复合函数求导练习题重点讲义资料
求导数的复合函数法则练习
求导数的复合函数法则练习求导数是微积分中一个非常重要的概念，而复合函数法则则是求解复合函数的导数的一种常用方法。
本文将通过一些例题来练习使用复合函数法则求解导数的能力。
1. 例题一已知函数f(x) = (2x + 3)^2，求f'(x)。
解析：首先，我们将这个函数拆解成两个部分：外部函数和内部函数。
外部函数是平方函数，记为u(x) = x^2。
内部函数是线性函数，记为v(x) = 2x + 3。
根据复合函数法则，我们可以得到f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)。
首先，计算u'(v(x))。
根据求导的常用公式，u'(v(x)) = 2v(x)。
然后，计算v'(x)。
v(x)是线性函数2x + 3，它的导数仍然是2。
综上所述，f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = 2v(x) * 2 = 4(2x + 3) = 8x + 12。
因此，f'(x) = 8x + 12。
2. 例题二已知函数g(x) = e^(3x)，求g'(x)。
解析：同样地，我们将这个函数拆解成两个部分：外部函数和内部函数。
外部函数是指数函数，记为u(x) = e^x。
内部函数是线性函数，记为v(x) = 3x。
根据复合函数法则，我们可以得到g'(x) = u'(v(x)) * v'(x)。
首先，计算u'(v(x))。
根据指数函数的导数公式，u'(v(x)) = e^(v(x))。
然后，计算v'(x)。
v(x)是线性函数3x，它的导数是3。
综上所述，g'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = e^(v(x)) * 3 = e^(3x) * 3。
因此，g'(x) = 3e^(3x)。
3. 例题三已知函数h(x) = sin(2x)，求h'(x)。
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。
练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。
因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。
对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。
对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。
接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。
同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。
根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。
将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。
练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。
对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。
复合函数求导练习题重点讲义资料
复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）．设，则f′（2）=（）1．D ．A．BC．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）．+2 Dy=4x﹣8 C．y=2xA．y=4x B．）3．下列式子不正确的是（x2ln2）′=′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2）A．（3x+cosx= ）=2cos2x D．′（C．（2sin2x）′，则=（）=sin2x）4．设f（x D．﹣．B1．C．1A5．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）xx1﹣C．（cosx）′=sinx ）′=x2D．（xlnx）′=lnx+xA．（1+）′=1 +B．（27．下列式子不正确的是（）2A．（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x．．DC12x+8．已知函数f（x）=e﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3．函数的导数是（）9．．BA．．DC10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2xsinx））等于（0y（11．y=ecosxsinx），则′（2．．﹣C1 D1 B．A0 ．121第页（共页）12．下列求导运算正确的是（）．BA ．2x2x2C．（（2x+3））′=2（D．（e）′=e 2x+3）．若，则函数f（x）可以是（13）．AD．C．Blnx．．设14，则f（x）=（）201320122013A．2（cos2x﹣sin2x）B．2（sin2x+cos2x）20122013C．2（cos2x+sin2x）D．2（sin2x+cos2x）2=（）=cos2x），则15．设f（x 21 D2A．B．﹣．C．﹣．函数16的导数为（）．．A B．DC．217．函数y=cos（1+x）的导数是（）2222 x）2cos（1+D．﹣2xsin（1+x）．xA．2xsin（1+）B．﹣sin（1+x）C）x）的导数为（18．函数y=sin﹣（+）x）C．﹣sinsin（（A．﹣cos （+x）x﹣x）DB．cos．﹣（﹣19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）aa A．f（a）＞ef（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜ef（0）220．函数y=sin（2x+x）导数是（）22A．y′=cos（2x+x）B．y′=2xsin（2x+x）22C．y′=（4x+1）cos（2x+x）D．y′=4cos（2x+x）221．函数f（x）=sinx的导数f′（x）=（）2A．2sinx B．2sinx C．2cosx D．sin2x．函数的导函数是（22）2x．B=2e ）．Af'（x．．DC第2页（共12页）．函数的导数为（）23．． A BC ．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（），B．若y=cos5x，则yA．若′=﹣sin5x22C．若y=sinx，则y′=2xcosx D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2xy=的导数是（）26．