2011届高三数学人教版(理)复合函数的导数,对数与指数函数的导数同步练习

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复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质

复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。

练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。

因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。

对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。

对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。

接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。

同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。

根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。

将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。

练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。

对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。

对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。

2011年高考数学第一轮复习综合测试14导数(理)

单元综合测试十四(导数)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．函数y＝(sin x2)3的导数是() A．3x·sin x2·sin2x2B．3(sin x2)2C．3(sin x2)2·cos x2D．6sin x2·cos x2解析：[(sin x2)3]′＝3(sin x2)2(sin x2)′＝3(sin x2)2cos x2(x2)′＝3(sin x2)2cos x2·2x＝3x sin2x2sin x2答案：A2．在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是() A．4x－y＝0 B．4x－y－4＝0C．2x－y－2＝0 D．4x－y＝0或4x－y－4＝0解析：y′＝3x2＋1，又4x－y＝1的斜率为4，设曲线y＝x3＋x－2的切线中与4x－y＝1平行的切线的切点为M(x0，y0)，则3x20＋1＝4，∴x0＝1或x0＝－1.∴切点为M(1,0)、N(－1，－4)均不在4x－y＝1上．∴有两条直线与4x－y答案：D3．(2009·江西高考)(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x＋1，则曲线y＝f(x)() A．4C．2解析：依题意得f′(x)4，选A.答案：A4．质点运动方程为s＝202(g＝9.8m/s2)，则t＝3s时的瞬时速度为() A．20B．49.4C．29.4 D．64.1解析：s′＝gt，v(3)＝s′(3)＝3g＝29.4.答案：C5．函数f(x)＝(x2－1)3＋2的极值点是() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0解析：f′(x)＝3×2x(x2－1)2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±1，但x＝1或x＝－1时，两侧的导数值的符号同号，不是极值点．答案：D6．对函数f(x)＝－x4＋2x2＋3有() A．最大值4，最小值－4 B．最大值4，无最小值C．无最大值，最小值－4 D．既无最大值也无最小值解析：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±1，列表如下：∵x ∈R ，故无最小值，最大值为4. 答案：B7．若m ∈R ，方程x 3－3x ＋m ＝0在区间[0,1]上不等的实根( )A ．有3个B ．有2个C ．没有D ．至多有一个解析：设f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3. 所以f (x )在区间[0,1]上是单调减函数，函数f (x )在图象与x 轴至多有一个交点．应选D. 答案：D8．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析：由f (x )在[1,3]上单调可得：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在[1,3]上恒成立，利用分离参数即可得知应选C.答案：C 9．(2010·武汉调研)若函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)之间的大小关系为( )A ．f (B ．f (a )>e af (0)C ．f (D ．与f (x )或a 有关，不能确定g ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x>0，因此g (x )在R 上是，即f (a )e a >f (0)e0＝f (0)，f (a )>e a f (0)，选B.10．(2009·黄冈检测)已知m <0，f (x )＝mx 3＋12mx ，且f ′(1)≥－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：依题意，f ′(x )＝3mx 2＋12m ，则f ′(1)＝3m ＋12m≥－12，所以m 2＋4m ＋4≤0，故m ＝－2，选择B. 答案：B11．(2009·合肥质检三)已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )图1A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由图知，f (x )在(－∞，0)上单调增，在(0，＋∞)上单调减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴所求不等式等价于－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.答案：A 12．(2010·西安八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图2所示，两个正数a 、b范围是( )图2A ．(13，12) )C ．(12，3) 解析：由题中图可知，由2a ＋b >0，f (2a ＋b )<1＝f (4)得2a ＋b <4，即2a ＋b ⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >02a ＋b －4<0表示视为该平面区域内的点(a ，b )与点(－2的连线的斜率，结合图形不难得知b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，选C.16分)13．f ′(a )＝1，则lim x →a f (2x －a )－f (2a －x )x －a＝________. 解析：令x －a ＝h ，则原式＝lim h →0f (a ＋2h )－f (a －h )h＝2lim h →0 f (a ＋2h )－f (a )2h ＋lim h →0 －f (a )＋f (a －h )－h＝2f ′(a )＋f ′(a )＝3. 答案：314．(2009·陕西高考)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：由题意可得，y ′|x ＝1＝n ＋1，则所求切线为：y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.