【恒心】河北省衡水市2014届高三下学期二调考试数学(文科)试题及参考答案

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河北省衡水中学2014-2015学年高一下学期二调考试数学(文)试题(word版)

2014-2015 学年度下学期高一年级二调考试
文科数学试卷
一、选择题（本大题共 16 个小题，每小题 5 分，共 80 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知全集 U R, A { x | x 0}, B { x | x 1} ，则集合 CU ( A B)
A． { x | x 0} B ． { x | x 1} C ． { x |0 x 1} D ． { x | 0 x 1}
C．与 a,b 都相交
D
．与 a, b 都平行
13、已知异面直线 a, b ，直线 c a A ，则直线 b, c 的位置关系是
A．相交或异面
B ．异面或平行
C．平行或相交
D ．异面或相交或平行
14、如图，网格纸上正方形的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出
的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为
条。
18、如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为
俯视图是一个圆，那么该几何体的体积为
19、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
1 的正三角形，
20、某几何体的三视图（注 : 侧视图是两个正方形）如图所示，则该几何体的表面积是 21、一个多面体的三视图如B,C 的对边分别是 a, b, c ，若 B 2A,a 1,b 3 ，则 ABC 的面积等
于
A． 3
B ．2
C ．1 D ． 3 2
9、某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A．圆锥 B ．圆柱 C ．四面体 D ．三棱柱
10、将正方体（如图）截去两个三棱锥，得到图
3cm，高为 6cm的
圆柱体毛坯切削得到，则切削成几何体的表面积与原来毛坯表面积

