上海市金山中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题+Word版含答案
上海市金山中学高二数学下学期期中试题
金山中学2014学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的方程为0x = ． 2．若点()8,2-M 在抛物线px y 22=的准线上，则实数p 的值为 4 .3．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线AB 和1CC 的距离为 2 ． 4．过点(3,4)P 的圆2225x y +=的切线方程为 34250x y +-= ．5．椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON = 4 . 6．已知三棱锥ABC P -满足PC PB PA ==，则点P 在平面ABC 上的射影是三角形ABC 的外 心.7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V =16+． 8．在北纬60圈上有,A B 两地，他们在纬度圈上的弧长等于2Rπ(R 是地球的半径)，则,A B 两地的球面距离是3Rπ .9．将一个半径为210．已知抛物线x y 342=的准线过椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则该椭圆的方程为 1422=+y x . 11．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD AA ===，点E 在棱AB上移动，当AE = 1D E 与平面11AA D D 所成角为45.12．空间四边形,8,ABCD AB CD M N P ==、、分别为BD AC BC 、、的中点，若异面直线AB 和CD 成60的角，则MN =4或13．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，1DD 中点为Q ，过A 、Q 、1B 三点的截面面积为 98．第7题A错误错第13题14．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()4,3,2,1=i a i ，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为()4,3,2,1=i h i ，若k a a a a ====43214321，则12342234S h h h h k+++=；根据以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积为()4321,,,i S i =，此三棱锥内任一点Q 到i 个面的距离为()1,2,3,4i H i =，若k S S S S ====43214321，则=+++4321432H H H H 3Vk. 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“方程22121x y m m -=++表示双曲线”的一个充要条件是 （ C ） A ．21m -<<- B ． 0m < C ．2m <-或1m >- D ．0m >16．已知A ，B ，C ，D 是空间四点．命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A B C D E F 、、、、、这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A B C 、、对面的字母依次分别为 （ C ）第18题错误！未找到引用源。
上海市金山中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市金山中学2016-2017学年高二数学下学期期中试题一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线a 、b 的位置关系是 ▲ 。
2、直线1:330l x y -+=与2:10l x y -+=的夹角的大小为 ▲ 。
(结果用反三角函数表示)3、已知m 为实数，i 为虚数单位，若()240m m i +->，则2222m i i +⎛⎫⎪-⎝⎭= ▲ 。
4、复数z 满足=1z i -（i 为虚数单位），则+2z i +的最大值为 ▲ 。
5、在正四棱锥P ABCD -中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为 ▲ 。
(结果用反三角函数表示)6、已知抛物线E ：24x y =，直线l ：1y x =+，则直线l 被抛物线E 截得的弦长为 ▲ 。
7、已知复数z 满足33z i =（其中i 为虚数单位），则对应点位于第三象限的z 的值为 ▲ 。
8、在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB 的长度为 ▲ 。
9、如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的侧面积为 ▲ 。
10、过定点()2,3的直线与双曲线224x y -=的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ▲ 。
11、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1A B 上的动点，写出所有正确结论的代号 ▲ 。
①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值；②DC 1⊥D 1M ；③∠AMD 1的最大值为90°；④AM+MD 1的最小值为2。
12、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽3AD =丈，长4AB =丈，上棱2EF =丈，EF ∥平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为1丈，则它的体积是 ▲ （立方丈）。
上海市金山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
金山中学2019学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审核人：）一、填空题：（第1-6题，每题4分；第7-12题，每题5分）1．半径为32的球的表面积为__________． 2．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为___________．3．有一山坡倾斜角为30°，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成45°角的直路前进了100米，则升高了________米．4．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_________．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．6．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_________．7．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为__________．8．某批种子，如果每粒种子的发芽概率是89，则播下5粒种子恰有3粒发芽的概率为_________． 9．从总体中随机抽取的样本为1-1，3，1-，1，1，3，2，2，0，0，则该总体的标准差的点估计值是______．10．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹长度为________．11．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC 上，Q 在线段BC 上，则1D P PQ +的最小值为________．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1A B 上的动点，则（1）三棱锥1M DCC -的体积为定值；（2）11DC D M ⊥；（3）1AMD ∠的最大值为90°；（4）1AM MD +的最小值为2．