由对数运算法则可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg(x 1·x 2·x 3·…·x 99)＝lg 1100＝－2.答案：－2 15．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为__________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.要使f (x )有极大值和极小值，需f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0.∴a >6或a <－3.答案：a >6或a <－316．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为__________．解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ，因为h ＝r 2－x 2，所以S ＝2r ＋2x 2·r 2－x 2＝(r ＋x )r 2－x 2，S ′＝r 2－x 2－x (r ＋x )r 2－x 2＝(r －2x )(r ＋x )r 2－x 2.令S ′＝0得x ＝r 2，h ＝32r ，当0<x <r 2时，S ′>0；当r2<x <r 时，S ′<0.∴当x ＝r2时，S 取极大值．又∵极值点唯一，因此当梯形的上底长为r 时，它的面积最大．答案：r三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)如图3所示，曲线段OMB ：x 2＝y (0<x <6)在点x ＝t (即点M )处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且BA ⊥x 轴于点A .图3(1)试用t 表示切线PQ 的方程； (2)求△QAP 的面积g (t )的表达式．解：(1)∵y ′＝2x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝t ＝2t ，切线方程为y －t 2＝2t (x －t )，即y ＝2tx －t 2(0<t <6)．(2)在切线方程中令y ＝0，得x ＝t 2，∴P (t2，0)，令x ＝6，得y ＝12t －t 2，∴Q (6,12t －t 2)．∴g (t )＝12|AP |·|AQ |＝12(6－t 2)(12t －t 2)＝14t 3－6t 2＋36t (0<t <6)．18．(12分)若直线y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．解：y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为(x 0，y 0)，则 k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)．又y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y ＝(3x 20－6x 0＋2)x －(3x 20－6x 0＋2)x 0＋(x 30－3x 20＋2x 0)，即y ＝(3x 20－6x 0＋2)x ＋(－2x 30＋3x 20)．又切线是y ＝kx ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋2＝k ， ①－2x 30＋3x 20＝0. ② 由②得x 0＝0或x 0＝32，代入①知k ＝2或k ＝－14.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2经过点M (1,4)，在点M 处的切线恰与直线x ＋9y ＋5＝0垂直．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝4，f ′(1)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋2b ＝9. ∴a ＝1，b ＝3.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋3x 2， ∴f ′(x )＝3x (x ＋2)．令f ′(x )>0，解得x ≤－2或x ≥0，∴f (x )在区间(－∞，－2)和[0，＋∞)上单调递增．若f (x )在[m －1，m ＋1]上单调递增，则[m －1，m ＋1]⊆(－∞，－2)或[m －1，m ＋1]⊆[0，＋∞)， ∴m ＋1≤－2或m －1≥0. ∴m ≤－3或m ≥1.∴m 的取值范围是m ≤20．(12分)某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收x (百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数x (百万元)技术改造费用，现该公司准备共投入3(百万元)大收益．(注：参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：设3(百万元)3－x (百万元)，则广告收为－13x 3＋，所以，投入带来的销售额增加值F (x )＝－2(3－x )2＋14(3－x )－13x 3＋2x 2＋5投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售3x ＋24，因为F ′(x )＝－x 2＋3，令F ′(x )＝0，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，当x ∈[0，3)，F ′(x )＞0，当x ∈(3，3]时，F ′(x )＜0，所以，x ＝3≈1.73时，F (x )取得最大值．所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．21．(12分)(2009·南昌调研)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0，∵x ≥1，∴a ≤32(x －1x)．当x ≥1时，32(x －1x )是增函数，其最小值为32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)令h (x )＝f (x )－(a 2－3)x ＋1，h ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝0，得x ＝a 或x ＝－a，∵a >0，∴有∴x ＝－a 3时h (x )有极大值，h (x )极大值＝h (－a 3)＝527a 3＋1.x ＝a 时h (x )有极小值，h (x )极小值＝h (a )＝－a 3＋1， ∵若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，∴h (a )≥0或h (－a3)≤0，∴－a 3＋1≥0或527a 3＋1≤0(舍)，解得0<a ≤1.22．(14分)(2009·长望浏宁)设函数f (x )＝ax －(a ＋1) ln(x ＋1)，其中a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x >0时，证明不等式：x1＋x<ln(x ＋1)<x ；(3)设解：f ′(x )当x －＋1当x (1a，＋∞)．(2)设φ(x )＝ln(x ＋1)－x1＋x，x ∈[0，＋∞)对φ(x )求导，得：φ′(x )＝1x ＋1－1(1＋x )2＝x(1＋x )2当x >0时，φ′(x )>0，所以φ(x )在(0，＋∞)内是增函数．所以φ(x )在[0，＋∞)上是增函数．当x >0时，φ(x )>φ(0)＝0即ln(x ＋1)－x 1＋x >0，∴x1＋x<ln(x ＋1)．同理可证ln(x ＋1)<x ，∴x1＋x <ln(x ＋1)<x .(3)由(1)知，g (a )＝f (1a )＝1－(a ＋1)·ln(1a＋1)将x ＝1a 代入x 1＋x<ln(x ＋1)<x得：1a ＋1<ln(1a ＋1)<1a即：1<(a ＋1)ln(1a ＋1)<1＋1a∴－1a <1－(a ＋1)ln(1a ＋1)<0，即－1a<g (a )<0.。