河北省衡水市高考数学二模试卷(文科)解析版

高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x||x-1|≤3}，B={x|2x+1≥4}，则A∪B=（）A. [0，2]B. （1，3）C. [1，3）D. [-2，+∞）2.复数z1=1+i，z2=i，其中i为虚数单位，则的虚部为（）A. -1B. 1C. iD. -i3.已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是( )A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A. 28B. 56C. 84D. 1206.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.7.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）A.B.C.D.8.已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则m值等于( )A.5 B. 3 C. D.9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的对应点为P，点A、B、C在俯视图上的对应点为A、B、C，则PA与BC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M，N间隔3分钟先后从点P出发．绕照点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为（）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟11.定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx-ln x-3）≥2f（3）-f（-2mx+ln x+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A. B. C. D.12.已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB=AC=AD=2，BC=BD=4，CD=8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为（）A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则a=______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为______．15.已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A．以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则C的离心率为______．16.在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝，BD⊥BC，BD＝2BC，则AD的最小值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，a7-a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，若S n=，求n的值．18.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=45°，AB=2CD=4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．（1）求证：PD∥平面MCE；（2）若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．19.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M（-1，0）对称．（1）求E和Γ的标准方程；（2）过点M的直线l与E交于A，B，与Γ交于C，D，求证：．20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x（10≤x≤20，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．（Ⅰ）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580，760]内的概率．21.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥0时，0≤f（x）≤1，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）=3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（-1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．23.若关于x的不等式|2x+2|-|2x-1|-t≥0在实数范围内有解．（Ⅰ）求实数t的取值范围；（Ⅱ）若实数t的最大值为a，且正实数m，n，p满足m+2n+3p=a，求证：+≥3．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答.根据题意先求出集合A和集合B，再求A∪B.【解答】解：由|x-1|≤3得到-2≤x≤4，即A=[-2，4]，由2x+1≥4=22得到x≥1，即B=[1，+∞），则A∪B=[-2，+∞），故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z1=1+i，z2=i，∴=1-i，∴==-1-i，其虚部为-1．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，得解本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．【解答】解：因为“p∧q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以￢p是假命题，由“￢p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p∧q是真命题”，即“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了柱状图，考查数据处理能力，属于基础题．作差比较可得．【解答】解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5x，由24%•1.5x-28%•x=8%•x＞0，故选项A不正确；由（40%•1.5x-32%•x）÷32%•x=，故选项B不正确；由8%•1.5x-8%•x=4%•x＞0，故选项C不正确；由28%•1.5x-32%•x=10%•x＞0，故选项D正确．故选：D．5.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=0，S=0执行循环体，i=1，n=1，S=1不满足条件i≥7，执行循环体，i=2，n=3，S=4不满足条件i≥7，执行循环体，i=3，n=6，S=10不满足条件i≥7，执行循环体，i=4，n=10，S=20不满足条件i≥7，执行循环体，i=5，n=15，S=35不满足条件i≥7，执行循环体，i=6，n=21，S=56不满足条件i≥7，执行循环体，i=7，n=28，S=84满足条件i≥7，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．根据点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点即可得出：=，然后进行向量的数乘运算即可．【解答】解：据题意，==．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数分析函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题.根据题意，设两曲线y=f（x）与y=g（x）的公共点（a，b），求出两个函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，分析可得2a=-4，解可得a的值，将a的值代入g（x）的解析式可得b的值，即可得公共点（a，b）的坐标，将（a，b）代入f（x）的解析式，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设两曲线y=f（x）与y=g（x）的公共点为（a，b），f（x）=x2+m，其导数=2x，则切线的斜率k==2a，g（x）=6ln x-4x，其导数=-4，则切线的斜率k==-4，则有2a=-4，解得a=1或-3（舍），则b=6ln1-4=-4，则公共点为（1，-4），则有-4=1+m，解得m=-5.故选D．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值．【解答】解：由三视图知，该几何体是直四棱锥P-ABCD，且PD⊥平面ABCD，如图所示；取CD的中点M，连接AM、PM，则AM∥BC，∴∠PAM是异面直线PA与BC所成的角，△PAM中，PA=2，AM=PM=，∴cos∠PAM==，即PA与BC所成角的余弦值为．故选B．10.【答案】A【解析】解：由题意可得：y N==-cos x，y M=sin=sin x，∴y M-y N=sin x+=sin，令sin=1，解得：x+=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，3．∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）．故选：A．由题意可得：y N==-cos x，y M=sin=sin x，计算y M-y N=sin，即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于较难题．由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx-ln x≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx-ln x-3）≥2f（3）-f（-2mx+ln x+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx-ln x-3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴-3≤2mx-ln x-3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx-ln x≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．12.【答案】D【解析】解：如图三棱锥A-BCD，底面为等腰直角三角形，斜边为CD，底面圆心为CD中点F，由AB=AC=AD，可得AF⊥平面BCD，球心O1在直线AF上，AF===2，设球O1的半径为r1，可得r12=（r1-2）2+16，解得r1=5，由球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球心O2在直线AE上，球O2直径的最大值为10-2=8．故选：D．由题意可得三棱锥A-BCD，底面为等腰直角三角形，斜边为CD，球心O1在直线AF上，运用截面圆的性质，由勾股定理可得球O1的半径r1，再由球O2在球O1内且与平面BCD 相切，即可得到所求最大值．本题考查球的截面的性质，以及勾股定理的运用，考查运算能力和空间想象能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f（-2）=log2（a-2）=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则f（-2）=log2（a-2）=0，即a-2=1，解可得a=3，故答案为：314.【答案】6【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（2，2），化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6．故答案为6．15.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．由题意可得PA⊥PB，又△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF=AF=a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，∵△APQ的一个内角为60°，∴∠PAF=30°，∠PBF=60°⇒PF=AF=a+c，⇒PF1=3a+c，在△PFF1中，由余弦定理可得．⇒3c2-ac-4a2=0⇒3e2-e-4=0⇒.故答案为．16.【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的余弦定理、同角的平方关系和导数的运用：求单调性和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．设BC=t，BD=2t，∠ABD=θ，在△ABD和△ABC中，分别运用余弦定理，结合同角平方关系，可令f（t）=1+4t2-2，0＜t＜2，求得导数和单调性，可得最小值．【解答】解：设BC=t，BD=2t，∠ABD=θ，在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB•BD cosθ=1+4t2-4t cosθ，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos（θ+90°），即为5=1+t2+2t sinθ，可得sinθ=，0＜t＜2，则cosθ==，设f（t）=1+4t2-4t cosθ=1+4t2-4t•，即为f（t）=1+4t2-2，0＜t＜2，导数为f′（t）=8t-2××，由f′（t）=0，解得t=，检验可得0＜t＜，f（t）递减，2＞t＞时，f（t）递增；可得f（t）的最小值为f（）=1+8-2=5，则AD的最小值为.故答案为．17.【答案】解：（1）设数列{a n}为公差为d的等差数列，a7-a2=10，即5d=10，即d=2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40），解得a1=5，则a n=5+2（n-1）=2n+3；（2）b n===（-），即有前n项和为S n=（-+-+…+-）=（-）=，由S n=，可得5n=4n+10，解得n=10．【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n===（-），运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：（1）在图（1）中，∵BE==CD，且BE∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形，在图2中，连结BD，交CE于点O，连结OM，∴O是BD的中点，又∵点M是棱PB的中点，∴OM∥PD，∵PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，∴PD∥平面MCE．解：（2）在图1中，∵EBCD是平行四边形，∴DE=BC，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，∴AD=DE，∵∠BAD=45°，∴AD⊥DE，在图2中，PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，PD平面PDE,∴PD⊥平面EBCD，由（1）知OM∥PD，∴OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，∵AE=2，∴AD=DE=，∴OM=，∵S△BCE=S△ADE=1，∴三棱锥M-BCE的体积V M-BCE=．【解析】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）推导出四边形EBCD是平行四边形，连结BD，交CE于点O，连结OM，推导出OM∥PD，由此能证明PD∥平面MCE．（2）推导出DE=BC，AD=BC，AD=DE，从而AD⊥DE，再由PD⊥DE，得PD⊥平面EBCD，从而OM⊥平面EBCD，由此能求出三棱锥M-BCE的体积．19.【答案】解：（1）设Γ的标准方程为x2=2py，则．已知E在直线上，故可设E（2a，a）．因为E，F关于M（-1，0）对称，所以解得，所以Γ的标准方程为x2=4y．因为E与x轴相切，故半径r=|a|=1，所以E的标准方程为（x+2）2+（y+1）2=1．（2）设l的斜率为k，那么其方程为y=k（x+1），则E（-2，-1）到l的距离，所以．由，消去y并整理得：x2-4kx-4k=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4k，那么==．所以．所以|CD|2＞2|AB|2，即．【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于中档题．（1）根据题意可得，解得即可，即可求出椭圆的标准方程；（2）设l的斜率为k，那么其方程为y=k（x+1），根据韦达定理和弦长公式即可求出．20.【答案】解：（Ⅰ）商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为：y=，化简，得：．（Ⅱ）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10，12）的频率是2×0.08=0.16，海鲜需求量在区间[12，14）的频率是2×0.12=0.24，海鲜需求量在区间[14，16）的频率是2×0.15=0.30，海鲜需求量在区间[16，18）的频率是2×0.10=0.20，海鲜需求量在区间[18，20）的频率是2×0.05=0.10，∴这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为：（11×60-14×10）×0.16+（13×60-14×10）×0.24+（15×30+20×14）×0.30+（17×30+20×14）×0.2+（19×30+20×14）×0.10=698.8（元）．②∵当x=14时，30×14+280=60×14-140=700，函数在区间[10，20]上单调递增，y=580=60x-140，得x=12，y=760=30x+280，得x=16，∴日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率，∴日利润在区间[580，760]内的概率为P=0.24+0.30=0.54．【解析】（Ⅰ）由题意能求出商店的日利润y关于需求量x的函数表达式．（Ⅱ）①由频率分布直方图得海鲜需求量在区间[10，12）的频率是0.16，海鲜需求量在区间[12，14）的频率是0.24，海鲜需求量在区间[14，16）的频率是0.30，海鲜需求量在区间[16，18）的频率是0.20，海鲜需求量在区间[18，20）的频率是0.10，由此能求出这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数．②当x=14时，30×14+280=60×14-140=700，函数在区间[10，20]上单调递增，推导出日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率，由此能求出日利润在区间[580，760]内的概率．本题考查函数表达式、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-，①当a＞0时，f′（x）=-，令f′（x）=0，解得：x1=-，x2=2，且x1＜x2，当x∈（-∞，-）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（-，2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-，2）递增，在（-∞，-），（2，+∞）递减，②当a=0时，f′（x）=-，故f（x）在（-∞，2）递增，在（2，+∞）递减，③当-＜a＜0时，令f′（x）=0，解得：x1=2，x2=-且x1＜x2，故f（x）在（-∞，2），（-，+∞）递增，在（2，-）递减，④当a=-时，f′（x）=≥0，故f（x）在R递增，⑤当a＜-时，x1=-，x2=2且x1＜x2，故f（x）在（-∞，-），（2，+∞）递增，在（-，2）递减；（Ⅱ）由f（0）=0及（Ⅰ）知：①a≥0时，f（2）=+1＞1，不合题意，②-＜a＜0时，a需满足条件：，由（i）得a≤-，由（iii）知，当x＞-时，ax2+x-1≤0，a≤-，故a≤-，故-＜a≤-，③a=-时，f（x）在[0，+∞）递增，f（x）≥f（0）=0，f（x）=-+1＜1，故a=-，④a＜-时，f（x）极大值=f（-）=1-＜1，f（x）极小值=f（2）=+1≥0，且当x＞2时f(x)≤1，解得-≤a＜-，综上，a的范围是[-，-]．【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的极值，确定a的范围即可．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C：ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ+4的直角坐标方程为：x2+y2=2x-4y+4，即（x-1）2+（y+2）2=9，l1：ρ（cosθ-sinθ）=3的直角坐标方程为：x-y-3=0；（Ⅱ）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程并整理得t2-4（cosα-sinα）t-1=0，设A，B两点的参数分别为t1，t2，则t1+t2=4（cosα-sinα）．∵M为AB的中点，故点M的参数为，设N点的参数为t3，把代入x-y-3=0，整理得．∴．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，考查计算能力，是中档题．（Ⅰ）直接利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2即可化曲线C与直线l1的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程，利用根与系数的关系可得M的参数为，设N点的参数为t3，把,代入x-y-3=0求得,则|PM|•|PN|可求．23.【答案】（Ⅰ）解：因为|2x+2|-|2x-1|-t≥0所以|2x+2|-|2x-1|≥t又因为|2x+2|-|2x-1|≤|2x+2-（2x-1）|=3，所以t≤3；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a=3，则=，∴.【解析】本题考查了绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质求得|2x+2|-|2x-1|的最大值，再将关于x的不等式|2x+2|-|2x-1|-t≥0在实数范围内有解转化为最大值可解决；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=3，然后利用基本不等式可证．。

