农学微积分一二三章练习

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微积分学习与练习(例题练习册全集第一至十一章)公式

一、考题重点内容分析重基础，全面学习无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习。

下面就（一）微积分的主要考试题目进行分析：【例一】考题（一）（5）)()12sin (11223=-+⎰-dx x x xA ．πB ．2πC ．3πD ．4π 分析：①学员需要知道23sin x x 是奇函数，所以有：0sin 1123=⎰-dx x x②要求学员根据定积分的几何意义知道：⎰--RRdx x R 22是半径为R 的上半圆的面积，所以有：22221R dx x R RRπ=-⎰-∴ π211112=-⎰-dx x∴dx x dx x x dx x x x ⎰⎰⎰----+=-+11211231122312sin )12sin (ππ=+=21·20 应选A 。

【例二】考题（一）（3）)(tan )1(lim1=+⎰→xdtt xt xA ．0B ．1C ．eD ．不存在分析：①首先，要求学员知道x →0时，tanx ～x 。

②要求学员掌握微积分基本定理：)()(x f dt t f dx d xa=⎰③要求学员掌握第二个重要极限a xx e ax =+→10)1(lim④要求学员掌握罗必达法则∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰→→00)1(limtan )1(lim11xdtt xdtt xt x xt x ∵tanx ～x e x xx =+=→10)1(lim 选C 。

【例三】考题（三）（18）计算⎰-dx xx 2arcsin412分析：①要求学员熟记积分表：⎰+=-C a xdx x a arcsin122 dx xa ax d 221arcsin-=⇔②要求学员熟记积分表：⎰+=C u du u||ln 1∴⎰⎰=-2arcsin 2arcsin12arcsin 1412xd x dx x xC x+=|2arcsin |ln【例四】考题（三）（22）计算⎰+2cos 1πdx xx分析：①需要学员掌握三角函数的倍角公式：1cos 22cos 2-=x x∴ 2cos 2cos 12x x =+ ②需要学员熟记微分公式：dx xx d 2cos 1tan =③需要学员掌握分部积分公式：⎰⎰-=du v uv dv u④需要学员熟记积分表：C x xdx +-=⎰|cos |ln tan∴ ⎰⎰=+202202cos2cos 1ππdx x x dx xx⎰⎰-==220202tan2tan2tan πππdx x x x x d x21ln22|2cos |ln 2220+=+=πππx 2ln 2-=π主要内容反复练习高数（一）微积分无论从学习还是从考试的角度看，最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的70%；另一方面是这一部分内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。

《微积分》各章习题及详细答案之欧阳语创编

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→x x ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分教材习题答案

第一章初等函数习题答案练习题1.11. 数3.1415926是有理数。

2.是无理数。

3. 数4. 有限区间有4个，分别为(),a b [],a b [),a b (],a b 无限区间有5个，分别为(],b -∞ (),b -∞(),a +∞ [),a +∞ (),-∞+∞5. 实数集合{}||2|1,x x x R -<∈用区间表示为()1,36. 实数集合{}||1|2,x x x R -<∈可以认为是1为中心，长度为4的开区间。

7. 实数集合{}||1|2,x x x R -<∈可以称为1的邻域。

8. 以点3为中心，区间长度为1的邻域表示为{}||3|1,x x x R -<∈ 练习题1.21. 函数的三种表示法分别为公式法，图像法，列表法。

2. 单调增函数的是y x =，3y x =，xy e =，ln y x =，lg y x =，tan y x =，arcsin y x = arctan y x = ；单调减函数的是xy e -=， cot y x = 分区间的增减函数是2y x =， sin y x =，cos y x =. 3. 函数2()ln f x x =和()2ln g x x =不是相同函数。

由于2()ln f x x =的定义域是0x ≠；()2ln g x x =的定义域是0x >。

4. 函数()f x x =和()g x =不是相同函数。

由于()f x x =的值域是()f x R ∈，()g x 的值域是()0g x ≥。

5. 求下列函数的定义域：（1）y =解：[)(]1,,1+∞⋃-∞-（2）21()1f x x =- 解：[)2,-+∞且1x ≠± （3）()ln(1)f x x =+ 解：()1,-+∞（4）()lg(1)f x x =- 解：(][),22,-∞-⋃+∞6. 判断下列函数的奇偶性：（1）33y x x =+ 解：奇函数。

微积分第三版上册课后练习题含答案

微积分第三版上册课后练习题含答案微积分是数学的一个分支，它主要研究函数、极限、连续、导数、积分等概念和它们之间的关系。

微积分是自然科学、工程技术和经济管理等领域中不可或缺的数学工具。

本文将介绍微积分第三版上册的课后练习题，以及它们的答案和解析。

章节列表微积分第三版上册共分为12章，分别是：1.函数与极限2.导数及其应用3.曲线图形的相关概念4.定积分5.定积分应用6.不定积分7.不定积分的应用8.微分方程初步9.空间解析几何10.空间直线与平面11.空间曲面12.重积分每一章都包含了大量的练习题，这些题目是对每个章节中理论知识点的考察和巩固，同时也能够帮助读者构建更深入的理解。

练习题样例下面是微积分第三版上册第一章的一组练习题样例：1.1节练习1.求函数$f(x)=\\frac{x-1}{x+1}$在点x0=2处的导数。

2.求极限$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})$。

3.求函数$f(x)=\\sqrt{1+x}-1$的二阶导数。

1.2节练习1.求$f(x)=\\frac{1}{x}$的导函数和导数。

2.已知函数f(x)=x3+3x2+1，求它的单调区间和极值点。

3.求函数f(x)=x4−8x2的导函数和导数。

课后练习题答案微积分第三版上册的课后练习题答案可以在教材的补充练习答案中找到，答案涵盖了书中各章节的所有练习题。

下面是上述练习题的答案和解析。

1.1节练习答案1.$f'(2)=\\frac{2}{9}$2.$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})=+\\infty$3.$f''(x)=\\frac{1}{4(x+1)^{\\frac{3}{2}}}$1.2节练习答案1.$f'(x)=-\\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\\frac{2}{x^3}$2.f(x)在$(-\\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,+\\infty)$上单调递增。