函数．．AB D．C．二．填空题（共4小题）（）的导数为．y=f27．设（x）是可导函数，则y=f2．+．函数28y=cos（2xx）的导数是29．函数的导数为y=ln．，则的值为30．若函数．第3页（共12页）参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）拉萨校级期中）设，则f′（2）=（1．（2015春?）D C．．A ．B ．=ln）（x【解答】解：∵x，令u（）f=，则f（u）=lnu，=，）?=u）=，u′（x∵f′（由复合函数的导数公式得：，? f′（x）===．′（2）∴f故选B．2．（2014?怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）．+2 Dy=4x﹣8 C．y=2xA．y=4x B．，1）=2 ，而【解答】解：由已知g′（所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春?永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）2x ln22）′=sinx ′=6x﹣B．（lnx﹣）（A．3x+cosx= ）′）′=2cos2x D．（（C．2sin2x【解答】解：由复合函数的求导法则2对于选项A，（3x+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确，成立，故BB正确对于选项第4页（共12页）对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确，成立，故D正确对于选项DC 故选），则=（．（2014春?晋江市校级期中）设f（x）=sin2x4 1 ．C．．B1D．﹣A【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．×）=﹣（21．则=2cos故选D．5．（2014秋?阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春?福建月考）下列导数运算正确的是（）xx1﹣C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1A．（x+）′=1．+ B（2）′=x2【解答】解：根据导数的运算公式可得：﹣，故A错误．）′=1A，（x +xx B，（2）′=lnx2，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春?海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）2A．（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x．．DC2【解答】解：因为（3x+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．第5页（共12页）故选D．2x1+﹣3x，则f′（0）=（．（2013春?江西期中）已知函数f（x）=e）83 e﹣C．2e﹣3 D．．A0 B．﹣212x+﹣3，∴f′（解：∵【解答】f′（x）=2e0）=2e﹣3．．故选C黔西南州校级月考）函数的导数是（）．（2013春? 9．A B．C ．D．解：∵函数【解答】，，3=+y∴′）×=3cos（3x故选B．10．（2013春?东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x′′′【解答】解：由f（x）=sin2x，则f（x）=（sin2x）=（cos2x）?（2x）=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．sinx）0）等于（ycosx（sinx），则′（11．（2013秋?惠农区校级月考）y=e2D．C．﹣1 A．0 B．1sinx），cosx（sinx【解答】解：∵y=e sinxsinxsinx′（sinx）+e（cosx）（（sinx）+ecosx）′（sinx））∴y′=（e′cosx2sinxsinx2sinx2）cosx）+e（sin=ecosx（sinx）+e（﹣x1=1 0+=0（0）+∴y′B 故选）秋?珠海期末）下列求导运算正确的是（12．（2012．B．A2x2x2C．（（2x+3）））e′=e ′=2（2x+3）D．（解：因为，所以选项A不正确；【解答】，所以选项B正确；2 C，所以选项不正确；（2x+3）′2x3=23+））′（2x+）?（+3）=42x（（2x2x2x D不正确．=2e（?2x）′，所以选项=e）（e′．故选B126第页（共页）朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）13．（2012秋?D．lnx．CA．．B解：；【解答】；；．）为．（所以满足的fx故选A．14．（2012秋?庐阳区校级月考）设，则f（x）=（）201320122013A．2（cos2x﹣sin2x）B．2（sin2x+cos2x）20122013C．2（cos2x+sin2x）D．2（sin2x+cos2x）2=2）f，（=x=2（=x）x）（cos2x﹣sin2x），【解答】解：∵f（=sin2x+cos2x ∴f210）﹣cos2x，（﹣sin2x43，…sin2x+cos2x）x，+sin2x）f（）=2=（cos2x （fx）==2（﹣43，∈Nx）满足以下规律，对任意．n通过以上可以看出：f（n20122013（cos2x﹣sin2x=2）．（（∴f（x）=fx）=2fx）1420135031+×．故选：B2=（2xx）=cos），则（201115．（?潜江校级模拟）设f 2．﹣1 ．A2B．C．﹣D2【解答】解：∵f（x）=cos2x==﹣∴2sin4x∴第7页（共12页）故选D．平遥县校级期末）函数的导数为（）（16．2011秋?B．．A．．C D解：∵【解答】∴= ∴D 故选2））的导数是（y=cos（1+x17．（2011春?南湖区校级月考）函数2222）+xD．2cos（1）C．﹣2xsin（1+x）A．2xsin（1+x）B．﹣sin（1+x222）+x﹣2xsin（1?（1+x）′=）【解答】解：y′=﹣sin（1+xC 故选）x）的导数为（（2011春?瑞安市校级月考）函数y=sin﹣（18．）+（xx）﹣x）D．﹣C．﹣sinsin．﹣AcosB（+x）．cos（（﹣′′u=﹣x复合而成且y=（sinu）=cosuy=sin【解答】解：∵函数可看成（﹣x）y=sinu，，u′′′﹣（﹣x）]=﹣﹣x）=﹣sin=﹣x）的导数为y=yu∴函数y=sin﹣（cossin（[xu x）（+故答案选D19．（2011春?龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）aa A．