2019版 1微积分练习题(下) 第一章 答案
大一微积分练习题（附答案）
《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设存在，则下列等式成立的有（ ）()0x f 'A ． B ．()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C ．D ．()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→()()()0000212limx f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（ ）A ．B ．201sin lim xx x →12lim2+-+∞→x xx x C ．D ．xx e 1lim →()xx xx +-∞→632213lim3．设的一个原函数是，则（ ）)(x f x e 2-=)(x f A ．B ．C ．D ． x e 22--x e 2-x e 24-xxe 22--4．函数在上的间断点为（ ）间断点。
⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f [)+∞,01=x A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数在上有定义，在内可导，则下列结论成立的有（ ）()x f []b a ,()b a ,A ．当时，至少存在一点，使；()()0<b f a f ()b a ,∈ξ()0=ξf B ．对任何，有；()b a ,∈ξ()()[]0lim =-→ξξf x f x C ．当时，至少存在一点，使；()()b f a f =()b a ,∈ξ()0='ξf D ．至少存在一点，使；()b a ,∈ξ()()()()a b f a f b f -'=-ξ6． 已知的导数在处连续，若，则下列结论成立的有（ ）()x f a x =()1lim-=-'→ax x f ax A ．是的极小值点； B ．是的极大值点；a x =()x f a x =()x fC ．是曲线的拐点；()()a f a ,()x f y =D ．不是的极值点，也不是曲线的拐点； a x =()x f ()()a f a ,()x f y =二．填空：1．设，可微，则 ⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsinf ()='x y 2．若，则32325-+-=x x x y ()=6y 3．过原点作曲线的切线，则切线方程为()1,0x e y 2=4．曲线的水平渐近线方程为 ()2142-+=x x y 铅垂渐近线方程为5．设，则x x f +='1)(ln ()='x f ()=x f 三．计算题：（1）（2）321lim 221-+-→x x x x 32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x（3）（4） 求xx x x 3sin )1ln(lim 20+→()[]221ln x y -=dy（5） 求053=-+x y exy=x dxdy 四．试确定，，使函数在处连续且可导。
《微积分》各章习题及详细答案之欧阳理创编
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→x x ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分各章习题及详细答案(供参考)
微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。
2(4 3x)22、 lim2)。
xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。
4、 lim xksin10 建立的 k 为。
xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。
x 0在 x 0处连续，则 b 。
x 0。
8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。
9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。
10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。
xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。
12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。
1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。
x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。
xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。
n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。
2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。
1 x1（Ａ） 是比 高阶的无量小； （Ｂ） 是比 低阶的无量小；（ C ）与 是同阶无量小；（ D ）~。
3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。
微积分一练习题及答案
A . x a 是f x 的极小值点；B . x a 是f x 的极大值点;《微积分（1）》练习题一.单项选择题1 •设f X 。
存在，则下列等式成立的有（ ）3 .设f （x ）的一个原函数是e 2x ，则f （x ）（A . 当f a f b 0时，至少存在一点 a,b ，使 f0 ；B . 对任何a,b ，有lim f x fx0 ；C. 当fa f b 时，至少存在一点 a,b ，使 f 0;D. 至少存在一点 a, b ，使f b fa fba;6.已知f x 的导数在x a 处连续，f x右lim1，则下列结论成立的有x0x0-Tolimx0-Tx0olimx0x0-T叫Hhx0x0叫Hh).limx 22xxx 123.lim3x 1x2x 6x2.下列极限不存在的有（1A . lim xsin 2B1C. lim e xx 0DA .2e 2xB2x4e 2xD2xe2x2、x, 0 x 14.函数 f(x) 1, x 1 在 0,1 x, x 1上的间断点x 1为（ ）间断点A .跳跃间断点;B •无穷间断点; C.可去间断点;D.振荡间断点5.设函数f x 在a,b 上有定义，在a,b 内可导，则下列结论成立的有（x0C. a, f a 是曲线y f x 的拐点;D. x a 不是f x 的极值点，a, f a 也不是曲线y f x 的拐点;填空: 山i1 .