正方体的展开图
正方形的11种展开图
正方形的11种展开图
正方体的11种展开图如下：
确定正方体展开图的方法口诀：
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明。
四方成线两相卫，六种图形巧组合。
跃马失蹄四分开，两两错开一阶梯。
对面相隔不相连，识图巧排“7”、“凹”、“田”。
用一个平面截正方体，可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、正五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形，具体截法如下：（1）三角形：过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。
（2）矩形：过两条相对的棱或一条棱。
（3）正方形：平行于一个面。
（4）五边形：过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。
（5）六边形：过六条棱上的点。
（6）正六边形：过六条棱的中点。
（7）菱形：过相对顶点。
（8）梯形：过相对两个面上平行不等长的线。
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……互逆。
4.1.1正方体的展开图
B
D
E
F
G
下列平面图形能折叠成正方体吗？
×
√
×
×
√
√
活动五 看看谁学得更好
判断下列图形能不能折成正方体？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
正方体展开图的对面
1
2
3
4
观察，黑板上的立方体平面展开，
有何特点？
Z端是对面
相隔是对面
考考你 下面图形中，哪些是正方体的平面展 开图 ？ 若是，找出相对面。
我思故我进步！
反思：几种常见的不能折叠成正方体 的图形。
一、由五个正方形组连成的 “五子连” 形 如
二、由五个正方形组成的“7字”形 如
SKIP
我思故我进步！
三、由五个正方形组成的“凹字” 形
如
四、由四个正方形组成的“田字” 形
SKIP
试一试
下面六个正方形连在一起的图形，经折 叠后能围成正方体的图形有哪几个？(动手试 试）
KEY: 棒
2、“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？
坚
持
就
胜 利
是
下图是一个正方体的展开图，标注了字母 A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与 右面所标注代数式的值相等，求 x 的值．
－2
3
-4
1
A 3x-2
再 见
正方体展开图能得到下例图形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
11
第一类: 一四一,共六种。
结构特点
一 四 一
第二类: 二三一，共三种
正方体11种展开图
图1
图2
图3
图4
图5
图6
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有二、一个。 “二三一”
型
图7
图8
图9
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
图 10 “二二二”型
第四类 （1种）：两排各有三个。
“三三”型
图 11
展开1 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。 2
(16)
(17)
(18)
在展开的过程中注意你剪开了几条棱？
将正方体展开成平面图形 需要剪开7条棱
（无论用哪种方案展开）
开始时我们已经在正方体的 相对的面上标上相同的数字，现在观察一下这些数字在展
开图中有什么规律？
“一四一” 型
“二三一”型
“三三”型
“二二二”型
考考你 下图是正方体的表面展开图。
1、如果“你”在前面，那么谁在 后面？
了！
太棒
你们
2、“坚”在下，“就”在后， “胜”、“利”在哪里？
坚
持就是
胜
利
圆 柱 圆 锥
三 棱 锥
四棱 锥
五棱锥
展开第3 一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开4 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开5 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开6 第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开7
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开8
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开9
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个
展开10
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
正方体11种展开图
第一类，1，4， 1型，共六种。
第二类，2，3，1型，共三种。
第三类，2，2，2型，只有一种。
第四类，3，3型，只有一种。
1.既然都是正方体，为什么剪出的平 面图形会不一样呢? 2. 一个正方体将其展开成一个平面图 形，必须沿几条棱剪开？
A B
C D F E
总结规律：
正方体的表面展开图用“口诀”：
一线不过四，
田凹应弃之;
相间、“Z”端是对面， 间二、拐角是邻面。
一线不过四
×
×
田凹应弃之
×
×
×
×
相间、“Z”端是对面
A
B
A
B
A和B为相对的两个面
间二、拐角邻面知
C D C
D
C和D为相邻的两个面
7
把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成 一个平面图形，能得到下面的平面图形吗？
下列图形都是正方体的展开图吗？
图1
是
图2
图3
是
是
图4
是
图5
图6
不是
不是
下面图形都是正方体的展开图吗？
不是
图（1）
图（2）
图（3）
不是
是
图（4）
不是
不是
图（5）
图（6）
不是
如图是一个正方体的展开图，面 A ， 面B，面C的对面各是哪个面？
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：互逆正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
正方体展开全图11种情况
三 棱 锥
四棱锥
五棱锥
正方体展开图
“一四一” 型
“二三一” 型
“三三” 型
“二二二” 型
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开1
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开2
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开3
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一各有一个。
展开5
第一类（6种）：中间四连方，两侧各有一个。
展开6
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开7
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开8
第二类（3种）：中间三连方，两侧各有一、二个。
展开9
展开10
第三类（1种）：中间二连方，两侧各有二个。
相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的 两个对面，如图6中的A面和B面；“Z”字两端处的小正方形 是正方体的对面，如图7、图8的A面和B面．
A
A
B
A
B
图6
图7
B
图8
图9
例3．（2005河南）如图9，一个正方体的每个面上都写有 一个汉字，其平面展开图如图9所示，那么在该正方体中， 和“超”相对的字是 ．
A
B
变形：如图有一长方体房间，在房间内一角A 处有一只小虫，它想到房间的另一角 B处去吃食物，它采取怎样的行走路线最近？
A
B
一、一线不过四
是指在正方体展开图中，一条直线上的小正方形不会 超过四个，如图1、图2都不是正方体的展开图．
图1
图2
例1．（2004连云港）下面每个图片都是由6个大小相同的 正方形组成，其中不能折成正方体的是（ ）
正方体11种平面展开图
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。
第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。
第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。
第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。
第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。
注：①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。
②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面；相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。
每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。
注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”：互逆正方体、长方体展开图⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。
长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。
（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。
）⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。
（给出其中一个，要能将其余的都求出来）⑧常见的平方、立方（需熟记在心）12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
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“正方体的展开图”的教学情景片断与评析
作者：绍兴市袍… 文章来源：网络 点击数：
9005 更新时间：2004-3-27 22:35:43
“正方体的展开图”的教学情景片断与评析
绍兴市袍江中学 王文海
一、设计思路：
教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人，充分体现以人为本的教学理念，尊重学生的个体差异，通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，丰富想象力，引发学生的发散思维和创新意识，不断提高解决问题的能力。
二、学具准备：
6块用硬纸板剪成的正方形、透明胶等
三、情景设计：
师：我们已经知道多面体可由平面图形围成，或者说把多面体展开以后可得到一个平面图形。
下面一起来研究正方体展开以后的平面图形有哪些？能想一个研究的方法吗？
生：可以倒过来思考，即看有哪些平面图形可以围成正方体。
师：好注意！那就拿出准备好的6个正方体，用透明胶把它粘连成一个平面图形。
（学生动手操作，教师巡视）
师：老师发现同学们拼出了许多种不同形状的平面图形，显然你也能拼出不止一个，为了待会儿拼出的图形不重复，请思考一下有什么好办法呢？或者说照怎样的规律去拼？
生：可先并排拼四块，另外两块再放在旁边，然后并排三块，再考虑另外三块的放法。
师：真聪明！下面就请大家动手，看你拼成的图形能否围成正方体？若能，请把你的图形画在活动报告上，若不能，也把图形画在活动报告上，看谁画得最多、最快？
（教师巡视，学生基本完成后）
师：共有几种图形能围成正方体?
