2012届广州六中高三第十周理科数学周六测试卷
2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题14(答案)
2012~2013（上）高三(7)数学周六考试试题14（答案）命题人:张开桃一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 复数534i ＋的共轭复数是 （ A ）A ．3455i ＋B ．3455i － C ．3＋4i D ．3－4i2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( A )A ．4B ．5C ．6D ．73.，有下面四个命题：平面，直线平面已知直线βα⊂⊥m l （1）//l m αβ⇒⊥；（2）//l m αβ⊥⇒； （3）//l m αβ⇒⊥；（4）//l m αβ⊥⇒ 其中正确的命题是 ( C )A ．（1）（2）B ．（2）（4）C ．（1）（3）D ．（3）（4）4. 已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，且圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为（ B ）A.22(1)(1)2x y ++-=B. 22(1)(1)2x y -++=C. 22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++= 5. 设不等式⎩⎨⎧>+>-00y x y x 表示的平面区域与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数52+-=y x z 的最大值为（ C ）A ．4B ．5C ．8D ．126. 在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，M 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到M 的距离大于1的概率为 （ C ） A.4π B.8π C.14π-D.18π- 7. 等比数列{}n a 的各项都是正数，且132,21,a a a 成等差数列，则6554a a a a ++的值是（ A ）A ．215- B ． 251-C ．215+D ．215-或215+8. 定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ B ）A ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭9. 下列命题：①在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >；②已知)1,2(),4,3(--==CD AB ，则在上的投影为2-；③已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题．其中真命题的个数为（ C ） （A ）0（B ）1 （C ）2（D ）310. 定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α， β，γ的大小关系是（ D ） A ．γβα<< B ．βγα<< C ．βαγ<< D ．γαβ<< 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图4所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为 ．8012. 已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-637,13. 函数)(x f y =的导数记为)('x f ，若)('x f 的导数记为)()2(x f ，)()2(x f 的导数记为)()3(x f ，…….。
2012年数学综合测试(一)理科答案(发排稿)
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛⎫=-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表：所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形． 因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =，1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt△PBD 中，因为PD =，BD， 所以PB ===．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC=，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPACDE（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即1333AH ⨯⨯=所以3AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD=，PB=PD ，所以PD BD DN PB ⨯===13分 BP A CDM N因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =． 因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -． 于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x ()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分 12n +≤， ……，12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知2{|log 1}A x x =>，函数()f x =的定义域为B 则A B = （ ）CA ．φB ．(,3)-∞C ．(2,3)D ．(2,)+∞2．设正项等比数列{}n a ，{}lg n a 成等差数列，公差lg 3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为B A ．lg 3n B ．3n C ．3n D ．13n - 3.已知直线a 、b 和平面M ，则//a b 的一个必要不充分条件是（ ）D A. ////a M b M ， B. a M b M ⊥⊥，C. //a M b M ⊂，D. a b 、与平面M 成等角4.函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）.D5． 长方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 的中点，AB a = ，AD b = ，DE c =，则1BD = AA ． 322a b c -++B ．12a b c -++C ．a b c ++D ．12a b c -+6．如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为C A.2B.3C.27 D.47． 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.BA ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时8．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-, 这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题2(答案)
2012~2013（上）高三(7)数学周六考试试题2（答案）命题人:张开桃姓名：一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 设集合{|1A x =-≤x ≤2},B=},04|{2R x x x x ∈>-,则)(B C A R ⋂= （ B ）A.［1,2］B.［0,2］C. ［1,4］D.［0,4］2. 已知{a n }是等比数列，21,474==a a ,则公比q= （ D ） A.21-B.-2C.2D.213.设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数x y z 32-=的最大值为 （ C ） A ．-3 B ．2C ．4D ．54. 函数()230x y x =+>的反函数为 （ C ）A ．()23log 42x y x -=> B ．()()2log 33y x x =->C ．()()2log 34y x x =->D ．()23log 32xy x -=>5. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是（ C ）A ．34 B ．35 C ．2D ．45 6. A 为三角形的内角，则23cos 21sin <>A A 是的 （ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 7. 函数()3233f x x x =--在区间[]0,3上的值域是 （ A ）A. []7,3--B. {}3-C. []5,3--D. []10,3-- 8.若]2,0[0)sin()32cos(πϕωπ∈≤+⋅-x x x 对恒成立，其中=⋅-∈>ϕωππϕω则),,[,0（ A ）A. 35π- B ．32π- C ．32π D. 34π9. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的解析式是（B ）A. cos 2y x = B ．22cos y x = C ．1sin 24y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．22sin y x =错误!链接无效。