f（a）＞ef（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜ef（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意第8页（共12页）显然选项A成立故选A．2）（2x+x）导数是（20．（2010?永州校级模拟）函数y=sin22）+x′=2xsin（2x（2x+x）B．yA．y′=cos22 x）=4cos（2x++x）D．y′C．y′=（4x+1）cos（2x2 x，，u=2x+解：设【解答】y=sinu 1，′=4x+则y′=cosu，u2，+x）+1）cos（2x4x∴y′=（4x+1）cosu=（．故选C2）x）=（′?祁阳县校级模拟）函数f（x）=sinx的导数f（21．（20102sin2x D．x C．2cosx 2sinA．2sinx B．【解答】解：2 x写成，将y=sin2的形式．y=u，u=sinx ，对外函数求导为y′=2u ，对内函数求导为u′=cosx2的导数为故可以得到y=sinx=2ucosx=2sinxcosx=sin2x ′yD 故选的导函数是（2010春?）朝阳区期末）函数22．（2x BA．f'（x）=2e ．．D C ．解：对于函数，【解答】=；= 对其求导可得：f′（x）= 故选C．的导数为（春23．（2009?）房山区期中）函数．BA．D．．C第9页（共12页））2x﹣﹣）′=3cosy，则′=（3sint）′?（2x【解答】解：令y=3sint，t=2x（﹣?，2= ．故选A）y′=（y=sin春?瑞安市校级期中）（3﹣4x），则24．（2009 ）3﹣4x．﹣D（3﹣4x）4cos （（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos．﹣Asin 4x3﹣），【解答】解：由于y=sin（）﹣4x）=cos（3﹣4x）×（3﹣4x′=﹣4cos（3则y′D 故选）．25（2006春?珠海期末）下列结论正确的是（sin5xA﹣．若y′=，B．若y=cos5x，则222xsin2x ﹣′=y D．若y=xsin2x，则C．若y=sinx，则y′=2xcosx错误【解答】，∴解：函数A的导数为，错误，∴B′=﹣5sin5xy=cos5x 函数的导数为：y2 C正确′y=2xcosx，，∴函数y=sinx的导数为：D错误=sin2x+2xcos2x，∴函数y=xsin2x的导数为：y′C 故选）的导数是（y=26．函数B．．A D．C．2解：由复合函数的求导法则可得，）]′ln2【解答】[?ln（x+12ln2 ′1+x）=（ln2=?A 故选小题）二．填空题（共4）的导数为（x（）是可导函数，则y=f?．27（2013春巨野县校级期中）设y=f（）．′=′yf第10页（共12页）u=，u），【解答】解：设y=f（=，u′′=f'（u），则y（）f′∴y′=（）．y′f=′故答案为：22．）2x+x）的导数是﹣（4x+1）sin（（28．（2013春?吴兴区校级月考）函数y=cos2x+x2，+x）sin﹣（4x+1）（2xy【解答】解：′=2 x）．2x+1）sin （+故答案为﹣（4x洞口县校级模拟）函数的导数为y=ln．29．（2012??=（）′【解答】解：y′=. =?（）′== ?故答案为：，则的值为?雁塔区校级期中）若函数春30．（2009．【解答】解：由故第11页（共12页）=．故答案为：页（共第1212页）。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题在微积分中，复合函数求导是一个重要的概念和计算方法。
本文将介绍复合函数求导的基本原理，并提供一些练习题来加深对该概念的理解和应用。
一、复合函数求导的基本原理复合函数，又称为合成函数，是由两个或多个函数组合而成的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为f(g(x))。
在求复合函数的导数时，有两个基本原理需要了解。
1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本原理之一。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以表示为：f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))表示f(x)对于g(x)的导数，而g'(x)表示g(x)对于x的导数。
链式法则可以简化为“外函数的导数乘以内函数的导数”。
2.换元法则换元法则是求解复合函数导数的另一个基本原理。
当复合函数的内函数不易求导时，可以通过换元来简化求导过程。
设u=g(x)，则复合函数可以表示为f(u)，此时求导公式可以变为：f'(u) * g'(x)其中f'(u)表示f(u)对于u的导数。
二、复合函数求导的练习题在练习中，我们将使用链式法则和换元法则来求解一些复合函数的导数。
下面是一些练习题：1. 求解以下复合函数的导数：(1) f(x) = sin(2x^2 + 3x)(2) f(x) = e^(2x)cos(x)(3) f(x) = ln(1 + x^2)2. 求解以下复合函数的导数，并指出在哪些点上导数不存在：(1) f(x) = sqrt(3x - 2)(2) f(x) = arctan(2x - 1)(3) f(x) = ln(sqrt(x^2 + 1))3. 求解以下复合函数的导数，并求出函数的定义域：(1) f(x) = sin(sqrt(x^2 - 9))(2) f(x) = ln(cos(3x))(3) f(x) = sqrt(4 - x^2)请按顺序解答以上练习题，并在答案中详细写出求导过程和最终结果。
4.1复合函数的导数讲义
复合函数的导数讲义知识要点：一、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．二、复合函数的导数：设函数u=ϕ(x)在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x)，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u)，则复合函数y=f(ϕ (x))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x(ϕ (x))=f ′(u) ϕ′(x).三、复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 四、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．题型讲解：例1 试说明下列函数是怎样复合而成的？（1）32)2(x y -=； （2）2sin x y =；（3）)4cos(x y -=π； （4）)13sin(ln -=x y ．