微积分1、2章习题解

习题一答案(A)1.1. 求下列函数的定义域：(1) 22-+=x x y ; (2) )sin(x y =;(3) 2)1lg(--=x x y ; (4) 22114xxy -+-=;(5) x xx y -++-=11lg 21)1arcsin(; (6) ⎩⎨⎧><+=)0(ln )0(12x xx x y .(1)解：022≥-+x x21-≤≥x x 或∴定义域为),1[]2,(+∞--∞ . (2)解：⎩⎨⎧≥≥0)sin(x xπππ+≤≤k x k 22∴定义域为{},1,0,)12(42222=+≤≤k k x k x ππ.(3) 解：⎩⎨⎧≠->-0201x x21≠>x x 且∴定义域为),2()2,1(+∞ . (4)解： ⎩⎨⎧≠-≥-010422x x⎩⎨⎧±≠≤≤-122x x ∴定义域为]2,1()1,1()1,2[ ---.(5) 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->-+≤-≤-01011111x x x x ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-≤≤11120x x x ∴定义域为)1,0[.(6) 解：定义域为),0()0,(+∞-∞ .2已知23)(2-+=x x x f ,求)1(,1),(),1(),1(),0(+⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f x f f f f . 解：2200)0(2-=-+=f2231)1(2=-+=f 423)1()1(2-=---=-f232)(3)()(22--=--+-=-x x x x x f 231)1(2-+=xxx f252)1(3)1()1(22++=-+++=+x x x x x f3. 已知⎩⎨⎧≥<+=1ln 113)(x xx x x f ,求)2(),1(),0(f f f .解：1103)0(=+⨯=f01ln )1(==f 2ln )2(=f4. 讨论下列函数的单调性（指出其单调增加区间和单调减少区间） (1) x x y ln +=; (2) xey =; (3) 24x x -.解：（1）定义域为),0(+∞，设210x x <<，0)ln (ln ln ln 1212112212>-+-=--+=-x x x x x x x x y y故在定义域内为单调增函数，单调增加区间为),0(+∞. (2) 定义域为实数R,当021<<x x 时，21x x >，021>-x x e e ，函数为减函数；当210x x <<时，21x x <，021<-x x ee，函数为增函数.故单调减少区间为)0,(-∞,单调增加区间为),0(+∞. (3) 定义域为[]4,0，4)2(422+--=-=x xx y当20≤≤x 时，2)2(--x 为增函数，4)2(2+--x 也为增函数，当42≤≤x 时，2)2(--x 为减函数，4)2(2+--x 也为减函数. 故单调增加区间为]2,0[,单调减少区间为]4,2[.5. 判别下列函数中哪些是奇函数,哪些是偶函数,哪些是非奇非偶函数. （1）2x e y -=; (2）x x y sin 2=;（3）242x x y -=; （4）2x x y -=; （5）x x y cos sin -=; （6）x x y +-=11lg ;（7）)1ln(2x x y -+=; （8）x xxy cos sin +=;（9）xx x xee e e y ---+=; （10）⎩⎨⎧≥+<-=0101x xx x y .解：（1）定义域为实数R,)()(22)(x y eex y xx ===----，故函数为偶函数.(2）定义域为实数R,)(sin )sin()()(22x y x x x x x y -=-=--=-，故为奇函数.（3）定义域为实数R,)(2)(2)()(2424x y x x x x x y =-=---=-，故函数为偶函数.（4）定义域为实数R,函数2x x y -=为非奇非偶函数. （5）非奇非偶函数（6）定义域为011>+-xx ，0)1)(1(>+-x x ，即11<<-x ， 0111lg11lg)()(==+-+-+=+-lg xx xx x y x y ，即)()(x y x -=-y ，故函数为奇函数. （7）定义域为实数R,01ln )1ln()1ln()()(22==-+++=+-x x x x x y x y ，)()(x y x -=-y ，故函数为奇函数.（8）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)(cos sin )cos()sin()(x y x xx x xx x y =+=-+--=-，故函数为偶函数.（9）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)()(x y ee eeeee e x y xxxx xxx x -=-+-=-+=-----，故函数为奇函数.（10）)(01010101)(x y x xx x x x x xx y =⎩⎨⎧>+≤-=⎩⎨⎧≥--<-+=-，故函数为偶函数.6. 设)(x f 在),(+∞-∞内有定义,证明：)()(x f x f -+为偶函数,而)()(x f x f --为奇函数.证明：令)()()(x f x f x g -+=，)()()(x f x f x h --=，)()()()(x g x f x f x g =+-=-，)(x g 为偶函数， )()()()(x h x f x f x h -=--=-，)(x h 为奇函数.7. 判断下列函数是否为周期函数,如果是周期函数,求其周期：（1）x x y cos sin +=; （2）x x y cos =; （3）)32sin(+=x y ; （4）x y 2sin =; （5）x y 2sin 1+=; （6）xy 1cos =.解：（1）)4sin(2)cos 22sin 22(2π+=+=x x x y故函数周期为π2. （2）无周期（3）周期为ππ==22T（4）22cos 1sin 2xx y -==，周期为ππ==22T（5）设)22sin(1)(2sin 12sin 1T x T x x y ++=++=+= , 解得π=T 2 ，2/π=T . （6）无周期8. 讨论下列函数是否有界：（1）221xxy +=; （2）2x e y -=;（3）xy 1sin =; （4）xy -=11;（5）xx y 1cos =. 解：（1）1122≤+=xxy ，故函数有界.（2）02≥x ,02≤-x ,102≤<-x e ,故函数有界. （3）11sin≤x，函数有界. （4）xy -=11无界.（5）xx y 1cos =无界.9. 设21)(x x x f -=,求)(cos x f .解：x x x x x f cos sin cos 1cos )(cos 2=-= 10. 已知⎩⎨⎧>-≤+=0102)(2x x x x x f ,求)1(+x f 及)()(x f x f -+.解：⎩⎨⎧->-≤++=⎩⎨⎧>+-+≤+++=+1132011)1(012)1()1(22x xx x x x x x x x f⎩⎨⎧<--≥+=-012)(2x x x x x f ⎩⎨⎧>-≤+=0102)(2x x x x x f⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+-=-+01041)()(22x x x x x x x x f x f 11. 已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ. 解：x x x f 2sin )2(sin )]([3-=ϕ，)(2sin )]([3x x x f -=ϕ12. (1) 已知 2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求)(x f .(2)已知2ln)1(222-=-x xx f ,且x x f ln )]([=ϕ,求)(x ϕ.解：(1) 2)1(12-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ,2)(2-=∴x x f (2)令12-=x t ，11ln)(-+=t t t f ，x x x x f ln 1)(1)(ln))((=-+=ϕϕϕ，x x x x =-+=-+1)(211)(1)(ϕϕϕ11112)(-+=+-=x x x x ϕ13. 在下列各题中,求由给定函数复合而成的复合函数,并确定定义域：（1）21,x u u y +==；（2）2,ln ,4x v v u u y ===；（3）x v v u u y 21,sin ,3+===;（4）222,tan ,arctan x a v v u u y +===. 解：（1）21x y +=，),(+∞-∞∈x（2）2ln4x y =,由02>x ，),0(+∞∈x（3）)21(sin 3x y +=，),(+∞-∞∈x （4）)](arctan[tan222x a y +=，由2/)(22ππ+≠+k x a ，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-+≠∈Z R k a k x x x ,2,22ππ 14. 指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）x y alog=; （2）xey -=arctan ;（3）x y 2sin ln =; （4）⎪⎭⎫⎝⎛-=2212arcsinx x y .解：（1）x y alog=，x u = （2）u y arctan =，v e u =，x v -=（3）u y ln =，2v u =，x v sin = （4）2u y =，v u arcsin =，212xx v -=15. 求下列反函数及反函数的定义域：（1）)31ln(x y -=,)0,(-∞=f D ；（2）29xy -=,]3,0[=f D ;（3）22-+=x x y ,),2()2,(+∞-∞= f D ;（4）2xxee y --=,),(+∞-∞=f D ;（5）⎩⎨⎧≤<--≤<-=21)2(210122x x x x y .解：（1）由)31ln(x y -=解得3/)1(y e x -=,故)1(31xe y -=,),0(1+∞=-fD （2）由29x y -=解得29y x -=，故29xy -=,]3,0[1=-f D（3）由22-+=x x y 解得1)1(2-+=y y x ,故1)1(2-+=x x y ,),1()1,(1+∞-∞=- f D （4）由2xx ee y --=同乘解得x e 解得12++=y y e x,故)1ln(2++=x x y ,),(1+∞-∞=-f D（5）可解得⎩⎨⎧≤<--≤<-+=2122112/)1(y yy y x故⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<-+=212211)1(21x xx x y ,]2,1(1-=-f D16. 某玩具厂每天生产60个玩具的成本为300元,每天生产80个玩具的成本为340元,求其线性成本函数,并求每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本.