2011-2012年高三理科数学周练试卷及参考答案(十)
2011—2012学年度上学期高三理科数学周练试卷（十）考试范围：函数 数列 三角 向量 概率一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分） 1．若向量),2,4(),1,1(),1,1(=-==则c 等于（ ）A. +3B. -3C. 3+-D. 3+ 2．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足 （ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )3. 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a -- 共线，则λ= （ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则 向量P 1P 2→长度的最大值是（ ）A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3 5．6．在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于（ ） A ．()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a a b a b⋅--6．使)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个值（ ）A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π7. 已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC ABAC+= 且1..2AB AC AB AC=则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形 8. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++且||||AB OA =，则向量CA 在方向上的投影为 （ ） A.3 B.3 C.3- D.3-9. 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上10.已知函数f （x ）＝cos （ωx ＋ϕ）（x ∈R ）的图像的一部分如下图所示，其中ω＞0，｜ϕ｜<2π，为了得到函数f （x ）的图像，只要将函数 g （x ）＝22cos sin 22x x－（x ∈R ）的图像上所有的点（ ） A ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移3π个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11．已知：0<α<π2，-π2<β<0，cos(α-β)=35且tan α=34，则sin β=_____________.12.函数()⎪⎭⎫⎝⎛<<-=40sin cos sin πx x x x y 的最大值是 。
2012年广州市普通高中毕业班理科数学综合测试(一)
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R ，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ．11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为 ．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分⎛=+= ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．……………………10分因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形． 因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =，1DE =， 所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt △PBD 中，因为PD =，BD， 所以PB ===．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC=，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分 BPACDE因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=所以AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =， 所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD =，PB=PD ，所以PD BD DN PB ⨯===13分 BP A CDMN因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =- ，()2,0BC =．因为(()0BP BC =-=，所以BP BC ⊥ ．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP = ，PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x ()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分 （2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分 所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分12n +≤，……，12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分。
数学_2012-2013学年北京市某校高三(上)周六数学试卷3(理科)(含答案)
2012-2013学年北京市某校高三（上）周六数学试卷3（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ={x|12<2x+1<4，x ∈Z}的元素个数有（ ）A 1个B 2个C 3个D 无数个 2. “lnx >1”是“x >1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则a 0+a 1+a 2+...+a 9的值为（ ） A 2047 B 1062 C 1023 D 5314. 设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是（ ）A f(x)=x 2+ln|x| B f(x)=x 2−ln|x| C f(x)=x +ln|x| D f(x)=x −ln|x|6. 在等差数列{a n }中，a 1=−2012，其前n 项的和为S n ．若S 20072007−S 20052005=2，则S 2012=()A −2007B −2012C 2007D 2008 7. 数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+⋯+n的前n 项和为（ ）A nn+1 B 2nn+1 C 2n(n+1) D 4n(n+1)8. 已知整数以按如下规律排成一列：(1, 1)、(1, 2)、(2, 1)、(1, 3)、(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)，…，则第60个数对是（ ） A (10, 1) B (2, 10) C (5, 7) D (7, 5)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 若函数f(x)=cos(x +θ)在x =π4时取得最大值，则sin2θ等于________． 