2014届河北省衡水中学高三下学期一调考试文科数学试题(含答案)

2013～2014学年度下学期一调考试高三年级数学（文科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1、已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是( )A ．(1，5)B ．(1，3)C 2、设集合}0)3)(1(|{},06|{2≤--=<-+∈=x x x P x x N x M ，则=⋂P M （）A ．)2,1[B ．[1，2]C ． }2,1{D ． }1{3、已知命题p ：“若直线01=++y ax 与直线01=++ay x 垂直，则1-=a ”；命题q ：是b a >的充要条件”，则（）A ．q ⌝真B ．p ⌝真C ．q p ∧真D ．q p ∨假4、在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率5、等差数列}{n a 中，18,269371=+=+a a a a ，则数列}{n a 的前9项和为（）A ．66B ．99C ．144D ．2976、定义在R 上图像为连续不断的函数y=f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f(x 1)＋f(x 2)的值 ( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负7（）A.2014i ≤B.2014i ＞C.1007i ≤D.1007i ＞（第7题图）（第8题图）8、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如上图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A. 8,8B. 45,8C. 84(51),3+D. 845,39、ABC ∆外接圆半径等于1，其圆心O 满足||||),(21AC AO AC AB AO =+=，则向量BA 在BC 方向上的投影等于（）A ．23-B ．23C ．23 D ．3 10、过x 轴正半轴上一点0(,0)M x ,作圆22:(2)1C x y +-=的两条切线,切点分别为,A B ,若||3AB ≥,则0x 的最小值为（） A ．1B ．2C ．2D ．311、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（）12、定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ∀∈，有(2)()(1)f x f x f +=+，且当[2,3]x ∈ 时，2()21218f x x x =-+-，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上恰有六个零点，则a 的取值范围是（）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13、某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，己知2,121==a a ，且满足()nn n a a 112-+=-+，则该医院30天内因患H1N1流感就诊的人数共有．14、在区间[0,1]内任取两个数b a ,，能使方程022=++b ax x 两根均为实数的概率为 .15、四面体BCD A -中，,5,4======BD AD AC BC CD AB 则四面体外接球的表面积为．16实数21,x x ，有如下条件： ||)5(;0)4(;||)3(;)2(;)1(212121222121x x x x x x x x x x ><+>>>，其中能使)()(21x f x f <恒成立的条件的序号有_________。