解：（1）函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；（2）函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； （3）函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；（4）函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等． 例2 写出由下列函数复合而成的函数：（1）u y cos =，21x u +=； （2）u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3 求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x 2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ． 例4 求y=sin 2(2x+3π)的导数. 解：令y=u 2，u=sin(2x+3π)，再令u=sinv ，v=2x+3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sinv)′v ·(2x+3π)′x =2u ·cosv ·2=2sin(2x+3π)cos(2x+3π)·2=4sin(2x+3π)cos(2x+3π)=2sin(4x+32π)即y ′x =2sin(4x+32π) 例5 求32c bx ax y ++=的导数.解：令y=3u ，u=ax 2+bx+c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx+c)′x =3231-u ·(2ax+b)=31(ax 2+bx+c)32-(2ax+b)=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例6 求y=51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx -1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x - 例7 求函数y=(2x 2－3)21x +的导数.解：令y=uv ，u=2x 2－3，v=21x +, 令v=ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv)′x =u ′x v+uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x 23232161321xx x xx x x ++=+-++ 即y ′x =2316xx x ++例8 求y=(ax －bsin 2ωx)3对x 的导数.解：y ′=3(ax －bsin 2ωx)2·(ax －bsin 2ωx)′=3(ax －bsin 2ωx)［a －(bsin 2ωx)′］ =3(ax －bsin 2ωx)［a －b2sin ωx ·(sin ωx)′］=3(ax －bsin 2ωx)［a －b2sin ωx ·cos ωx ·ω］=3(ax －bsin 2ωx)(a －b ω·sin2ωx) 例9 求y=sin nxcosnx 的导数.解： y ′=(sin n x)′cosnx+sin n x(cosnx)′=nsin n －1x ·(sinx)′cosnx+sin n x ·(－sinnx)(nx)′=nsin n －1xcosxcosnx －nsin n xsinnx=nsin n －1x(cosxcosnx －sinxsinnx)=nsin n －1xcos(n+1)x. 例10 求函数y=－x 2(3x －2)(3－2x)的导数.分析:根据公式(uv ω)′=u ′v ω+uv ′ω+uv ω′解：y ′=(－x 2)′(3x －2)(3－2x)+(－x 2)(3x －2)′(3－2x)+(－x 2)·(3x －2)(3－2x)′ =－2x(3x －2)(3－2x)－x 2·3(3－2x)－x 2(3x －2)(－2)=24x 3－39x 2+12x. 例11 求函数y=)4)(3()2)(1(++++x x x x 的导数.解：y ′={21])4)(3()2)(1([++++x x x x }′121(1)(2)(1)(2)[][]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x -++++'=++++ 12221(1)(2)(21)(3)(4)(1)(2)(43)[]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x x x x x x x -+++++++-+++++=⋅++++112221122221(1)(2)420222(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x ----++++=⋅++++112223322(1)(2)(21011)(3)(4)x x x x x x --++++=++2=例12 求y=(3x+1)252151-+x x 的导数.解：y ′=［(3x+1)2］′52151-+x x +(3x+1)2［(1512-+x x )51］′=2(3x+1)·(3x+1)+(3x+1)24225111()()55151x x x x -++'-- =2(3x+1)·3·52151-+x x +(3x+1)2·22542)15(5)1()15(2)151(51-⋅+---+-x x x x x x =6(3x+1)52151-+x x +51 (3x+1)2·4225425(1)525(51)(51)x x x x x --+--⋅-- =6(3x+1)22随堂演练：1、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y=(5x －3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x 2)3(4)y=(2x 3+x)2解：(1)令y=u 4，u=5x －3 ∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y=u 5，u=2+3x ∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x)′x =5u 4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4 (3)令y=u 3，u=2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x)=3(2－x 2)2(－2x)=－6x(2－x 2)2 (4)令y=u 2，u=2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x)′x =2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x)(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x 2、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y=sin nx (2)y=cos nx (3)y=tan nx (4)y=cot nx 解：(1)令y=sinu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(sinu)′u ·(nx)′x =cosu ·n=ncosnx (2)令y=cosu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(cosu)′u ·(nx)′x =－sinu ·n=－nsinnx (3)令y=tanu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(tanu)′u ·(nx)′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n=nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y=cotu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(cotu)′u ·(nx)′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n=－u 2sin 1·n=－nx n 2sin =－ncsc 2nx 3、求下函数的导数. (1)y=32)12(1-x (1)解：y=32)12(1-x =(2x 2－1)-3y ′=［(2x 2－1)－3］′=－3(2x 2－1)－4(2x 2－1)′=－3(2x 2－1)－4(4x)=－12x(2x 2－1)－4(2)y=4131+x (2)解：y=41414)13()131(131-+=+=+x x xy ′=［(3x+1)41-］′=－41 (3x+1)45-(3x+1)′=－41 (3x+1)45-·3=－43(3x+1)45-.(3)y=sin(3x －6π) (3)解：y ′=［sin(3x －6π)］′=cos(3x －6π)(3x －6π)′=cos(3x －6π)·3=3cos(3x －6π) (4)y=cos(1+x 2)(4)解：y ′=［cos(1+x 2)］′=－sin(1+x 2)(1+x 2)′=－sin(1+x 2)·2x=－2xsin(1+x 2). 4、下列函数中，导数不等于21sin2x 的是( D ) A.2－41cos2x B.2+21sin 2x C. 21sin 2x D.x －21cos 2x 5、函数y=xcosx －sinx 的导数为( B )A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx 6、求y=21xx -的导数.解：y ′=(21xx -)′2222)1()1(1x x x x x -'---'=122221(1)(1)21x x x x -'⋅--=-==223221(1)x ==-322(1)x -=-7、下列结论正确的是（ B ）A ．x y x y 2cos ,2sin ='=B ．22cos 2,sin x x y x y ='=C ．x x y x y cos 2,cos 2='=D ．xx y x y 1sin 1,1cos -='= 8、设x a y -++=11，则y '等于（ D ） A ．x a -++121121 B ．x -121 C ．x a --+121121 D ．x--1219、22cos 53sin x x y +=的导数是（ D ）A ．2sin 53sin 2x x -B ．2sin 106sin x x x -C ．2sin 106sin 3x x x +D ．2sin 106sin 3x x x -10、1212-+=x x y 的导数是（ B ）A ．22)12(12-++x x xB ．22)12(12-++-x x xC ．22)12(24-+-x x x D ．1)12(24222+-+-x x x x 11、x y 1sin 3=的导数是（ C ） A ．x x 1sin 322- B ．x x 2sin 2322- C ．x x x 1sin 1cos 322⋅- D ．xx x 2sin 1sin 232⋅12、已知函数1)(2-=ax x f 且2)1(='f ，则a 的值为（ B ） A ．1=a B ．2=a C ．2=a D ．0>a13、设)43sin(2)(π+=x x f ，则__6___.4f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭14、曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程为_____.0123=+-y x __________． 15、求下列函数的导数． （1）33sin sin x x y +=；（.cos 3cos sin 3)(sin )(sin 32233x x x x x x y +⋅='+'='） （2）5)5cos 5(sin x x y -=；)5sin 55cos 5()5cos 5(sin 5)5cos 5(sin )5cos 5(sin 544x x x x x x x x y +-='--=' ).5cos 5(sin )5cos 5(sin 254x x x x +-= （3）)1(log cos 22-=x y ；（)295()(21)()(21,)(274212952952129521295x x x x x x x x y x x y ++='++='+=--）（4）.76433⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x y（.)76()43(135)76()43(18)76()43(9424332----+-=-+--+='x x x x x x y ）16、设x y 3sin 8=，求曲线在点⎪⎭⎫⎝⎛1,6πP 处的切线方程．提示：易知点P 在曲线上，故点P 就是切点，.33,cos sin 2462='⋅='=πx y x x y∴所求切线方程为)6(331π-=-x y ，即.023236=+--πy x17、求证双曲线5:221=-y x C 与椭圆7294:222=+y x C 在交点处的切线互相垂直．提示：由于曲线的图形关于坐标轴对称，故只要证其中一点的切线互相垂直即可，联立两曲线方程解得第一象限交点为)2,3(P ，不妨证明过P 点的两切线互相垂直．点P 在第一象限，故由522=-y x 得.23.5,53122='=∴-='-==x y k x xy x y 由729422=+y x ，得.23.94894,9483222-='=∴--='-==x y k x x y x y而121-=⋅k k ，∴两切线互相垂直． 18、已知102)1()(x x x f ++=，求.)1()1(f f ' 提示：)1()1(10)(292'++++='x x x x x f21022921)1(1011)1(10x x x x xx x +++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++= .25210)1()1(,110)1(:1)1(10)(:)(21022102=='∴+=+++++='f f xx x x x x x f x f。