设 y f arcsin, f 可微，贝U y x ________________________________x2 .若 y 3x 52x 2 x 3，贝卩 y 6______________________3.过原点0,1作曲线y e 2x 的切线，则切线方程为 _________________________________4 x 14 .曲线y——2— 2的水平渐近线方程为 ________________________________________x铅垂渐近线方程为 __________________________________5 .设 f (ln x) 1 x ，贝卩 f x _____________________ f x __________________________计算题:于零，求证F x 在a, 内单调递增(1)x 2 1x 2 2x 3(2) limx(3)ln(1 x ) lim(4)yln 1x 0 xs in 3x(5)e xy y 3 5x求 dy x 0dx四.试确定a ， b ， 使函数 f xb 1 si nxax1,a 2, xex 五.试证明不等 式: 当x1时， xe x e1 xe x e2六. 设F x 丄x f ax a，其中fx 在 a,上连续, x 在a, 内存在且大x a在x 0处连续且可导。
微积分第一章详细答案
第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解 当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证 狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解 设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解 设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解 由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解 当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。
《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分第一章课外习题参考答案
9
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0, 使得 | xn | M , n 1,2,
n
.
0, lim yn 0, N ,当n N 时, | yn |
M | xn yn || xn || yn | , lim xn yn 0.
微积分课外习题参考答案
微积分第一章课外习题参考答案
1
第一章 极限与连续
微积分第一章课外习题参考答案
2
预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} . 2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z . 1 x 3. 1 1 e x 1 1 x1 , x2 , 1 x1 1 e x 1 x 1 . x 1
x0 1 三. f [ g ( x )] 0 x0 1 x 0 e | x | 1 g[ f ( x )] 1 | x | 1 注意作图形. 1 | x | 1 e
微积分第一章课外习题参考答案 5
p2. 四 . 证明: f ( x ) f (2a x ) f (2b 2a x ) f [2(b a ) x ] 周期 T 2 | b a | . 五 . 证明 f ( x ) log a ( x x 1)
8
p4.
2.
解 :由题意,
n 2
1 1 1 ( 1) P1 Pn 1 2 3 2 2 2 2n 2 1 n 1 1 n 1 1 ( ) 2 2( ) 2 2 1 3 1 2 1 n 1 2 2( ) 2 2 lim P1 Pn lim n n 3 3
实用文档之《微积分》各章习题及详细答案
实用文档之"第一章 函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
大一微积分练习题及答案
《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C ．()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（ ）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x xC ． xx e1lim → D ．()xx xx +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）A ．x e 22--B ．x e 2-C ．x e 24-D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ； B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ； 6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim-=-'→ax x f ax ，则下列结论成立的有（ ）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二．填空： 1．设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三．计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy（5）053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
微积分习题一答案详解
x
2
x0 x0
1 x g( x ) D. f ( x ) x x 与 (1 x )
3
2
g( x )
3
x
4
x x0 B中 f ( x ) 与 g( x ) 不相同,所以选B. x x 0
f ( x) x 2 (3) 设函数
g( x ) 3 x ,则 f [ g( x )] ( ) ,
B. D.
A. C.
3 3x x
x
x
2
x
3
2x
2x
f [ g( x )] ( 3 x )2 得答案为D. 代入 g( x ) 3 得
(4) 函数
A.
y
x 2 1( x 0) 的反函数是( )
B. D.
2
y y
x2 1 x2 1
y x2 1 y x2 1
(1)
x2 9
0 ( x 2) 2 4
(2)
| x 4 | 7(3)(4)| ax x0 |
解:
(1)
x 9 3 x 3
2
(2)
| x 4 | 7 7 x 4 7 3 x 11
(3)
( x 2) 2 4 2 x 2 2 2 x2 ( x 2) 0
(4)
ye
e x 2
是由
ye
u
,
u ev
,
, v x2
三个简单函数复合而成的;
u
v 为中间变量.