最新人教版高中数学必修第二册：指数函数、对数函数与幂函数综合测试(附答案与解析)

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知函数()3xy f =的定义域为[1,1]-，则函数()3logy f x =的定义域为（）A.[1,1]-B.1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[1,2]D. 2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.1-B.0C.1D.23.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（） A.(1,3)- B.(,3)-∞ C.(,1)-∞ D.(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()02a f =，121log 4b f ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，2log 2c f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c ＞＞B.a c b ＞＞C.b a ＞＞cD.c a b ＞＞ 5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨⎩＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（）A.(0,1)B.11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,93⎛⎫⎪⎝⎭6.已知,(1,)m n ∈+∞，且m n ＞，若26log log 13m n nm +=，则函数2()mnf x x =的图像为（）ABCD7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。

其中正确命题的个数是（） A.1B.2C.3D.48.设函数()2ln 1y x x =-+，则下列命题中不正确的是（） A.函数的定义域为R B.函数是增函数C.函数的图像关于直线12x =对称D.函数的值域是3ln,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温()y ℃与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度()y ℃与时间(min)t 近似满足函数关系式101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）.通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（）A.35minB.30minC.25minD.20min 10.已知函数22log ,02,()43,2,x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩＜≤＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A.[2,3]B.(2,3)C.[2,3)D.(2,3]二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.给出下列结论，其中正确的结论是（）A.函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B.已知函数log (2)a y ax =-（0a ＞且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)C.在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称D.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为202112.定义“正对数”：0,01,ln ln , 1.x x x x +⎧=⎨⎩＜＜≥若0a ＞，0b ＞，则下列结论中正确的是（）A.()ln ln b a b a ++=B.ln ()ln ln ab a b +++=+C.ln ()ln ln a b a b +++++≥D.ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x ＞时，()e 1x f x =+，则(ln2)f -的值为________.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________年.（参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.72≈，lg70.85≈） 15.已知函数()log (1)a f x x =-+（0a ＞且1a ≠）在[2,0]-上的值域是[1,0]-.若函数()3x m g x a +=-的图像不经过第一象限，则m 的取值范围为________.16.若不等式()21212xxm m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1()231251log 227-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）计算：1324lg 2493-18.（12分）已知幂函数()221()1m f x m m x --=--⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()22x xmg x =+.（1）求实数m 的值，并简要说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为(01)x x ＜＜.（1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ；（2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）20.（12分）已知函数2()lg 2lg(10)3f x x a x =-+，1,10100x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()y f x =的最小值记为()m a ，求()m a 的最大值.21.（12分）已知函数()log a f x x b =+（其中,a b 均为常数，0a ＞且1a ≠）的图像经过点()2,5与点()8,7. （1）求,a b 的值；（2）设函数2()x x g x b a +=-，若对任意的1[1,4]x ∈，存在[]220,log 5x ∈，使得()()12f x g x m =+成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设44()log 23xg x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围；（3）若函数[]1()22()421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，是否存在实数()h x 使得最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.答案解析一、 1.【答案】D【解析】由[1,1]x ∈-，得13,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ∈. 2.【答案】C1()2)2f x x =+，11()()2)2)2)2)122f x f x x x x x ∴+-=+++=++ 22lg(144)1lg111x x =+-+=+=，1(lg 2)lg (lg 2)(lg 2)12f f f f ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭.3.【答案】A【解析】函数2()log f x x =在定义域内单调递增，2(4)log 42f ==，∴不等式(1)2f a +＜等价于014a +＜＜，解得13a -＜＜，故选A.4.【答案】C【解析】2||2||()()e e ()x x f x x x f x --=-+=+=知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，()02(1)a f f ==，121log (2)4b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，11log 22f f f c ⎛⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎭⎝⎝⎭=⎝⎭，所以1(2)(1)2f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞. 5.【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -⎧⎪-+⎨⎪⎩＜≥＜＜解得1173a ≤＜，故选B.6.【答案】A【解析】由题意，得26log log 2log 6log 13m m n n n m n m +=+=，令log (1)m t n t =<，则6213t t+=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =21m n =，所以2()mn f x x =的图像即为()f x x =的图像，故选A.7.【答案】C 【解析】由e e ()()2x xf x f x -+-==，知e 2e x x y -+=为偶函数，因此①正确；由11e e 221111e e e x x x x x y -+-===-+++知1e e 1x x y -=+在R 上单调递增，因此②正确；当0x ＞时，lg lg y x x ==，它在(0,)+∞上是增函数，因此③错误；由313log log y x x =-=知13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称，因此④正确，故选C.8.【答案】B【解析】A 中命题正确，22131024x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴函数的定义域为R ；B中命题错误，函数()2ln 1y x x =-+在12x ＞时是增函数，在12x ＜时是减函数；C 中命题正确，函数的图像关于直线12x =对称：D中命题正确，由221331244x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()23ln 1ln 4y x x =-+≥，∴函数的值域为3ln,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选B.9.【答案】C【解析】由题图知，当05t ≤＜时，函数图像是一条线段，当5t ≥时，因为函数的解析式为101802t a y b -⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以将(5,100)和(15,60)代入解析式，得5101510110080,216080,2aa b b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得5,20,a b =⎧⎨=⎩故函数的解析式为51018020,52t y t -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥.令40y =，解得25t =，所以最少需要的时间为25min .10.B 根据已知画出函数()f x 的草图如下。