解：设玩具的线性成本函数为bx a x C +=)(，则有⎩⎨⎧+=+=b a b a 8034060300 解得⎩⎨⎧==2180b a ，所以x x C 2180)(+= 故固定成本为180(元/每天),可变成本为2(元/每个).17. 某公司全年需购某商品2000台,每台购进价为5000元,分若干批进货.每批进货台数相同,一批商品售完后马上进下一批.每进货一次需消耗费用1000元,商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半）,该商品每年每台库存费为进货价格的%4.试将公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数.解：设批量为x ，投资总额为y ，则x xy 1001021067+⨯+=18. 某饲料厂日产量最多为m 吨,已知固定成本为a 元,每多生产1吨饲料,成本增加k 元.若每吨化肥的售价为p 元,试写出利润与产量x 的函数关系式.解：设利润为)(x L ，则a x k p x L --=)()( (元) ,],0[m x ∈19. 生产某种产品,固定成本为3万元,每多生产1百台,成本增加1万元,已知需求函数为p Q 210-=（其中p 表示产品的价格,Q 表示需求量）,假设产销平衡,试写出：（1）成本函数；（2）收入函数；（3）利润函数.解：(1) 3)(+=Q Q C (万元)(2) 2215)10(21)(Q Q Q Q P Q Q R -=⋅--=⋅= (万元)(3) 3421)()()(2-+--=Q Q Q C Q R Q L (万元)20. 某酒店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来,试问租金定为多少时,酒店房租收入最大？收入多少元？这时酒店将空出多少套高级客房？解：设每套资金为x 元，酒店房租总收入为y 元，则有16000)400(101)1020060(2+--=--=x x x y ，故400=x 元/套,收入最大，为16000元, 这时酒店将空出20套高级客房.（B ）1. 设x x f x x f =-⎪⎭⎫⎝⎛-+)(212212,求)(x f . 解：令2212-+=x x t ，得2212-+=t t x ，有2212221221)(-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+-t t t t f t f ,即2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x f x f 又()x x f x x f =--+21)2212(，可解得()11322-++=x x x x f2. 设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l -上的,证明：（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明：设)(1x f 和)(2x f 为偶函数，)(1x g 和)(2x g 为奇函数，（1）设)()()(21x f x f x f +=)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-故)(x f 为偶函数，得证. 设)()()(21x g x g x g +=)()()()()()(2121x g x g x g x g x g x g -=--=-+-=-故)(x g 为奇函数，得证.（2）设)()()(21x f x f x h ⋅=)()()()()()(2121x h x f x f x f x f x h =⋅=-⋅-=-故)(x h 为偶函数，得证. 设)()()(21x g x g x I ⋅=[][])()()()()()(2121x I x g x g x g x g x I =-⋅-=-⋅-=-故)(x I 为偶函数，得证. 设)()()(11x g x f x J ⋅=[])()()()()()(1111x J x g x f x g x f x J -=-⋅=-⋅-=-故)(x J 为奇函数，得证.3. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上单调增加,试证函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.证明：设D x x ∈<21,[][][][]0)()()()()()()()(12121122>+-+=+-+x g x g x f x f x g x f x g x f∴函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.4. 设函数)(x f 在区间],[b a 和],[c b 上单调增加,试证)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.证明: 设[]c a x x ,21∈<,若c x x ≤<21，由题意有)()(12x f x f >，若21x x b <≤，由题意有)()(12x f x f >，若21x b x <≤，则)()()(12x f b f x f ≥>，若21x b x ≤<，则)()()(12x f b f x f >≥，综上，)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.5. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上有界,试证函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上也有界.证明：由题)(x f 和)(x g 在D 上有界，即对D x ∈∀，0,021>>∃M M ，有1)(M x f ≤,2)(M x g ≤,则21)()(M M x g x f +≤+,21)()(M M x g x f ⋅≤⋅ 即函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上有界. 6. 证明函数x x y sin =在),0(+∞上无界.证明：对任意0>M ，都存在02[,]x M M π∈+使得1sin 0=x ，则M x x x >=000sin ，即函数x x y sin =在),0(+∞上无界.7. 设)(x f 为定义在),(l l -的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.证明：设)0,(21l x x -∈<，则),0(12l x x ∈-<-，)()()()()()(211212x f x f x f x f x f x f ---=-+--=-)(x f 在),0(l 内单调增加,∴0)()(12>-x f x f ，∴)(x f 在)0,(l -内也单调增加.8. 已知函数)(x f 满足如下方程：0,)1()(≠=+x xcx bf x af其中c b a ,,为常数,且b a ≠,求)(x f ,并讨论)(x f 的奇偶性.解：由已知，xc x bf x af =+)1()(，令xt 1=，则有ct t bf taf =+)()1(，即cx x bf xaf =+)()1(可解得)()(22xa bx ab c x f --= ，而)()(x f x f -=-,故)(x f 是奇函数.习题二答案(A)1. 观察判别下列数列的敛散性；若收敛,求其极限值： (1) nn u 31=;(2) 11ln+=n u n ;(3) 212nu n +=; (4) 11+-=n n u n ;(5) nnu n πsin1=; (6) nu nn )1(-=;(7) nn u )1(3-=; (8) πn nu n cos 1=.解：(1) 收敛于0; (2) 发散; (3) 收敛于2; (4) 收敛于1; (5) 收敛于0; (6) 收敛于0; (7) 发散; (8) 收敛于0.2. 利用数列极限的分析定义证明下列极限： (1) 011lim=++∞→n n ; (2) 1311lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n ;(3) 532513lim=+++∞→n n n ; (4) 071lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn . （1）证明：0>∀ε，不妨设1<ε，要使ε<+=-110n u n 成立，只需112->εn 成立，因此取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21εN ，则当N n >时，有ε=<+=-Nn u n 1110，所以011lim=++∞→n n .（2）证明：0>∀ε，要使ε<=-nu n 311成立，只需ε31>n 成立，因此取131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当N n >时，有ε<<=-Nnu n 31311，即1)311(lim =-+∞→n n .（3）证明：0>∀ε，不妨设101<ε，取152251+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=εN ，则当N n >时，有ε<+<+=-)25(51)25(5153N n u n ，所以532513lim=+++∞→n n n .（4）证明：0>∀ε，不妨设1<ε，取11log 7+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当N n >时，有ε<<=-Nnn u 71710，所以071lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn .3. 