13.一块正方形纸板的边长为 a ，将其四角各截去一个大
小相同的边长为 x 的小正方形，再将四边折起做成一个 无盖方盒，试将此无盖方盒的容积 V 表示为所截小正方形 边长的函数。 解:
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所以
dz 1 (2dx 2dy) dx dy . (1,1) 2
2． 求 函 数 z x2 y3 当 x 2, y 1,
x 0.02, y 0.01 时的全增量及全
微分.
解：
z x
( 2, 1)
2xy3
(2,1)
4
z y
( 2, 1)
3x2 y2
x kx
k1
lim f (x, y) lim
lim
x0
y 2 kx
x0 x4 k 2 x2 x0 x2 k 2 k
该值与 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方式趋于
(0,0) 时，函数趋于不同的值.所以，lim f (x, y) x0 y0
不存在.从而，函数在点 (0,0) 处不连续.
(x, y)(0,0)
解： lim 1 x2 y2 =1. (x, y)(0,0)
(2)
(
x,
lim
y)(1,2)
x x2
y y
.
解： lim x y = 1 2 = 1 .
x y (x, y)(1,2) 2
2
2
6．证明极限 lim x y 不存在. (x, y)(0,0) x y
证明：取直线 y kx ， x 0 lim x y lim x kx 1 k x0 x y x0 x kx 1 k
1 y
f (u) 2 yf (u)
[ f (u)]2
[ f (u)]2
1 z. yf (u) y 2
6．设 z3 2xz y 0 ，求 2 z . xy
解： 设F (x, y, z) z3 2xz y
F z x 2z x F 3z2 2x
z F
z y
y F
1 3z2 2x
x
2z cos y cos x . xy
(3) z x ln( xy) ，求 2 z ； xy
解： z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1
x
xy
2z 1 x 1 . xy xy y
(4)
z
arctan
y x
，求
2z x2
.
解： z 1 ( y ) y
x
1
(
而由偏导数的定义：
f x(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f
(0,0)
0
f y(0,0)
lim
x0
f
(0, y) y
f
(0,0)
0.
4
练习题 3
班级
学号
姓名
1. 求下列函数的全微分：
(1) z arcsin x ； y
解： dz
1 1
x y
2
d
x y
1 ( 1 dx x dy) .
轴的柱面.
4．求下列函数的定义域：
(1) z ln（y 2 4x 8) ；
解：定义域 D (x, y) y 2 4x 8 .
(2) z 1 1 . xy xy
解：定义域 D (x, y) x y 0且x y 0 .
1
5．求下列各极限
(1) lim
1 x2 y2 ；
班级
学号
姓名
1． 求下列函数的偏导数：
(1) z x y x 2 y 2 ；
解： z 1 x
x
x2 y2
z 1 y .
y
x2 y2
(2) z ln x ； y
解： z y 1 1 x x y x
z y
y x
x y2
1 y
.
(3) z arctan xy ；
解：
z x
zxx 6x 8, zxy 2, zyy 2 在点 (0,0) 处： zxy 2 zxx zyy 12 0
zxx (0,0) 8 0 所以在点 (0,0) 处取极大值 z(0,0) 0.
在点 (2,2) 处： zxy 2 zxx zyy 12 0 . 所以在点 (2,2) 处不取极值.
解： fx '(x, y) 2x 3y ，所以 fx '(2,1) 4 3=7 .
3
3．求下列函数的二阶偏导数：
(1)
z
x2y
，求
2z x 2
；
解： z 2 y x2 y1 x
2z x 2
2 y(2 y
1)
x2y2 .