高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（）
象大致形状是（）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(原卷版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1求较复杂函数的导数1．(5分)函数f (x )＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为()A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b2．(5分)函数f (x )＝x x x 的导数是()A ．18x B ．－788x C ．788xD ．－188x3．(5分)函数y ＝x －(2x －1)2的导数y ′＝()A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8xD ．5－8x4.(5分)若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.知识点2求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是()A ．y ＝x cos xB ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝6．(5分)函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′＝()A ．22cosx B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cosx 7．(5分)函数y ＝1(3x －1)2的导数是()A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)28．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为()A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5知识点3导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于()A ．e 2B ．－1C ．ln 22D ．ln 210．(5分)曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －211．(5分)已知函数f (x )＝x f ′(x )是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数12.(5分)若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.能力提升练能力考点适度提升13.(5分)函数f (x )的导数为()A ．f ′(x )＝B ．f ′(x )＝C ．f ′(x )＝D ．f ′(x )＝14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝()A ．2B ．12C ．－12D ．－215．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A B ．0∪3π4，C ．3π4，D ，3π416.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝－e x .19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)－12，ln人教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的导数分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1求较复杂函数的导数1．(5分)函数f(x)＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()A．ab B．－a(a－b)C．0D．a－bD解析：∵f(x)＝x2－(a＋b)x＋ab，∴f′(x)＝2x－(a＋b)．∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b.2．(5分)函数f(x)＝x x x的导数是()A．18 x B．－788xC．788xD．－188xC解析：∵f(x)＝x x x＝x78，∴f′(x)＝78x－18＝788x.3．(5分)函数y＝x－(2x－1)2的导数y′＝() A．3－4x B．3＋4x C．5＋8x D．5－8x D解析：∵y＝x－(2x－1)2＝－4x2＋5x－1，∴y′＝－8x＋5.4.(5分)若函数y＝tan x，则y′＝________.1cos2x解析：∵y＝tan x＝sin xcos x，∴y′＝1cos2x.知识点2求复合函数的导数5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是()A．y＝x cos x B．y＝1ln xC．y＝(2x＋3)4D．y＝A解析：A是两函数积的形式，不是复合函数，B，C，D均为复合函数．6．(5分)函数y＝sin2x－cos2x的导数y′＝()A ．22cosx B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos xA解析：y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cosx 7．(5分)函数y ＝1(3x －1)2的导数是()A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2C解析：∵y ＝1(3x －1)2＝(3x －1)－2，∴y ′＝－2(3x －1)－3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3.故选C ．8．(5分)函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为()A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5B解析：y ′＝x ′·ln(2x ＋5)＋x ·[ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.知识点3导数运算的应用9．(5分)设f (x )＝x e x ，若f ′(x 0)＝0，则x 0等于()A ．e 2B ．－1C ．ln 22D ．ln 2B解析：∵f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，∴f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)＝0.∴x 0＋1＝0.∴x 0＝－1.10．(5分)曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2A解析：∵f ′(x )＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝f ′(－1)＝2(－1＋2)2＝2.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.11．(5分)已知函数f (x )＝x f ′(x )是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数D解析：f ′(x )＝x 2sin2x ，其最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数.12.(5分)若f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a ＝________.2解析：∵f ′(x )＝12ax 2－1·(ax 2－1)′＝axax 2－1，∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2.能力提升练能力考点适度提升13.(5分)函数f (x )的导数为()A ．f ′(x )＝B ．f ′(x )＝C ．f ′(x )＝D ．f ′(x )＝C解析：f ′(x )＝＝14．(5分)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝()A ．2B ．12C ．－12D ．－2D解析：∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12.由题意知直线ax ＋y ＋1＝0的斜率k ′＝－a ＝2，∴a ＝－2.15．(5分)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A B ．0∪3π4，C ．3π4，D ，3π4B解析：∵y ′＝3x 2－1≥－1，∴tan α≥－1.∵α∈[0，π)，∴α∈0∪3π4，16.(5分)y ＝sin2x ·cos3x 的导数是________________________．2cos2x cos3x －3sin2x sin3x解析：y ′＝(sin2x )′·cos3x ＋sin2x ·(cos3x )′＝2cos2x ·cos3x －3sin2x ·sin3x .17.(5分)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.2解析：因为y ′＝α·x α－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.18.(5分)直线y ＝12x ＋b 能作为下列函数y ＝f (x )的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)①f (x )＝1x ；②f (x )＝ln x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝－e x .②③解析：①f ′(x )＝－1x 2<0，②f ′(x )＝1x，③f ′(x )＝cos x ，④f ′(x )＝－e x <0.由此可知，y ＝12x ＋b 可作为函数②③的切线.19.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .解：(1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′cos x ＋1x (cos x )′＝(x －12)′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x.20.(10分)求y ＝ln(2x ＋3)－12，ln 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12y ′x ＝23－1＝1，－12，ln 1，所以倾斜角为π4.。

指数对数的导数复习(附答案)

求指数、对数函数的导数例求下列函数的导数：1．1ln2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．.111 2)1(2111 )2(211222212221+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x xx x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++='+='x x x y .12112111)1()1(211122222122+=⋅+⋅+='+⋅+⋅+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 22+=+=x x y ， [].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y2．解法一：设132,log 22++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e uu y y x u x.132log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[])132(132log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u+===,sin ,，则)sin()cos( cos b ax u x v u x eb ax a a v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e ey b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax eb ax a b ax b ax e ++⋅+='+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='++-++'⋅⋅='+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例求下列函数的导数：（1）12223+-++=x x x x y ；（2）x x y +-=11ln ；（3）x x y sin )(tan =；（4）62--=x x y ．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 222222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ．（2）)]1ln()1[ln(21x x y +--=， .11)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．说明：求)()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数12)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例求下列函数的导数：1．21x x y +=；2．x ex x y 22)32(⋅+-=； 3．3223+-=x x y ；4．.13x x y -= 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 21ln ln 2++=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.112)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-=∴32)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(32)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222xe x x ⋅+-=3．两端取对数，得 32ln 23ln ln +--=x x y ，两端对x 求导，得.)32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得)1ln (ln 31ln x x y --=，两边对x 求导，得.)1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅ ∴.1)1(31)1(1313xx x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x 的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。

