在爬山。
如果一直往上走，高度越来越高，这就像是函数单调递增；要是一直往下走，高度越来越低，那就是单调递减。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，它的斜率是 2，大于 0，所以在整个实数范围内，它都是单调递增的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就得提到导数这个强大的工具啦。
对于一个可导函数，如果它的导数大于 0，那么函数在这个区间就是单调递增的；导数小于 0，就是单调递减的。
举个例子，函数 y ＝ x²，它的导数是 y' ＝ 2x。
当 x ＞ 0 时，导数2x ＞ 0，所以函数在区间（0, ＋∞）上单调递增；当 x ＜ 0 时，导数2x ＜ 0，函数在区间（∞， 0) 上单调递减。
说完单调性，咱们再来说说极值点。
极值点就像是函数变化过程中的“转折点”，在这个点上，函数的值比它周围的点都大或者都小。
比如说，函数 y ＝ x³ 3x²＋ 2，对它求导得到 y' ＝ 3x² 6x。
令导数等于 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，导数大于 0，函数单调递增；当 0 ＜ x ＜ 2 时，导数小于 0，函数单调递减；当 x ＞ 2 时，导数大于 0，函数又单调递增。
所以 x ＝ 0 是一个极大值点，x ＝ 2 是一个极小值点。
极值点可不是随便一个点就能当的，得满足一定的条件。
首先，这个点的导数得是 0 或者不存在；其次，在这个点的两侧，函数的单调性得发生变化。
函数的极值点与函数的单调性分析
函数的极值点与函数的单调性分析函数的极值点以及函数的单调性是数学中重要的概念，在数学问题中经常出现。
了解和掌握函数的极值点和单调性的分析方法对于解决问题和优化函数至关重要。
在本文中，我们将介绍函数极值点和函数单调性的定义、理论基础以及常用的分析方法。
首先，我们来定义函数的极值点。
在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在某个点 a，函数在其邻近范围内的取值都小于等于 f(a)，则称该点为函数的极大值点；如果在某个点 b，函数在其邻近范围内的取值都大于等于 f(b)，则称该点为函数的极小值点。
极大值点和极小值点都统称为函数的极值点。
要判断一个函数的极值点，可以通过求导数来实现。
对函数 f(x) 求导数并令导数等于零，求得的解即为函数的极值点。
具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并令导数等于零，得到方程 f'(x) = 0；2. 解方程 f'(x) = 0，得到函数的极值点。
接下来，我们来讨论函数的单调性。
在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断增加，则称该函数在该区间上是递增的；如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断减少，则称该函数在该区间上是递减的。
同样地，要判断一个函数的单调性，可以通过导数的正负来确定。
具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并找到导数存在的区间；2. 在导数存在的区间，确定导数的正负情况；- 如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；- 如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减；- 如果导数既大于零又小于零，则函数在该区间上不具备单调性。
函数的极值点和单调性分析在实际问题中有着广泛的应用。
以最简单的一次函数 y = kx + b 为例，我们来具体分析一下。
对于一次函数 y = kx + b，它是一个斜率为 k 的直线。
对于这种函数，它不存在极值点，因为它是一条直线且不存在拐点。
而单调性的分析则取决于斜率 k 的正负情况。
单调性与极值关系解析
单调性与极值关系解析实际上，函数的极值并不直接影响其单调性，而是函数的单调性变化“揭示”了极值的存在。
让我们更详细地探讨这一关系：1. 单调性变化的标志函数的单调性描述了函数在其定义域内某区间上是否递增或递减。
当函数从递增变为递减，或者从递减变为递增时，这种单调性的变化通常意味着函数在这一点附近有一个极值。
换句话说，极值点是单调性改变的“转折点”。
2. 极值的定义极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。
如果函数在某点c处取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。
类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。
3. 导数与极值为了找到极值点，我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。
然而，并不是所有驻点都是极值点。
为了确定一个驻点是否是极值点，我们需要检查该点附近的导数符号变化。
如果导数在该点从正变为负，那么该点是局部最大值点；如果导数从负变为正，那么该点是局部最小值点。
4. 单调性与极值的关系总结●单调性变化是极值点存在的“信号”。
●极值点是单调性变化的“转折点”。
●我们通过检查函数在其驻点附近的单调性变化来确定极值点的存在和类型。
5. 示例考虑函数f(x)=x3−3x，其导数为f′(x)=3x2−3。
●驻点：令f′(x)=0，得到x=±1。
●单调性：当x<−1时，f′(x)>0，函数递增；当−1<x<1时，f′(x)<0，函数递减；当x>1时，f′(x)>0，函数再次递增。
