杭州师范大学高等代数2006--2015考研真题／研究生入学考试试题
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杭州师范大学_有机化学2006--2015年_考研专业课真题试卷
杭州师范学院研究生入学考试命题纸专业有机化学科目有机化学（本考试科目共 4 页本页第 2 页）杭州师范学院研究生入学考试命题纸2.C3.用共，NE专业有机化学科目有机化学（本考试科目共 4 页本页第 4 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸杭州师范大学2009年招收攻读硕士研究生入学考试题考试科目代码：726考试科目名称：有机化学说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；2、命题时试题不得超过周围边框；3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；4、5、2009年考试科目代码 726 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 1 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸2009年考试科目代码 726 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 2 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸2009年考试科目代码 726 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 3 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸2009年考试科目代码 726 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 4 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸2010年考试科目代码 728 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 1 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸2010年考试科目代码 728 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 2 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸2010年考试科目代码 728 考试科目名称有机化学（本考试科目共 4 页本页第 3 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸四、推测化合物的结构（24分）：1.不饱和化合物A（C9H16）催化氢化给出饱和化合物B（C9H18），A经臭氧化锌水解生成C（C9H16O2），C易被银氨溶液氧化成酮酸D（C9H16O3），用Br2的NaOH溶液处理D 可得二元酸E（C8H14O4）。
E与乙酐共热生成4-甲基环己酮，推测A、B、C、D、E的结构。
杭州师范大学高等代数2006--2019年考研真题
杭州师范大学
2019年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码：838
考试科目名称：高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题15分，共150分
1.求下列行列式的值： .
2.设 ，其中Q为有理数域.
（1）证明： 对于矩阵加法和数乘构成有理数域上的向量空间；
（2）求 的一组基；
（3）求 中的向量 在（2）中所求的基下的坐标.
5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x)|f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x)|g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
为F[x]的两个子空间，试证：Va与Vb同构．
6、(20分)设V=V1 V2，σ，τ∈L(V)，对于 α=α1+α2∈V，都有σ(α)=α1，
(α1∈V1，α2∈V2)，求证V1与V2都是τ的不变子空间 στ=τσ．
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数
2019年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码：838
考试科目名称：高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题15分，共150分
1.求下列行列式的值： .
2.设 ，其中Q为有理数域.
（1）证明： 对于矩阵加法和数乘构成有理数域上的向量空间；
（2）求 的一组基；
（3）求 中的向量 在（2）中所求的基下的坐标.
5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x)|f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x)|g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
为F[x]的两个子空间，试证：Va与Vb同构．
6、(20分)设V=V1 V2，σ，τ∈L(V)，对于 α=α1+α2∈V，都有σ(α)=α1，
(α1∈V1，α2∈V2)，求证V1与V2都是τ的不变子空间 στ=τσ．
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数
研究生高等代数复习题完整版
（2）求 的一组标准正交基，（3）求矩阵 ，使得 .
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
杭州师范大学高等代数2006--2020年考研初试真题
。
3.已知线性方程组 。
(1) 取何值时，该方程组有解。
(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。
4.求满足 的所有 阶方阵 （这里 是 的伴随矩阵）。
5.求解行列式
。
6.设 为 维欧式空间， 为 的一个正交变换。设 为 的一个维数小于 的 -不变子空间，令 为 的正交补。
（1）证明： 也是一个 -不变子空间。
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、பைடு நூலகம்
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)
3.已知线性方程组 。
(1) 取何值时，该方程组有解。
(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。
4.求满足 的所有 阶方阵 （这里 是 的伴随矩阵）。
5.求解行列式
。
6.设 为 维欧式空间， 为 的一个正交变换。设 为 的一个维数小于 的 -不变子空间，令 为 的正交补。