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =sinnπ4，则S 2010等于________．11. i 是虚数单位，i +2i 2+3i 3+...+8i 8=________．（用a +bi 的形式表示，a ，b ∈R ） 12. 在△ABC 中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则OA →⋅(OB →+OC →)的最小值是________．13. 已知a →=(2,3)，b →=(−3,4)，则(a →−b →)在(a →+b →)上的投影等于________．14. 如图，是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知向量m →=(cosx,−1)，向量n →=(√3sinx,−12)，函数f(x)=(m →+n →)⋅m →．（1）求f(x)的最小正周期T ；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a =1，c =√3，且f(A)恰是f(x)在[0, π2]上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积．16.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30∘，相距10海里C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求f(x)=sin 2θsinx +cos 2θcosx(x ∈R)的值域．17. 已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n +2，a 1=1． （1）设b n =a n+1−2a n ，求证{b n }是等比数列（2）设C n =an2n ，求证{C n }是等差数列（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．18. f(x)是定义在(−∞, 3]上的减函数，不等式f(a 2−sinx)≤f(a +1+cos 2x)对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f(x)=ln(1+x)−x +k2x 2(k ≥0)．(1)当k =2时，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间．20. 定义：两个连续函数（图象不间断）f(x)，g(x)在区间[a, b]上都有意义，我们称函数|f(x)+g(x)|在[a, b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a, b]上的“绝对和”．（1）试求函数f(x)=x2与g(x)=x(x+2)(x−4)在闭区间[−2, 2]上的“绝对和”．（2）设ℎm(x)=−4x+m及f(x)=x2都是定义在闭区间[1, 3]上，记ℎm(x)与f(x)的“绝对和”为D m，如果D(m)的最小值是D(m0)，则称f(x)可用ℎm(x)“替代”，试求m0的值，使f(x)可用ℎm(x)“替代”．2012-2013学年北京市某校高三（上）周六数学试卷3（理科）答案1. B2. A3. C4. C5. B6. B7. B8. C9. −110. √22+111. 4−4i12. −213. −6√2514. 216（或者65536）15. 解：（1）∵ m→+n→=(cosx+√3sinx, −32)∴ (m→+n→)⋅m→=cosx(cosx+√3sinx)+32=12(1+cos2x)+√32sin2x+32…∴ f(x)=12(1+cos2x)+√32sin2x+32=√32sin2x+12cos2x+2=sin(2x+π6)+2…．∴ f(x)的最小正周期T=2π2=π．…（2）由（1）知：f(A)=sin(2A+π6)+2∵ A为锐角，π6<2A+π6<7π6∴ 当2A+π6=π2时，即A=π6时，f(x)有最大值3，…由余弦定理，a2=b2+c2−2bccosA，∴ 1=b2+3−2×√3×b×cosπ6，∴ b=1或b=2，…∵ △ABC的面积S=12bcsinA∴ 当b=1时，S=12×1×√3×sinπ6=√34；当当b=2时，S=12×2×√3×sinπ6=√32．…综上所述，得A=π6，b=1，S△ABC=√34或A=π6，b=2，S△ABC=√32．16. 解：(1)连接BC，由余弦定理得BC2=202+102−2×20×10cos120∘=700．∴ BC=10√7．即乙船和遇险渔船间的距离为10√7海里.(2)∵ sinθ20=sin120∘10√7，∴ sinθ=√37，∵ θ是锐角，∴ cosθ=√47，f(x)=sin2θsinx+cos2θcosx=37sinx+47cosx=57sin(x+ϕ)∴ f(x)的值域为[−57，57]．17. 解：（1）S n+1=S n+a n+1=4a n−1+2+a n+1∴4a n+2=4a n−1+2+a n+1∴ a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)即：b nb n−1=a n+1−2a na n−2a n−1=2(n≥2)且b1=a2−2a1=3∴ {b n}是等比数列（2）{b n}的通项b n=b1⋅q n−1=3⋅2n−1∴ C n+1−C n=a n+12n+1−a n2n=a n+1−2a n2n+1=b n2n+1=34(n∈N∗)又C1=a12=12∴ {C n}为等差数列（3）∵ C n=C1+(n−1)⋅d∴ a n2n =12+(n−1)⋅34∴ a n=(3n−1)⋅2n−2(n∈N∗)S n+1=4⋅a n+2=4⋅(3n−1)⋅2n−2+2=(3n−1)⋅2n+2∴ S n=(3n−4)2n−1+2(n∈N∗)18. 解：由题意可得{a2−sinx≤3 a+1+cos2x≤3a2−sinx≥a+1+cos2x恒成立即{a2≤3+sinx a≤2−cos2xa2−a−94≥−(sinx−12)2对x∈R恒成立．故{a2≤2 a≤1a2−a−94≥−(sinx−12)max2∴ −√2≤a≤1−√102．19. 解：(1)当k=2时，f(x)=ln(1+x)−x+x2，∴ f′(x)=11+x−1+2x，由于f(1)=ln(2),f′(1)=32，∴ 曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−ln2=32(x−1)，即3x−2y+2ln2−3=0.(2)f′(x)=11+x−1+kx(x>−1)，当k=0时，f′(x)=−x1+x，在区间(−1, 0)上，f′(x)>0，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0，∴ f(x)的单调递增区间为(−1, 0)，单调递减区间为(0, +∞)；当0<k<1时，f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk>0，∴ 在区间(−1, 0)和(1−kk ，+∞)上，f′(x)>0，在区间(0,1−kk)上，f′(x)<0，即函数f(x)的单调递增区间为(−1, 0)和(1−kk ，+∞)，单调递减区间为(0, 1−kk)；当k=1时，f′(x)=x 21+x，f(x)的递增区间为(−1, +∞)，当k>1时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−1,0)，∴ 在区间(−1,1−kk )和(0, +∞)上，f′(x)>0，在区间(1−kk，0)上，f′(x)<0，即函数f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0, +∞)，单调递减区间为(1−kk，0)．20. 解：（1）令F(x)=f(x)+g(x)=x2+x(x+2)(x−4)=x3−x2−8x，则F′(x)=3x2−2x−8=(3x+4)(x−2)．F(x)，F′(x)随x的值的变化情况如下表由表可知F(x)的值域为[−12,17627].故|f(x)+f(x)|在[−2, 2]上的最大值为12． 从而f(x)与g(x)在[−2, 2]上的“绝对和”为12．（2）设ϕ(x)=ℎm (x)+f(x)=−4x +m +x 2=(x −2)2+m −4． 而ϕ(1)=ϕ(3)=m −3∴ D(m)是|m −3|与|m −4|中较大者． ∴ D(m)={|m −4|(m <72)|m −3|(m ≥72)∴ 当m =72时，D(m)最小，∴ m 0=72．即m 0=72时，f(x)可用ℎm 0(x)“替代”。
广东省2012届高三高考理科数学推荐必做60套(60)
