微积分第一章

高等数学教案、第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

具体的要求如下：． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义 对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求 或δ不作过高要求）。

． 掌握极限四则运算法则。

． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。

能够正确运用等价无穷小求极限。

理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。

了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共 学时，课时安排如下 绪论 § 、函数 § 初等函数 课时 § 数列极限及其运算法则 课时 § 函数极限及其运算法则 课时 § 两个重要极限 无穷小与无穷大课时§ 函数的连续性 课时第一章 习题课 课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像 世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。

华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。

航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

数学一下子到了前台。

数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化 封二）初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。

高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。

用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

本学期教学内容：第一章 函数、极限与连续第二章导数与微分第三章导数学的应用第四章不定积分参考书：高等数学（同济大学应用数学系 主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编 电子阅览室（网络）高等数学 精品课程学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。

第一节 函数、第二节 初等函数掌握区间、邻域的概念。

了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。

了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

掌握基本初等函数的性质及其图形。

一．邻域 (,)(,)U a a a δδδ⇔-+，以 为中心的δ邻域(,)(,)(,)U a a a a a δδδ⇔-+，以 为中心的去心δ邻域二．函数：定义 设x 和y 是两个变量，D 是一个数集。

如果对于D 中的每一个x ，按照某个对应法则f ，y 都有确定的值和它对应，那么称y 为定义在数集D 上的x 的函数，记作()y f x =。

x 叫做自变量，y 叫做因变量，，数集D 叫做函数的定义域。

y 为因变量的函数也可表示为)(x y ϕ=，()y F x =，)(x y y =，……函数的两个要素：对应法则、定义域。

三．分段函数．{3,0,()45,0.x x y f x x x +≥==-< 0=x 称为“分界点”。

．符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y．取整函数：不超过x 的最大整数，记做：][x y =，如：[3.1]3=，[ 3.1]4-=-。

四．反函数的定义：设有函数),(x f y =其定义域D ，值域为W，如果对于W 中的每一个y值，都可以从关系式),(x f y =确定唯一的x 值（D x ∈）与之对应，这样所确定的以y 为自变量的函数)()(1y f x y x -==或ϕ叫做函数)(x f y =的反函数，它对定义域为W ，值域为D 。

习惯上，函数的自变量都用x 表示，所以反函数通常表示为).(1x f y -=五．函数的几种特性．有界性：设)(x f y =，定义域为 ，∈∀x ，0>∃M ，恒有M x f ≤)(。

则称函数在 上有界。

否则称函数在 上无界。

例如：函数xx f 1)(=，在[1,)+∞内有界；在(0,1)内无界。

．单调性：设)(x f y =，定义域为 ，∈∀21,x x ，当21x x <时⇒)()(21x f x f <，单调递增；当21x x >时⇒)()(21x f x f <，单调递减。

单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

． 奇偶性：偶函数 )()(x f x f =- ，奇函数 )()(x f x f -=-。

．周期性：周期函数 ∈∀x ，∈+T x ，)()(x f T x f =+ 例 ．狄里克莱函数⎩⎨⎧==为无理数为有理数x x x D y ,0,1)(。

狄里克莱函数是周期函数，但它没有最小正周期。

．符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y六．复合函数定义 如果y 是u 的函数)(u f y =，而u 是x 的函数)(x u ϕ=，且()x ϕ的值全部或部分地落在()y f u =的定义域内，那么y 通过u 的联系也是x 发函数。

称这个函数是由()y f u =及()u x ϕ=复合而成的，称为复合函数，记作)]([x f y ϕ=，其中u 叫做中间变量。

注：设()y f u =、()u x ϕ=，如果()u x ϕ=的值部分地落在()y f u =的定义域内，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域是()u x ϕ=的定义域的子集；如果()u x ϕ=的值全部落在()y f u =的定义域内，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域与()u x ϕ=的定义域相同。

如果()u x ϕ=的值全部落在()y f u =的定义域外，则不能构成复合函数。

例 ．将下列函数“分解”成“简单”的函数：2sin x y =，x y 2sin =，xey arctan =七．基本初等函数与初等函数：、 常数函数 )(为常数C C y =、 幂函数 )(为实常数μμx y =、 指数函数 ),1,0(为常数a a a a y x≠>=、 对数函数 ),1,0(log 为常数a a a x y a ≠>=、 三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======、 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。

八．双曲函数与反双曲函数sh 2x x e e y x --==，ch 2x x e e y x -+==，x xx x e e y thx e e---==+。

作业 习题 （ ）、（ ）、（ ）； ； 。

第四节数列的极限数列极限的定义数列的定义：数列实质上是整标函数)(n f x n =，∈n 正整数集N （ ）n x n 1=： ，21，31，…，n1，…→（ ）n x n n 1)1(1+-+=： ，21，34，…， n n 1)1(+-，…→确定nx n 11=-：要使1-n x ，只要n ； 要使1-n x ，只要n ； 要使1-n x ε，只要n ε1 。

（ ）1)1(--=n n x ： ， ， ，…， 1)1(--n ，…→不存在数列极限描述性定义（ ）：如果当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一个确定的常数a ，那么a 就叫做数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记作 a x n n =∞→lim 或 当.,a x n n →∞→时数列极限的定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，只要n N >，绝对值不等式a x n - ε恒成立，则称数列 n x 以常数a 为极限， 记为n n x ∞→lim a （或a x n →，∞→n ）。

数列极限的分析（N -ε）定义：设R a ∈，0>∀ε，0>∃N ，当N n >时，ε<-a x n 恒成立，则将数列 n x 以常数a 为极限，记为n n x ∞→lim a （或a x n →，∞→n ）。

例 ． 证明数列 ，21，34，43，…，n n n 1)1(+-+，…的极限是 。

证： 分析 令n x n n n 1)1(+-+，记 ，要使a x n - 1)1(1--++n n n n 1 n 1 ε，只要n 1ε，取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1。

证明 0>∀ε，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃ε1N ，当 时，恒有ε<--++1)1(1n n n ，故n n n n 1)1(lim+∞→-+ 。

例 ． 若21)(n nin +=s x n ，证明：0lim =∞→n n x 。

证： 分析 a x n - 0)1(sin 2-+n n 2)1(sin +n n ≤2)1(1+n 11+n n1，要使a x n- ε，只要ε1>n ，取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1，再放大证明 ],1[,0εε=∃>∀N 当 时，ε<-+01)(n nsin 2恒成立，故01)(n n sin lim 2=+∞→n 。

例 ． 设1<q ，证明数列： ，q ，2q，…，1-n q ，…的极限是 。

证： 分析 令1-=n n q x ，记 ，由于01--n q 1-n q 1-n q ，要使ε<-a x n ，只要ε<-1n q ，只要εln ln )1(<-q n ，只要q ln ln 1-n ε>，只要1ln ln +>q n ε，取 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+1ln ln q ε。