生1：10种 生2：11种 生3：12种 ……
师：同学们动手很快、很会动脑筋！但答案不一致，到底谁对谁错，接下来四人小组交流、讨论，看看到底有几种？
（交流后，实物投影，指出重复的，或旋转、翻转后图形相同的）
师：对能拼成正方体的图形，它们有何规律？
生1：拼排四块的，另外两块一定要放在两侧。
生2：中间并排三块，下面并排两块，且要位置错出，最后一块放在最上面的3个位置都可以……师：很好！那对不能围成正方体的图形，它们有哪些特征呢？
生1：形状有田字生2：形状有U字……
师：好了，在这节课中你学习了有关正方体的平面展开图，下面就请大家把学过的内容整理一下，完成活动报告。
“正方体的展开图”的活动报告
姓名班级时间
1、研究正方体的展开图的方法是
2、能围成正方体的平面图形
3、对能拼成正方体的图形，它们有何规律？
4、不能围成正方体的平面图形
5、不能围成正方体的图形，它们有哪些特征呢？
6、你在本节课中有什么感想或收获？印象最深的是什么？
7、对老师上课有什么建议？
四、反思
这是在实际教学过程中的一个片断。
从实际上课的情况来看，学生始终处在一种紧张与和谐、团结与协作、民主与平等的教学氛围中学习，课堂气氛很活，学习劲头高涨，学习效果很好，基本上都能识别哪一种平面图形能围成正方体，完成了教学目标。
本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同研究，得出结论。
教师的角色由过去的传授者变为引导者、合作者、组织者，根据本节的内容特点，教师无需过多讲解，只需引导、组织学生活动，并真正参与到学生的讨论中。
在这节课中，学生课堂上的表现令老师很满意，但在填写活动报告中，学生往往有一种“只可意会，不可言传”的感觉，从事后与个别学生的谈话中了解到，学生对动手实践操作较感兴趣，对填写活动报告就感觉头痛，要么言不表意，要么空着不写，有个学生还说：“老师，我们已经懂了，也会做题了，就不用写了吧？”对这方面出现的新问题，是在新课标下必然会出现的，这需要教师在平时的教学过程中，不能只注重表面现象，还应关注学生各方面能力的培养，包括口头表达能力、书面表达能力、理性概括能力等，多让学生
在亲身的参与过程中去体会、去发现、去总结，为终身学习打下一定的基础。
五、点评：
这节课内容安排贴近学生实际，使学生能深切地感受到现实生活中的数学，数学离不开生活，又教法设计新颖，别开生面地呈现出新课程改革的教学新路子。
1、重视数学教学活动：
正方体是学生所比较熟悉的几何体，但这节课不仅仅停留在“玩”，而以积累数学活动经验来立意，定位在对正方体展开以后是什么样的平面图形上，又继而逆向思考，什么样的平面图形可以围成正方体的认知上。
全课的重点放在学生的自主活动上，在人人动手、个个参与的动态学习过程中，充分体现了以人为本，学生是数学学习的主人的教学理念，把教材――教师――学生有机地整合。
2、很好地处理了独立思考与合作交流间的关系
《标准》指出：“要帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。
独立思考与合作交流两者间的关系，既相互独立，又相互统一，本节课中，先让学生自主独立探究，自主感悟，当出现答案不一致，意见有分歧时，教学过程上升到另一境界，让学生小组内交流，由小组合作给出一个统一的答案，然后再通过实物投影再来集体交流，把原先学生个人、小组统一中仍不能解决的问题、存在的缺陷通过集体的智慧来解决，典型地说明了独立思考与合作交流间的辩证关系，进一步提升了自主――探究――合作的学习品味。
3、关注教学评价
评价应有利于学生认识自我、建立信心。
本节课由始至终都把教学评价放在很重要的位置上，教师对学生的评价充分体现了人文关怀，学生的自我评价、小组相互评价及活动报告的撰写体现了过程评价，评价伴随着学习过程，且又关注评价的“多元”和“多样”化，使学生认识到数学有趣、有用和亲切的一面，使他们在数学学习的过程中逐步对数学产生积极的情感与态度，从中悟出一些真谛。