2012年广东省高三高考理科数学推荐必做60套（60）满分150分．考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}1,1{-=M ，}0|{2=+=x x x N ，则M N =A ．}1,0,1{-B ．}1,1{-C ．{1}-D ．{0}2．函数212log 2)(x x x f -=的零点所在的大致区间为 A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)8,4(D ．不能确定3．函数)34sin()(π+=x x f 的一条对称轴方程为 A . 3π-=xB .6π=xC . 2π=xD . 32π=x 4．已知R x ∈，则“4|2||1|>-++x x ”是“2-<x ”的 A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个空间几何体的主视图和侧视图都是上底为2，下底为4，高为22的等腰梯形，俯视图是两个半径分别为1和2的同心圆，那么这个几何体的侧面积为 A .π26B .π18C .π9D .π236. 已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为 A ．23或25 B ．23C ．5D ．23或57. 甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．63 B ．64 C ．65 D ．668．数列}{n a 中，111-=⋅++n n n a a a ，且22010=a ，则前2010项的和等于 A ．1005B ．2010C ．1D ．01 2 3 543 4 6 3 6 8 3 8 9 1甲 5 2 5 4 9 7 6 1 9 40 乙第Ⅱ卷（非选择题 共110分）考生注意事项：请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二、填空题：每小题5分，共30分，9-13小题，14-15题2选1选做，把答案填在答题卡的相应位置。
广东省2012届高三数学全真模拟卷6 理
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科6一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知复数(1+)z i i =(i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B. 第二象限C ．第三象限 D. 第四象限2. 等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63. 已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则等于（ ）A ．3 B. 3- C.31 D. 31- 4. 直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ． B ．1- C ．2- 或1- D ．2-或5. 设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为（ ）A ．95B ．3C ．4D ．66. “22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D . 既不充分也不必要条件 7. 若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为A ．722πB ．323πC ．92π D. 43π8. 设S 是至少含有两个元素的集合. 在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S,对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应）. 若对于任意的a,b ∈S,有a*( b * a)=b ，则对任意的a,b ∈S,下列等式中不能．．成立的是( ) A ． ( a * b) * a =a B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a C. b*( b * b)=b D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9. 232()x x-的展开式中的常数项为 ．B ODAC10. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S =_________11.若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 . 12. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是___________13. 某班有50名学生，一次考试的成绩()N ξξ∈服从正态分布2(100,10)N . 已知(90100)0.3P ξ≤≤=，估计该班数学成绩在110分以上的人数为______________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.14.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB ______ _．三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )m A A =,(3,1)n =-,且 1m n ⋅=，A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 17．（本小题满分12分）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的.（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率； （3）记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望.第12题图18．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30︒角. （1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥； （2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值； （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值.19．（本小题满分14分）已知直线10x y +-=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，AM BM =-，且点M 在直线1:2l y x =上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆221x y +=上，求椭圆的方程. 20．（本小题满分14分）已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---. （I ）当1,()a f x =时求的单调区间；（II ）若函数1()(0,),2f x a 在上无零点求的最小值； （III ）若,0m n <<求证：m nm nm 2ln ln <--.21．（本小题满分14分）设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数x,y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12f =-．⑴、一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：1212221(21)(21)(21)n n n a a a M n a a a ⋅≥+---对一切*n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.1.选Ｂ.提示:因为(1+)=-1+z i i i =,所以(1+)=-1+z i i i =对应的点在复平面的第二象限.2.选Ｃ.提示:58215a a a -=+ 得2855215a a a a +==-,所以5a =５.3.选Ｂ.提示: //cos +2sin =,tan =-,tan()=-4a b παααα-由，得０即２所以３4.选Ｄ.提示:注意直线可以过原点和同截正负半轴(截距有正负之分)两种情形.5.选Ｄ.提示:画出可行域,在数形结合中的斜率解决.6.选Ｂ.提示:注意a.b 的正负号.7.选Ｄ.提示: 把六棱柱镶嵌到球体里面中,注意半径、棱柱的高、及棱柱底面边长的关系. 8.选Ａ.提示:此题为信息题，认真反复阅读理解题意，依样画葫芦.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9. 12 10. 2550 11. 1612.1313. 10 1415． 9. 12.提示: 2322322322()()()x C x x x--=-2+1的展开式中的常数项即Ｔ.10. 2550 .提示:.依照框图运行.11. 16.提示:始终平分圆就是圆心在直线上,然后用基本不等式. 12.13.提示:此题为几何概型,用定积分求出面积的比值. 13. 