人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4

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第四章指数函数与对数函数
知识点三对数函数在实际问题中的应用某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂的马路 1×10－3
90
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第四章指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0，解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
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第四章指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
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第四章指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f

2011年高考复习指数函数与对数函数综合练习及答案

指数与对数函数1.已知函数()x x f 2=，则下列函数中，函数图像与()x f 的图像关于y 轴对称的是（）A.()x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B. ()x x g 2= C. ()2x x g = D. ()x x g 2log = 2.设函数()x a x f -=()()42,1,0=≠>f a a 且，则（）A.()()12-<-f fB. ()()21-<-f fC. ()()21f f >D. ()()22f f =-3.（07 江苏）设()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=a x x f 12lg 是奇函数，则使()0<x f 的x 的取值范围是（） A.()0,1- B. ()1,0 C. ()0,∞- D. ()()+∞∞-,10,4.给出下列三个等式：()()()y f x f xy f +=，()()()y f x f y x f =+，()()()y f x f y x f +=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A.()x x f 3=B. ()x x f 2lg =C. ()x x f 2log =D.()()0≠+=kb b kx x f ★5.若关于自变量x 的函数()ax y a -=2log 在[]1,0上是减函数，则a 的取值范围是（）A.()1,0B. ()2.1C. ()2,0D.[)∞+，26.已知函数()()13log 221--=x x x f ，则使()x x f 的0<的取值范围是（） A. ()1,∞- B.()+∞,2 C. ()2.1 D. ()3.17.若函数()012233a x a x a x a x f +++=是奇函数，则=+2220a a （）A. 0B. 1C. 2D. 48.()()()[]时，，有当上的函数，且满足是定义在1,02∈=+x x f x f R x f (),12-=xx f 则()3-f 的值等于（） A. -1 B. 7 C.87- D. 1 9.设()x f 是定义在R 上的奇函数，且满足()()x f x f -=+2，则下列各结论中错误的是（）A.()02=fB. ()()x f x f =+4C. ()()x f x f -=+22D. ()()x f x f -=-210.函数()1log 21-=x y 的定义域是 .11.函数()43log 22--=x x y 的单调增区间是 .12.若函数()()2x m e x f --=的最大值为m ，则()x f 的单调增区间为 . 13.函数()10<<⋅=a xa x y x的值域为 . 14.若函数()12922-=+-ax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为 .15.已知函数()()44log 23--=x x x f ，则使()0>x f 的x 取值范围是 .16.已知()x f 是定义在R 上的偶函数，并且满足()()x f x f 12-=+，当32≤≤x 时，()1+=x x f ，则()=5.5f .17. 比较下列各组数的大小：（1）4.05.09.08.0与；（2）5.148.09.021,8,4-⎪⎭⎫ ⎝⎛.18.已知函数()()1022log <<-+=a xx x f a . （1）试判断()x f 的奇偶性；（2）解不等式：()()x x f a 3log ≥.19.函数()()1log ++=x a x f a x 在[]1,0上的最大值与最小值之和为a ，求a 的值.20.已知093109≤+⋅-x x ，求函数221441+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的最大值与最小值.21.求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 4log 22x x x f 的最小值.22.已知[]2,0∈x ，求()523421+⋅-=-x x x f 的最值.参考答案：1. A2.A3.A4.B5.D6.B7.C8.A9.D 10.C 11.{}21≤<x x 12.()+∞,4 13.(]1,∞- 14.()()1,01, -∞- 15. []3,3- 16. ()()+∞-∞-,51,17. 0 18. 3.519.（1）<（2）5.15.144.148.08.19.02212824=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-，，，又x y 2=在R 上为增函数， 48.05.19.044.15.18.18214,222>⎪⎭⎫ ⎝⎛>∴>>∴-20.（1）()2,2- （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤132x x21. 21=a 22. 当11min ==y x 时，；当20max ==y x 时，23. ()41min -=x f 24. ()25max =x f ；()21min =x f。