其中正确的序号是_________．二、选择题：（每题5分）13．设α、β为两个不同平面，若直线l 在平面α内则αβ⊥是l β⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．用M 表示平面，a 表示一条直线，则M 内至少有一直线与a （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直15．若a ，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面a 与直线b 平行；B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直；C ．唯一存在一个平面α与直线a ，b 等距；D ．可能存在平面α与直线a ，b 都垂直．16．已知m ，n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题：①若,αβ垂直于同一平面，则α与β平行；②若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③若,αβ不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、简答题：17．（本题共14分，每小题7分） 将圆心角为43π，半径为1cm 的扇形，卷成圆锥形容器，求 （1）这个容器的侧面积．（2）这个容器的容积．18．（本题14分）已知地球半径约为6371千米，北京的位置约为东经116°，北纬40°，西班牙马德里的位置约为西经3°，北纬40°，试求北京和马德里之间的球面距离．（结果精确到1千米）19．（本题满分14分，共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===，AB BC ⊥，求：（1）直线1A C 与平面11A ABB 所成的角；（2）二面角111B AC C --的大小． 20．（本题满分16分，共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．第3小题满分8分）已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）， （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列{}n a 前n 项和n S ；（3）若2112n n n n n n A C S C S C S =++⋅⋅⋅+，求n A ． 21．（本题满分18分，共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ︒∠=．（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小；（2）求几何体EF ABCD -的体积；（3）若平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点Q 都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD 所成角．试判断曲线Γ的形状并说明理由．。
上海市金山中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题
金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷(时间120分钟 满分150分)一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题 至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.「0,x cO,1 •已知函数 f(x)贝y f (f (x))=.Igo,2•若以(］；3)为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数 a 的取值范围为 ________ •3.若直线I 过点A( -1,3 ),且与直线x -2y -3 = 0垂直，则直线I 的方程为 _____________________ . 4•已知圆的方程为 x 2 +y 2 =4，则经过点(1,J3)的圆的切线方程为 __________________________5•若不等式组x -1 -2016,的解集中有且仅有有限个实数，则 a 的值为I x+1Ea,6•已知函数 f (x )=Iog 3+2 | ,则方程 f "*(x ) = 4的解 x = ____________________ •\x 丿 7.已知直线2x ，y-2=0和mx-yT=0的夹角为一，则m 的值为4x y _2,I 7&若实数x,y 满足＜x —y 兰2,则z=2x —y 的取值范围是 _______________ .0乞y 乞3,9 •在数列 咕鳥中，已知a n =4n -1，则过点P 4,a 2017和点Q 3,a 2018的直线的倾斜角是 _________ .(用反三角函数表示结果)2 210设F 2分别为椭圆—y 1的左、右焦点，36 2711 •已知函数f X =x 2 b-4-a 2 X ・2a-b 是偶函数，则函数图像与 y 轴交点的纵坐的最大值是 _________ •A 为椭圆上一点，且OBOA OF 12 1熬冷涨OF ；,则12.定义变换T将平面内的点P x, y (x —0, y—0)变换到平面内的点Q n .X y若曲线C o：1(x_0, y_0)经变换T后得到曲线G，曲线G经变换T后得到曲线C2,4 2…，依次类推，曲线C n j经变换T后得到曲线C n，当N*时，记曲线C n与x, y轴正半轴的交点为A n a n,0和B n 0,0 ,记D n •某同学研究后认为曲线C n具有如下性质：①对任意的n・N*，曲线C n都关于原点对称；②对任意的n・N*，曲线C n恒过点0,2；③对任意的n・N*，曲线C n均在矩形OA n D n B n (含边界)的内部；④记矩形OA n D n B n的面积为S n，则lim S n=1.其中所有正确结论的序号是n_jpc二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案•考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.2 213. 4 : k ：6是“方程—y1表示椭圆”的()6 —k k -4(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件14. 已知向量a =b满足a〔=1,肖=2, a,b的夹角为120°,则a -2b等于()(A) 3 (B) . 15 (C) ,21 (D) 515 .已知函数f(x) = log 2(x2-ax - 3a)在区间［2/ ::)上是增函数，则a的取值范围( )(A)(_：：,4] ( B)(_：：,2] (C) (- 4,4] ( D) [-4,4116. 如图，已知h _ 12,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t = 0 时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x ,令y = cosx,则y与时间t(0岂t乞1,单位：s)的函数y二f (t)的图像大致为()三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. (本题满分12分)本题共有2个小题，第⑴ 小题满分6分，第⑵ 小题满分6分已知集合A = {y y = -2x,x^ b,3 ", B = {x (x — a )(x — a +3) > 0〉.(1) 当a - -4 时，求A「| B ；(2) 若A B，求实数a的取值范围.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第⑵ 小题满分8分.已知向量a = 2cos2 x, 3 , b 二1,sin2x，函数f(x)二a b,(1)求f (x)的单调增区间；(2)在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，R ABC外接圆的半径,■2灯3且f (C) = 3 , c = 1 , sin As in B 2 , a > b，求a、b 的值.4R19. (本题满分16分)本题共有2个小题，第⑴ 小题满分8分，第⑵ 小题满分8分.如图，已知直线丨：x • 3y -c =0(c . 0)为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在0处发现了北偏东60：海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以便上海轮后逃窜。