10提示:有正态分布的性质知,90～110有30人,90分以下和110以上.分别10人.:先用切割线定理求出ＢＣ的长度,然后d =距离15. .提示:全部转化到直角坐标系中去解决.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）（本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力）解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=………2分2sin()1,6A π-=1sin().62A π-= ………4分由A 为锐角得(,)663A πππ-∈-,,.663A A πππ-== ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1cos ,2A = ………7分所以()cos 22sin f x x x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin ).22x =--+ ………9分因为x R ∈， 则[]sin 1,1x ∈-，当1sin 2x =时， ()f x 有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分故所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ………12分17. （本小题满分12分）（本小题主要考查几何概型、二项分布、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A ,“蜜蜂落入第二实验区”为事件B .………1分依题意，()V P A V =小椎体圆椎体1111342183S h S h ⋅⋅⋅==⋅圆锥底面圆锥圆锥底面圆锥 ……………3分∴ ()7()18P B P A =-=∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为78. …………4分（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C ，则 …………5分301091102708708187)(==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=C C P∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率30702. …………8分（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 满足二项分布，即X ～140,8⎛⎫ ⎪⎝⎭……………10分 ∴随机变量X 的数学期望EX =40×18=5 ……………12分18. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解法一：（1）90,BAD ∠=BA AD ∴⊥,.PA ABCD BA PA ⊥⊥底面,PA AD A =又.BA PAD ∴⊥平面.PD PAD ⊂平面.PD BA ∴⊥,PD AE ⊥又,BA AE A =且.PD BAE ∴⊥平面.,PD BE BE PD ⊥⊥∴即…………4分（2）过点E 作//EM CD 交PC 于M ，连结AM ，则AE 与ME 所成角即为AE 与CD 所成角.,30.PA ABCD PD ABCD ⊥底面且与底面成角30.PDA ∴∠=,90,30,2.Rt PAD PAD PDA AD a ∴∆∠=∠==在中 2223()33,2.3433a PA PE a CD a PD a ==== 3223.4433a aCD PEME a PDa ⋅⋅∴===2343,.33PA a PD a ∴== 2323.433a aPA ADAE a PD a ⋅⋅∴===.AC 连结2,,,ACD AD a AC CD ∆===在中222,AD AC CD ∴=+ 90,ACD ∴∠=,CD AC ∴⊥.ME AC ∴⊥,PA ABCD ⊥又底面,PA CD ∴⊥.ME PA ∴⊥.ME PAC ∴⊥平面,MA PAC ⊂平面.,cos ME AM ME Rt AME MEA AE ⊥∴∆∠==在中∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为42. …………9分 （3）延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面PAB 与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面PAB ， 过B 作,,BF PG F CF CF PG ⊥⊥于点连则，CFB C PG A ∴∠--为二面角的平面角，1//2CB AD ，,30,,2.GB AB a PDA PA AG a ∴==∠===30,1,tan 2,222PGA a aBF GB BFC a ∴∠=∴====∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的正切值为2. ……14分 解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，13(0,0,0),(,0,0),(0,,),22A B a E a a 则23(,,0),(0,2,0),(0,0,).3C a aD a P a13(,,),2223(0,2,),21323()02()0,222BE a a a PD a a BE PD a a a a ∴=-=-∴⋅=-⨯+⋅+⋅-=PD BE ⊥∴…………4分 （2）由（1）知，)0,,(),23,21,0(a a CD a a AE -==,AE CD θ设与所成角为222222130()0222cos ,4||||130()()()022a a a a AE CD AE CD a a a a θ⨯-+⋅+⋅⋅===⋅++⋅-++则∴异面直线AE与CD 所成角的余统值为42. …………9分 （3）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥ 则.CB PAB ⊥平面BC PAB ∴是平面的法向量.(0,,0).BC a ∴=(,,),23,.(,,),(,,0),30,0.,0,.0.1,(1,1,3),,cos PCD m x y z m PC m CD PCa a a CD a a mPC m CD x yax ay z ax ay y m BC m BC m θθ=⊥⊥=-=-∴⋅=⋅=⎧=⎧+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎩=∴=⋅=又设平面的一个法向量为则而由得令设向量与所成角为则||||0tan 2.BC m θ===⋅∴=∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的正切值为2. …………14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、对称问题等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x yB x y（ I ）由AM BM =-知M 是AB 的中点， ………………1分由2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：2222222()20a b xa x a ab +-+-= …………………4分22121212222222,()2a b x x y y x x a b a b +=+=-++=++ …………5分 M ∴点的坐标为222222(,)a b a b a b++ 又M 点在直线上： 22222220a b a b a b ∴-=++…6分22222222()2a b a c a c ∴==-∴=c e a ∴==……7分（II ）由（1）知b c =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b关于直线 1:2l y x =的对称点为00(,)x y ，………………8分 则有000001122022y x b x b y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨+⎪-⨯=⎪⎩ 解得：003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………11分 由已知22001x y +=，2234()()155b b ∴+=， 21b ∴=. ………13分∴ 所求的椭圆的方程为2212x y +=……………14分 ∴20. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查恒成立问题，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（I ）解：当1,()12ln ,a f x x x ==--时2()1,f x x'=-则 …………1分 由()0,2;f x x '>>得由()0,0 2.f x x '<<<得 …………3分故(]()0,2,f x 的单调减区间为[)2,+∞单调增区间为 …………4分 （II ）解：因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221x x a x ∈>--恒成立。