（1）证明： 也是一个 -不变子空间。
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、பைடு நூலகம்
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)
2006-13年杭州师范大学高等代数考研试题
杭 州 师 范 学 院 2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 学科专业： 基础数学、应用数学 研究方向： 研究方向：
"#(25 $) 12345 (6 f(x)=g(x) h(x) 78 h(x) 9Z[x] @ ' 1 %& f(x) (g(x) )Z[x] (g(x) 0 BC 7DEF f(x)=x6+x3+1 GHIPQ Q RSTU @ 2A VW(20 X) Y`abF
3、 （20 分）设 A 是 n × (n + 1) 矩阵， I n 是 n 阶单位矩阵，证明：存在 (n + 1) × n 矩 阵 B 使 AB = I n 成立的充分必要条件是 秩A = n 。
fghg i pqrstu
814
pqrs 2 1 pqrsvw xy
defgh
2 2 已知二次型 f(x1,x2,x3)=5 x12 +5 x 2 +t x3 -2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，
1） 确定参数 t； 2） 用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵； 3） 指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面。
rstuvwxy wxtu wx
五、 (15 分) a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
(a + 3) x1 + x 2 + 2 x3 = a ax1 + (a − 1) x 2 + x3 = a 3(a + 1) x + ax + (a + 3) x = 3 1 2 3
六、(20 分) σ 是向量空间 F4 上的线性变换，对于任意 ξ∈F4，有 σ(ξ)=Aξ；其中
学科专业： 学科专业： 基础数学、应用数学 研究方向： 研究方向：
"#(25 $) 12345 (6 f(x)=g(x) h(x) 78 h(x) 9Z[x] @ ' 1 %& f(x) (g(x) )Z[x] (g(x) 0 BC 7DEF f(x)=x6+x3+1 GHIPQ Q RSTU @ 2A VW(20 X) Y`abF
3、 （20 分）设 A 是 n × (n + 1) 矩阵， I n 是 n 阶单位矩阵，证明：存在 (n + 1) × n 矩 阵 B 使 AB = I n 成立的充分必要条件是 秩A = n 。
fghg i pqrstu
814
pqrs 2 1 pqrsvw xy
defgh
2 2 已知二次型 f(x1,x2,x3)=5 x12 +5 x 2 +t x3 -2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，
1） 确定参数 t； 2） 用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵； 3） 指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面。
rstuvwxy wxtu wx
五、 (15 分) a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
(a + 3) x1 + x 2 + 2 x3 = a ax1 + (a − 1) x 2 + x3 = a 3(a + 1) x + ax + (a + 3) x = 3 1 2 3
六、(20 分) σ 是向量空间 F4 上的线性变换，对于任意 ξ∈F4，有 σ(ξ)=Aξ；其中
2015年杭州师范大学考研初试真题 817高等代数
0 1 2 cos 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 cos n 。
0 1 2 cos
4．设向量组 {1 , 2 ,..., s }(s 2) 线性无关，讨论下面向量组
1 1 2 , 2 2 3 ,..., s1 s1 s , s s 1
x1 x2 (1 a ) x3 a 6．线性方程组 x1 (1 a ) x2 x3 3 ，当 a 为何值时，方程组： （1）有唯一解，并求其解； (1 a ) x x x 0 1 2 3
（2）有无穷个解，并求其解。
7 ． 已知二次型 p( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 2ax2 x3 , a 0, 通过正交变换化为标准形
p( y1, y2 , y3 ) y12 2 y22 5 y32 ，求参数 a 及所用的正交变换。
8. 证 明 ： 设 V 是 数 域 F 上 的 一 个 n 维 向 量 空 间 , 则 V 中 存 在 一 个 无 穷 序 列
W wi | i 使得 W 中任 n 个元素构成的向量组都线性无关。
杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
杭
州
师
范
大
学
2015 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 考试科目名称： 817 高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
（共 10 题，每题 15 分） 1. 设 f ( x) x4 2x3 x2 4x 2, g ( x) x4 x3 x2 2 x 2, 求 ( f ( x), g ( x)), 并 求
浙江师范大学数学分析与高等代数2006真题
浙江师范大学 2006 年研究生
入 学 考 试 试 题
考试科目： 数学分析与高等代数 报考学科、专业： 课程与教学论（数学教育学）
数 学 分 析 部 分
一、求下列极限（每小题 5 分，共 30 分） 1． n lim (1 1 ) n ， 3. 5.
2n 1 1 lim ， x 1 x 1 ln x n k lim k ， n k 1 3 ln(1 x) ， tan x n 1 4． n lim ， k ( k 1) k 1 1 3 5 2 n 1 6. lim 。 x 2 4 6 2n
2.
a b b b a b b b a b b b
b b b a
。
七、当 a，b 取何值时，下列方程组有解，在有解的情况下，求解此 线性方程组，并写出方程组的一般解（ 12 分）
2 x1 x2 3 x3 2 x4 6 , 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 5 , ax4 3 , x1 2 x2 5 x 4 x 6 x x b . 2 3 4 1
Q3 的一个线性变换 A，满足：
1 A(ε1，ε2，ε3)＝(ε1，ε2，ε3) 2 3
1 1 3 7 ， 2 4
(1) 求线性变换 A 在 Q 上的特征值与特征向量； （ 8 分） (2) 分别求线性变换 A 的值域 AV 与核 A－1(0)的一组基。 （ 8 分） 十、设 A 是一个实对称矩阵，在 Rn 上定义线性变换 A： Aα＝Aα，
n 1
2．
n 1
n (n 1)!