上海市金山中学高二数学下学期期中试题
上海市金山中学高二数学下学期期中试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的方程为0x ±= ． 2．若点()8,2-M 在抛物线px y 22=的准线上，则实数p 的值为 4 .3．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线AB 和1CC 的距离为 2 ． 4．过点(3,4)P 的圆2225x y +=的切线方程为 34250x y +-= ．5．椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON = 4 . 6．已知三棱锥ABC P -满足PC PB PA ==，则点P 在平面ABC 上的射影是三角形ABC 的 外 心.7．如图，已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V =1+． 8．在北纬60圈上有,A B 两地，他们在纬度圈上的弧长等于2R π(R 是地球的半径)，则,A B 两地的球面距离是 3Rπ . 9．将一个半径为210．已知抛物线x y 342=的准线过椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的一个焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 则该椭圆的方程为 1422=+y x . 11．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD AA ===，点E 在棱AB 上移动，当AE =1D E 与平面11AA D D 所成角为45.12．空间四边形,8,ABCD AB CD M N P ==、、分别为BD AC BC 、、的中点，若异面直线AB 和CD 成60的角，则MN = 4或13．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，1DD 中点为Q ，过A 、Q 、1B 三点的截面面积为 98．第7题A1A 1第13题14．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()4,3,2,1=i a i ，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为()4,3,2,1=i h i ，若k a a a a ====43214321，则12342234Sh h h h k+++=；根据以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积为()4321,,,i S i =，此三棱锥内任一点Q 到i 个面的距离为()1,2,3,4i H i =，若k SS S S ====43214321，则=+++4321432H H H H3Vk. 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个充要条件是 （ C ）A ．21m -<<-B ． 0m <C ．2m <-或1m >-D ．0m > 16．已知A ，B ，C ，D 是空间四点．命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC和BD 不相交，则甲是乙成立的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A B C D E F 、、、、、这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A B C 、、对面的字母依次分别为 （ C ）第18题C第17题AEB D BCCA三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在体积为16的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M是1DD 的中点，12DD AD=． （1）求棱BC 的长；（2）求异面直线1AD 与1C M 所成角的大小．解：（1）2BC = …………………………4分 （2）连1BC ，则11//BC AD1MC B ∴∠或其补角为直线1AD 与1C M 所成的角 …………6分在1MC B ∆中，11MC BC MB ===1cos MC B ∴∠=直线1AD 与1C M 所成角的大小为…………12分20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，112PA ABAD CD ====，90BAD ADC ∠=∠=．（1）求直线PD 与平面PAB 所成角的大小； （2）求点B 到平面PCD 的距离． 解：（1）PA ⊥平面ABCD ，PA AD ∴⊥，又090BAD ∠=AD ∴⊥平面PABDPA ∴∠是直线PD 与平面PAB 所成的角 …………3分C A 1 第19题PBCDA第20题4DPA π∠=，所以直线PD 与平面PAB 所成的角为4π…………6分 （2） B PCD P BCD V V --= ………………8分而111211323P BCD V -=⋅⋅⋅⋅= ………………………10分PD =PCD S ∆， ………………………12分13B PCD PCD V S d -∆=⋅，所以2d =，即点B 到平面PCD的距离为2 ……14分21．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥CD P AB -中，底面CD AB 为矩形，PA ⊥平面CD AB ，点E 在线段C P 上，C P ⊥平面D B E ． （1）求证：D B ⊥平面C PA ；（2）若1PA =，2D A =，求二面角C B P A --的大小． 解：（1） 证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面 ∴PA BD ⊥．同理由PC BDE ⊥平面，可证得PC BD ⊥． 又PAPC P =，∴BD PAC ⊥平面． …………………………………6分（2）解法一：设,AC BD 的交点为O ，过点O 作OF PC ⊥于点F ，连BF易证BFO ∠为二面角C B P A --的平面角 …………………………………9分 由（1）知BO AC ABCD ⊥∴为正方形2AB ∴=，在Rt BFO ∆中，tan 3BO OF BFO ==∴∠=， ∴二面角B PC A --的大小为arctan3…………………………………14分解法二：分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系A xyz -． 由(1)知BD PAC ⊥平面，又AC PAC ⊂平面， ∴BD AC ⊥． 故矩形ABCD 为正方形，∴2AB BC CD AD ＝＝＝＝． ∴00020022()()00(20001)()()A B C D P ，，，，，，，，，，，，，，． ∴ ()()()2,0,1,0,2,0,2,2,0PB BC BD ===-．ADCP第21题BE设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2000200x y z x y z +⋅-=⎧⎨⋅++⋅=⎩，∴20z xy =⎧⎨=⎩，取1x =，得(1,0,2)n =． ∵BD PAC ⊥平面，∴(2,2,0)BD =-为平面PAC 的一个法向量． 所以10cos ,10n BD n BD n BD⋅<>==-． 设二面角B PC A --的平面角为α，由图知02πα<<，则10cos cos ,D 10n α=B=∴二面角B PC A --的大小为 …………………………………14分22．