指数函数与对数函数经典练习题

同步测控优化训练B 卷（指数函数与对数函数）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设f :x →y =2x 是A →B 的映射，已知集合B ={0,1,2,3,4},则A 满足（）A.A ={1，2，4，8，16}B.A ={0，1，2，log 23}C.A ⊆{0,1,2,log 23}D.不存在满足条件集合考查映射概念、指数、对数运算.【解析】 A 中每个元素在集合中都有象，令2x =0，方程无解.分别令2x =1,2,3,4,解得x =0,1,log 23,2.【答案】 C2.设P ={y |y =x 2,x ∈R },Q ={y |y =2x ,x ∈R },则（）A.Q =PB.Q PC.P ∩Q ={2,4}D.P ∩Q ={(2,4)}考查集合间关系及函数值域.【解析】 P =［0,+∞),Q =(0,＋∞).【答案】 B3.已知函数f (x )=log a (2－ax )在［0，1］上为减函数，则a 的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.［2，+∞)考查对数函数定义域及单调性.【解析】由y =log a (2－ax )单调性及2－ax >0对任意x ∈［0,1］恒成立，可求得1<a <2.【答案】 B4.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≤>)0(3)0( log 2x x x x 时f ［f (41)］的值是（） A.9 B.91 C.－9 D.－91 考查对分段函数对应法则的理解.【解析】 f (41)=log 241=－2, f (－2)=3－2=91 【答案】 B5.若函数f (x )=log 2(x －1)+log 2(x +2)的反函数为g (x ),则g (2)等于（）A.1B.－3C.2D.2或－3考查对数函数及互为反函数间的函数关系.【解析】依题意⎩⎨⎧=+->2)2)(1(log 12x x x ⇒x =2 【答案】 C6.已知f (x )=a x ,g (x )=log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)g (3)<0,则f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是（）【解析】 ∵f (3)=a 3>0,∴g (3)=log a 3<0,∴0<a <1【答案】 C7.若函数y =log 21(2－log 2x )的值域是（－∞,0），则其定义域是（）A.x <2B.0<x <2C.0<x <4D.2<x <4考查对数函数定义域、值域.【解】令2－log 2x =u ,由题意知u >1,⇒log 2x <1,故0<x <2.【答案】 B8.若定义运算a *b =⎩⎨⎧>≥)( )( a b a b a b ，则函数f (x )=3x *3－x 的值域是（）A.(0,]1B.［1,+)∞C.(0,+∞)D.(－∞,+∞)考查函数值域及灵活运用能力.【解析】若3x ≥3－x ,即x ≥0,则f (x )=3－x若3x <3－x ,即x <0,则f (x )=3x故值域为（0，1］【答案】 A9.若x 0是方程2x =x1的解，则x 0∈（） A.(0.1,0.2) B.(0.3,0.4)C.(0.5,0.7)D.(0.9,1) 考查指数函数图象性质及估算能力.【解析】画出y =2x ，y =x 1图象. ∵20.1<20.2<1,而1.01>2.01=5 排除A ，同理排除B 20.5=2≈1.414,20.7>20.5, 而5.01=2,7.01≈1.42821>20.9>20.5≈1.414,而9.01≈1.11 【答案】 C10.）A.v =log 2tB.v =log 21t C.v =212-t D.v =2t －2 考查构建数学模型的能力，具开放性.【解析】五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，代入验证可知v =212-t 最接近. 【答案】 C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 3(1－2·3x )=2x +1的解x =______.考查对数与指数运算.【解析】 32x +1=1－2·3x ，即3(3x )2+2·3x －1=0解得3x =31,故x =－1 【答案】－1 12.函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在区间［1，2］上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______. 考查指数函数的单调性及解决问题的能力.【解析】当a >1时，f (x )为增函数，a 2－a =2a ,得a =23 当0<a <1时，f (x )=a x 在［1，2］上为减函数，有a －a 2=2a ⇒a =21, 故a =21或23 【答案】 21或23 13.设函数f (x )=]⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),1( log 1,( 281x x x x ，则满足f (x )=41的值为______. 考查分段函数对应法则理解及对数运算.【解析】若x ∈(－∞,1),有2－x =41,∴x =2，但2∉(－∞,]1; 若x ∈（1,+∞），有log 81x =41 ∴x =3符合题意【答案】 314.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为______元.考查函数应用及解决实际问题的能力.【解析】若其稿费为4000，则应纳税3200×14%=448>420故稿费应小于4000元，设为x 元则(x －800)14%=420,解得x =3800(元)【答案】 3800三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=21+lg xx +-11. （1）求此函数的定义域，并判断函数单调性.（2）解关于x 的不等式f ［x (x －21)］<21. 【解】（1）f (x )=21+lg x x +-11=21+lg(－1+x+12) 要使f (x )有意义，即xx +-11>0,∴f (x )的定义域为－1<x <1 设－1<x 1<x 2<1,则f (x 1)－f (x 2)=lg(－1+112x +)－lg(－1+212x +) ∵－1<x 1<x 2<1,∴0<x 1+1<x 2+1∴－1+112x +>－1+212x + ∴f (x 1)>f (x 2),即f (x )在(－1,1)上为减函数（2）∵f (0)=21,∴f ［x (x －21)］<21=f (0) 由（1）知f (x )在(－1,1)上为奇函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-0)21(1)21(1x x x x ,解得：41712104171+<<<<-x x 或即不等式解集为(4171-,0)∪(21,4171+) 16.(本小题满分10分)已知y =log 4(2x +3－x 2).（1）求定义域；（2）求f (x )的单调区间；（3）求y 的最大值，并求取最大值时x 值.考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】（1）由2x +3－x 2>0,解得－1<x <3∴f (x )定义域为{x |－1<x <3}(2)令u =2x +3－x 2，则u >0,y =log 4u由于u =2x +3－x 2=－(x －1)2+4再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,)3又y =log 4u 为(0,+∞)增函数，故该函数单调递增区间为1，1］，减区间为［1，3）（3）∵u =2x +3－x 2=－(x －1)2+4≤4∴y =log 4u ≤log 44=1故当x =1时，u 取最大值4时，y 取最大值1.17.（本小题满分12分）已知函数f (x )=2x －x 2(x ≥0)，问是否存在这样的正数a 、b ，当x ∈［a ,b ］时g (x )=f (x ),且g (x )值域［b 1,a1］？若存在，求出所有a 、b 之值，若不存在，请说明理由. 考查函数知识综合运用，分类讨论思想.【解】分三种情况讨论:①当0<a <b ≤1时，那么a1>1,而当x ≥0时，f (x )的最大值为1，故此时不可能使g (x )=f (x ) ②当0<a <1<b 时，则g (x )最大值为g (1)=f (1)=1,即a1=1,得a =1与0<a <1<b 矛盾 ③当1≤a <b 时，∵x ≥1,f (x )为减函数，则g (x )=f (x )=2x －x 2,于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-==a a a g ab b b g b 2)(12)(122 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=---0)1)(1(0)1)(1(22a a a b b b ∵1≤a <b ,∴a =1,b =251+ 18.（本小题满分12分）若p ∈R ,且当|log 2p |<2时，不等式px +1>2x －p 恒成立,试求x 的取值范围. 考查对数基本概念及分类讨论思想.【解】由|log 2p |<2得－2<log 2p <2,则41<p <4 由不等式px +1>2x －p ,得p (x +1)>2x －1①当x >－1时，112+-x x <p ,即⎪⎩⎪⎨⎧<-≤+-xx x 141112,解得－1<x ≤75 ②当x <－1时，112+-x x >p ,即⎪⎩⎪⎨⎧-<≥+-14112x x x ,解得－25≤x <－1 ∴x 的取值范围为（－1，⎥⎦⎤75∪［－25,－)1 19.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图曲线(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？考查函数应用及分析解决问题的能力.【解】（1）依题意，得y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤)821(53254)210(12t t t t (2)设第二次服药时，在第一次服药后t 1小时则－54t 1+532=4,t 1=3 因而第二次服药应在10:00设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有－54t 2+532－54(t 2－3)+532=4 解得：t 2=7（小时）设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>8)，则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和－54(t 3－3)+532+［－54(t 3－7)+532］=4解得t3=10.5小时故第四次服药应在17:30.。