高中数学专题练习《简单复合函数的导数》含详细解析
5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e x2x B.e x ln2x-exxC.e x ln2x+exxD.2e x·1x3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2xe x的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x 2(2x+1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln√2x+1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1x ,x<0时,f'(x)=-1xB.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1xD.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C.n(n-1)2D.n(n+1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y=x1−√1−x,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+be x-1x.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.), 10.()已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'(π4求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析 基础过关练1.C y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x )'·ln 2x+e x ·(ln 2x)' =e xln 2x+e xx.故选C.3.B 由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax -1,由f'(2)=2,可得a2a -1=2,解得a=23.故选B.4.答案2√4x -34x -3解析 ∵f(x)=√4x -3=(4x-3)12, ∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=2√4x -34x -3. 5.答案 -2sin2x+cos2xe x解析 由f(x)=cos2x e x, 得f'(x)=-2sin2x+cos2xe x. 6.解析 (1)∵y=x 2(2x+1)3,∴y'=2x ·(2x+1)3-x 2·3(2x+1)2·2(2x+1)6=2x -2x 2(2x+1)4.(2)y'=-e -x sin 2x+2e -x cos 2x =e -x (2cos 2x-sin 2x).(3)∵y=ln √2x +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12x+1×(2x+1)'=12x+1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3 =-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示 分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可. 7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D. 8.D 由f(t)=√10t , 得f'(t)=2√10t·(10t)'=√102√t, 所以f'(40)=√102√40=14. 9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2x+8,∴f'(1)=10, ∴limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)Δx =-2limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f'(1)=-20.故选C. 10.B 设切点为P(x 0,y 0), 则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a), ∵y' x=x 0=1x 0+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B. 11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=x+1x得y=e t +1e t=1+1et =1+e -t ,∴y'=-1e t ,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案 2解析 令y=f(x),则曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax ,所以f'(x)=(e ax )'=(e ax )·(ax)'=ae ax ,所以f'(0)=ae 0=a,故a=2. 13.答案 y=2x-1解析 设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1. 14.解析 因为f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以f '(x)=2a(x-5)+6x .令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6, 解得a=12.能力提升练1.C 根据题意得f(x)={lnx(x >0),ln(−x)(x <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x ⇒f'(x)=(ln x)'=1x ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x) =[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.2.B 由题设可知f(x+5)=f(x), ∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,.