求下列数列的极限： (1) 98124lim22++-+∞→n n n n ; (2) 529lim2+++∞→n n n n ;(3) nn n n n -+-++∞→32lim; (4) )5(lim 2n n n n -++∞→;(5) )11()311)(211(lim 222nn ---+∞→ ; (6) n nn 5151131311lim+++++++∞→ ; (7) )1sin (sinlim --+∞→n n n ; (8) n nn nn 1)4321(lim ++++∞→;(9) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅+∞→)1(1321211lim n n n ; (10) 11)1(6)1(6lim +++∞→-+-+n n nnn . （1）＝98124lim22++-+∞→n n n n 21/98/1/24lim222=++-+∞→nnn n n（2）＝529lim2+++∞→n n n n 235219lim=+++∞→nnn （3）nn n n n -+-++∞→32lim32)2(3)3(2lim)2)(3)(3()3)(2)(2(lim=++++=++++-+++++-+=+∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n（4） )5(lim 2n n n n -++∞→2555lim5)5)(5(lim2222=++=++++-++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n ＝（5）因为 n n n n n n n11)11)(11(112+⋅-=+-=-，所以)11()311)(211(lim 222nn ---+∞→2121lim11454334322321lim =+=+-⨯⨯⨯⨯⨯+∞→+∞→nn nn nn n n＝（6）＝nnn 5151131311lim+++++++∞→ 565/1113/111lim =-÷-+∞→n （7）)1sin (sinlim --+∞→n n n 021cos)1(21sin2lim 21cos 21sin2lim =-+-+=-+--+∞→+∞→n n n n n n n n n n ＝（8）＝nnnnn 1)4321(lim ++++∞→4)43()42()41(1lim 41=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→n n n n n（9） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅+∞→)1(1321211lim n n n 1)111(lim )111()3121()211(lim 4=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=+∞→+∞→n n n n n（10）=-+-++++∞→11)1(6)1(6limn n n nn 61)6)1(1()6)1(61(lim 111=-+-+++++∞→n n n nn4. 判断下列结论是否正确,为什么？(1) 设数列}{n u ,当n 越来越大时,A u n -越来越小,则A u n n =+∞→lim ;(2) 设数列}{n u ,当n 越来越大时,A u n -越来越接近于零,则A u n n =+∞→lim ;(3) 设数列}{n u ,若对+∈∃>∀Z N ,0ε,当N n >时,有无穷多个n u 满足ε<-A u n ,则A u n n =+∞→lim ;(4) 设数列}{n u ,若对0>∀ε,}{n u 中仅有有限个n u 不满足ε<-A u n ,则A u n n =+∞→lim ;(5) 若}{n u 收敛,则k n n n n u u ++∞→+∞→=lim lim (k 为正整数);(6) 有界数列}{n u 必收敛； (7) 无界数列}{n u 必发散； (8) 发散数列}{n u 必无界.解： (1) 错; (2) 错; (3) 错; (4) 正确; (5)正确; (6) 错; (7) 正确; (8) 错.5. 利用函数极限的分析定义证明下列极限： (1) 539lim22=--→x x x ; (2) 0)21(lim =+∞→xx ;(3) 1)32(lim 2=-→x x ; (4) 02lim2=-+→x x .证明：（1）0>∀ε，取εδ=，当δ<-<20x 时，有εδ=<-=--2392x x x ，故 539lim22=--→x x x .（2）0>∀ε，不妨设1<ε，取ε1log2=M ，则当M x >时，有ε=<Mx )21()21(，故0)21(lim =+∞→x x .（3）0>∀ε，取2/εδ=，当δ<-<20x 时，有εδ=<-=--222132x x ，故 1)32(lim 2=-→x x .（4）0>∀ε，取2εδ=，当δ<-<20x 时，有εδ=<-=-22x x ，故 02lim2=-+→x x .6. 下列函数什么过程中是无穷小量,什么过程中是无穷大量？ (1) 21xy =; (2) )2ln()1(+-=x x y ;(3) x e y -=; (4) 2tanx y =;(5) xy -=112; (6) 12322-+-=x x x y .解：(1) ∞→x 无穷小量,0→x 无穷大量;(2) 1→x 无穷小量,1-→x 无穷小量,+-→2x 无穷大量,+∞→x 无穷大量;(3) +∞→x 无穷小量 ,-∞→x 无穷大量;(4) πk x 2→(k 为整数)无穷小量 ,ππ+→k x 2(k 为整数)无穷大; (5) +→1x 无穷小量,-→1x 无穷大量; (6) 2→x 无穷小量,1-→x 无穷大量. 7. 求下列函数的极限： (1) 852)3)(sin 6(lim32+--+∞→x x x x x x ; (2) 732523lim42+--+∞→x x x x x ;(3) 12102)12()31(lim+-∞→x x x x ; (4) )2(lim 22++-∞→x x x x ;(5) 125lim3++∞→x x x ; (6) 2)2sin(lim--∞→x x x ;(7) )1(lim 33x x x -+∞→; (8) xx x 1lim2++∞→;(9) xx x 1lim2+-∞→;(10) )49(lim +-++∞→xxx a a (0>a 且1≠a )解：（1）0852)3)(sin 6(lim32＝+--+∞→x x x x x x（2）=+--+∞→732523lim42x x x xx 23732523lim432=+--+∞→xxx x x（3）=+-∞→12102)12()31(limx x x x 1210121012121210223)21()31(lim)12()31(lim=+-=+-∞→∞→xx xx xx x x x（4）)2(lim 22++-∞→x xx x122lim2)2)(2(lim222222222-=+--=+-+-++=-∞→-∞→x xx x x xx x x x x xx x x（5）∞=++∞→125lim3x x x（6）02)2sin(lim=--∞→x x x（7）)1(lim 33x x x -+∞→)1(11lim)1(1))1(1)(1(lim32333232333232333233=-+-⋅-=-+-⋅--+-⋅--+=∞→∞→x xx x x xx x x x x x x x x x（8）11lim2=++∞→x x x（9）11lim2-=+-∞→xx x（10）当10<<a 时，=+-++∞→)49(lim xxx aa 149=-当1>a 时，)49(lim +-++∞→xxx a a049)49)(49(lim=+++++++-+=+∞→xxxx x x x aaaa a a8. 求下列函数的极限：(1) )153(lim 22--→x x x ; (2) 11lim1--→nm x x x(n m ,为正整数);(3) 11lim31--→x x x ; (4) ⎪⎭⎫⎝⎛---→121lim 21x x xx ; (5) 22lim2-→x xx ; (6) 3152lim23--+→x x x x ;(7) 2211limxx x +-→; (8) ⎪⎭⎫⎝⎛+-++--→x x x x x x 212112lim ; (9) xx xx -----→111lim1; (10) 1lim21--+++→x nx x x nx .解：（1）1)153(lim 22＝--→x x x（2）＝11lim1--→nm x xx nm xx x x x x n m x =+++-+++---→)1)(1()1)(1(lim111（3）=--→11lim31x x x 32)1)(1)(1()1)(1)(1(lim33233231=+++-+++-→x xx x x x xx x（4）=⎪⎭⎫⎝⎛---→121lim 21x x x x 2312lim 12)1(lim 22121=--+=--+→→x x x x x x x x （5）由022lim2=-→xx x ，有∞=-→22lim2x x x（6）=--+→3152lim23x x x x 83)3)(5(lim3=--+→x x x x（7）=+-→2211limxx x 2)1(1)11(lim222-=+-++→x x x x（8）=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--→x x x x x x 212112lim 4)1(2lim22lim1221=-=+-+--→-→xx xxx x x x x（9）=-----→xx xx 111lim11111lim 1-=---→x x（10）1lim21--+++→x nxx x nx2)1(21)1()1(1[lim 1)1()1()1(lim1121+=+++=+++++++=--++-+-=-→→n n n xx x x x xx n x nx9. 求下列各题中的常数a 和b :(1) 1112lim 23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+∞→x x b ax x ; (2) 51lim 21=-++→x abx x x ;(3) k b ax x x x =--+++∞→)1(lim 2(k 为已知常数).解：(1)因为11)2(11222323+-+++-=++-+x b ax bxx a x x b ax若1)112(lim 23=++-+→∝xx b ax x ，则02=-a ，1=b ，即2=a ，1=b .（2）因为1lim)1(lim 1)1(lim )(lim 2112121=-++-=-++⋅-=++→→→→xa bx x x xa bx x x a bx x x x x x所以01=++b a ，即a b --=1 511))(1(lim1)1(lim1lim12121=-=---=-++-=-++→→→a xa x x xax a x xa bx x x x x故6=a ，7-=b . （3）因为kbax x x bx ab x a b ax x x x x =++++-+-+-=--++∝+→∝+→11)21()1(lim)1(lim 22222因此012=-a ，0>a ，k aab =+-121，求得1=a ，k b -=21.10. 求下列函数极限： (1) xx x 3arcsin 4arctan lim→; (2) xx x 3sin 2tan lim→;(3) xx x 1sinlim ∞→; (4) 2)4sin(lim22--→x x x ;(5) 222)cos 1(tanlimx xx x -→; (6) )1cos1(lim 2xx x -∞→;(7) 30sin 1tan 1limxxx x +-+→; (8) xx x x x sin 3sin 2lim+-→;(9) x xx x 2sin 5tan lim-→; (10) hxh x h sin )sin(lim-+→.解：（1）3434lim 3arcsin 4arctan lim 0＝＝x x x x x x →→（2）3232lim3sin 2tan lim==→→x x x x x x（3）=∞→x x x 1sin lim 1/1)/1sin(lim =∞→xx x（4）=--→2)4sin(lim22x x x 424lim22=--→x x x（5）=-→222)cos 1(tanlimx xx x 4)2/(lim224=→x xx（6）=-∞→)1cos1(lim 2xx x 2121lim 22=⋅∞→xx x（7）=+-+→30sin 1tan 1limxxx x 4121lim212)cos 1(tan lim323=⋅=-→→xxx xx x x x（8）=+-→xx x x x sin 3sin 2lim41/)(sin 3/)(sin 2lim=+-→xx x x x（9）=-→xxx x 2sin 5tan lim3252sin lim 5tan lim=-=-→→xxx xx x（10）=-+→h xh x h sin )sin(limx hh x h h cos ]2/)2cos[()2/sin(2lim=+→11. 