河北省衡水中学高三(下)二调数学试卷(文科).docx

高中数学学习材料唐玲出品2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．3．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、…、699、700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45．A．607 B．328 C．253 D．0074．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π5．若实数x，y满足，则y的最大值为（）A．B．1 C．D．6．已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；②f（x）的值域是；③f（x）是奇函数；④f（x）是区间（0，2）上的增函数．其中推断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．10．已知A，B分别为双曲线C ：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）12．已知数列{a n}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{a n}的前60项的和S60=（）A．231﹣154 B．231﹣124 C．232﹣94 D．232﹣124二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．若等比数列{a n}满足，则=．15．该试题已被管理员删除16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010K0 3.841 5.024 6.63519．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F分别为PA、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求点F到平面ABE的距离．20．已知圆O：x2+y2=4，点A（，0），以线段AB为直径的圆O1内切于圆O，记点B 的轨迹为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程．21．已知函数．（1）a=2时，讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线E的极坐标方程为，倾斜角为α的直线l过点P（2，2）．（1）求E的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设l1，l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A，B两点，l2与E 交于C，D两点．求证：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．3．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、…、699、700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45．A．607 B．328 C．253 D．007【考点】简单随机抽样．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．4．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA=，即球的半径为，∴球O的表面积为12π．故选：A．5．若实数x，y满足，则y的最大值为（）A．B．1 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式组的简单线性规划，如图阴影部分所示，找出y的最大值即可．【解答】解：做出直线y=x，y=x与圆（x﹣1）2+y2=1的图象，得出不等式组对应的可行域，如图阴影部分所示，根据题意得：y的最大值为1，故选：B．6．已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；②f（x）的值域是；③f（x）是奇函数；④f（x）是区间（0，2）上的增函数．其中推断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的判断．【分析】根据f（x）的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出f （x）的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误．【解答】解：①∵函数，∴f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），故①正确；②f（x）=，x＞0时：f（x）≤，x＜0时：f（x）≥﹣，故f（x）的值域是，故②正确；③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，故③正确；④由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，∴f（x）在区间（0，2）上先增后减，故④错误；故选：C．7．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，i=2，不满足退出循环的条件，A=3；再次执行循环体后，S=，i=3，不满足退出循环的条件，A=6；再次执行循环体后，S=，i=4，不满足退出循环的条件，A=10；再次执行循环体后，S=，i=5，不满足退出循环的条件，A=15；再次执行循环体后，S=，i=6，满足退出循环的条件，故输出结果为：，故选：B10．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：设P（x，y），实轴两顶点坐标为（±a，0），则∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，∴•=2，∴=+1，∵﹣=1，∴+1﹣=1，∴b2=2a2，∴c2=a2+b2=3a2，∴c=a，∴e==，故选：B．11．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C12．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k ﹣1+（﹣1）k ，a 2k +1=a 2k +2k （k ∈N *），则{a n }的前60项的和S 60=（）A ．231﹣154B ．231﹣124C ．232﹣94D ．232﹣124 【考点】数列的求和．【分析】由条件可得a 2k +1﹣a 2k ﹣1=2k +（﹣1）k ，将k 换为k ﹣1，k ﹣2，…，1，累加可得a 2k +1=2k +1+（﹣1）k ﹣，求得{a n }的通项公式，讨论n 为奇数和偶数的情况，再由分组求和，结合等比数列的求和公式计算即可得到所求和．【解答】解：a 2k +1=a 2k +2k =a 2k ﹣1+（﹣1）k +2k ，所以a 2k +1﹣a 2k ﹣1=2k +（﹣1）k ，同理a 2k ﹣1﹣a 2k ﹣3=2k ﹣1+（﹣1）k ﹣1， …a 3﹣a 1=2+（﹣1），所以（a 2k +1﹣a 2k ﹣1）+（a 2k ﹣1﹣a 2k ﹣3）+…+（a 3﹣a 1） =（2k +2k ﹣1+…+2）+[（﹣1）k +（﹣1）k ﹣1+…+（﹣1）]，由此得a 2k +1﹣a 1=2（2k ﹣1）+ [（﹣1）k ﹣1]，于是a 2k +1=2k +1+（﹣1）k ﹣，a 2k =a 2k ﹣1+（﹣1）k =2k +（﹣1）k ﹣1﹣+（﹣1）k =2k +（﹣1）k ﹣， {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =2+（﹣1）﹣；当n 为偶数时，a n =2+（﹣1）﹣；则S 60=（a 1+a 3+a 5+…+a 59）+（a 2+a 4+a 6+..+a 60）=[（2+22+23+…+230）+（﹣++…﹣）﹣×30]+[（2+22+23+…+230）+（﹣+﹣+…+）﹣×30]=2×+0﹣90=232﹣94．故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．若等比数列{a n}满足，则=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的性质可得：=a1a5=，即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：=a1a5=，则==．故答案为：．15．该试题已被管理员删除16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为4．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），通过两角和与差的三角函数求出cosB，即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac=4，通过由余弦定理求解即可．【解答】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），…所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB…所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣…∴B=…（2）由=得ac=4…．由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16…∴a+c=2…18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率K2=P（K2≥k0）0.050 0.0250.010K0 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．【解答】解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：A1A2B1B2B3B4B5B6A1﹣++++++A2﹣++++++B1++﹣B2++﹣B3++﹣B4++﹣B5++﹣B6++﹣结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F分别为PA、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求点F到平面ABE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点G，并连接EG，FG，BD，根据中位线的平行性质，及线面平行、面面平行的判定定理即可判定平面EFG∥平面PAB，而EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PAB；（Ⅱ）容易说明PD⊥平面ABE，而取BE中点H，连接FH，则FH∥ED，所以FH⊥平面ABE，所以求线段FH的长度即是点F到平面ABE的距离．并且能得到FH=，而PD在直角三角形PAD中，由PA=AD=1，是可以求出来的．这样也就求出了点F到平面ABE 的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接EG，FG，BD则：EG∥PA，FG∥AB；PA⊂平面PAB，EG⊄平面PAB；∴EG∥平面PAB，同理FG∥平面PAB，EG∩FG=G；∴平面EFG∥平面PAB，EF⊂平面EFG；∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）PA=AD，E是PD中点，∴AE⊥PD，即PD⊥AE；PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD；∴PA⊥AB，即AB⊥PA，又AB⊥AD；∴AB⊥平面PAD，PD⊂平面PAD；∴AB⊥PD，即PD⊥AB，AE∩AB=A；∴PD⊥平面ABE，取BE中点H，连接FH；∵F是BD中点，∴FH∥ED，∴FH⊥平面ABE，且FH=，又ED=；∴；在Rt△PAD中，PA=AD=1，∴PD=；∴FH=；即点F到平面ABE的距离为．20．已知圆O：x2+y2=4，点A（，0），以线段AB为直径的圆O1内切于圆O，记点B 的轨迹为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设切点为P，连OO1，O1P，利用两圆相内切的性质可得：|OO1|+|O1P|=|OP|=2，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，利用三角形的中位线定理可得：|A′B|+|AB|=2（|OO1|+|O1P|）=4．再利用椭圆的定义即可得出．（II）OB与圆O1相切，∴⊥．设B（x0，y0），可得+=0，又=1，解得B，再利用斜率计算公式、点斜式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切点为P，连OO1，O1P，则|OO1|+|O1P|=|OP|=2，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，故|A′B|+|AB|=2（|OO1|+|O1P|）=4．∴点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则曲线Γ的方程为+y2=1．（Ⅱ）∵OB与圆O1相切，∴⊥．设B（x0，y0），则+=0，又=1，解得，．∴，k AB=或，则直线BA的方程为：．即x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．21．已知函数．（1）a=2时，讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间．（2）由（1）可知：f（1）min=f（1），可得．令，利用导数研究其单调性极值与最值可得：g（x）的最大值，即可得出．【解答】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），又．当a=2时，．令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增．（2）证明：由（1）可知，f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增．∴．即，∴．令，而g'（x）=（2﹣x）（e﹣x+1），易知x=2时，g（x）取得最大值，即．∴．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．（1）求证：△DEF～△DHG；（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．【考点】圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定．【分析】（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．【解答】解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴DE×DG=DF×DH，∴，又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG．（2）连接O1A，O2A，∵AD是两圆的公切线，∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）∴DE=6x，DF=4x，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线E的极坐标方程为，倾斜角为α的直线l过点P（2，2）．（1）求E的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设l1，l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A，B两点，l2与E 交于C，D两点．求证：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线的直角坐标方程；由三角函数的关系求出直线l的参数方程即可；（2）利用韦达定理和弦长公式能求出|PA|•|PB|及|PC|•|PD|的值，从而证出结论．【解答】解：（1）∵E的极坐标方程为，∴ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴E：x2=4y（x≠0），∴倾斜角为α的直线l过点P（2，2），∴l：（t为参数）（2）∵l1，l2关于直线x=2对称，∴l1，l2的倾斜角互补．设l1的倾斜角为α，则l2的倾斜角为π﹣α，把直线l1：（t为参数）代入x2=4y并整理得：t2cos2α+4（cosα﹣sinα）t﹣4=0，根据韦达定理，t1t2=，即|PA|×|PB|=．同理即|PC|×|PD|==．∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|，即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．2016年10月19日。