导数四则运算及复合函数求导运算练习题

一、选择题 (共 7 小题 ,每题 5.0分,共 35 分)??1.函数 y ＝ 3sin(2x － 6)的导数为 ()??A ． y ′＝ 6cos(2x － 6)B ′ 3cos(2 ??6)． y ＝x －??C ． y ′＝－ 3cos(2x － 6 )??D ． y ′＝－ 6cos(2x － 6 )2??2.函数 f(x)＝ ?? 的导函数是 ()??A′() 2e 2x． f x ＝2??B ． f ′(x)＝ 2????(2??-1)??2??C ． f ′(x)＝2??(??-1)??2??D ． f ′(x)＝2??3.以下求导运算正确的选项是( )11 A ． (x ＋ ) ′＝ 1＋ 2???? 1B ． (log 2 x) ′＝ ??ln2C ． [(2 x ＋ 3)2] ′＝ 2(2x ＋ 3)D ． (e 2x ) ′＝ e 2x4. ( 1) 2 xf ′(x)()x － 2 －，则等于已知函数 f ＝ xA ． 4x ＋ 3B ． 4x －1C ． 4x －5D ． 4x － 35.函数 y ＝ cos(1＋ x 2)的导数是 ( )A ． 2xsin(1＋ x 2)B ．－ sin(1＋ x 2)C ．－ 2xsin(1＋ x 2)D ． 2cos(1＋x 2 )16.已知 f(x)＝ aln x ＋ 2x 2(a>0) ，若对随意两个不等的正实数取值范围是 ( )A ． (0,1]B ． (1，＋ ∞)??(??)-??(?? )1 21 2 >2 恒建立，则 a 的x， x ，都有?? -??21C． (0,1)D． [1 ，＋∞)7.已知曲线f(x) ＝xlnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A ． 1B． ln 2C． 2D． e二、填空题 (共9 小题 ,每题 5.0分,共 45分 )()8.已知函数 f(x) ＝2sin 3x＋ 9x，则lim ??1+△ ??-??(1)△ ??→0△ ??________.9.函数 f(x)＝ xsin(2x＋5)的导数为 ________．2)________________．10.函数 y＝ cos(2x＋ x 的导数是11.函数 y＝ ln√1+??2的导数为 ________．1-??212.y＝ xe cos x的导函数为 ________．sin x ′()________.13.f′(x)是 f( x) ＝cosx·e的导函数，则 f x＝14.()＝e2x· cos()的导数 f′()________.已知函数 f x x，则 f x x ＝15.已知函数 f(x)＝ (x＋ 2)e x，则 f′(0)＝________.2－1)，且 f′(1) 4________.16.已知 f(x)＝ ln(ax＝，则 a＝三、解答题 (共 0 小题 ,每题12.0 分 ,共 0分 )答案分析1.【答案】 A??【分析】令 y ＝ 3sint ， t ＝2x － 6 ，′ (3sin ?? ??t) ′·(2 则 y ＝ x － 6 ) ＝′3cos(2x － 6 ) ·2 ??＝ 6cos(2x － 6 )． 2.【答案】 C2??【分析】关于函数f(x)＝ ??， ?? 2?? ′ 2?? ′对其求导可得 f ′(x)＝ (?? ) ×??-?? × ??2??2??2??2??2????? -??(2??-1)??＝2＝2.????3.【答案】 B【分析】由于 (x ＋11′ 11，因此选项 A 不正确；′′()－2??＝ x ＋?? ＝??21，因此选项 B 正确；(logx)′＝??ln2[(2 x ＋ 3)2] ＝′2(2x ＋ 3) ·x(2＋ 3) ＝′4(2x ＋ 3)，因此选项 C 不正确；(e 2x ) ′＝ e 2x · (2x) ＝′ 2e 2x ，因此选项 D 不正确．4.【答案】 A【分析】令 x － 1＝ t ，则 x ＝ t ＋ 1，因此 f(t)＝ 2(t ＋ 1)2－ (t ＋ 1)＝ 2t 2＋ 3t ＋ 1，因此 f(x)＝ 2x 2＋ 3x ＋ 1，因此 f ′(x)＝4x ＋ 3.5.【答案】 C【分析】 y ′＝－ sin(1＋ x 2) · ＋(1 x 2) ′＝－ 2xsin(1＋ x 2)．6.【答案】 D??(??)-??