故选D.则f'(0)=1+2+3+4+…+n=n(n+1)24.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.,由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1x+2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1x+2当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-1=ln√4-ln√e>0,故-1<b<0.2由φ(x)=cos x(x ∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x, 令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0, 则√2sin (x +π4)=0,又x ∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,T 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2πT=1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k ∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin (x +π3),∴f'(x)=2cos (x +π3),∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin (x +π3)+2cos (x +π3)=2√2sin (x +π3+π4) =2√2sin (x +7π12), 令x+7π12=π2+kπ,k ∈Z,解得x=-π12+kπ,k ∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k ∈Z,A 正确;当x+7π12=π2+2kπ,k ∈Z 时,函数g(x)取得最大值2√2,B 错误;g'(x)=2√2cos (x +7π12),∵g'(x)≤2√2<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即2√2sin(x+7π12)=2,∴sin(x+7π12)=√22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案-2√1−x解析y=1−√1−x=√1−x)(1-√1−x)·(1+√1−x)=x(1+√1−x)1−(1−x)=1+√1−x.设y=1+√u,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+√u)'·(1-x)'=2√u ·(-1)=-2√1−x.8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1x ,g'(x)=1x+1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1x1=1x2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k=y1-y2x1-x2=2,故x1=1k =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+be x-1x,得f'(x)=(ae x ln x)'+(be x-1x)'=ae x ln x+ae xx +bex-1x-be x-1x2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f'(π4)=3-2sinπ2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),此时切线的斜率k'=3x02,∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-x 03=3x 02(1-x 0),∴2x 03-3x 02+1=0,∴2x 03-2x 02-x 02+1=0,∴(x 0-1)2(2x 0+1)=0,解得x 0=-12(x 0=1舍去), ∴切点坐标为(-12,-18), 又切线的斜率为3×(-12)2=34,∴切线方程为y+18=34(x +12), 即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。
高中数学《复合函数求导例题》逐字稿
一、教学目标
1.理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则。 2.经历求导法则形成的过程，体会整体代换的思想方法。 3.在交流过程中，发展逻辑思维能力，提升数学素养。
二、教学重难点
【教学重点】 复合函数的求导法则。 【教学难点】 利用复合函数的求导法则进行求导。
三、教学方法
后面这位同学那请你说说复合函数的导数应该如何求呢？他说呀导数可以用公式 ᕧ = ሸ ሸᕧ表示即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。这位同学真是厉害， 不仅用了符号语言描述，还用文字语言进行了叙述。看来大家对之前的知识掌握的不错，今 天我们继续来探究如何利用公式来解决具体的求导问题。
2.思路总结归纳 师：根据此题目的解题过程，请大家以前后 4 人为一小组进行小组讨论复合函数求导数 的步骤。 生：1）适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系 y = ሸ ，u = g xᕧ
2) 分步求导，先求 ሸ，再求ሸᕧ 3) 计算 ሸ ሸᕧ，并把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数 师：这位同学总结归纳的很到位，看来你们小组的讨论很有效。我们可以将其简记为分 解-求导-回代，熟练以后，可以省略中间过程。请大家先独立思考再同桌交流，复合函数在 求导时应注意哪些问题。 生：要知道是由哪两个函数复合而成的。 师：你分析问题的能力可真强，请坐。老师在此提示大家，我们的中间变量应选择简单 初等函数，判断一个函数是否是简单初等函数的标准是：存在求导公式则直接求导，弄清各 分解函数中应对那个变量求导，对一个函数的复合关系要用换元的思想及基本初等函数的观 点来理解。求导过程一般是从最外层开始，由外及里，一层层的求导。所以通常称它为链条 法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，不能丢掉其中的任何一环。