●极值：由于函数在x=−1处由递增变为递减，故x=−1是局部最大值点；在x=1处由递减变为递增，故x=1是局部最小值点。
在这个示例中，我们首先确定了函数的单调性变化，然后利用这些变化来找到并分类极值点。
因此，可以说单调性的变化“导致”了极值点的识别，而不是极值“影响”了单调性。
函数的单调性与极值求解技巧概述
函数的单调性与极值求解技巧概述函数的单调性和极值是数学中涉及函数性质和优化问题的重要概念。
单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质，而极值指的是函数在某个特定点上取得最大值或最小值的情况。
本文将概述函数的单调性与极值求解的一些基本技巧，并提供一些实例来帮助读者更好地理解这些概念。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。
具体而言，如果对于定义域上的任意两个不同的实数a和b，当a<b时，函数f(a)<f(b)则称函数f(x)在该定义域上递增；反之，当a<b时，函数f(a)>f(b)则称函数f(x)在该定义域上递减。
确定函数的单调性时，可以通过导数的符号来判断。
如果函数f(x)在定义域上导数大于零，则函数在该定义域上递增；如果函数f(x)在定义域上导数小于零，则函数在该定义域上递减。
举例来说，考虑函数f(x)=2x+3。
该函数的导数恒为2，大于零，因此函数在整个定义域上递增。
二、函数的极值求解技巧求解函数的极值是优化问题中的关键步骤，可以帮助我们找到函数取得最大值或最小值的点。
下面介绍几种常见的极值求解技巧。
1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常见方法。
具体而言，需要首先计算函数的导数，然后找到导数为零的点，即潜在的极值点。
通过对导数的符号进行分析，可以确定函数在该点附近的单调性以及极值类型。
举例来说，考虑函数f(x)=x^2-2x+1。
首先计算函数的导数为f'(x)=2x-2。
令f'(x)=0，可以求得x=1。
通过导数的符号分析可知，当x<1时，函数递减；当x>1时，函数递增。
因此，函数在x=1处取得极小值。
2. 二阶导数法对于某些函数，一阶导数法不足以判断极值的类型。
这时可以进一步求取二阶导数，并对二阶导数进行符号分析。
如果二阶导数大于零，则函数在该点附近有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点附近有极大值。
举例来说，考虑函数f(x)=x^3-3x^2。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的世界里，函数的单调性与极值点是非常重要的概念。
它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性。
如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是增函数；反之，如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是减函数。
二、函数单调性的判定方法1、定义法设\（x_1\）、＼（x_2\）是给定区间上的任意两个自变量，且\（x_1 ＜ x_2\），函数\（f(x)＼）在给定区间上具有单调性，作差\（f(x_2) f(x_1)＼），然后判断差的正负。
2、导数法对函数\（f(x)＼）求导，如果\（f'（x) ＞ 0\），则函数在相应区间上为增函数；如果\（f'（x) ＜ 0\），则函数在相应区间上为减函数。
三、函数极值点的定义设函数\（f(x)＼）在点\（x_0\）附近有定义，如果对\（x_0\）附近的所有点，都有\（f(x) ＜ f(x_0)＼），则称\（f(x_0)＼）是函数\（f(x)＼）的一个极大值，记作\（y_{极大值}＝f(x_0)＼）；如果对\（x_0\）附近的所有点，都有\（f(x) ＞ f(x_0)＼），则称\（f(x_0)＼）是函数\（f(x)＼）的一个极小值，记作\（y_{极小值}＝f(x_0)＼）。
极大值点和极小值点统称为极值点。
四、函数极值点的判定方法1、第一充分条件设函数\（f(x)＼）在\（x_0\）处连续，且在\（x_0\）的某去心邻域内可导。
（1）若当\（x\）在\（x_0\）的左侧邻近时，＼（f'（x) ＞ 0\）；当\（x\）在\（x_0\）的右侧邻近时，＼（f'（x) ＜ 0\），则\（f(x_0)＼）为极大值。
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
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注：一般地，如果 f x 在某区间内的有限个点处
为零，在其余各点处均为正（或负）时，那么 f x
在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的．
利用函数的单调性可以证明不等式成立．
例5 证明当 x 0 时， x ln 1 x . 证明 令 f x x ln 1 x , 则 f x 在 [0, )上连续， 且
f x0 是 f x 的一个极大值，点 x0 称为 f x 的一
o
个极大值点；
（2）若对任意 x U x0 , , 有 f x f x0 , 则称
f x0 是 f x 的一个极小值，点 x0 称为 f x 的一
o
个极小值点；
x0 ) 时， f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值；
（3）若在 ( x0 , x0 ) 与 ( x0 , x0 ) 内总有 f ( x ) 0
（或 f ( x ) 0），则 f ( x ) 在 x0 处没有极值.