(?? )【分析】对随意两个不等的正实数x 1， x 2，都有12>2 恒建立，??1-??2则当 x>0 时， f ′(x)≥2恒建立，?? f ′(x)＝＋ x ≥2在(0，＋ ∞)上恒建立，??则 a ≥(2x － x 2)max ＝ 1.7.【答案】 D【分析】 ∵f ′(x)＝ lnx ＋ 1，由曲线在某点的切线斜率为2，令 y ′＝ln x ＋1＝ 2，解得 x ＝ e.8.【答案】 6cos 3＋ 9【分析】 f ′(x)＝ (2sin 3x ＋ 9x) ′＝ 6cos 3x ＋ 9.lim ()??1+△ ??-??(1) ＝ f ′(1)＝ 6cos 3＋ 9. △ ??→0△ ??9.【答案】 sin(2x ＋ 5)＋ 2xcos(2x ＋ 5)【分析】 f ′(x)＝ x ′sin(2x ＋ 5)＋ x(sin(2 x ＋ 5)) ′＝ s in(2 x ＋ 5)＋2xcos(2x ＋ 5)．10.【答案】－ (4x ＋ 1)sin(2 x 2＋ x)【分析】 y ′＝－ (4x ＋ 1)sin(2 x 2＋ x)．2??11.【答案】 1-??411+??2【分析】 y ′＝ 1+??2(√) ′√21-?? 1-?? 21 1 (1+??2) ′＝ 1+??2 · 1+??2√2 2 √21-??21-?? 1-??1 1 4??＝1+??2 · 1+??2 · 2 ) 2√ 2 2 √ 2 (1-??1-?? 1-??1-?? 24??2 ＝ 2??＝ 2(1+?? 2 ) · 2 )1-?? 4. (1-??12. cos xcos x 【答案】－ xsinx ·e ＋ ecos xcos xcos x′【分析】 y ′＝ (xe) ′ x ′e ＋ x(e )＝＝ e cos x( sin e cos xcos x e cos x＋ x － x )＝－ xsinx ·e ＋ .13.【答案】 (cos 2x － sinx)e sin xsin x【分析】 ∵f(x)＝ cosx ·e ，sin x cosx(e sin x sin x cosxe sin x 2 sin x ∵f ′(x)＝ (cosx) ′e＋ ) ′－＝ sinxe ＋cosx ＝ (cos x － sinx)e .14.【答案】 e 2x (2cosx － sinx)【分析】由积的求导可得，f ′(x)＝ (e 2x · cosx) ′＝ e 2x · 2·xcos ＋e 2x (cosx) ′ ＝ 2e 2x cosx － e 2x sinx＝ e 2x (2cosx － sinx)．15.【答案】 3【分析】 ∵f ′(x)＝ [( x ＋ 2) ·e x ]′＝ e x ＋ (x ＋ 2)e x ，∵f ′ (0)＝ 1＋ 2＝ 3.16.【答案】 2【分析】∵f′(x)＝1(ax2－ 1) ′＝2????，22????-1????-1∵′(1)2??＝ 4，f＝??-1∵a＝ 2.。

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高三数学人教版（理）复合函数的导数，对数与指数函数的导数同步练习
（答题时间：30分钟）
一. 选择：
1. 函数的导数是（）
A. B. C. D.
2. 已知，则等于（）
A. B. 2 C. D. 0
3. 函数的导数是（）
A. B. C. D.
4. 在处的切线方程是（）
A. B.
C. D.
5. 若，则等于（）
A. 5
B. 20
C. 40
D. 0
6. 已知，则等于（）
A. 0
B. 1
C.
D.
7. 已知某函数的导数是，则这个函数可能是（）
A. B. C. D.
8. 函数的导数等于（）
A. B. C. D.
二. 解答：
1. 首先指出下列函数是怎样复合的，然后求导：
（1）；（2）；（3）
2. 求下列函数的导数
（1）（2）
（3）（4）
3. 已知曲线C
1：与C
2
：，直线与C
1
、C
2
都相切，求
直线的方程。

【试题答案】
一.
1. D
2. D
解析：
∴
3. C
解析：
4. B
解析：，时，
∴切线方程为
5. D
解析：
∴
6. D
解析： ∴
7. C 8. C
解析：
二. 1.
（1）解：设，则 ∴
（2）解：设，则
∴
（3）解：设
2.
解：
（1）
（2）由对数运算性质，有
（3）
（4）
3.
解：依题意，可设直线与相切于点与相切于点
，对于，则与相切于点P的切线方程为
，即，对于，则与相切于点Q的切线方程为，即
∵两切线重合∴
解得或∴直线的方程为或。