四、设数列 an 满足 lim
a1 a2 an a a ， a 为实数. 求证 lim n 0 。 n n n n
入 学 考 试 试 题
考试科目： 数学分析与高等代数 报考学科、专业： 课程与教学论（数学教育学）
数 学 分 析 部 分
一、求下列极限（每小题 5 分，共 30 分） 1． n lim (1 1 ) n ， 3. 5.
2n 1 1 lim ， x 1 x 1 ln x n k lim k ， n k 1 3 ln(1 x) ， tan x n 1 4． n lim ， k ( k 1) k 1 1 3 5 2 n 1 6. lim 。 x 2 4 6 2n
2.
a b b b a b b b a b b b
b b b a
。
七、当 a，b 取何值时，下列方程组有解，在有解的情况下，求解此 线性方程组，并写出方程组的一般解（ 12 分）
2 x1 x2 3 x3 2 x4 6 , 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 5 , ax4 3 , x1 2 x2 5 x 4 x 6 x x b . 2 3 4 1
Q3 的一个线性变换 A，满足：
1 A(ε1，ε2，ε3)＝(ε1，ε2，ε3) 2 3
1 1 3 7 ， 2 4
(1) 求线性变换 A 在 Q 上的特征值与特征向量； （ 8 分） (2) 分别求线性变换 A 的值域 AV 与核 A－1(0)的一组基。 （ 8 分） 十、设 A 是一个实对称矩阵，在 Rn 上定义线性变换 A： Aα＝Aα，
n 1
2．
n 1
n (n 1)!
四、设数列 an 满足 lim
a1 a2 an a a ， a 为实数. 求证 lim n 0 。 n n n n
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2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
1、(15分)设f(x)∈Z[x]，f(x)对四个不同整数ai(i=1、2、3、4)的值都为1，即f(ai)=1，则f(x)+1无整数根．
2、(15分)利用升阶法计算n阶行列式
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2008年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：814
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
1、(15分)求证，多项式x6+x3+1在有理数域上不可约．
7、(20分)令σ、τ是数域F上向量空间V的线性变换，且σ2=σ,那么Im(σ)和Ker(σ)都在τ之下不变的充分必要条件是στ=τσ．
8、(20分)设A是n阶实对称阵，且A4=I（I为n阶单位阵），求证A是正交阵．
9、(20分)已知二次型f(x1,x2,x3)= 2 ＋a ＋2 －2x1x2－2x1x3－2x2x3的秩是2，
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r,求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x) |f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x) | g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
杭州师范学院研究生入学考试命题纸杭州师范学院研究生入学考试命题纸
杭州师范学院
2006年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业：基础数学、应用数学
研究方向：
考试科目：高等代数
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
2、f(A)可逆 (f(x)，g(x))=1．
二、(20分)
计算Dn=
三、(15分)
设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，且满足A3=3A(A－I)，试证A－I为可逆阵，并求(A－I)-1．
2007年考试科目代码414考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）2007年考试科目代码414考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）
已知A= ，求一个矩阵B，使A=B2。
（提示：利用A的特征根、特征向量）
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(25分)
1）已知f(x)，g(x)∈Z[x]，g(x)是本原多项式，又f(x)=g(x)h(x)，则h(x)∈Z[x]。
1）求参数a；
2）用正交化方法把二次型化为标准形．
2008年考试科目代码814考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
杭州师范学院
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
四、(20分)
设A= （k∈R）分别求矩阵A的秩；并求AX=0的基础解系。
五、(15分)
a为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
六、(20分)
σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意ξ∈F4，有σ(ξ)=Aξ；其中
A=
求线性变换σ的像和核的基与维数．
七、(20分)
设A= ，B= ，C= ．
若A为三维向量空间V的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则B与C是σ关于V的其他基的矩阵吗?试予以判断，并说明理由。
八、(20分)
已知二次型f(x1,x2,x3)=5 +5 +t -2x1x2+x2x3的秩为2，
2）求证，多项式f(x)=x6+x3+1在有理数域Q上不可约。
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
2006年专业基础数学、应用数学科目高等代数（本考试科目共2页本页第1页）2006年专业基础数学、应用数学科目高等代数（本考试科目共2页本页第2页）
杭州师范学院硕士研究生入学考试命题纸杭州师范学院硕士研究生入学考试命题纸
2008年考试科目代码814考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
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6、(20分)数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫做一个对合变换,如果σ2=ι, ι是单位变换.设σ是V的一个对合变换.证明:
1)σ的本征值只能是 ;
2) ．这里 和 分别是σ的属于本征值１和－１的本征子空间．
2、(15分)计算行列式
Dn= （注：主对角线以外全是x）
3、(15分)设A= （k∈R），求AX=0的解空间的基和维数．