证明（1）当 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x ) 0, 函数 f ( x )
所以，由零点定理可得，至少存在一点 1,0， 使得 f 0.
即方程 f x 0在 1,0 内至少有一个实根．
又因为对 x 1,0 , 有
f x 5 x4 1 0,
所以函数 f x 在 1,0 上单调增加， 即在 1,0 内至多有一个零值点， 亦即方程 f x 0 在 1,0 内至多有一个实根．
o o
o
求函数的极值点和极值的步骤： （1）求出函数 f ( x )的定义域，并求出 f ( x ); （2）求出 f ( x ) 的全部驻点与导数不存在的点；
（3）判断 f ( x ) 在每个驻点和导数不存在的点两侧
邻近的符号，以确定该点是否是极值点．如果是极 值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就可得函数 f ( x ) 的
综上所述，方程 x 5 x 1 0 在区间 ( 1, 0) 内有且只
有一个实根．
3.4.2 函数的极值及其判别法
定义1 设函数 f x 在点 x0 的某邻域 U x0 , 内有
定义． （1）若对任意 x U x0 , , 有 f x f x0 , 则称
因此， f x1 f x2 . 即函数 y f x 在 a , b上单调增加． （2）的证明类似于（1）.
注：如果把定理中的闭区间改成其它类型的区间， 那么结论仍然成立． 求函数单调区间及判定函数单调性的步骤：
（1）确定函数 f x 的定义域；
（2）求 f x ，找出 f x 0 和 f x 不存在的点，
a, b上单调增加；
（2）如果在 (a , b )内f x 0，那么函数 y f x 在
a, b 上单调减少.
证明 对 x1 , x2 a, b , 设 x1 x2 . 在区间 x1 , x2 上
函数 f ( x ) 满足拉格朗日中值定理的条件， 从而有
点 x0 处可导，且 x0 是极值点，则 f ( x0 )=0. 注：（1）可导函数的极值点必定是其驻点；但函
数的驻点却不一定是其极值点． 极值点
？
驻点
例如：函数 f ( x) x 3 , x =0 是它的驻点，但却不是
它的极值点．
（2）函数在其导数不存在的点也可能取得极值．
例如：函数 f ( x ) x 在点 x 0 处不可导，但函数
y y
f ( x)
f ( x)
O a
b x
O a
b
x
能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
下面的定理给出了肯定的回答． 定理1 设函数 y f x 在闭区间 a , b上连续，在开
区间 (a , b ) 内可导．
（1）如果在 (a , b ) 内 f x 0，那么函数 y f x 在
f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 .
（1）若在 (a , b )内 f x 0, 则 f 0. 从而
f x2 f x1 f x2 x1 0,
f x
2 3 x
3
x 0 .
导数没有等于零的点， 函数在 x 0处的导数不存在，
列表判断．
x
f ( x )
(,0)
0
(0, )
递减
不存在
递增
f ( x)
函数 f ( x ) 在(,0)上单调减少，在(0, ) 上单调增加.
例4 讨论函数 f x x3 的单调性.