2012年6月8日全国各地高考理科数学试题及参考答案广东卷
2012年全国各地高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试(广东A 卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,则复数56ii-= A.65i +B.65i -C.65i -+D.65i --2.设集合U {1,23,4,5,6}=，,M {1,2,4}=则M U =ðA.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}3.若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC =A.(2,4)--B.(3,4)C.(6,10)D.(6,10)--4.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A. ln(2)y x =+B y =C. 1()2xy =D. 1y x x=+5.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为A.12B.11C.3D.－16.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A.12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 A.49 B.13 C.29 D.198.对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥>,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = A.12 B.1 C.32 D.52二、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分. (一)必做题(9～13题)9.不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为__________.(用数字作答)11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =________.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________. 13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为_______.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中xoy 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x (t 为参数)和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为1,A,B,C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ,则PA= .图3三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数)6cos(2)(πω+=x x f (其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10.（1） 求ω的值；（2） 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ,求)cos(βα+的值. 17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE . (1)证明:BD ⊥平面PAC ；(2)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<.20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =,且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在,请说明理由.)21.(本小题满分14分)设1a <,集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B =.（1） 求集合D (用区间表示)；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.参考答案选择题答案:1－8: DCAAB CDC 填空题答案:9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦10. 20 11. 21n - 12. 21y x =+ 13. 8 14. ()1,115.解答题答案16.(1)15ω=(2)代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒=162cos 17β=8c o s 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ==∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.(1)由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =(2)由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.(1)∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面 (2)设AC 与BD 交点为O,连OE∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形 ∴BO =在PAC ∆中,13OE PA OE OC AC =⇒=⇒=∴ tan 3BOBEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为319.(1)在11221n n n S a ++=-+中令1n =得:212221S a =-+ 令2n =得:323221S a =-+解得:2123a a =+,31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a = (2)由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- (3)(法一)∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-(法二)∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴11112n na a +<⋅ 当2n ≥时,321112a a <⋅431112a a <⋅ 541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅ 累乘得: 221112n n a a -⎛⎫<⋅⎪⎝⎭∴212311111111173...1 (5252552)n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭ 20. (1)由e =223a b =,椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b≥,max 3d ==得1b = 当②1b ->-即1b<,max 3d ==得1b =(舍) ∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y +=(2)11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=,AOB S ∆取最大值12,点O 到直线l距离2d ==∴222m n +=又∵2213m n +=解得:2231,22m n ==所以点M 的坐标为⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 AOB ∆的面积为1221.(1)记()()()223161h x x a x a a =-++< ()()()291483139a a a a ∆=+-=--① 当0∆<,即113a <<,()0,D =+∞② 当103a <≤,33330,,44a a D ⎛⎛⎫+-++=⋃+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤,D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭(2)由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<,()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1② 当103a <≤,∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点 ③ 当0a ≤,则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-< ∴ ()D f x 在内有无极值点。