河北衡水中学2013―2014学年度第二学期高三年级二调考试(精)

2013—2014学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷(理科本试卷分第Ⅰ卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分,共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分一、选择题(每小题5分,共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上 1.已知R 是实数集,2{|1},{|11}M x N y y x x=<==-+,则=M C N R (A .2,1(B .[]2,0C.∅ D .[]2,12.在复平面内,复数ii4332-+-(i 是虚数单位所对应的点位于(A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.31cos10sin170-=( A .4 B .2 C .2- D .4-4.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为(①利用残差进行回归分析时,若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内,则说明线性回归模型的拟合精度较高;②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化;③调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法;④已知随机变量X 服从正态分布N (3,1,且P (2≤X ≤4=0.682 6,则P (X >4等于0.158 7 ⑤某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人.为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为15人。

A .2 B .3 C .4 D .55.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2n =4(a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1, a 1a 2a 3=27,则a 6=(A.27B.81C. 243D.7296.已知某几何体的三视图如右图所示,其中,正视图,侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为(A. B.C. D.7. 程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是 ( A .2 B .13 C .3- D . 12-8. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c , 且1=a ,A B 2=, 则b 的取值范围为 (A.(3,2 B. (3,1 C.(2,2 D. (2,09. 在ABC △所在的平面内,点P P 、0满足=B P 041AB ,AB λ=PB ,且对于任意实数λ,恒有≥⋅PC PB C P B P 00⋅, 则 ( A .︒=∠90ABC B .︒=∠90A C BC .BC AC =D .AC AB =10.在平面直角坐标系中,记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ,该抛物线与直线y =kx (k >0所围成的平面区域为A ,向区域M 内随机抛掷一点P ,若点P 落在区域A内的概率为827,则k 的值为( A.13 B.23 C.12 D.3411.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ,BD ,设内层椭圆方程为22221(0x y a b a b +=>> ,若直线AC 与BD 的斜率之积为14- ,则椭圆的离心率为( A.12 B. 22 C. 32 D. 3412.已知函数1((2(,f x f x f x x =∈满足当[1,3],(ln f x x =,若在区间1[,3]3内,函数((g x f x ax =-与x 轴有3个不同的交点,则实数a 的取值范围是( A.1(0,eB.1(0,2e C.ln 31[,3eD.ln 31[,32e第Ⅱ卷(非选择题共90分二、填空题(每题5分,共20分。