（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等. 铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ，加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.第22题图2解：设钉身的高为h ，钉身的底面半径为r ，钉帽的底面半径为R ，由题意可知：……1分 （1） 圆柱的高382==R h ………………………………………2分圆柱的侧面积==rh S π21π760……………………………………………3分 半球的表面积πππ1083421222=+⨯=R R S ……………………………5分 所以铆钉的表面积21S S S +=πππ184********=+=(2mm )……7分（2）πππ240024100121=⨯⨯=⋅=h r V …………………………9分 31371819323421332πππ=⨯⨯=⨯⨯⨯=R V …………………11分 设钉身长度为l ，则l r V ⋅=23πl π100= …………………12分由于213V V V +=,所以l πππ1003137182400=+， …………………14分 解得70≈l mm ………………15分答：钉身的表面积为21843mm π，钉身的长度约为mm 70． ………16分23 ．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点． （1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、2F ，试在“8”字形 曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．（3）过点A 作直线l 分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M N 、，求||MN 的最大长度．解：（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，在已知圆的方程中，令0y =，得240x -=，即2x =±，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是2a =第23题令2y =，可得280x -=，解得x =±，即双曲线过点()2±，则228412b-=所以2b =， 所以所求双曲线方程为22144x y -= ……………………4分 （2）由（1）得双曲线的两个焦点()1F -，()2F …………………… 5分当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ，①若点P 在双曲线上，得224x y -=，由120F P F P ⋅=，得(222080x x y x y +-+=⇒-+=由2222480x y x y ⎧-=⎨-+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩((1234,,,P P P P …… 8分 ②若点P 在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120F P F P ⋅=，得(20x x y +-+=，由222244080x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩无解…………………… 11分 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P …………………… 12分（3）设点M N 、的横坐标分别为M N x x 、，①当直线l 斜率不存在时，可求得||8MN = …………………… 14分 ②当直线l 斜率存在时，设直线:(2)l y k x =+，则：222222(2)(1)(44)4840440y k x k x k k x k k x y y =+⎧⇒++-+--=⎨+--=⎩， 以上方程有一根为2-且两根之和21224841k k x x k --=+，所以222421M k k x k -++=+， 由两半圆关于x 轴对称可求得222421N k k x k --+=+，2|8|||||81M N k MN x x k ∴=-==<+，所以||MN 的最大长度为8． …………………… 18分。
上海市金山中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.已知集合，若，则实数=____【答案】3【解析】因为，所以2.若函数的反函数为，则________.【答案】0【解析】【分析】利用反函数的性质转化为求方程的解.【详解】令，则，故，填.【点睛】一般地，单调函数必有反函数，并且原函数的值域就是反函数的定义域，原函数的定义域就是反函数的值域.3.函数的最小正周期________.【答案】【解析】【分析】利用行列式的计算规则可以得到，故可求得函数的最小正周期.【详解】，故最小正周期，填.【点睛】一般地，正弦型函数的最小正周期为.与三角函数的函数，要求其周期、对称中心等需把函数化成基本型（、、）.4.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则的值是________.【答案】【解析】【分析】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，利用两者相同可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填.【点睛】圆的一般方程为，其圆心为，注意.求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算.5.若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴考点：本题考查了圆柱展开图的性质点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题6.已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________. 【答案】【解析】【分析】利用底面为正方形可以得到底面的对角线的长度为，再利用为直角三角形得到，从而求出侧棱与底面所成的角.【详解】如图，，，因为底面为正方形，故，故，因为锐角，故，填.【点睛】一般地，在正棱锥中，有四个直角三角形（如图所示，），它们沟通了棱锥的侧棱、底边的边长、斜高和高之间的关系，关于棱锥的计算问题中，注意利用这四个直角三角形实现不同量之间的转化.7.若一个圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角大小为，则这个圆锥的侧面积为______.【答案】【解析】【分析】该圆锥的轴截面为等边三角形，故底面圆的半径为，利用公式可以计算其侧面积.【详解】因为母线与旋转轴的夹角为，故轴截面为等边三角形，其底面圆的半径为，该圆锥的侧面积为，填.【点睛】旋转体（如圆锥、圆柱、圆台等）的轴截面中有底面的半径、母线长和体高等几何量，因此关于旋转体的侧面积、表面积和体积等计算应该利用轴截面来沟通不同几何量之间的关系.8.已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．【答案】【解析】9.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是．【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）六种取法，其中甲被选中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）三种，所以甲被选中的概率为考点：本小题主要考查古典概型概率的求解.点评：求古典概型概率时，要保证每一个基本事件都是等可能的.10.在中，为边的中点，动点在线段上移动时，若，则的最大值为________. 【答案】【解析】【分析】利用三点共线可以得到，利用不共线可得，所以，利用基本不等式可求最大值.【详解】因为共线，故存在，使得，而且不共线，所以，消去得到.，当时，有最大值，填.【点睛】一般地，如果为不在直线上的定点，为直线的点，则存在实数使得. 11.