利用函数的单调性还可以判定方程在某区间内根的
个数．
例6 证明方程 x 5 x 1 0 在区间 ( 1, 0) 内有且只有 一个实根．
5 证明 令 f x x x 1.
因为 f x 在闭区间 1,0 上连续，且
f 1 = 1 0,
f 0 = 1 0,
令 f x 0, 得驻点 x1 1, x2 1. 用这两个点将 , 划分成三个区间，列表判断．
x
f ( x )
( , 1)
1
( 1, 1)
1
(1, )
递增
0
递减
0
递增
f ( x)
函数 f ( x ) 在 ( , 1) 和 (1, ) 上单调增加， 在 [1,1] 上单调减少.
在该点处取得极小值．
连续函数 f ( x )的极值点只能是其驻点或导数不存在 的点，我们称这两种点为 f ( x ) 的可能极值点．
定理3（函数取得极值的第一充分条件）设函数 f ( x ) 在点 x0 处连续，在 x0 的某去心邻域 U ( x0 , ) 内可导， 且 f ( x0 ) 0 或 f ( x0 ) 不存在，那么
以这些点为分界点把定义区间分成若干区间；
（3）在各区间上判别 f x 的符号，从而确定 f x
的单调性．
例1 讨论函数 f x x3 3 x 的单调性. 解 函数的定义域为 , .
f x 3 x2 3 3 x 1 x 1 .
3.4 函数的单调性与 极值
3.4 函数的单调性与极值
3.4.1 函数单调性的判别法 3.4.2 函数的极值及其判别法
3.4.1 函数单调性的判别法
设函数 f ( x )在闭区间 a , b上连续，在开区间 (a , b )内 可导，如果 f ( x ) 在 a , b 上单调增加（单调减少）， 那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升（下降）的曲 线，其上各点处的切线斜率为非负的（非正的）， 即导数 f x tan 0 0 .
x
f ( x )
(,0)
0
(0, 1)
(1, 3)
(3, )
递增
0
递增
递减
0
递增
f ( x)
函数 f ( x )在 ( ,1) 和 (3, )上单调增加， 在 (1, 3) 上单调减少.
例3 讨论函数 f x 3 x 2 的单调性.
解 函数的定义域为 , .
全部极值．
例7 求函数 f x x3 3 x2 9 x 5 的极值. 解 函数的定义域为 , .
f x 3 x2 6 x 9 3 x 1 x 3 .
令 f x 0, 得驻点 x1 1, x2 3.
极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极 小值点统称为函数的极值点．
y
y f (x)
a o
x1
x2 x3
x4 x5 b
x
上图中，函数 y f x 的极大值有 f x1 , f x4 ; 极小值有 f x3 , f x5 .
注：（1）极值是指函数值，极值点则是函数值对
解 函数的定义域为 , . f x 3 x 2 0, 除了点 x 0使得 f x 0 外，在其余各点处均有
f x 0.
故函数 f x 在区间 ,0 和 0, 上都是单调增 加的. 从而在定义域 , 上是单调增加的．
x3 例2 讨论函数 f ( x ) 2 的单调性. ( x 1)
解 函数的定义域为 (,1) (1, ).
x 2 ( x 3) f x ( x 1). 3 ( x 1) 令 f x 0, 得驻点 x1 0, x2 3. 列表判断．
y
y f (x)
a o
x1
x2 x3
x4 x5 b
x
由上图可知，在函数的极值点处，若函数在该点可
导，则函数的切线一定平行于 x 轴．
但图像上切线平行于 x 轴的点未必是极值点.
上图中的点 x2 就不是极值点，但该点的切线却平行 于 x 轴．
从而可得
定理2 （函数取得极值的必要条件）设函数 f ( x )在
1 . f x =1 1 x
当 x 0 时，f x 0, 所以 f x 在 0, 上单调 增加.
又因为 f 0 0, 所以当 x 0 时， f x f 0 , 即
x ln 1 x x 0 .
应的自变量的值．
（2）函数的极值概念是局部性的． 如果 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值（极小值）， 那只是就 x0 附近的一个局部范围来说，f ( x0 ) 是 f ( x ) 的一个最大值（最小值）． 如果就 f ( x ) 的整个定义域来说， f ( x0 ) 不见得是最 大值（最小值）．