河北省衡水中学2014届高三下学期二调考试数学文试题含答案

2013-2014学年度下学期二调考试高三年级数学试卷(文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共150分。

考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1．已知R 是实数集，2{|1},{|11}M x N y y x x=<==-+，则=M C N R （)A ．)2,1(B ．[]2,0C 。

∅D ．[]2,12. 在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数11x x e y e -=+为偶函数,下列说法正确的是（ )A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题 4．等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ,则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26 C．52D ．1565．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ )A ．y ＝x ＋1的图像上B ．y ＝2x 的图像上C ．y ＝2x的图像上 D ．y ＝2x —1的图像上6．把边长为错误!的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,连结AC,得到三棱锥C-ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示），则其侧视图的面积为（ ) A ．错误! B ．错误! C ．1 D ．错误! 7．已知等边ABF ∆的顶点F 是抛物线21:2C ypx =的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置（）A. 在1C 开口内 B. 在1C 上C. 在1C 开口外 D. 与p 值有关8.若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是（ )A ．1B ．x cosC ．x sin -D ．x sin 9。

河北省衡水中学2013至2014高二下学期二调考试数学文试题

2013—2014学年度第二学期第二次调研考试高二年级文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知函数()xf x e x =+，则函数()f x 的导函数为（）A.x eB.1x e +C.ln 1x +D.x e x +2. 若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22D. 33. 函数()32f x x 3x 3x a =++-的极值点的个数是（）A.2B.1C.0D.由a 确定4. 已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为（）A ．1－cos1B ．1＋cos1C ．cos1－1D ．－1－cos15. 设函数()xf x xe =，则（）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.高二文数答案一选择BBCBDB BDBBCA 二填空13.(0,1] 14. 2y x =-+ 15 2ln 22a ≤- 16. 1 三解答17. 最大值是4，最小值是34-。

18.19解:(1)()013'2=++-=a x ax x f 得1=a∴52233123++-=x x x y (2)曲线y=f(x)与直线y=2x+m 有三个交点即0252233123=--++-m x x x x 有三个根即有三个零点由03)(2=-='x x x g 得x=0或x=3由g′(x)>0得x<0或x>3,由g′(x)<0得0<x<3∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,要使g(x)有三个零点, 只需()()⎩⎨⎧<>0300g g 解得:521<<m20.【答案】解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞,a x xa x f ++-='22)((Ⅰ) 当1=a 时,23)1(=f ,0112)1(=++-='f , 所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程为23=y(Ⅱ)xa x a x x a ax x x f ))(2(2)(22-+=-+=', (1)当0=a 时,0)(>='x x f ,)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增, (2)当0>a 时,令0)(='x f ,得a x 21-=(舍去),a x =2, 当x 变化时,)(x f ',)(x f 的变化情况如下:此时,)(x f 在区间),0(a 单调递减,在区间),(+∞a 上单调递增; (3)当0<a 时,令0)(='x f ,得a x 21-=,a x =2(舍去), 当x 变化时,)(x f ',)(x f 的变化情况如下:此时,)(x f 在区间)2,0(a -单调递减,在区间),2(+∞-a 上单调递增 21.解：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()a f x x x'=-． ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，∴212()a f x x x'=-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x在[2,)+∞上恒成立．令()2xg x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．∵()2xg x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==．∴a ≤1．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．（2）由（1）得22()x af x x -'=，[1,]x e ∈． ①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数所以()min (1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得32a =（舍去）．②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数．所以()()min2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得22e a =（舍去）．③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数．所以()()min 213af x f e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e =． 22. 解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ，即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ，故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++3241323c b a b a c b a b a 即 ………3分 ∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………5分 (2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.232-==x x 或 ………7分列下表：因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为2795)32(=f ，又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……10分（3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2，由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时613)1(3132+-+-=-≥x x x x b ……12分而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立 0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……。

河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题(含解析)