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2012届广州六中高三第十周理科数学周六测试卷本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为（ ） A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3-D ．{})1,3(-2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i -+3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S =（ ）A ． 1-B ．12C ．1D ．2４．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>1”是“a+b>2且ab>1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件5． 已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：① 若α⊂n n m ,//，则m ∥α； ② 若αα⊄⊥⊥n m n m ,,，则α//n ； ③ 若βαβα⊥⊥⊥n m ,,，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，ββα//,,m n m ⊂⊂，则α//n . 其中正确的命题有( )．6．利用系统抽样法从1000个零件中依次抽取20个样本，第二次零件A 被抽到的概率是：（ ） A 、201 B 、501 C 、9991 D 、100017．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ） A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时8. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数m 满足()x M M D ∀∈⊆，均有x m D +∈，且()()f x m f x +≥，则称()f x 为M 上的m 高调函数．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,1[-B ．)1,1(-C ．]2,2[-D ．)2,2(-二、填空题:（本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）A ．②③B ． ②④C ．③④D ． ①②9 ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(2)∞，+上取值的 概率为 ．10．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c = . 11．已知某个三棱锥的三视图如右，根据图中标出 的尺寸（单位:cm ），则这个三棱锥的体积是 。
12．)21()15x x --（的展开式中，4x 的系数是： 。
13．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是 双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 。
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14． (几何证明选讲选做题) 如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D,CD =4，BD =8，则线段DO 的长等于_______________．15．(坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为______________．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（12分） 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、． （1）若5=c ，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围．17.（12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．俯视图正视图左视图第11题图18.（14分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M为线段AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.19.（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型 的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：(1)y ＝2150x+；(2)y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型 是否符合公司要求？20.（14分）椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =－1上，且椭圆的离心率e(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN ．21.（14分）已知数列{a n }满足：11=a ，*)(22111N n na a n n n ∈+=++． ⑴求数列{a n }的通项公式； ⑵证明：1211≤≤-n n a ； ⑶设nn a n n n T 422+-=，且221)1ln(n n n T k ++=，证明：n n n k T T <+22A C D 图2 MB AC D图1 M .2012届广州六中高三第十周理科数学周六测试参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 0.1 ； 10. 2:3:1 ； 11. 43cm 3； 12．25- ； 13．914. 3 ； 15. 3)4π 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、解：（1）∵()3,4A ，()0,0B ， ∴5AB =，4sin 5B =． …………………………3分当5c =时，5BC =，AC ==根据正弦定理，得sin sin BC AC A B =，∴sin 5A =． …………………………6分 （2）∵()3,4A ，()0,0B ，(),0C c ，∴5AB =，AC =BC c = …………………………8分．若A ∠为钝角，则0<⋅AC AB ,且C B A ,,不共线，即016)3(3<+--c ，且4433--≠--c 解得253c >． …………………………12分 17、解：（Ⅰ）()31f x x =为奇函数；()25xf x =为偶函数；()32f x =为偶函数；()42121x x f x -=+为奇函数；()5sin()2f x x π=+为偶函数; ()6cos f x x x =为奇函数………………………………………………3分 （注：每对两个得1分，该步评分采用去尾法）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为112333C C C +满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为23C故所求概率为2311233314C P C C C ==+ ………………………………………………6分 （Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． …………………………………………………7分103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； 故ξ的分布列为10分.