已知椭圆的左、右顶点分别为、，是椭圆上不同于、的一点，直线、的倾斜角分别为、，则________.【答案】【解析】【分析】利用点在椭圆上可得，也就是，再利用两角和、差的余弦和同角的三角函数的基本关系式得到后代入前者可得所求之值.【详解】设，则，所以，又，填.【点睛】一般地，椭圆的左右顶点分别为，对于椭圆上任意异于的点，都有，椭圆中不少定点定值问题都和它有关.12.设正方体的棱长为2，为过直线的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设与棱的交点为，利用空间向量计算到的最小距离和最大距离可得面积的最值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设与棱的交点为，与棱的交点为，则四边形为平行四边形.在面内过作的垂线，垂足为，则截面的面积为.设，，则，.因为，故即，故.因，故.又，其中，所以，故，填.【点睛】空间中点到直线的距离的计算，可把距离放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该距离，如果找不到合适的几何图形“安置”该距离，则可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该距离.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. B.C. 共面D. 共点共面【答案】B【解析】试题分析：根据空间两条直线所成角的概念“空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”可知B选项正确.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．14.设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】展开式中，的正负是交错出现且，故，在展开式中令可得该式的值.【详解】，其中.故，在展开式中令，则有，故选B.【点睛】二项展开式中，关于系数和的计算，通常用赋值法来求和式的值，赋何值需根据和式的特征来选取.15.已知数列和对任意的都有，当时，数列和的极限分别是和，则（）A. B.C. D. 和的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】因为，故两者的极限满足.【详解】因为，故即，故选B.【点睛】本题考查数列极限的性质，属于基础题.16.已知的一边在平面内，，点在平面内的射影为点，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 以上情况都有可能【答案】D【解析】【分析】考虑两种动态变化的情况：（1）为锐角三角形时，考虑绕边旋转时变化的情况；（2）当为钝角时，考虑绕边旋转时变化的情况.【详解】分情况讨论：（1）为锐角三角形时，当绕顺时针旋转时（起始位置为与重合），从变化到（平面平面时），故旋转过程中会有.（2）为钝角时，当绕顺时针旋转时（起始位置为与重合），从变化到（平面平面时），故旋转过程中会有.综上，应选D.【点睛】比较空间角的大小关系时，如果直接计算比较它们的大小比较困难时，则可考虑在动态变化过程中特定角变化的过程，从而得到两者之间的大小关系.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.设复数，其中，，为虚数单位. 若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值.【答案】,【解析】【分析】先计算出方程的复数根，再利用复数相等得到满足的方程组，解这个方程组可以得到与的值.【详解】解：方程的根为.又在复平面内对应的点在第一象限，故，所以 .解得.又，故.从而.所以，.【点睛】（1）实系数的一元二次方程必有两个复数根且它们是共轭复数.（2）两个复数相等的等价条件是它们的实部与虚部分别相等.18.已知椭圆的右焦点为，且过点. 过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于、两点(点在轴上方)，点关于坐标原点的对称点为，直线、分别交直线于、两点.(1) 求椭圆的方程；(2) 当直线的斜率为时，求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）利用右焦点和椭圆所过之点得到关于的方程组，解这个方程组可以得到椭圆方程.（2）联立直线方程和椭圆方程，解出交点坐标再通过直线求得的坐标后得到.【详解】(1)由, 解得.所以椭圆的方程为.(2)直线的方程为.由，得或.所以，，从而.因而，直线的方程为，.直线的方程为，..【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与椭圆的位置关系，需联立直线方程和椭圆方程，消元后判断所得一元二次方程的解的个数，有时方程的解不易解出，则需要考虑把目标表示成关于两根之和、两根之积的代数式，再用韦达定理化简.19.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且四棱锥的体积为，是的中点.(1) 求异面直线与所成角的大小；(2) 求点到平面的距离.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）连接，它们交于，连接，则或其补角为异面直线所成的角，解三角形可得的大小.（2）先计算，再利用等积计算点到平面的距离.【详解】(1)平面，由，得.连结、交于点,连结,则.故是异面直线与所成的角.又，，.在中，,又为锐角，故. 故异面直线与所成角的大小为.(2)设点到平面的距离为，则.又.由，得.即点到平面的距离为.【点睛】异面直线所成的角的计算，可通过平移把空间角归结为平面角，再通过解三角形等方法计算角的大小.点到平面的距离的计算，可利用面面垂直构建线面垂直，从而得到点到平面的距离，也可以利用等积法来计算.20.设常数，函数.(1) 若，求的单调递减区间；(2) 若为奇函数，且关于的不等式对所有的恒成立，求实数的取值范围；(3) 当时，若方程有三个不相等的实数根、、，且，求实数的值.【答案】(1)的单调递减区间为和;(2);(3)【解析】【分析】（1）去绝对值符号后画出函数的图像，从而得到函数的单调减区间.（2）根据函数为奇函数可得，再利用去掉绝对值符号，最后参变分离求的取值范围.（3）先去掉绝对值符号，画出函数图像，因为有三个不同的解，可以得到其中有两个根的和为，再利用求根公式求出最大根，从而得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】(1) 当时，.如图知，的单调递减区间为和.(2) 由为奇函数，得，解得.当时，.从而，.又在上递增，故当时，.故.(3)当时，.如图，要有三个不相等的实根，则，解得.不妨设，当时，由，即，得.当时，由，即，得.由，解得.因，得的值为.【点睛】本题中的函数实际上是分段函数，解决与之相关的不等式、方程等问题，可由数形结合来分析.注意一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法.21.若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为“可控数列”.(1) 若数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列”？并说明理由；(2) 若是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)【答案】(1)为“可控数列”; (2);(3)的不同取值个数是2018，最大值为2019【解析】【分析】（1）依据定义验证即可.（2）利用为可控数列且单调递减得到，再利用累加法求得数列的通项为，分别讨论和时的极限后可得的大小.（3）当为递增数列时，最大且最大值为，当为递减数列时，最小且最小值值为，又必为奇数，故不同的取值个数为2018.【详解】(1) ，.故为“可控数列”.(2) 假设存在常数满足题意.由是单调递减的“可控数列”，得.累加，得.当时，，不合题意.当时，，.令，得.故的值为.(3) 的不同取值个数是2018，最大值为2019.【点睛】数列中的新定义问题，应依据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项的求法（如累加法、累乘法、待定系数法等）求得通项，最后在通项的基础上讨论数列的性质.。