求下列函数极限： (1) x x x)11(lim -∞→; (2) xx x 2cot 2)(seclim →;(3) 121011lim +→⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x ; (4) xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→22lim ;(5) 311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ; (6) x x x -→111lim .解：（1）=-∞→xx x)11(lim 1)1()11(lim ---∞→=-exx x（2）=→xx x 2cot2)(seclim e x xx =+→2tan12)tan1(lim（3）121011lim +→⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x21)1(211021)11(lim 11lim )11(lim -+⋅+→→→=+-=+⋅+=exxxxx x x x x x x（4）xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→22lim42)4(422)4(42)241(lim )241(lim )241(lim --∞→-⋅+-∞→--⋅+-∞→=+-⋅+-=+-=ex x x x x x x x（5）=⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→311lim x x x x 212213)121(lim )11(lim )11(lim e x x x x x x x x xx =-+=-+⋅-++⋅-∞→∞→∞→（6）=-→x x x 111lim 1)1(111)11(lim --⋅-→=-+ex x x12. 求下列函数极限： (1) )6sin(sin 21lim6ππ--→x x x ; (2) xx x 251ln lim+→;(3) )21ln()31ln(limxxx ++-∞→; (4) 1arcsin lim2--→xx ex x ;(5) )1ln(121lim2x x xx ---→; (6) xe xx 21lim3sin 0-→;(7) x x x 1)tan 21(lim ++→; (8) x xx e x 10)(lim +→;(9) xx x x 3)421ln(lim2+-→; (10) )4tan()2tan(lim 4x x x -⋅→ππ;(11) x x x 10)sin 1(lim -→; (12) xx x 2cot10)(cos lim +→.解：（1）令6π-=x t ，6π→x 时0→t ，原式化为)6sin(sin 21lim6ππ--→x x x3)sin 3(lim cos 1lim]2/)(cos 2/)(sin 3[21limsin )6/sin(21lim 0-=-+-=+-=+-→→→→tt t ttt t tt t t t t π＝（2）＝xx x 251lnlim0+→45252122/)51ln(lim=⋅=+→xx x（3）＝)21ln()31ln(limxx x ++-∞→0)23(lim 23lim==-∞→-∞→xx xx x （4）＝1arcsin lim2--→xx ex x 1lim220-=-→xxx（5）=---→)1ln(121lim2x x x x 12/)2(lim22=--→xx x（6）＝xe xx 21lim3sin 0-→6123/)(sin lim 0-=-→xx x（7）x x x 1)tan 21(lim ++→2tan 2limtan 21tan 22tan 21)tan 21(lim )tan 21(lim ex x xxxx xx xx x =+=+=+→++⋅→⋅→ （8）=+→x xx e x 1)(lim 2111)11(lim e ex xe x ex xx xx=-++-+⋅-+→（9）=+-→xx x x 3)421ln(lim232324lim2-=-→xxx x（10）令x t -=4π，4π→x 时0→t ， )4tan()2tan(lim 4x x x -⋅→ππ21tan 2tan1lim 2cot lim )22/tan(lim 2=-⋅==⋅-=→→→tt t tt tt t t t π（11）=-→x x x 1)sin 1(lim 1sin sin 10)sin 1(lim --⋅-→=-ex xx xx（12）xx x 2cot10)(cos lim +→21tan 1cos 1cos 10cot22)1cos 1(lim cos lim cos lim --⋅-→→→=-+=⋅=ex xx xx x x xx x13. 证明：0)2(1)1(11lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++∞→n n n n . 证明：222221)2(1)1(11)2(1nn n n nn n +≤++++≤+又由01lim)2(1lim22=+=++∞→+∞→nn n n n n所以0])2(1)1(11[lim 222=+++++∞→n n nn14．求下列函数的间断点,并判断类型.)1( 1212)(11+-=x x x f ; (2) ()x x x x f 21)1ln()(2--=;(3) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1111)(2x x xx x f ;(4) ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤+<=23212416)(2x x x x x x f 解：（1）11212lim/1/10-=+--→xx x12/112/11lim 1212lim /1/10/1/10=+-=+-++→→xx x xx x即0=x 为跳跃间断点.（2）0)21()1ln(lim2=--→x x x x ，即0=x 为可去间断点.0)21()1ln(lim20=--→x x x x ，即21=x 为无穷间断点.（3）211lim21=+--→xxx ，即1-=x 为可去间断点.（4）10)(lim 2=-→x f x ，7)(lim 2=+→x f x ，即2=x 为跳跃间断点.15. 讨论下列函数的连续性:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=)0(0)0(1sin)(2x x xx x f ;(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(1)0(sin )(x x xx x f ;(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=003)(1x x x f x.解：(1) 0<x 时，xx x f 1sin)(2=连续，0>x 时，0)(=x f 连续，0=x 时，)(lim 0)(lim 0_x f x f x x +→→==连续，所以)(x f 在),(+∞-∞连续.（2） 0<x 时，x xx f sin )(-=连续，0>x 时，xx x f sin )(=连续，0=x 时，1)sin (lim )(lim 0-=-=--→→xx x f x x ，1sin lim )(lim 0==++→→xx x f x x ，所以)(x f 在0=x 处不连续.（3）0≠x 时，x x f 13)(=连续，03lim )(lim 1==--→→xx x x f ，∞==++→→x x x x f 13lim )(lim ，所以)(x f 在0=x 处不连续. 16. 确定常数b a ,使下列函数连续：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧+<<--=其他53541)(2bx a x xx f ;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=-<=01sin 010sin 1)(x b x x x a x x x x f . 解：(1)若)(x f 在54-=x ，53=x 处连续，则有 2)54()54(1lim)(lim xbx a x x -=++--→-→，)(lim 1lim)53(2)53(bx a xx x +=-+-→→，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-54535354b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==7175b a（2）)(x f 在0=x 处连续，1sin 1lim 0-=-→a x xx ，1)sin 1(lim 0-=++→a b x xx ，有11=-a ，1-=a b ，解得2=a ，1=b .17. 试证方程0133=--x x 在区间)2,1(内至少有一个实根. 证明：令13)(3--=x x x f ，)(x f 在)2,1(连续，03)1(<-=f ，01)2(>=f ，由零点定理知，至少存在一点)2,1(0∈x ，使得0)(0=x f 成立，即方程0133=--x x 在区间)2,1(内至少有一个实根. 18. 试证方程2-=x e x 在区间)2,0(内至少有一个实根. 证明：令2)(+-=x e x x f ，)(x f 在)2,0(连续，01)0(>=f ，04)2(2<-=ef ，由零点定理知，至少存在一点)2,0(0∈x ，使得0)(0=x f 成立，即方程2-=x e x 在区间)2,0(内至少有一个实根.(B)1. 求极限)31ln()21ln(limx xx +++∞→.解：)31ln()21ln(limxx x +++∞→3ln 2ln )3/11ln(3ln )2/11ln(2ln lim)3/11ln(3ln )2/11ln(2ln lim=++++=+++++∞→+∞→xx x xxx x x x x ＝2. 设nn nn n u n ++++++=2222211 ,求n n u +∞→lim . 解：因为1212122++++≤≤++++n nu n n n n ， 212/)1(lim 21lim 22=++=++++∝+→∝+→nn n n n n n n n ， 2112/)1(lim 121lim 22=++=++++∝+→∝+→n n n n n n n ，由极限存在定理可知，21lim =∝+→n n u .3. 设数列}{n u ：,2,,222,22,21-++++n u ,证明：n n u +∞→lim 存在,并求此极限值.证明：首先证}{n u 单调增加。