(2) z xsin y y sin x ，求 2 z ；
xy 解： z sin y y cos x
解： z z u z v z w x u x v x w x
f (x, y) x2 +y2 , x0 1, y0 2, x 0.02, y 0.03,
(2u 4v) 2x 4u y 2w 2x 4(2x3 3x 2 y y3 )
(2u 4v) 2 y 4u x 2w (2 y)
z
2z xy
2
z y
(3z2 2x) 2z (3z2 2x)2
6z
z y
6z2 4x (3z2 2x)3
8
练习题 5
班级
学号
姓名
1． 求函数 z x3 4x2 2xy y 2 的极值.
解：由
z z
x y
3x2 8x 2y 2x 2y 0
0 得：
驻点为 (0,0), (2,2)
(2,1)
12
dz 4 0.02 12 (0.01) 0.2
z (2.02)2 (1.01)3 22 (1)3 . 0.20404
5
3． 计算
(1) 1.032.02 ；
fx (x, y) (1, 2)
x
1,
x2 +y2 (1, 2) 5
解：设
f (x, y) xy , x0 1, y0 2, x 0.03, y 0.02,
平面方程.
解：设 M (x, y, z) 为平面上任意一点，则 (x 3)2 ( y 2)2 (z 9)2
(x 6)2 ( y 0)2 (z 4)2 化简得： 9x 2y 13z 21.
3．指出下列各方程在平面解析几何和空间解析 几何中分别表示什么图形？
(1) y x 1；
y kx ， x 0
lim
x0
f (x, y) lim x0
x kx x2 k2x2
1
k k
2
y0
该值与斜率 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方
式趋于 (0,0) 时，函数趋于不同的值.
所以， lim f (x, y) 不存在.从而，函数在点 x0 y0
(0,0) 处不连续.
2
练习题 2
.
4(x3 3xy 2 2 y3 )
5． 设 z y ，而 x et , y 1 e2t ，求 dz .
x
dt
解： dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(2e2t )
代入 x, y 化简得：
dz (et et ) . dt
z z u z v z w y u y v y w y
6
练习题 4
班级
学号
姓名
1． 设 u eax ( y z) ，而 y a sin x ，
a2 1
z cos x ，求 du .
dx 解： du u u dy u dz
dx x y dx z dx
aeax ( y z) eax a cos x eax ( sin x)
y0
该值与斜率 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方式 趋于 (0,0) 时，函数趋于不同的值.所以，上述极
限不存在.
7．利用定义讨论函数
z
x
2
xy y2
,
0,
x 2 y 2 0, 的连续性. x2 y2 0
解：当 x 2 y 2 0 时，函数是二元初等函数，
所以是连续的.
当 x2 y 2 0 时 ， f (0,0) 0 ， 取 直 线
z f u f v eu sin v 1 eu cosv x y u y v y
3．求下列函数的一阶偏导数(其中 f 具有一阶偏
导数)：
(1) u f (xy yz zx) ；
解：设 v xy yz zx
u f (v) ( y z) u f (v) (x z)
x
fy (x, y) (1, 2)
y
2,
x2 +y2 (1, 2) 5
fx (x, y) (1, 2) yx y1 (1, 2) 2,
所以
0.982 +2.032 f (1 0.02, 2 0.03)
f y (x, y) (1, 2) x y ln x (1, 2) 0,
所以
f (1, 2) fx (1, 2)x f y (1, 2)y
z yf (u) 2x x [ f (u)]2
u f (v) 2x 2x f (v) x
2u x 2
2
f
(v)
2x ) 4x2 f (v)
z f (u) yf (u) (2 y)
y
[ f (u)]2
1 z 1 z x x y y
2 yf (u)
y x
)
2
x2
x2 y2
2z
y 2x
2xy
.
x 2
(x2 y2)2 (x2 y2)2
xy 2
4.
设函数
f (x, y)
x
4
y4
,
0,
x 4 y 4 0; x 4 y 4 0;
证明 f (x, y) 在(0，0)处不连续但偏导数