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复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，则f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+17．下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A． B．C．D．10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx14．设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（）A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．若函数，则的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2015春•拉萨校级期中）设，则f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．故选B．2．（2014•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【解答】解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春•永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确对于选项B，成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，成立，故D正确故选C4．（2014春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．故选D．5．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春•福建月考）下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 【解答】解：根据导数的运算公式可得：A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春•海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．故选D．8．（2013春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．故选C．9．（2013春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数，∴y′=3cos（3x+）×3=，故选B．10．（2013春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．11．（2013秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1故选B12．（2012秋•珠海期末）下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，所以选项A不正确；，所以选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），所以选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，所以选项D不正确．故选B．13．（2012秋•朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．所以满足的f（x）为．故选A．14．（2012秋•庐阳区校级月考）设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x﹣sin2x）．故选：B．15．（2011•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴故选D．16．（2011秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴=故选D17．（2011春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）故选C18．（2011春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin （+x）故答案选D19．（2011春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．20．（2010•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．21．（2010•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D22．（2010春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：对于函数，对其求导可得：f′（x）===；故选C．23．（2009春•房山区期中）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，则y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，故选A．24．（2009春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），则y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）故选D25．（2006春•珠海期末）下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误故选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法则可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2故选A二．填空题（共4小题）27．（2013春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，则y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2013春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2012•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2009春•雁塔区校级期中）若函数，则的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。