微积分第一章课外习题参考答案

存在 (a,b),使得F ( ) 0, 即f ( ) g( ).
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.

微积分一练习题及答案

《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（）A ． ()()()0000lim x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．()()()00002lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 10lim → D ．()x x x x +-∞→632213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e2-，则=)(x f （） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（）间断点。

A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5．设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（）A ．当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；B ．对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ．当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；6．已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→ax x f a x ，则下列结论成立的有（） A ．a x =是()x f 的极小值点； B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；二．填空：1．设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三．计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy （5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy四．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。

《微积分》各章习题及详细答案

也不必要条件.
10、()
(A)1;(B)2; (C);(D)0。
11、设均为非负数列，且，则必有()
(A)对任意成立；(B)对任意成立；
12、当时，函数的极限()
(A)等于2;(B)等于0;(C)为；
三、计算解答
1、计算下列极限
(1)；(2)；
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8)。
3、试确定之值，使。
出数列“当充分大时”的情况，不可能得出“对任意成立”的性质。
（C）也明显不对，因为“无穷小•无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。
X21——
limex1lim (x 1)ex1
x1x1x 1
当时函数没有极限，也不是
三、计算解答
1、计算下列极限:
(1)解:
(2)解:
(3)解:
⑷解:
1x_
[lim(1― )2]3[lim(1
9、设则()
(A);(B);(C);(D)。
10、若可导，且，则有()
(A);(B);(C);(D)。
11、设函数连续，且，则存在，使得()
(A)在内单调增加；(B)在内单调减少；
(C)对任意的有；(D)对任意的有。
12、设在处可导，则()
(A);(B)为任意常数；
(C);(C)为任意常数。
三、计算解答
4、利用极限存在准则求极限
⑴。
(2)设，且，证明存在，并求此极限值。
5、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。
6、设在上连续，且，证明在内至少有一点，使。
第一单元函数极限与连续习题解答
一、填空题
1
3、xx。
是的xx无穷小。
为有界函数，所以要使，只要，即。

微积分第一章---函数--习题及答案

第一章函数一、填空1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。

2、设()111>≤⎩⎨⎧=x x x x f ，则()()xe f x f +•1sin = 。

3、712arcsin42-+-=x x y 的定义域为。

4、()xx f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛- ，则()x f = 。

5、()001<≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f ，则()[]=x f f 。

6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==ϕ，则()x ϕ= 。

7、设函数()x f 满足关系式：()()xe xf x f 3121=--+，则函数()x f = 。

8、已知()[]()2sin,cos 1xx x x f =+=ϕϕ，则()x f = 。

9、已知()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=3121033132x x x x x x f x，则其反函数()x f 1-= 。

10、函数3arcsin cos lg x y =由复合而成。

二、选择1、函数()xx f 3=，则()y x f +=〔〕A 、()()y f x fB 、()x f 2C 、()x fD 、()y f2、若()x f 是〔-∞，+∞〕上有定义的函数，则下列〔〕奇函数。