2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

河北衡水中学高三第二次模拟试卷文科数学

河北衡水中学高三第二次模拟试卷数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分,时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互，那么 P(A •B)=P(A)•P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率是k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= (R 表示球的半径) 球的体积公式 334R V π=(R 表示球的半径) 第I 卷(选择题，共60分)一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合{}{}1,M x x P x x t =≤=>，若MP φ=，则t（A ）1t > （B ）1t ≥ （C ）1t < （D ）1t ≤2. 已知平面上三点A 、B 、C 满足AB CA CA BC BC AB CA BC AB ⋅+⋅+⋅===则,5||,4||,3||的值等于(A)25 (B)24(C)－25 (D)－243．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P }1)(|{-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是 A.0≤t B.0≥t C.3-≤t D.3-≥t4. 已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=⋅PB PA ，0=⋅PC PB ，0=⋅PA PC ，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为（）A ．2B ．1C ．21D ．415．当[]2,3x ∈-时，不等式22x x a >+成立，则实数a 的取值范围（A ）(),8-∞- (B) (),3-∞- （C ）(),1-∞ （D ）),8(+∞- 6．直线00cos140sin 4010x y ++=的倾斜角是(A)040 （B ）050 （C ）0130 （D ）01407．AB 是抛物线x y 22=的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是(A)2(B)21 (C)23 (D)25 8．若二项式233nx x ⎛ ⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是（A ）4 （B ）6 (C) 7 （D ）89.已知数列{n a }中，！n e a nn =, 则下列结论中正确的是(A) 数列{n a }为递增数列 (B)数列{n a }为递减数列 (C) 数列{n a }从某项递减 (D)数列{n a }从某项递增10.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23的值为(A)23 (B)332 (C)239(D)2732 11.定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足： f （－x ）＝－f （x ）， f （1＋x ）＝f （1－x ），当x ∈[－1,1]时， f （x ）＝x 3，则f （）的值是 (A)－1(B) 0(C) 1 (D)212.已知三棱锥ABC P -的三条侧棱两两垂直，且长分别为c b a ,,，又6)(22=+c b a ，侧面PAB 与底面ABC 成的角为060，当三棱锥的体积最大时，a 的值为（A ）5 （B ）3 (C) 2 （D ）1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在试题的横线上） 13．设定点A （0，1），动点(),P x y 的坐标满足条件0,,x y x ≥⎧⎨≤⎩则PA 的最小值是___________ 14. _在ABC ∆,21=ABAB AC ,23=BABA BC 则AB 的长为 15．数列{n a }中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为偶数）为奇数）n n a nnn (52(51，n n a a a 2212S +++= ，则2n S =16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称函数 f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π；③x x f )31()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 .（填上所有满足题意的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知函数x a x x x f 2sin 2cos 4sin 3)(+=在6π=x 时取到最大值.(1)求函数)(x f 的定义域; (2)求实数a 的值.18.（本题满分12分）小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛。

河北省衡水中学2013-2014学年高一数学下学期二调考试试题文新人教A版

2013～2014学年度下学期高一二调考试数学试卷〔文科〕本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部。

全卷共150分，考试时间120分钟。

第1卷〔选择题共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〕1．集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,如此AB =〔〕A. B. }{1x x >C.}{011x x x <<>或 D.∅ 2．假设坐标原点在圆22()()4x m ym 的内部，如此实数m 的取值范围是〔〕〔A 〕11m 〔B 〕33m〔C 〕22m〔D 〕2222m3．函数2lg(2)y x x =-的单调递增区间为〔〕 A.(0,1)B.(1,2) C.(,0)-∞ D.(2,)+∞4．直线1:0l ax y a -+=，2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，如此a 的值是〔〕 A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．0 5．如果下面的程序执行后输出的结果是，那么在程序UNTIL 后面的条件应为〔〕A ．B ．C ．D ．1188010<i 10i <=9<=i 9<i第6题图6．阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 67．某几何体的三视图如图〔注左视图上方是椭圆〕所示，如此该几何体的体积为〔〕第8题图A.83π B.3π C.103π D.6π 8.一个算法的程序框图如上图所示，假设该程序输出的结果是45，如此判断框中应填入的条件是〔〕 A ．6i >？ B ． 6i < ？C ．5i > ？D ． 5i <？9．方程212x kx -=+有唯一解，如此实数k 的取值范围是( )A 、3k =±B 、()2,2k ∈-C 、2k <-或2k >D 、2k <-或2k >或3k =±10．如图，程序框图所进展的求和运算是 ( )i=12 s=1 DO s=s*i i=i-1LOOP UNTIL _____A ．11112310++++… B.11113519++++… C.111124620++++…D ．231011112222++++…第11题图第10题图11．某流程如上图所示，现输入如下四个函数，如此可以输出的函数是〔〕 A ．2)(x x f = B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f =)( 12．点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，如此此切线段的长度为( )A ．62B ．32C ．12D ．32第2卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分〕13．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员占5％，中层管理人员占15％，一般员工占 80％，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120名进展调查，如此一般员工应抽取人14．将二进制数101101〔2〕化为八进制数，结果为15．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，开始输入函数()f x()()0?f x f x +-=存在零点？输出函数()f x完毕是是否否绘制了频率分布直方图〔如图〕，那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．16．用秦九韶算法计算5432()35683512,f x x x x x x =++-++当2-=x 时,=4v __ 三、解答题〔本大题共6小题，共70分。

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绝密★启用前2013—2014学年度下学期二调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知R 是实数集，2{|1},{|1}M x N y y x=<==，则=M C N R ( )A ．)2,1(B ．[]2,0C.∅ D ．[]2,12. 在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数11x x e y e -=+为偶函数，下列说法正确的是( ) A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．1565．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A ．y ＝x ＋1的图像上B ．y ＝2x 的图像上C ．y ＝2x 的图像上D ．y ＝2x -1的图像上6．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连结AC ，得到三棱锥正视图C-ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为( ) A ．32B ． 1 2C ．1D ．227．已知等边ABF ∆的顶点F 是抛物线21:2C y px =的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ,则点A 的位置（）A. 在1C 开口内B. 在1C 上C. 在1C 开口外D. 与p 值有关8.若函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，则错误！未找到引用源。

可以是( )A ．1B ．x cosC ．x sin -D ．x sin9. 已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则向量,a b的夹角范围是（）A ．[0,)6πB ．(,]6ππC ．(,]3ππD ．2(,)33ππ10.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为( )B.11．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-．若数列(){}()f n g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 12. 已知函数则方程f(x)＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（注：e 为自然对数的底数）（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题（每题5分，共20分。

把答案填在答题纸的横线上） 13.在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于4S的概率是．14. 已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为。

15.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2PA PD AB ===，90APD ︒∠=，若点P A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的表面积等于。