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
1）确定参数t；
2）用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵；
3）指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面。
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
六、(25分)
σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意(x1,x2,x3,x4)∈F4，
有σ(x1,x2,x3,x4)= (x1-x2+5x3-x4，x1+x2-2x3+3x4，3x1-x2+8x3+x4，x1+3x2-9x3+7x4)；
求线性变换σ的像Im(σ)和核Ker(σ)的基与维数。
七、(20分)
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
1、(15分)设f(x)∈Z[x]，f(x)对四个不同整数ai(i=1、2、3、4)的值都为1，即f(ai)=1，则f(x)+1无整数根．
2、(15分)利用升阶法计算n阶行列式
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
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考试科目代码：814
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
1、(15分)求证，多项式x6+x3+1在有理数域上不可约．
7、(20分)令σ、τ是数域F上向量空间V的线性变换，且σ2=σ,那么Im(σ)和Ker(σ)都在τ之下不变的充分必要条件是στ=τσ．
8、(20分)设A是n阶实对称阵，且A4=I（I为n阶单位阵），求证A是正交阵．
9、(20分)已知二次型f(x1,x2,x3)= 2 ＋a ＋2 －2x1x2－2x1x3－2x2x3的秩是2，
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r,求det(3I-A)的值．
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5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x) |f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x) | g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
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学科专业：基础数学、应用数学
研究方向：
考试科目：高等代数
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
2、f(A)可逆 (f(x)，g(x))=1．
二、(20分)
计算Dn=
三、(15分)
设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，且满足A3=3A(A－I)，试证A－I为可逆阵，并求(A－I)-1．
2007年考试科目代码414考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）2007年考试科目代码414考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）
已知A= ，求一个矩阵B，使A=B2。
（提示：利用A的特征根、特征向量）
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(25分)
1）已知f(x)，g(x)∈Z[x]，g(x)是本原多项式，又f(x)=g(x)h(x)，则h(x)∈Z[x]。
1）求参数a；
2）用正交化方法把二次型化为标准形．
2008年考试科目代码814考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第2页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
杭州师范学院
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
四、(20分)
设A= （k∈R）分别求矩阵A的秩；并求AX=0的基础解系。
五、(15分)
a为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
六、(20分)
σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意ξ∈F4，有σ(ξ)=Aξ；其中
A=
求线性变换σ的像和核的基与维数．
七、(20分)
设A= ，B= ，C= ．
若A为三维向量空间V的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则B与C是σ关于V的其他基的矩阵吗?试予以判断，并说明理由。
八、(20分)
已知二次型f(x1,x2,x3)=5 +5 +t -2x1x2+x2x3的秩为2，
2）求证，多项式f(x)=x6+x3+1在有理数域Q上不可约。
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
2006年专业基础数学、应用数学科目高等代数（本考试科目共2页本页第1页）2006年专业基础数学、应用数学科目高等代数（本考试科目共2页本页第2页）
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6、(20分)数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫做一个对合变换,如果σ2=ι, ι是单位变换.设σ是V的一个对合变换.证明:
1)σ的本征值只能是 ;
2) ．这里 和 分别是σ的属于本征值１和－１的本征子空间．
2、(15分)计算行列式
Dn= （注：主对角线以外全是x）
3、(15分)设A= （k∈R），求AX=0的解空间的基和维数．
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
1）确定参数t；
2）用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵；
3）指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面。
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
六、(25分)
σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意(x1,x2,x3,x4)∈F4，
有σ(x1,x2,x3,x4)= (x1-x2+5x3-x4，x1+x2-2x3+3x4，3x1-x2+8x3+x4，x1+3x2-9x3+7x4)；
求线性变换σ的像Im(σ)和核Ker(σ)的基与维数。
七、(20分)