A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在〔0，+∞〕内，b a ,为任意正数，若函数()xx f 单调减少，则有〔〕A 、()()()b f a f b a f +<+B 、()()()ba b f a f b a f ++<+C 、()()()b f a f b a f +>+D 、()()()ba b f a f b a f ++>+4、设函数()u f 的定义域为10<<u ，则()x f ln 的定义域为〔〕 A 、〔0 ，1〕 B 、〔1 ，a 〕 C 、〔0 ，e 〕 D 、〔1 ，e 〕5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为〔〕 A 、无界函数 B 、单调函数 C 、偶函数 D 、周期函数6、设函数()x xe x x f sin tan +=，则()x f 是〔〕A 、偶函数B 、无界函数C 、周期函数D 、单调函数 7、函数()()()()2212sin ---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界〔〕A 、〔-1 ，0〕B 、〔0 ，1〕C 、〔1，2〕D 、〔2 ，3〕8、若在〔-∞，+∞〕内()x f 单调增加，()x ϕ单调减少，则()[]x f ϕ在〔∞，+∞〕内〔〕A 、单调增加B 、单调减少Ｃ、不是单调函数Ｄ、增减性难以判定三、计算１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］〔a >０〕，求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。

(完整word版)微积分练习题册汇总

微积分练习题册第一章函数判断题1. 1y x=是无穷小量； 2. 奇函数与偶函数的和是奇函数；3. 设arcsin y u =，u =2arcsin 2+=x y ；4. 函数 1lg lg y x= 的定义域是 1x > 且 10x ≠； 5. 函数 2x y e -= 在 (0,)+∞ 内无界；6. 函数 211y x =+ 在 (0,)+∞ 内无界；7. 21()cos x f x x-= 是奇函数；8. ()f x x = 与2()g x = 是相同函数； 9. 函数 x y e = 是奇函数；10. 设 ()sin f x x = ，且2[()]1f x x ϕ=-，则()x ϕ的定义域是 (0,1)； 11. y x = 与y 是同一函数； 12. 函数 31y x x =++ 是奇函数；13. 函数 1arcsin 2x y -= 的定义域是(1,3)- ；14. 函数 cos3y x = 的周期是 3π ；15. y x = 与 2x y x= 不是同一个函数；16. 函数 cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________；2. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________；3. 设 x x x f --=24)(2，则 )2(-f = _______ ；4. 设 xx f 1)(=，x x g -=1)( ，则 )]([x g f = _______ ；5. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的； 6. 函数 43y x =- 的反函数是 _______ ；7. 已知 11()1f x x =- ，则 (2)f = __________ ；8.y =，其定义域为 __________ ； 9. 设函数 2()1x f x x -=- ，则 (1)f -= __________；10. 考虑奇偶性，函数 ln(y x = 为 ___________ 函数；11. 函数 2x y e = 的反函数是 1ln 2y x = ,它的图象与 2x y e = 的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数 32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞(C) (,3)(3,)-∞+∞U (D) [2,3)(3,)+∞U 2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章极限与连续判断题1. 函数在点 0x 处有极限，则函数在 0x 点极必连续；2. 0x → 时，x 与 sin x 是等价无穷小量；3. 若 00(0)(0)f x f x -=+，则 )(x f 必在 0x 点连续；4. 当 0x → 时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小；5. 函数 221y x =+ 在 (,)-∞+∞ 内是单调的函数；6. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； 8. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点；9. ()sin f x x = 是一个无穷小量；10. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义；12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量； 13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim 0=+→x x x x ；15. 01lim sin 1x x x→= ；16. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；17. 11,0,,0,,0,48L 1数列收敛2；18. 函数 1sin y x= 在0x = 点连续；19. 当0x +→时，x ；20. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；21. 当 1x → 时， ln x 与 1x - 是等价无穷小量；22. 0x = 是函数 ln(2)x y x-= 的间断点；23. 以零为极限的变量是无穷小量；24. sin lim 1x xx→∞= ；25. 0sin 25lim sin 52x x x →= ；26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量； 27. ln(1)x +~x ；28. 1lim sin 1x x x→∞= ；29. 110lim(1)xx x e -→-= ；30. 0tan lim1x xx→= .填空题1. sin lim x xx→∞= _______ ；2. 711lim 1x x x →-=- ______ ； 3. xx xx sin lim+∞→ = _______ ； 4. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；5.1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 6. 函数 x y ln = 是由 ______， ______ ，______复合而成的；7. 22111arcsin xx y -+-= 的定义域是 ______ ；8. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；9. 当 0x → 时，若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；10.0lim x +→= __________ ；11. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；12.0limh h→=___________ ； 13. 函数 y x = 在点 _________连续，但不可导；14. 2lim(1)x x x →∞-=________；15. 0ln(13)lim sin 3x x x →+=_________ ；16. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；17. 当0x →23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当 0x →时，xy 1sin = 为 ( )(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量但不是无穷小量 (D) 无界变量 2. 1x +→ 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1(D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞⋃+∞ (D) (,)-∞+∞ 5. 函数 4cos 2y x = 的周期是 ( )(A) 4π (B) 2π (C) π (D) 2π6. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )(A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量9. 02lim 5arcsin x xx→= ( )(A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 110. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 11. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x计算与应用题1. 设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a2. 求极限 20cos 1lim 2x x x→-3. 求极限 121lim()21x x x x +→∞+-4. 512lim 43-+-∞→x x x x5. x x x10)41(lim -→6. 2)211(lim -∞→-x x x7. 20cos 1lim x xx -→8. 求 2111lim()222n n →∞+++L9. 求极限 22lim(1)n n n→∞-10. 求极限 lim()1xx x x →∞+11. 求极限 211lim ln x x x→-12. 201lim x x e x x →--13. 21002lim(1)x x x +→∞+14. 求lim x →-15. 21lim()1xx x x →∞-+16. 求 3131lim()11x x x→---第三章导数与微分判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；6. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；7. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；8. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；9. 2()2d ax b ax += ；10. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 11. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1.()f x = ，则 (0)f '= _________ ；2. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；5. 设 222e x y x += ，则 y ' = ________ ；6. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；7. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u = _________ ； 9. ()x x ' = _______；10. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为_______ ；11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12. 曲线y = 在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线 31y x =+ 在 (1,0)- 处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ； 15. 曲线 2y x = 在点 (0,0)处切线方程是_________ ； 16. dy y -∆ 的近似值是 _________ ；17. n y x =(n 是正整数)的 n 阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim(2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23.设 21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4.设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( ) (A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+ (C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+5.设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x→＝ ( )(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6.函数 )(x f e y =，则 ="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f(C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7.函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8.函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数 xxx f =)( 在 0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数 0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，在点 0x = 不连续是因为 ( ) (A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠ (C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在14. 设 1(2)1f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数 2ln y x = ，则 dy =（）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设 21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则 ()f x 在 0x =处（）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -计算与应用题1. 设 f(x) = xaa a x arccos 22-- (0a >), 求 (2)f a '-2. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy3. 设 xx y 1cos 1ln += ，求 dy4. 设 21(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '5. 设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy6. 设 )ln(ln x y =，求 dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求 'y 及 dy8. ln tan 2xy = ，求 'y 及 dy9. sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy10. 221cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy11. y e =，求 y ' 及 dy12. xy e y x -= ，求 y ' 及 dy13. 已知 2cos 3y x =，求 y '14. 设 22sin 0y x y --=，求 y '15. 求 13cos x y e x -= 的微分16. 设 ln(y x x =，求 y '17. 设 cos 2x y e = ，求 dy18. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '19. 设 22arctan()1xy x=- ，求 y '20. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '21. 3cos cos x y x x e =+ ，求 dy22. ln y x x = ，求 y ''23. 已知 ln(y x = ，求 y '24. 设 x y x = ，求 y '25. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''26. 求 2xe y x= 的微分第四章导数的应用判断题1. y 轴是曲线 24(1)2x y x+=- 的铅垂渐近线； 2. 曲线 3y x x =- 在(,0)-∞是下凹的，在(0,)+∞是上凹的；3. 1x = 是 31()3f x x x =- 在 [2,2]-+ 上的极小值点；4. 曲线 y =在 0x = 点没有切线；5.函数可导，极值点必为驻点；6. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；7. 直线 2y =- 是曲线2)1(42-+=x x y 的水平渐近线；8. 12x = 是曲线 234161x x y -= 的拐点；9. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，在 (,)a b 内可导，12a x x b <<<，则至少存在一点 12(,)x x ξ∈，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ； 10. 若 0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则 )(0x f 是 )(x f 的极大值；11. 函数 )12ln()(+=x x f 在 [0,2] 上满足拉格朗日定理； 12. 若 0x x = 是函数)(x f 的极值点，则0)('0=x f ； 13. 函数 )(x f 在 [,]a b 上的极大值一定大于极小值； 14. 当 x 很小时，ln(1)x x +≈ ；15. 30sin 1lim 3x x x x →-= ；16. 曲线 3y x = 的拐点是 (0,0)；17. 函数 ()y f x = 在 0x x = 点处取得极大值，则 0()0f x '= 或不存在； 18. 0()0f x '=是可导函数()y f x =在0x x =点处取得极值的充要条件； 19. 曲线 1ln y x =+ 没有拐点；20. 设()()()f x x a x ϕ=-，其中函数()x ϕ在x a =处可导，则 ()()f a a ϕ'= ；21. 因为 1y x = 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 1y x= 必有最大值；填空题1. 求曲线 53(2)y x =- 的拐点是 ________； 2. 求曲线 21x y x =+ 的渐近线为________ ；3. lim nax x x e→+∞ （ 0,a > n 为正整数）= ________ ；4. 幂函数 y x α=（ α为常数）的弹性函数是 _________ ；5. 221y x x =--+ 的单调递增区间为 __________ ；6. 函数()f x = 的间断点为 x = ______ ；7. 函数 112+=x y 的单调下降区间为 ______ ；8. 设 322++=ax x y 在点 1x = 处取得极小值，则 a = _______ ； 9. 设 3)(a x y -= 在 (1,)+∞ 是上凹的，则 a = ______ ；10. 若函数 )(x f 在区间 (,)a b 内恒有 ()0f x ''>，则曲线 )(x f y = 在(,)a b 内的凹向是_______；11. 若 3)(-=''x x f ，则曲线 )(x f y = 的拐点横坐标是 ______ ； 12. 函数 32y x =+ 在 3x = 处的弹性是 ________ ； 13. 函数 33y x x =- 的单调递减区间是 __________ ；14. x y e -= 的渐近线为 _______ ；15. 设需求函数(83)Q p p =-，P 为价格，则需求弹性值2P EQEp ==_______ ；16. 函数(1)(2)y x x =-- 有 ______ 个间断点；17.函数y =[0,5]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ______ ； 18. 函数 2(1)y x =-- 的单调递增区间是 _________ ；19. 函数 2cos y x x =+ 在区间 [0,]2π上的最大值是 __________ ；20. 曲线y =的下凹区间是 __________ ；21. 函数22y x x =-在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 ξ=__________ ； 22. 函数y x = 在区间 [0,1] 上的最小值是 _________ .选择题1.函数 sin y x = 在区间 [0,]π 上满足罗尔定理的 ξ= ( )(A) 0 (B) 4π(C) 2π (D) π2. 曲线 21x y x=+ 的铅垂渐近线的方程是 ( )(A) 1y =- (B) 1y = (C) 1x =- (D) 1x = 3. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（）(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''<(C) 0()0f x '= 且 0()0f x ''< (D) 0()0f x '= 或不存在计算与应用题1. 求极限 11lim()1ln x x x x→-- 2.设某产品价格与销量的关系为 10P Q =-（Q 为销量），求： (1) 销量为 30 时的总收益；(2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；(4) 销量为 30时，销量对价格的弹性。