上海金山中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷2018.4. （时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________.2. 若函数()2xf x =的反函数为1()f x -，则1(1)f -=________. 3. 函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期T =________. 4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________.5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________.6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________. 12. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ）(A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥(B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥ (D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++L ，则0126||||||||a a a a ++++L 的值为…（ ）(A) 62 (B) 64 (C) 65 (D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（ ）(A) A B >(B) A B ≥ (C) A B ≠ (D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（ ）(A) BAC BPC ∠<∠(B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠(D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. (本题满分14分)设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分． 已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB 的斜率为3时，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的值.第18题 图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小；(2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题 图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-.(1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由； (2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π； 9. 12； 10. 18； 11. 19； 12.22,26⎡⎤⎣⎦. 二、选择题： 13. A ；14. B ； 15. B ； 16. D. 三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分) 2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB 的方程为3(1)y x =-. …………………………………………………(5分)由223(1)143y x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ ，得03x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或85335x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以833(,)55A ，(0,3)B -，从而833(,)55P --. …………………………(8分) 因而，直线PA 的方程为33y x =，33(4,)M ∴. …………………………(10分) 直线PB 的方程为33y x +=-，(4,23)N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=u u u u r u u u r . …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥Q 平面ABCD ，由13V S PA =⋅，得2PA =. ………………………(1分) 连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又122OM PB ==，122OC AC == 226CM CD MD +=. …………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 32OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=. 故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则12233C B P D D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分) 由B PCD P BCD V V --=，得2h =. 即点B 到平面PCD 的距离为2. ………………………………………………(14分)20．(1) 解： 当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x ≥+. ………………………………………………(8分) 又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+. 故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分) 不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得234a a a x +-=. ………………(14分)由5a =-，解得a =因4a <-，得a的值为82--. …………………………………………………………(16分) 21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈. 故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分)(2) 解： 假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1n n n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p ------=--=--=-L L累加，得211()n n a a p p p -=-+++L . ………………………………………(8分)当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p --=--，lim 51n n p a p→∞=--. …………………(11分) 令541p p -=-，得12p =. 故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。
上海市金山中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题