16．已知数列的前n 项和，对于任意的都成立，则S 10= 。

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17.已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求ba 11+的值．18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：（Ⅰ）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒,60BAC CAD ∠=∠=︒,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点，22PA AB ==．（Ⅰ）求证：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求四面体PACE 的体积．20. 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21.已知函数x x x f ln )(=，x e ax x x g )3()(2-+-=（a 为实数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数)(x g y =在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 在区间[t ，t+2]（t >0）上的最小值；（Ⅲ）若存在两不等实根]1[，21，e ex x ∈，使方程)(2)(x f e x g x =成立，求实数a 的取值范围．请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.如图，已知,,,,A B C D E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径. （Ⅰ）求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的值；（Ⅱ）若⊙O ，AD 与EC 交于点M ，且E 、D 为弧AC 的三等分点，求MD 的长．23．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数). （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||AB =试求实数m 值．24. 已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2013—2014学年度下学期二调考试高三年级数学试卷（文）参考答案1—12 DBBBD BBCCC AB 13.1214. 4 15. 12π 16.9117.解：（1）由题意，()f x ．………………………2分而0m >，于是m ，π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分在]4,0[π上递增．在 ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得 sin sin sin A B A B +=．……7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R ．a b +=．…………………………11分所以211=+ba …………………………………………………………………12分 18.解：（1）由公式879.7978.1130252530)5102020(5522>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以有%5.99的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关 ……5分（2）设所抽样本中有m 个“大于40岁”市民，则30620=m ，得4=m 人所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作214321,,,,,C C B B B B ，从中任选2人的基本事件有),,(21B B ),,(31B B ),,(41B B ),,(11C B ),,(21C B ),,(32B B ),,(42B B ),,(12C B ),,(22C B ),,(43B B ),,(13C B ),,(23C B ),,(14C B ),,(24C B ),,(21C C 共15个 ……………9分其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有),,(11C B ),,(21C B ),,(12C B ),,(22C B ),,(13C B ),,(23C B ),,(24C B 共8个所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为158=P …………12分 19、答案：1)法一：取AD 得中点M ，连接EM,CM.则EM//PA 因为,,EM PAB PA PAB ⊄⊂平面平面所以，//EM PAB 平面（2分）在Rt ACD 中，60,CAD CM AM ∠=︒= 所以，60ACM ∠=︒而60BAC ∠=︒,所以,MC//AB. （3分）因为,,MC PAB AB PAB ⊄⊂平面平面所以，//MC PAB 平面（4分）又因为EM MC M = 所以，//EMC PAB 平面平面因为,//EC EC PAB ⊂平面EMC 所以，平面（6法二：延长DC,AB,交于N 点，连接PN. 因为60,NAC DAC AC CD ∠=∠=︒⊥ 所以，C 为ND 的中点. （3分）因为E 为PD 的中点，所以，EC//PN 因为,,EC PAB PN PAB ⊄⊂平面平面//EC PAB 所以，平面（6分）2)法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分）因为，PA ABCD ⊥平面，所以，PA CD ⊥ （8分）又因为,CD AC AC PA A ⊥= ，所以， CD PAC ⊥平面（10分）因为E 是PD 的中点，所以点E 平面PAC 的距离12h CD ==， 12222PAC S =⨯⨯= MEPDCBA ND所以，四面体PACE的体积11233PAC V S h =⨯=⨯=（12分）法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=因为，PA ABCD ⊥平面，所以，11233P ACD ACD V S PA -=⨯=⨯⨯=（10分）因为E 是PD 的中点，所以，四面体PACE的体积123P ACD V V -==（12分） 20.（1）椭圆C 的方程为13422=+y x ……………（4分）（2）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），∆A 2F B 的面积为3，不符合题意． …………（6分） ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12kk ++ ……………（9分）又圆2F 的半径r=21||2k k +，∴∆A 2F B 的面积=21|AB| r=22431||12kk k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x ……………（12分） 21.解:(Ⅰ)当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅,(1)g e =. ………1分2()(32)x g x x x e '=-++⋅，故切线的斜率为(1)4g e '=. ………2分所以切线方程为:4(1)y e e x -=-,即43y ex e =-. ………4分 (Ⅱ)()ln 1f x x '=+,………6分 ①当et 1≥时,在区间(,2)t t +上()f x 为增函数, 所以min ()()ln f x f t t t == ………7分 ②当10t e<<时,在区间1(,)t e 上()f x 为减函数,在区间1(,)e e 上()f x 为增函数,所以min 11()()f x f e e==- ………8分(Ⅲ) 由()2()x g x e f x =，可得：223ln x x x ax =-+-， ………9分32ln a x x x=++, 令32()ln h x x x=++, 22)1)(3(321)(x x x h -+=-+=' . ………10分1132()h e e e =+-,14()h =,32()h e e e=++ . 12420()()h e h e e e-=-+<. ………11分∴实数的取值范围为342a e e<≤++ . ………12分22.解：（Ⅰ）连接,,,,OA OB OC OD OE ，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠1()2COD DOE EOA AOB BOC =∠+∠+∠+∠+∠ 13601802=⨯︒=︒. 5分（Ⅱ）连接OM CD 和，因为AC 为⊙O 的直径，a所以90ADC ∠=︒，又E 、D 为 AC 的三等分点，所以11118030223A C EOA ∠=∠=∠=⨯⨯︒=︒. 7分所以OM AC ⊥.因为⊙O的半径为2，即OA =1cos cos30OA OA AM A ===︒. 在Rt ADC ∆中，3cos 22AD AC A === . 则12MD AD AM =-=. 10分 23.解： (I)曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为:0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为:m x y -= ……… 4分(Ⅱ):把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222(t 是参数)代入方程0422=-+x y x , 得04)2(222=-+-+m m t m t ,………6分 m m t t m t t 4),2(222121-=--=+∴.∴ .14)4(4)]2(2[4)(||||222122121=----=-+=-=m m m t t t t t t AB ∴1=m 或3=m ………10分24.【解析】解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。