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微积分C 第一﹑二﹑三章练习
一、填空题 1. 221lim sin
x x x →∞= ， 2201lim sin x x x
→= 2. 设1
)1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ，则)(x f 的间断点是________. 3.设()f u 为可导函数，2()y f x =，则dy dx = _______. 4. ()a x x '=_______.
5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.
6.
极限n →∞+++L =________.
7.极限3lim 1x x x x →∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
=________. 8.若0x →时，无穷小量1cos x -与n mx 等价，则m =________n =________.
9.设由方程y x y =确定y 是x 的函数，则dy =________.
10.设函数21,1()1,1x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩
在(,)-∞+∞内连续，则a =________.
二、计算
1.求极限：20(2)cos5lim sin 2x x x x x
→+
2、求极限：x
x x x sin tan lim 30-→　
3. 求2
0sin 1lim sin x x e x x →--.
4.求2
1
0lim(cos )x x x +→.
5.确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -⎧>=⎨+≤⎩
处处可导.
6.设21()arctan ln(1)2
f x x x x =-+,求dy .
7.已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''.
8.某窗户是由半圆置于矩形之上构成，若此窗周长为L ，半圆的半径和矩形的宽各为多少时，窗户面积最大.
9.求由曲线22=+xy e y 所确定的曲线在0=x 处的切线方程.
10.求曲线43341y x x =-+的凹凸区间及拐点.
11.求函数432()34121f x x x x =--+在区间[3,3]-上的最值.
12. 求由参数方程21,21x t y t
⎧=⎪⎨⎪=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数22d y d x .
13.若()f x ''存在，求ln ()y f x =的二阶导数y ''.
14.求由方程320xy e x xy ++=所确定的隐函数y 的导数y '.
三、证明题
1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.
2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.
3．设()f x 在[,]22ππ-上连续，且在(,)22ππ-内可导，证明必存在(,)22ππξ∈-，使得()()tan f f ξξξ'=.
4. 证明：当02x π<<
时，sin tan 2.x x x +>
5.证明不等式：1212sin sin .x x x x -≤-
6.验证函数()lnsin f x x =在区间566
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上满足罗尔定理,
7.证明数列
1x =2x =L ，n x =
的极限存在，并求出其极限。