金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知函数0,0,()1,0,x f x x <⎧=⎨≥⎩则(())f f x = ．2．若以()1341a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．3．若直线l 过点()1,3A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为________________.4．已知圆的方程为422=+y x ，则经过点)3,1(的圆的切线方程为__________________．5．若不等式组12016,1,x x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集中有且仅有有限个实数，则a 的值为 ．6．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________． 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 8．若实数,x y 满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的取值范围是__________.9．在数列{}n a 中,已知41n a n =-，则过点()20174,P a 和点()20183,Q a 的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)10．设12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+，()212OC OA OF =+，则OB OC +=__________． 11．已知函数()()b a x a b x x f -+--+=2422是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是__ ____．12．定义变换T 将平面内的点(),(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q．若曲线0:C 1(0,0)42x yx y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ， ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与,x y 轴正半轴的交点为(),0n n A a 和()0,n n B b ,记(),n n n D a b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点()0,2；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则1lim =∞→n n S .其中所有正确结论的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．64<<k 是“方程14622=-+-k y k x 表示椭圆”的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件14．已知向量a b =满足1a =，2b =，,a b 的夹角为120°，则2a b -等于 （ ） （A ）3 （B ）15 （C ）（D ）515．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围（ ）（A ）（]4,∞- （B ）（]2,∞- （C ）（]4,4- （D ）[]4,4- 16．如图，已知21l l ⊥,圆心在1l 上、半径为m 1的圆O 在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令x y cos =,则y 与时间t (10≤≤t ,单位:s )的函数)(t f y =的图像大致为1三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合[]{}(){}2,2,3,(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=--+>．（1）当4a =-时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）求)(x f 的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，且3)(=C f ，1=c ，2432sin sin RB A =，a ＞b ，求a 、b 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分. 如图，已知直线:0(0)l x c c +-=>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东60海面上A 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B 航行，以便上海轮后逃窜。
上海市金山中学高二数学下学期期中试题(1)
上海市金山中学2016-2017学年高二数学下学期期中试题一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线a 、b 的位置关系是 ▲ 。
2、直线1:330l x y -+=与2:10l x y -+=的夹角的大小为 ▲ 。
(结果用反三角函数表示)3、已知m 为实数，i 为虚数单位，若()240m m i +->，则2222m i i +⎛⎫⎪-⎝⎭= ▲ 。
4、复数z 满足=1z i -（i 为虚数单位），则+2z i +的最大值为 ▲ 。
5、在正四棱锥P ABCD -中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为 ▲ 。
(结果用反三角函数表示)6、已知抛物线E ：24x y =，直线l ：1y x =+，则直线l 被抛物线E 截得的弦长为 ▲ 。
7、已知复数z 满足33z i =（其中i 为虚数单位），则对应点位于第三象限的z 的值为 ▲ 。
8、在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB 的长度为 ▲ 。
9、如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的侧面积为 ▲ 。
10、过定点()2,3的直线与双曲线224x y -=的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ▲ 。
11、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1A B 上的动点，写出所有正确结论的代号 ▲ 。
①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值；②DC 1⊥D 1M ；③∠AMD 1的最大值为90°；④AM+MD 1的最小值为2。
12、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽3AD =丈，长4AB =丈，上棱2EF=丈，EF ∥平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为1丈，则它的体积是 ▲ （立方丈）。
精品解析：上海市金山中学高二下学期期中数学试题解析版
【解析】
【分析】
由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解．
【详解】
如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形 中， ，所以 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题
【答案】①②
【解析】
【分析】
①由 平面 ，可得线段 上的点 到平面 的距离都为1，又 的面积为定值 ，即可得出三棱锥 的体积为定值．
②由 ， ，可得 面 ，即可判断出正误．
【答案】
【解析】
【分析】
将一班 位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班 位同学形成 个元素，然后再将二班 位同学插空，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】将一班 位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班 位同学形成 个元素，然后再将二班 位同学插空，