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ∴ξ的数学期望为.47……………………………………………………………12分18、解:（Ⅰ）在图1中,可得AC BC ==,从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥ 取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面⊥面ABC ,面ADE 面ABC AC =,DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC , …………4分 ∴OD BC ⊥ 又AC BC ⊥,AC OD O = ,∴BC ⊥平面ACD (6)分另解:在图1中,可得AC BC==,从而222AC BC AB+=,故ACBC ⊥∵面ADE ⊥面ABC ,面ADE面ABC AC =,BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则M ,(C ,DCM =,CD =………………………9分 设1(,,)n x y z = 为面CDM 的法向量,则1100n CM n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00+=+=,解得y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =-,可得1(1,1,1)n =-…………………………12分又2(0,1,0)n = 为面ACD 的一个发向量∴121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>=== ∴二面角A CD M --. …………………………14分19、解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f (x )，则公司对函数模型的基本要求是： 当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③()5xf x ≤恒成立. ……4分（Ⅱ）（1）对于函数模型()2150xf x =+： 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<. 所以f (x )≤9恒成立. 因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max ()111[]15055f x x =+>. 从而()1211505f x x x =+≤，即()5xf x ≤不恒成立. ……………………9分 故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型f (x )＝4lg x －3：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=. 所以f (x )≤9恒成立.设g (x )＝4lg x －3－5x ，则4lg 1()5e g x x '=-. 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-≤=<，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0.所以4lg x －3－5x ＜0，即4lg x －3＜5x ，所以()5xf x <恒成立.故该函数模型符合公司要求. ……………………………………14分20、解：（Ⅰ）依题意，得1b =． ··········································································· 1分∵c e a ==2221a c b -==，∴24a =． ························································· 3分 ∴椭圆的标准方程为2214x y +=． ············································································ 4分（Ⅱ）证明：设()00,P x y ，00x ≠，则0(0,)Q y ，且220014x y +=． ∵M 为线段PQ 中点， ∴00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭． ································································· 5分又()0,1A ，∴直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 000,1,x y ≠∴≠ 令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫-⎪-⎝⎭． ······················································ 8分 又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，∴00,12(1)x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． ······································· 9分 当00y =时，02x =，此时()()()2,0,1,0,1,1P M N -，∴0OM k =，MN k 不存在，∴OM MN ⊥．······················· 11分当00y ≠时，000022OM y y k x x ==，()()()200000000000002111221221MNy y y x k x x x y x y y y y -------====---，∵1OM MN k k ⋅=-，∴OM MN ⊥ ·············································································· 13分 综上得OM MN ⊥． ·································································································· 14分 21、解：⑴由11221+++=n n n n a a ，得n a a n n n n +=++2211,令n n n a b 2=，有n b b n n =-+1∴)()(...)(121121----+-++-+=n n n n n b b b b b b b b ＝)]1(...321[1-+++++n b ＝)1(211-+n n b 又b 1＝2a 1＝2，)1(212-+=n n b n --------------------------3分∴2)1(212+-=n n a n n ,∴*)()21(·)4(12N n n n a n n ∈+-=+--------------------------4分 ⑵证法1：(数学归纳法)1°，当n ＝1时，a 1＝1，满足不等式1121111≤=≤-a -------------------------5分2°，假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立 即1211≤≤-k k a ，那么k k k k k k k k k k a a 2122221·2122111111>+-+≥+=+++++即121)1(1->++k k a ------------------------- 7分又122·22212211111=<+≤+=++++k kk k k k k k a a ,由1°，2°可知，n ∈N *，都有1211≤≤-n n a 成立-----------9分⑵证法2：由⑴知：12)21(·)4(++-=n n n n a ∵02≥-n n ，*N n ∈，∴1121)21(·4-+=≥n n n a∵1224++-=n n n n a ∵21111111121111121...1)11(2+++++-+++++++>++++++=+=n n n n n n n n n n n n C C C C C C C∴22221++>+n n n ∴122231224222<++--=+++-<n n n n n n n a n当n ＝1时，11==a a n ，综上1211≤≤-n n a⑶n n n n n n n n nT )21(·)21(·)4(42122=+-+-=+欲证：nn n k T T <+22即证n n n T T k +<221-------------------------11分即ln(1＋T n )－T n ＜0，构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x ∵xxx x f +-=-+=1111)(当x ＞0时，f ' (x )＜0 ∴函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内递减, ∴f (x )在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0∴当x ≥0时，ln(1＋x )－x ≤0又∵T n ＞0，∴ln(1＋T n )－T n ＜0, ∴不等式nn n k T T <+22成立 --------------------14分。