由分步乘法计数原理以及古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为 .
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出几何体的直观图，可知该几何体是直三棱柱，求出其底面积与高，利用柱体的体积公式可求得该几何体的体积.
【详解】根据三视图还原原几何体如下图所示：
由图可知，该几何体是直三棱柱，底面为三角形，底边长为 ，高为 ，
直三棱柱的高为 ，因此，该几何体的体积为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
6.从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有___________.（用数字作答）
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金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷2018.4. （时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________. 2. 若函数()2x f x =的反函数为1()f x -，则1(1)f -=________. 3. 函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期T =________.4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________.5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________.6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+ ，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________.12. 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ） (A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥ (B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥(D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++ ，则0126||||||||a a a a ++++ 的值为…（ ）(A) 62(B) 64(C) 65(D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（ ） (A) A B > (B) A B ≥(C) A B ≠(D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（ ） (A) BAC BPC ∠<∠ (B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠ (D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. (本题满分14分)设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB OM ON ⋅的值.第18题 图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小； (2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题 图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-. (1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由；(2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案 一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π；9.12； 10.18； 11.19；12.⎡⎣.二、选择题：13. A ；14. B ； 15. B ； 16. D.三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分)2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB的方程为1)y x -. …………………………………………………(5分)由221)143y x x y=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以8(,55A，(0,B，从而8(,55P --. …………………………(8分)因而，直线PA的方程为y x =，M ∴. …………………………(10分) 直线PB的方程为y x +=，(4,N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=. …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥ 平面ABCD ，由13V S P A =⋅，得2PA =. ………………………(1分)连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又12OM PB ==12OC AC ==CM ==…………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 2OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=. 故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则133C B PD D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分)由B PCD P BCD V V --=，得h =即点B 到平面PCD ………………………………………………(14分)20．(1) 解： 当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x≥+. ………………………………………………(8分)又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+.故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分)不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得3x =………………(14分)由52a a +=-，解得82a -=±. 因4a <-，得a的值为82-. …………………………………………………………(16分)21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈.故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分) (2) 解： 假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1n n n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p------=--=--=-累加，得211()n n a a p p p -=-+++ . ………………………………………(8分) 当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p--=--，lim 51n n p a p →∞=--. …………………(11分)令541pp-=-，得12p =.故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。